Морфизм алгебраических многообразий

В алгебраической геометрии морфизм между алгебраическими многообразиями — это функция между многообразиями, которая локально задаётся многочленами . Она также называется регулярным отображением . Морфизм из алгебраического многообразия в аффинную прямую также называется регулярной функцией . Регулярное отображение, обратное к которому также регулярно, называется бирегулярным , а бирегулярные отображения являются изоморфизмами алгебраических многообразий. Поскольку регулярность и бирегулярность являются очень ограничительными условиями — на проективных многообразиях нет непостоянных регулярных функций — понятия рациональных и бирациональных отображений также широко используются; они являются частичными функциями , которые локально определяются рациональными дробями вместо многочленов.

Алгебраическое многообразие естественным образом имеет структуру локально окольцованного пространства ; морфизм между алгебраическими многообразиями — это в точности морфизм базовых локально окольцованных пространств.

Определение

Если X и Y являются замкнутыми подмногообразиями и (то есть они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение является ограничением полиномиального отображения . Явно оно имеет вид: ^[1] ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

где s находятся в координатном кольце X : ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

где I — идеал, определяющий X (примечание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f  −  g принадлежит I ). Изображение f ( X ) лежит в Y , и, следовательно, удовлетворяет определяющим уравнениям Y . То есть, регулярное отображение совпадает с ограничением многочленного отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

В более общем смысле отображение f : X → Y между двумя многообразиями является регулярным в точке x , если существуют окрестность U точки x и окрестность V точки f ( x ) такие, что f ( U ) ⊂ V и ограниченная функция f : U → V является регулярной как функция на некоторых аффинных картах U и V . Тогда f называется регулярным , если оно является регулярным во всех точках X .

• Примечание: Не сразу очевидно, что два определения совпадают: если X и Y являются аффинными многообразиями, то отображение f : X → Y является регулярным в первом смысле тогда и только тогда, когда оно является таковым во втором смысле. ^[a] Кроме того, не сразу ясно, зависит ли регулярность от выбора аффинных карт (это не так. ^[b] ) Однако этот вид проблемы согласованности исчезает, если принять формальное определение. Формально (абстрактное) алгебраическое многообразие определяется как частный вид локально окольцованного пространства . При использовании этого определения морфизм многообразий является просто морфизмом локально окольцованных пространств.

Композиция регулярных отображений снова регулярна; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий , где морфизмы являются регулярными отображениями.

Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно соответствуют гомоморфизмам алгебр между координатными кольцами: если f : X → Y — морфизм аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебр

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

где — координатные кольца X и Y ; это хорошо определено, поскольку — многочлен от элементов . Наоборот, если — гомоморфизм алгебры, то он индуцирует морфизм ${\displaystyle k[X],k[Y]}$ ${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

дано: письмо ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

где — образы 's. ^[c] Обратите внимание , а также ^[d] В частности, f является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда f ^# является изоморфизмом координатных колец. ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$ ${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

Например, если X — замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y , а f — включение, то f ^# — ограничение регулярных функций на Y на X. Дополнительные примеры см. в разделе #Примеры ниже.

Регулярные функции

В частном случае, когда Y равно A ^1, регулярные отображения f : X → A ¹ называются регулярными функциями и являются алгебраическими аналогами гладких функций, изучаемых в дифференциальной геометрии. Кольцо регулярных функций (то есть координатное кольцо или, более абстрактно, кольцо глобальных сечений структурного пучка) является фундаментальным объектом в аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективном многообразии является константой (это можно рассматривать как алгебраический аналог теоремы Лиувилля в комплексном анализе ).

Скалярная функция f : X → A ¹ регулярна в точке x , если в некоторой открытой аффинной окрестности точки x она является рациональной функцией , которая регулярна в точке x ; т. е. существуют регулярные функции g , h вблизи x такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в точке x . ^[e] Внимание: условие справедливо для некоторой пары ( g , h ), а не для всех пар ( g , h ); см. Примеры.

Если X — квазипроективное многообразие , т. е. открытое подмногообразие проективного многообразия, то поле функций k ( X ) совпадает с полем замыкания X , и, таким образом, рациональная функция на X имеет вид g / h для некоторых однородных элементов g , h той же степени в однородном координатном кольце ( ср. Проективное многообразие#Структура многообразия .) Тогда рациональная функция f на X является регулярной в точке x тогда и только тогда, когда существуют некоторые однородные элементы g , h той же степени в , такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в точке x . Эта характеристика иногда принимается за определение регулярной функции. ^[2] ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

Сравнение с морфизмом схем

Если X = Spec A и Y = Spec B — аффинные схемы , то каждый гомоморфизм колец ϕ : B → A определяет морфизм

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

взяв прообразы простых идеалов . Все морфизмы между аффинными схемами имеют этот тип, и склеивание таких морфизмов дает морфизм схем в целом.

