Стохастическое дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения, включающие случайные процессы

Стохастическое дифференциальное уравнение ( СДУ ) — это дифференциальное уравнение , в котором один или несколько членов являются стохастическим процессом , ^[1] что приводит к решению, которое также является стохастическим процессом. СДУ имеют множество приложений в чистой математике и используются для моделирования различных поведений стохастических моделей, таких как цены акций , ^[2] модели случайного роста ^[3] или физические системы, которые подвержены тепловым колебаниям .

SDE имеют случайный дифференциал, который в самом простом случае является случайным белым шумом, вычисляемым как производная броуновского движения или, в более общем смысле, семимартингалом . Однако возможны и другие типы случайного поведения, такие как скачкообразные процессы , такие как процессы Леви ^[4] или семимартингалы со скачками. Случайные дифференциальные уравнения сопряжены со стохастическими дифференциальными уравнениями. Стохастические дифференциальные уравнения также могут быть расширены до дифференциальных многообразий . ^{[5] [6] [7] [8]}

Фон

Стохастические дифференциальные уравнения возникли в теории броуновского движения , в работе Альберта Эйнштейна и Мариана Смолуховского в 1905 году, хотя Луи Башелье был первым человеком, которому приписывают моделирование броуновского движения в 1900 году, дав очень ранний пример стохастического дифференциального уравнения, теперь известного как модель Башелье . Некоторые из этих ранних примеров были линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, также называемыми уравнениями Ланжевена в честь французского физика Ланжевена , описывающими движение гармонического осциллятора, подверженного воздействию случайной силы. Математическая теория стохастических дифференциальных уравнений была разработана в 1940-х годах благодаря новаторской работе японского математика Киёси Ито , который ввел понятие стохастического интеграла и инициировал изучение нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Другой подход был позже предложен русским физиком Стратоновичем , что привело к исчислению, аналогичному обычному исчислению.

Терминология

Наиболее распространенной формой СДУ в литературе является обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, возмущенной членом, зависящим от переменной белого шума . В большинстве случаев СДУ понимаются как непрерывный временной предел соответствующих стохастических разностных уравнений . Такое понимание СДУ неоднозначно и должно быть дополнено надлежащим математическим определением соответствующего интеграла. ^{[1] [3]} Такое математическое определение было впервые предложено Кийоси Ито в 1940-х годах, что привело к тому, что сегодня известно как исчисление Ито . Другая конструкция была позже предложена русским физиком Стратоновичем , что привело к тому, что известно как интеграл Стратоновича . Интеграл Ито и интеграл Стратоновича являются связанными, но разными объектами, и выбор между ними зависит от рассматриваемого приложения. Исчисление Ито основано на концепции непредвосхищения или причинности, что естественно в приложениях, где переменной является время. С другой стороны, исчисление Стратоновича имеет правила, которые напоминают обычное исчисление, и имеет внутренние геометрические свойства, которые делают его более естественным при решении геометрических задач, таких как случайное движение на многообразиях , хотя возможно и в некоторых случаях предпочтительно моделировать случайное движение на многообразиях с помощью СДУ Ито ^[6] , например, при попытке оптимально аппроксимировать СДУ на подмногообразиях. ^[9]

Альтернативный взгляд на СДУ — стохастический поток диффеоморфизмов. Это понимание однозначно и соответствует версии Стратоновича непрерывного временного предела стохастических разностных уравнений. С СДУ связано уравнение Смолуховского или уравнение Фоккера–Планка , уравнение, описывающее временную эволюцию функций распределения вероятностей . Обобщение эволюции Фоккера–Планка на временную эволюцию дифференциальных форм обеспечивается концепцией оператора стохастической эволюции .

В физической науке существует неоднозначность в использовании термина «СДУ Ланжевена» . Хотя СДУ Ланжевена могут иметь более общую форму , этот термин обычно относится к узкому классу СДУ с векторными полями градиентного потока. Этот класс СДУ особенно популярен, поскольку он является отправной точкой процедуры стохастического квантования Паризи–Сурласа ^[10] , приводящей к суперсимметричной модели N=2, тесно связанной с суперсимметричной квантовой механикой . Однако с физической точки зрения этот класс СДУ не очень интересен, поскольку он никогда не демонстрирует спонтанного нарушения топологической суперсимметрии, т. е. (сверхзатухающие) СДУ Ланжевена никогда не являются хаотическими .

