В математике статистическим многообразием называется риманово многообразие , каждая точка которого представляет собой распределение вероятностей . Статистические многообразия обеспечивают основу для области информационной геометрии . Информационная метрика Фишера обеспечивает метрику на этих многообразиях. Согласно этому определению, функция логарифмического правдоподобия представляет собой дифференцируемую карту , а оценка — это включение . [1]
Семейство всех нормальных распределений можно рассматривать как двумерное параметрическое пространство, параметризованное ожидаемым значением µ и дисперсией σ 2 ≥ 0. Оснащенное римановой метрикой , заданной информационной матрицей Фишера , это статистическое многообразие с геометрия, моделируемая в гиперболическом пространстве . Способ изображения многообразия осуществляется путем вывода параметрических уравнений с помощью информации Фишера, а не исходя из функции правдоподобия.
Простым примером статистического многообразия, взятого из физики, может быть канонический ансамбль : это одномерное многообразие, в котором температура T служит координатой на многообразии. Для любой фиксированной температуры T существует вероятностное пространство: так, для газа атомов это будет вероятностное распределение скоростей атомов. При изменении температуры T распределение вероятностей меняется.
Еще одним простым примером, взятым из медицины, может быть распределение вероятностей исходов лечения пациентов в зависимости от количества введенного лекарства. То есть при фиксированной дозе у некоторых пациентов наблюдается улучшение, а у некоторых нет: это базовое пространство вероятностей. Если дозировка варьируется, то меняется вероятность исходов. Таким образом, дозировка является координатой на коллекторе. Чтобы получить гладкое многообразие , нужно было бы измерять результаты в ответ на сколь угодно малые изменения дозировки; это практически нереализуемый пример, если только у нас нет ранее существовавшей математической модели реакции на дозу, в которой доза может изменяться произвольно.
Пусть X — ориентируемое многообразие и — мера на X. Эквивалентно, пусть будет вероятностным пространством на , с сигма-алгеброй и вероятностью .
Статистическое многообразие S ( X ) пространства X определяется как пространство всех мер на X (с фиксированной сигма-алгеброй ). Заметим, что это пространство бесконечномерно; обычно его называют пространством Фреше . Точки S ( X ) являются мерами.
Вместо того, чтобы иметь дело с бесконечномерным пространством S ( X ), принято работать с конечномерным подмногообразием , определяемым путем рассмотрения набора вероятностных распределений, параметризованных некоторым гладким, непрерывно меняющимся параметром . То есть рассматриваются только те меры, которые выбраны по параметру. Если параметр n -мерный , то, вообще говоря, и подмногообразие будет таким же. Таким образом можно понять все конечномерные статистические многообразия. [ нужны разъяснения ]
