Суперсимметричная квантовая механика

Квантовая механика с суперсимметрией

В теоретической физике суперсимметричная квантовая механика является областью исследований, в которой суперсимметрия применяется к более простой установке простой квантовой механики , а не к квантовой теории поля . Суперсимметричная квантовая механика нашла применение за пределами физики высоких энергий , например, предоставляя новые методы решения квантово-механических задач, обеспечивая полезные расширения приближения ВКБ и статистической механики .

Введение

Понимание последствий суперсимметрии (SUSY) оказалось математически сложным, и также было трудно разработать теории, которые могли бы объяснить нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых частиц-партнеров равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику — приложение супералгебры суперсимметрии к квантовой механике в отличие от квантовой теории поля. Была надежда, что изучение последствий SUSY в этой более простой обстановке приведет к новому пониманию; Примечательно, что эти усилия создали новые области исследований в самой квантовой механике.

Например, студентов обычно учат «решать» атом водорода с помощью трудоемкого процесса, который начинается с подстановки кулоновского потенциала в уравнение Шредингера . После значительного объема работы с использованием множества дифференциальных уравнений анализ дает рекурсивное соотношение для полиномов Лагерра . Результатом является спектр энергетических состояний атома водорода (обозначенный квантовыми числами n и l ). Используя идеи, почерпнутые из SUSY, конечный результат можно получить значительно проще, почти так же, как операторные методы используются для решения гармонического осциллятора . ^[1] Подобный суперсимметричный подход также можно использовать для более точного нахождения спектра водорода с помощью уравнения Дирака. ^[2] Как ни странно, этот подход аналогичен тому, как Эрвин Шредингер впервые решил проблему атома водорода. ^{[3] [4]} Конечно, он не назвал свое решение суперсимметричным, поскольку SUSY находился в тридцатилетнем будущем.

Решение SUSY атома водорода является лишь одним примером очень общего класса решений, которые SUSY предоставляет для потенциалов, инвариантных по форме , категории, которая включает большинство потенциалов, изучаемых на вводных курсах квантовой механики.

Квантовая механика SUSY включает в себя пары гамильтонианов , которые имеют определенные математические отношения, которые называются гамильтонианами-партнерами . ( Члены потенциальной энергии , которые встречаются в гамильтонианах, тогда называются партнерскими потенциалами .) Вводная теорема показывает, что для каждого собственного состояния одного гамильтониана его партнерский гамильтониан имеет соответствующее собственное состояние с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний с нулевой энергией). Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналогично первоначальному описанию SUSY, в котором речь шла о бозонах и фермионах. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», собственными состояниями которого являются различные бозоны нашей теории. SUSY-партнер этого гамильтониана будет «фермионом», а его собственными состояниями будут фермионы теории. У каждого бозона был бы фермионный партнер равной энергии, но в релятивистском мире энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем с такой же легкостью сказать, что частицы-партнеры имеют одинаковую массу.

Концепции SUSY предоставили полезные расширения приближения ВКБ в форме модифицированной версии условия квантования Бора-Зоммерфельда . Кроме того, SUSY был применен к неквантовой статистической механике с помощью уравнения Фоккера-Планка , показав, что даже если первоначальное вдохновение в физике частиц высоких энергий оказалось тупиком, его исследование принесло много полезных преимуществ.

Пример: гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид

${\displaystyle H^{\rm {HO}}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{\rm {HO}}\psi _{n}(x),}$

где – это собственное состояние энергии с энергией . Мы хотим найти выражение для . Определим операторы ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{\text{HO}}}$ ${\displaystyle E_{n}^{\text{HO}}}$ ${\displaystyle E_{n}^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)}$

и

${\displaystyle A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x),}$

где , который нам нужно выбрать, называется суперпотенциалом . Мы также определяем вышеупомянутые гамильтонианы-партнеры и как ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle H^{(1)}}$ ${\displaystyle H^{(2)}}$