Стохастическое исчисление

Было обнаружено, что броуновское движение или процесс Винера исключительно сложны математически. Процесс Винера почти наверняка нигде не дифференцируем; ^{[1] [3]} таким образом, он требует своих собственных правил исчисления. Существуют две доминирующие версии стохастического исчисления, стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича . У каждого из них есть свои преимущества и недостатки, и новички часто путаются, какой из них более подходит в данной ситуации, чем другой. Существуют руководящие принципы (например, Øksendal, 2003) ^[3] и удобно, что можно легко преобразовать СДУ Ито в эквивалентное СДУ Стратоновича и обратно. ^{[1] [3]} Тем не менее, нужно быть осторожным, какое исчисление использовать, когда СДУ изначально записано.

Численные решения

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений ^[11] включают метод Эйлера–Маруямы , метод Мильштейна , метод Рунге–Кутты (SDE) , метод Розенброка ^[12] и методы, основанные на различных представлениях повторных стохастических интегралов. ^{[13] [14]}

Использование в физике

В физике SDE имеют широкую область применения: от молекулярной динамики до нейродинамики и динамики астрофизических объектов. Более конкретно, SDE описывают все динамические системы, в которых квантовые эффекты либо несущественны, либо могут быть учтены как возмущения. SDE можно рассматривать как обобщение теории динамических систем на модели с шумом. Это важное обобщение, поскольку реальные системы не могут быть полностью изолированы от своего окружения и по этой причине всегда испытывают внешнее стохастическое воздействие.

Существуют стандартные методы преобразования уравнений высшего порядка в несколько связанных уравнений первого порядка путем введения новых неизвестных. Поэтому ниже приведен наиболее общий класс SDE:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

где — положение в системе в ее фазовом (или состоянии) пространстве , , предполагаемом дифференцируемым многообразием, — векторное поле потока, представляющее детерминированный закон эволюции, и — набор векторных полей, определяющих связь системы с гауссовым белым шумом, . Если — линейное пространство и — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму, в противном случае говорят, что она подвержена мультипликативному шуму. Этот термин несколько вводит в заблуждение, поскольку он стал означать общий случай, хотя, по-видимому, подразумевает ограниченный случай, в котором . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\in TX}$ ${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)\propto x}$

Для фиксированной конфигурации шума SDE имеет единственное решение, дифференцируемое относительно начального условия. ^[15] Нетривиальность стохастического случая проявляется, когда кто-то пытается усреднить различные интересующие объекты по конфигурациям шума. В этом смысле SDE не является однозначно определенной сущностью, когда шум является мультипликативным и когда SDE понимается как непрерывный временной предел стохастического разностного уравнения . В этом случае SDE должно быть дополнено тем, что известно как «интерпретации SDE», такие как интерпретации Ито или Стратоновича SDE. Тем не менее, когда SDE рассматривается как непрерывный во времени стохастический поток диффеоморфизмов, это уникально определенный математический объект , который соответствует подходу Стратоновича к непрерывному временному пределу стохастического разностного уравнения.

В физике основным методом решения является нахождение функции распределения вероятностей как функции времени с использованием эквивалентного уравнения Фоккера-Планка (FPE). Уравнение Фоккера-Планка является детерминированным частным дифференциальным уравнением . Оно описывает, как функция распределения вероятностей эволюционирует во времени, аналогично тому, как уравнение Шредингера дает временную эволюцию квантовой волновой функции или уравнение диффузии дает временную эволюцию химической концентрации. В качестве альтернативы численные решения могут быть получены с помощью моделирования Монте-Карло . Другие методы включают интегрирование по траектории , которое опирается на аналогию между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шредингера путем изменения масштаба нескольких переменных) или путем записи обыкновенных дифференциальных уравнений для статистических моментов функции распределения вероятностей. ^{[ необходима цитата ]}

Использование в теории вероятностей и финансовой математике

Обозначение, используемое в теории вероятностей (и во многих приложениях теории вероятностей, например, в обработке сигналов с проблемой фильтрации и в математических финансах ), немного отличается. Это также обозначение, используемое в публикациях по численным методам решения стохастических дифференциальных уравнений. Это обозначение делает экзотическую природу случайной функции времени в физической формулировке более явной. В строгих математических терминах не может быть выбрана как обычная функция, а только как обобщенная функция . Математическая формулировка рассматривает это усложнение с меньшей неоднозначностью, чем физическая формулировка. ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$

Типичное уравнение имеет вид

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

где обозначает винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Это уравнение следует интерпретировать как неформальный способ выражения соответствующего интегрального уравнения ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