Теперь, если X , Y являются аффинными многообразиями; т. е. A , B являются целостными областями , которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутым полем k , то, работая только с замкнутыми точками, вышеизложенное совпадает с определением, данным в #Определение. (Доказательство: Если f  : X → Y является морфизмом, то, записывая , нам нужно показать ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

где — максимальные идеалы, соответствующие точкам x и f ( x ); т. е . . Это очевидно.) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

Этот факт означает, что категория аффинных многообразий может быть отождествлена ​​с полной подкатегорией аффинных схем над k . Поскольку морфизмы многообразий получаются склеиванием морфизмов аффинных многообразий таким же образом, как морфизмы схем получаются склеиванием морфизмов аффинных схем, то отсюда следует, что категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k .

Более подробную информацию см. в [1].

Примеры

• Регулярные функции на A ⁿ — это в точности полиномы от n переменных, а регулярные функции на P ⁿ — это в точности константы.
• Пусть X — аффинная кривая . Тогда — морфизм; он биективен с обратным . Поскольку g — также морфизм, f — изоморфизм многообразий. ${\displaystyle y=x^{2}}$ $${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$ ${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$
• Пусть X — аффинная кривая . Тогда — морфизм. Он соответствует гомоморфизму колец , который, как видно, инъективен (поскольку f сюръективен). ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ $${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$ $${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$
• Продолжая предыдущий пример, пусть U = A ¹  − {1}. Поскольку U является дополнением гиперплоскости t = 1, U аффинно. Ограничение биективно. Но соответствующий гомоморфизм колец — это включение , которое не является изоморфизмом, и поэтому ограничение f | _U не является изоморфизмом. ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• Пусть X — аффинная кривая x ² + y ² = 1 и пусть Тогда f — рациональная функция на X. Она регулярна в точке (0, 1), несмотря на выражение, поскольку, как рациональная функция на X , f также может быть записана как . $${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$ ${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• Пусть X = A ² − (0, 0) . Тогда X является алгебраическим многообразием, поскольку является открытым подмножеством многообразия. Если f является регулярной функцией на X , то f является регулярной на и, следовательно, в . Аналогично, она является регулярной в . Таким образом, мы можем записать: где g , h являются многочленами от k [ x , y ]. Но это означает, что g делится на x ^{n ,} и поэтому f на самом деле является многочленом. Следовательно, кольцо регулярных функций на X — это просто k [ x , y ]. (Это также показывает, что X не может быть аффинным, поскольку в противном случае X определялось бы своим кольцом координат и, таким образом, X = A ² .) ${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$ ${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$ ${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$ $${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$
• Предположим, ^что , отождествляя точки ( x  : 1) с точками x на A1 и ∞ = (1: 0), существует автоморфизм σ из P1 ^, заданный как σ(x: y) = (y: x); в частности, σ меняет местами 0 и ∞. Если f — рациональная функция на P1 , то и f регулярна в ∞ тогда и только тогда, когда ^f ( 1/ z ) регулярна в нуле. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$ $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$
• Если взять поле функций k ( V ) неприводимой алгебраической кривой V , то все функции F в поле функций могут быть реализованы как морфизмы из V в проективную прямую над k . ^{[ необходимо разъяснение ]} (ср. #Свойства) Изображение будет либо одной точкой, либо всей проективной прямой (это следствие полноты проективных многообразий ). То есть, если F на самом деле не является константой, мы должны приписать F значение ∞ в некоторых точках V .
• Для любых алгебраических многообразий X , Y проекция является морфизмом многообразий. Если X и Y аффинны, то соответствующий гомоморфизм колец есть , где . $${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$ $${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$ ${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

Характеристики

Морфизм между многообразиями непрерывен относительно топологий Зарисского на источнике и цели.

Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть открытым или замкнутым (например, образ не является ни открытым, ни замкнутым). Однако можно все равно сказать: если f является морфизмом многообразий, то образ f содержит открытое плотное подмножество своего замыкания (ср. constructible set ). ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

Морфизм f : X → Y алгебраических многообразий называется доминирующим , если он имеет плотный образ. Для такого f , если V является непустым открытым аффинным подмножеством Y , то существует непустое открытое аффинное подмножество U из X такое, что f ( U ) ⊂ V и тогда является инъективным. Таким образом, доминирующее отображение f индуцирует инъекцию на уровне полей функций: ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

где прямой предел пробегает все непустые открытые аффинные подмножества Y . (Более абстрактно, это индуцированное отображение из поля вычетов общей точки Y в поле X .) Наоборот, каждое включение полей индуцируется доминантным рациональным отображением из X в Y . ^[3] Следовательно, приведенная выше конструкция определяет контравариантную эквивалентность между категорией алгебраических многообразий над полем k и доминантными рациональными отображениями между ними и категорией конечно порожденного расширения поля k . ^[4] ${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

Если X — гладкая полная кривая (например, P ¹ ) и если f — рациональное отображение из X в проективное пространство P ^m , то f — регулярное отображение X → P ^m . ^[5] В частности, когда X — гладкая полная кривая, любую рациональную функцию на X можно рассматривать как морфизм X → P ¹ и, наоборот, такой морфизм — как рациональную функцию на X .

На нормальном многообразии (в частности, гладком многообразии ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда она не имеет полюсов коразмерности один. ^[f] Это алгебраический аналог теоремы Хартогса о расширении . Существует также относительная версия этого факта; см. [2].

Морфизм между алгебраическими многообразиями, являющийся гомеоморфизмом между лежащими в его основе топологическими пространствами, не обязательно является изоморфизмом (контрпримером служит морфизм Фробениуса ). С другой стороны, если f является биективным бирациональным и целевое пространство f является нормальным многообразием , то f является бирегулярным. (ср. основную теорему Зарисского .) ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

Регулярное отображение между комплексными алгебраическими многообразиями является голоморфным отображением . (На самом деле есть небольшое техническое различие: регулярное отображение является мероморфным отображением, особые точки которого устранимы , но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа является просто обычной голоморфной функцией (комплексно-аналитической функцией).

Морфизмы в проективное пространство

Позволять

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

быть морфизмом из проективного многообразия в проективное пространство. Пусть x будет точкой X . Тогда некоторая i -я однородная координата f ( x ) ненулевая; скажем, i = 0 для простоты. Тогда, по непрерывности, существует открытая аффинная окрестность U точки x такая, что

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

является морфизмом, где y _i — однородные координаты. Обратите внимание, что целевое пространство — это аффинное пространство A ^m через идентификацию . Таким образом, по определению, ограничение f | _U задается как ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

где g _i 's являются регулярными функциями на U . Поскольку X проективен, каждый g _i является дробью однородных элементов одинаковой степени в однородном координатном кольце k [ X ] кольца X . Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, скажем, f ₀ . Тогда мы можем записать g _i = f _i / f ₀ для некоторых однородных элементов f _i 's в k [ X ]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

для всех x в U и по непрерывности для всех x в X до тех пор, пока f _i не исчезнут в x одновременно. Если они исчезнут одновременно в точке x из X , то, с помощью вышеописанной процедуры, можно выбрать другой набор f _i , которые не исчезнут в x одновременно (см. Примечание в конце раздела.)

На самом деле, приведенное выше описание справедливо для любого квазипроективного многообразия _X , открытого подмногообразия проективного многообразия ; разница в том, что fi находятся в однородном координатном кольце . ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$

Примечание : Выше не говорится, что морфизм из проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором многочленов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть X — коника в P ² . Тогда два отображения и совпадают на открытом подмножестве X ( поскольку ) и, таким образом, определяют морфизм . ${\displaystyle y^{2}=xz}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$ ${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$ ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Волокна морфизма

Важный факт: ^[6]

Теорема  —  Пусть f : X → Y — доминирующий (т.е. имеющий плотный образ) морфизм алгебраических многообразий, и пусть r = dim X  − dim Y. Тогда

1. Для каждого неприводимого замкнутого подмножества W множества Y и каждого неприводимого компонента Z доминирующего множества W , ${\displaystyle f^{-1}(W)}$

   ${\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r.}$

2. Существует непустое открытое подмножество U в Y такое, что (a) и (b) для каждого неприводимого замкнутого подмножества W из Y, пересекающего U , и каждого неприводимого компонента Z из пересекающего , ${\displaystyle U\subset f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(W)}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

   ${\displaystyle \dim Z=\dim W+r.}$

Следствие  —  Пусть f : X → Y — морфизм алгебраических многообразий. Для каждого x из X определим

${\displaystyle e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.}$

Тогда e является полунепрерывным сверху , т.е. для каждого целого числа n множество

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}}$

закрыто.