Уравнение выше характеризует поведение непрерывного во времени стохастического процесса X _t как сумму обычного интеграла Лебега и интеграла Ито . Эвристическая (но очень полезная) интерпретация стохастического дифференциального уравнения заключается в том, что на небольшом временном интервале длиной δ стохастический процесс X _t изменяет свое значение на величину, которая нормально распределена с математическим ожиданием μ ( X _t ,  t )  δ и дисперсией σ ( X _t ,  t ) ²  δ и не зависит от прошлого поведения процесса. Это так, потому что приращения винеровского процесса независимы и распределены нормально. Функция μ называется коэффициентом дрейфа, в то время как σ называется коэффициентом диффузии. Стохастический процесс X _t называется диффузионным процессом и удовлетворяет марковскому свойству . ^[1]

Формальная интерпретация SDE дается в терминах того, что составляет решение SDE. Существует два основных определения решения SDE, сильное решение и слабое решение ^[1]. Оба требуют существования процесса X _t , который решает версию интегрального уравнения SDE. Разница между ними заключается в базовом вероятностном пространстве ( ). Слабое решение состоит из вероятностного пространства и процесса, который удовлетворяет интегральному уравнению, в то время как сильное решение — это процесс, который удовлетворяет уравнению и определен на заданном вероятностном пространстве. Теорема Ямады–Ватанабе устанавливает связь между ними. ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$

Важным примером является уравнение геометрического броуновского движения

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

что является уравнением динамики цены акции в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза ^[2] финансовой математики.

Обобщая геометрическое броуновское движение, можно также определить СДУ, допускающие сильные решения и распределение которых представляет собой выпуклую комбинацию плотностей, получаемых из различных геометрических броуновских движений или моделей Блэка-Шоулза, получая единое СДУ, решения которого распределены как динамика смеси логнормальных распределений различных моделей Блэка-Шоулза. ^{[2] [16] [17] [18]} Это приводит к моделям, которые могут иметь дело с улыбкой волатильности в финансовой математике.

Более простое уравнение СДУ, называемое арифметическим броуновским движением ^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

была использована Луи Башелье в качестве первой модели для определения цен акций в 1900 году и известна сегодня как модель Башелье .

Существуют также более общие стохастические дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты μ и σ зависят не только от текущего значения процесса X _t , но и от предыдущих значений процесса и, возможно, от текущих или предыдущих значений других процессов. В этом случае процесс решения X , не является марковским процессом, и он называется процессом Ито, а не диффузионным процессом. Когда коэффициенты зависят только от текущих и прошлых значений X , определяющее уравнение называется стохастическим дифференциальным уравнением с задержкой.

Обобщением стохастических дифференциальных уравнений с интегралом Фиска-Стратоновича на семимартингалы со скачками являются СДУ типа Маркуса . Интеграл Маркуса является расширением стохастического исчисления МакШейна. ^[19]

Инновационное применение в стохастических финансах вытекает из использования уравнения для процесса Орнштейна-Уленбека.

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

что является уравнением для динамики доходности цены акции при гипотезе, что доходность отображает логарифмически нормальное распределение . Согласно этой гипотезе, методологии, разработанные Марчелло Миненна, определяют интервал прогнозирования, способный идентифицировать аномальную доходность, которая может скрывать явления рыночных злоупотреблений . ^{[20] [21]}

SDE на коллекторах

В более общем случае можно расширить теорию стохастического исчисления на дифференциальные многообразия и для этой цели использовать интеграл Фиска-Стратоновича. Рассмотрим многообразие , некоторое конечномерное векторное пространство , отфильтрованное вероятностное пространство с удовлетворяющим обычным условиям и пусть будет одноточечной компактификацией и будет -измеримым. Стохастическое дифференциальное уравнение на записанном ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}$

это пара , такая что ${\displaystyle (A,Z)}$

• ${\displaystyle Z}$является непрерывным -значным семимартингалом, ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}$является гомоморфизмом векторных расслоений над . ${\displaystyle M}$

Для каждого отображение линейно и для каждого . ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}$ ${\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle e\in E}$

Решение СДУ на с начальным условием представляет собой непрерывный -адаптированный -значный процесс вплоть до времени жизни , для каждой тестовой функции процесс является вещественнозначным семимартингалом и для каждого времени остановки с уравнением ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }$

${\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}$

выполняется - почти наверняка, где дифференциал при . Это максимальное решение, если время жизни максимально, т.е. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}$

${\displaystyle P}$-почти наверняка. Это следует из того, что для каждого теста функция является семимартингалом, то есть семимартингалом на . При наличии максимального решения мы можем расширить время на полное и после продолжения на получим ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}$

с точностью до неразличимых процессов. ^[22] Хотя СДУ Стратоновича являются естественным выбором для СДУ на многообразиях, учитывая, что они удовлетворяют правилу цепочки и что их коэффициенты дрейфа и диффузии ведут себя как векторные поля при изменении координат, существуют случаи, когда исчисление Ито на многообразиях предпочтительнее. Теория исчисления Ито на многообразиях была впервые разработана Лораном Шварцем с помощью концепции морфизма Шварца, ^[6] см. также связанную интерпретацию 2-струй СДУ Ито на многообразиях, основанную на расслоении струй. ^[8] Эта интерпретация полезна при попытке оптимально приблизить решение СДУ, заданного на большом пространстве, с помощью решений СДУ, заданного на подмногообразии этого пространства, ^[9] в том, что проекция, основанная на Стратоновиче, не является оптимальной. Это было применено к проблеме фильтрации , что привело к оптимальным фильтрам проекции. ^[9]

Как неровные пути

Обычно решение SDE требует вероятностной настройки, поскольку интеграл, подразумеваемый в решении, является стохастическим интегралом. Если бы можно было иметь дело с дифференциальным уравнением путь за путем, не нужно было бы определять стохастический интеграл, и можно было бы разработать теорию независимо от теории вероятностей. Это указывает на рассмотрение SDE

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

как единое детерминированное дифференциальное уравнение для каждого , где — пространство выборок в заданном вероятностном пространстве ( ). Однако прямая интерпретация SDE по путям невозможна, поскольку траектории броуновского движения имеют неограниченную вариацию и нигде не дифференцируемы с вероятностью единица, так что нет наивного способа придать смысл терминам вроде , что также исключает наивное определение стохастического интеграла по путям как интеграла против каждого отдельного . Однако, мотивированное результатом Вонга-Закая ^[23] для пределов решений SDE с регулярным шумом и использующее теорию грубых путей , при добавлении выбранного определения повторных интегралов броуновского движения, можно определить детерминированный грубый интеграл для каждого отдельного , который совпадает, например, с интегралом Ито с вероятностью единица для конкретного выбора повторного броуновского интеграла. ^[23] Другие определения повторного интеграла приводят к детерминированным эквивалентам по путям различных стохастических интегралов, таких как интеграл Стратоновича. Это использовалось, например, в финансовой математике для оценки опционов без вероятности. ^[24] ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Существование и единственность решений

Как и в случае с детерминированными обыкновенными и частными дифференциальными уравнениями, важно знать, имеет ли данное СДУ решение и является ли оно единственным. Ниже приведена типичная теорема существования и единственности для СДУ Ито, принимающих значения в n - мерном евклидовом пространстве R ⁿ и управляемых m -мерным броуновским движением B ; доказательство можно найти в Øksendal (2003, §5.2). ^[3]

Пусть T  > 0, и пусть

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

быть измеримыми функциями, для которых существуют константы C и D такие, что

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

для всех t  ∈ [0,  T ] и всех x и y  ∈  R ⁿ , где

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Пусть Z — случайная величина, независимая от σ -алгебры, порожденной B _s , s  ≥ 0, и имеющая конечный второй момент :

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение/задача начального значения

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

имеет P- почти наверняка единственное t - непрерывное решение ( t ,  ω ) ↦  X _t ( ω ) такое, что X адаптировано к фильтрации F _t ^Z, порожденной Z и B _s , s  ≤  t , и

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

Общий случай: локальное условие Липшица и максимальные решения

Стохастическое дифференциальное уравнение, приведенное выше, является лишь частным случаем более общей формы.

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}$

где

• ${\displaystyle X}$является непрерывным семимартингалом в и является непрерывным семимартингалом в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$— отображение из некоторого открытого непустого множества , где — пространство всех линейных отображений из в . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

В более общем плане можно также рассмотреть стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях .

Взрывается ли решение этого уравнения, зависит от выбора . Предположим, что удовлетворяет некоторому локальному условию Липшица, т.е. для и некоторого компактного множества и некоторой константы условие ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle L(t,K)}$

${\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}$

где - евклидова норма. Это условие гарантирует существование и единственность так называемого максимального решения . ${\displaystyle |\cdot |}$

Предположим, что является непрерывным и удовлетворяет указанному выше локальному условию Липшица, и пусть будет некоторым начальным условием, то есть это измеримая функция относительно исходной σ-алгебры. Пусть будет предсказуемым временем остановки с почти наверняка. -значный семимартингал называется максимальным решением ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F:\Omega \to U}$ ${\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$ ${\displaystyle \zeta >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}$

${\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}$

со временем жизни, если ${\displaystyle \zeta }$

• для одного (а значит и для всех) объявление остановленного процесса является решением остановленного стохастического дифференциального уравнения ${\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }$ ${\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}$

• на съемочной площадке мы почти наверняка имеем это с . ^[25] ${\displaystyle \{\zeta <\infty \}}$ ${\displaystyle Y_{t}\to \partial U}$ ${\displaystyle t\to \zeta }$

${\displaystyle \zeta }$также есть так называемое время взрыва .

Некоторые явно решаемые примеры

Явно решаемые СДУ включают: ^[11]

Линейное СДУ: общий случай

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)\mathrm {d} (s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}\mathrm {d} (s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

где

${\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

Сокращаемые SDE: Случай 1

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

для заданной дифференцируемой функции эквивалентно СДУ Стратоновича ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}$

которая имеет общее решение

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}$

где

${\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}$

Приводимые SDE: Случай 2

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

для заданной дифференцируемой функции эквивалентно СДУ Стратоновича ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}$

который сводится к

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}$

где где определяется как и прежде. Его общее решение ${\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}$

SDE и суперсимметрия

В суперсимметричной теории SDE стохастическая динамика определяется через стохастический эволюционный оператор, действующий на дифференциальные формы в фазовом пространстве модели. В этой точной формулировке стохастической динамики все SDE обладают топологической суперсимметрией , которая представляет собой сохранение непрерывности фазового пространства непрерывным потоком времени. Спонтанное нарушение этой суперсимметрии является математической сущностью повсеместного динамического явления, известного в различных дисциплинах как хаос , турбулентность , самоорганизованная критичность и т. д., а теорема Голдстоуна объясняет связанное с этим динамическое поведение на больших расстояниях, т. е. эффект бабочки , 1/f и трескучие шумы, а также безмасштабную статистику землетрясений, нейролавин, солнечных вспышек и т. д.

Смотрите также

• Обратное стохастическое дифференциальное уравнение
• Динамика Ланжевена
• Локальная волатильность
• Случайный процесс
• Стохастическая волатильность
• Стохастические уравнения в частных производных
• Процесс диффузии
• Стохастическое разностное уравнение