В красной книге Мамфорда теорема доказывается с помощью леммы нормализации Нётер . Для алгебраического подхода, где общая свобода играет главную роль, а понятие « универсально цепное кольцо » является ключевым в доказательстве, см. Eisenbud, Ch. 14 из «Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию». Фактически, доказательство там показывает, что если f является плоским , то равенство размерностей в 2. теоремы выполняется в общем случае (не только в общем случае).

Степень конечного морфизма

Пусть f : X → Y — конечный сюръективный морфизм между алгебраическими многообразиями над полем k . Тогда по определению степень f — это степень конечного расширения поля функций k ( X ) над f ^* k ( Y ). По общей свободе существует некоторое непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка O _X на f ⁻¹ ( U ) свободно как O _Y | _U -модуль . Степень f тогда также является рангом этого свободного модуля.

Если f является эталью и если X , Y полны , то для любого когерентного пучка F на Y , записывая χ для эйлеровой характеристики ,

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^[7]

( Формула Римана–Гурвица для разветвленного накрытия показывает, что здесь «эталь» опустить нельзя.)

В общем случае, если f — конечный сюръективный морфизм, если X , Y полны и F — когерентный пучок на Y , то из спектральной последовательности Лере получаем: ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

В частности, если F — тензорная степень линейного расслоения, то и поскольку носитель имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая главные члены, имеем: ${\displaystyle L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(поскольку общий ранг — это степень f .) ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

Если f является этальна, а k алгебраически замкнута, то каждое геометрическое волокно f ⁻¹ ( y ) состоит ровно из deg( f ) точек.

Смотрите также

• Алгебраическая функция
• Гладкий морфизм
• Этальные морфизмы – алгебраический аналог локальных диффеоморфизмов .
• Разрешение сингулярностей
• морфизм сокращения

Примечания

1. Вот аргумент, показывающий, что определения совпадают. Очевидно, мы можем предположить Y = A ¹ . Тогда вопрос здесь в том, можно ли склеить "регулярность"; этот ответ - да, и это можно увидеть из построения структурного пучка аффинного многообразия, как описано в affine variation#Structure sheaf .
2. Неясно, как это доказать. Если X , Y квазипроективны, то доказательство может быть дано. Неквазипроективный случай сильно зависит от определения абстрактного многообразия
3. Образ лежит в Y , поскольку если g является многочленом от J , то, априори думая, это отображение в аффинное пространство, поскольку g находится в J . ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle g\circ \phi ^{a}=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi ({\overline {g}})=0}$
4. Доказательство: поскольку φ — гомоморфизм алгебры. Также, ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}(g)=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi (g)}$ ${\displaystyle f^{\#a}=({\overline {y_{1}}}\circ f,\dots ,{\overline {y_{m}}}\circ f)=f.}$
5. Доказательство: Пусть A — координатное кольцо такой аффинной окрестности x . Если f = g / h с некоторым g из A и некоторым ненулевым h из A , то f принадлежит A [ h ⁻¹ ] = k [ D ( h )]; то есть f — регулярная функция на D ( h ).
6. Доказательство: достаточно рассмотреть случай, когда многообразие аффинно, а затем воспользоваться тем фактом, что нётерова целозамкнутая область является пересечением всех локализаций в простых идеалах высоты один.

Цитаты

1. Шафаревич 2013, стр. 25, Определ..
2. Хартсхорн 1997, Гл. I, § 3..
3. Вакил, Основы алгебраической геометрии, Предложение 6.5.7.
4. Хартсхорн 1997, Гл. I, Теорема 4.4.
5. Хартсхорн 1997, Гл. I, Предложение 6.8.
6. Мамфорд 1999, Гл. I, § 8. Теоремы 2, 3.
7. Фултон 1998, Пример 18.3.9..

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений. Springer Science . ISBN 978-0-387-98549-7.
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия, первый курс. Springer Verlag . ISBN 978-1-4757-2189-8.
• Хартшорн, Робин (1997). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
• Джеймс Милн , Алгебраическая геометрия, старая версия v. 5.xx.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) по кривым и их якобианам . Заметки лекций по математике. Том 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Шафаревич, Игорь Р. (2013). Основы алгебраической геометрии 1. Springer Science . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.
• Сильверман, Джозеф Х. (2009). Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.). Springer Verlag . ISBN 978-0-387-09494-6.