Ссылки

1. Роджерс, LCG ; Уильямс, Дэвид (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы, том 2: исчисление Ито (2-е изд., Кембриджская математическая библиотека, ред.). Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511805141. ISBN 0-521-77594-9. OCLC  42874839.
2. Мусиела, М., и Рутковски, М. (2004), Методы Мартингейла в финансовом моделировании, 2-е издание, Springer Verlag, Берлин.
3. Оксендаль, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями . Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
4. Кунита, Х. (2004). Стохастические дифференциальные уравнения на основе процессов Леви и стохастических потоков диффеоморфизмов. В: Рао, М.М. (ред.) Реальный и стохастический анализ. Тенденции в математике. Birkhäuser Boston. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2054-1_6
5. Имкеллер, Питер; Шмальфус, Бьёрн (2001). «Сопряженность стохастических и случайных дифференциальных уравнений и существование глобальных аттракторов». Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 13 (2): 215–249. doi :10.1023/a:1016673307045. ISSN  1040-7294. S2CID  3120200.
6. Мишель Эмери (1989). Стохастическое исчисление в многообразиях. Springer Berlin, Гейдельберг. Doi https://doi.org/10.1007/978-3-642-75051-9
7. Здзислав Бжезняк и К. Д. Элворти , Стохастические дифференциальные уравнения на банаховых многообразиях, Методы функционального анализа и топологии 6 (2000), № 1, 43-84.
8. Armstrong J. и Brigo D. (2018). Внутренние стохастические дифференциальные уравнения как струи. Proc. R. Soc. A., 474: 20170559, http://doi.org/10.1098/rspa.2017.0559
9. Armstrong, J., Brigo, D. и Rossi Ferrucci, E. (2019), Оптимальная аппроксимация стохастических дифференциальных уравнений на подмногообразиях: проекции вектора Ито и струи Ито. Proc. London Math. Soc., 119: 176-213. https://doi.org/10.1112/plms.12226.
10. Паризи, Г.; Сурлас, Н. (1979). «Случайные магнитные поля, суперсимметрия и отрицательные размерности». Physical Review Letters . 43 (11): 744–745. Bibcode : 1979PhRvL..43..744P. doi : 10.1103/PhysRevLett.43.744.
11. Kloeden, PE, Platen E. (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Springer, Berlin, Heidelberg. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5
12. Артемьев, СС, Аверина, ТА (1997). Численный анализ систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. VSP, Утрехт, Нидерланды. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110944662
13. Кузнецов, ДФ (2023). Сильная аппроксимация повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича: Метод обобщенных кратных рядов Фурье. Применение к численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений Ито и полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференц. уравнения. Процессы упр., № 1. DOI: https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2023.110
14. Рыбаков, КА (2023). Спектральные представления повторных стохастических интегралов и их применение для моделирования нелинейной стохастической динамики. Математика, т. 11, 4047. DOI: https://doi.org/10.3390/math11194047
15. Славик, А. (2013). «Обобщенные дифференциальные уравнения: Дифференцируемость решений относительно начальных условий и параметров». Журнал математического анализа и приложений . 402 (1): 261–274. doi : 10.1016/j.jmaa.2013.01.027 .
16. Фенглер, MR (2005), Полупараметрическое моделирование подразумеваемой волатильности, Springer Verlag, Берлин. DOI https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2
17. Бриго, Дамиано ; Меркурио, Фабио (2002). «Динамика логнормальной смеси и калибровка улыбок волатильности рынка». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 5 (4): 427–446. doi :10.1142/S0219024902001511.
18. Бриго, Д., Меркурио, Ф., Сарторелли, Г. (2003). Альтернативная динамика цен активов и улыбка волатильности, QUANT FINANC, 2003, том: 3, страницы: 173 - 183, ISSN  1469-7688
19. Стивен Маркус (1981), «Моделирование и аппроксимация стохастического дифференциального уравнения, управляемого полумартигалами», Стохастика , т. 4, стр. 223–245
20. «Обнаружение злоупотреблений на рынке». Журнал Risk. 2 ноября 2004 г.
21. «Выявление рыночных злоупотреблений на финансовых рынках: количественный подход». Consob – Итальянская комиссия по ценным бумагам и биржам.
22. Хакенброх, Вольфганг; Тальмайер, Антон (1994). Стохастический анализ: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (на немецком языке). Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. п. 364-365. ISBN 978-3-519-02229-9.
23. Friz, P. и Hairer, M. (2020). Курс по грубым путям с введением в структуры регулярности, 2-е изд., Springer-Verlag, Гейдельберг, DOI https://doi.org/10.1007/978-3-030-41556-3
24. Армстронг, Дж., Беллани, К., Бриго, Д. и Касс, Т. (2021). Модели ценообразования опционов без вероятности: подход с грубыми путями. Математические финансы, т. 31, страницы 1494–1521.
25. Хакенброх, Вольфганг; Тальмайер, Антон (1994). Стохастический анализ: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (на немецком языке). Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. стр. 297–299. ISBN 978-3-519-02229-9.

Дальнейшее чтение

• Эванс, Лоуренс С. (2013). Введение в стохастические дифференциальные уравнения Американское математическое общество.
• Адомиан, Джордж (1983). Стохастические системы . Математика в науке и технике (169). Орландо, Флорида: Academic Press Inc.
• Адомиан, Джордж (1986). Нелинейные стохастические операторные уравнения . Орландо, Флорида: Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-044375-8.
• Адомиан, Джордж (1989). Теория нелинейных стохастических систем и ее приложения к физике . Математика и ее приложения (46). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group.
• Кэлин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями . Сингапур: World Scientific Publishing. стр. 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
• Teugels, J.; Sund, B., ред. (2004). Энциклопедия актуарной науки . Чичестер: Wiley. стр. 523–527.
• CW Gardiner (2004). Справочник по стохастическим методам: для физики, химии и естественных наук . Springer. стр. 415.
• Томас Микош (1998). Элементарное стохастическое исчисление: с финансами в поле зрения . Сингапур: World Scientific Publishing. стр. 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Сейфедин Кадри (2007). «Решение линейного стохастического дифференциального уравнения». WSEAS Transactions on MATHEMATICS . США: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, апрель 2007 г.: 618. ISSN  1109-2769.
• Higham., Desmond J. (январь 2001 г.). «Алгоритмическое введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений». SIAM Review . 43 (3): 525–546. Bibcode : 2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375 . doi : 10.1137/S0036144500378302.
• Десмонд Хайэм и Питер Клоден: «Введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений», SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).