${\displaystyle H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)}$

${\displaystyle H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).}$

Основное состояние с нулевой энергией будет удовлетворять уравнению ${\displaystyle \psi _{0}^{(1)}(x)}$ ${\displaystyle H^{(1)}}$

${\displaystyle H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x){\bigg )}\psi _{0}^{(1)}(x)=0.}$

Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора , мы можем решить как ${\displaystyle \psi _{0}(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m}}}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}}$

Затем мы находим это

${\displaystyle H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}}$

${\displaystyle H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

Теперь мы можем это увидеть

${\displaystyle H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{\rm {HO}}-{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

Это частный случай инвариантности формы, обсуждаемый ниже. Принимая без доказательства упомянутую выше вводную теорему, становится очевидным, что спектр будет начинаться с и продолжаться вверх по ступенькам. Спектры и будут иметь такие же четные интервалы, но будут сдвинуты вверх на величины и соответственно. Отсюда следует, что спектр является знакомым . ${\displaystyle H^{(1)}}$ ${\displaystyle E_{0}=0}$ ${\displaystyle \hbar \omega .}$ ${\displaystyle H^{(2)}}$ ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \hbar \omega /2}$ ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle E_{n}^{\rm {HO}}=\hbar \omega (n+1/2)}$

Супералгебра SUSY QM

Из фундаментальной квантовой механики мы узнаем, что алгебра операторов определяется коммутационными соотношениями между этими операторами. Например, канонические операторы положения и импульса имеют коммутатор . (Здесь мы используем « натуральные единицы », где постоянная Планка принимается равной 1.) Более сложный случай — это алгебра операторов углового момента ; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией трехмерного пространства. Чтобы обобщить это понятие, определим антикоммутатор , который связывает операторы так же, как обычный коммутатор , но с противоположным знаком: ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA.}$

Если операторы связаны как антикоммутаторами, так и коммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли . Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом и набором операторов . Эту систему будем называть суперсимметричной , если для всех справедливо следующее антикоммутационное соотношение : ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$

${\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}^{\dagger }\}={\mathcal {H}}\delta _{ij}.}$

Если это так, то мы называем суперзаряды системы . ${\displaystyle Q_{i}}$

Пример

Давайте посмотрим на пример одномерной нерелятивистской частицы с двумерной ( т.е. двумя состояниями) внутренней степенью свободы, называемой «спин» (на самом деле это не спин, поскольку «настоящий» спин является свойством трехмерных частиц). Пусть – оператор, который преобразует частицу со спином вверх в частицу со спином вниз. Его сопряженный затем преобразует частицу со спином вниз в частицу со спином вверх; операторы нормированы так, что антикоммутатор . И конечно, . Пусть – импульс частицы, а – ее положение с . Пусть (« суперпотенциал ») — произвольная комплексная аналитическая функция и определим суперсимметричные операторы ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle \{b,b^{\dagger }\}=1}$ ${\displaystyle b^{2}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

Заметим, что и самосопряжены. Пусть гамильтониан ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2}}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

где W ′ — производная от W . Также обратите внимание, что { Q ₁ , Q ₂ } = 0. Это не что иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, что это действует как электромагнитный векторный потенциал . ${\displaystyle \Im \{W\}}$

Давайте также будем называть состояние со спином вниз «бозонным», а состояние со спином вверх — «фермионным». Это лишь аналогия с квантовой теорией поля, и ее не следует понимать буквально. Затем Q ₁ и Q ₂ отображают «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот.

Немного переформулировав это:

Определять

${\displaystyle Q=(p-iW)b}$

и конечно,

${\displaystyle Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }}$

${\displaystyle \{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0}$

и

${\displaystyle \{Q^{\dagger },Q\}=2H}$

Оператор является «бозонным», если он отображает «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионные» состояния в «фермионные» состояния. Оператор является «фермионным», если он переводит «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор можно однозначно выразить как сумму бозонного и фермионного операторов. Определите суперкоммутатор [,} следующим образом: между двумя бозонными операторами или между бозонным и фермионным операторами он является не чем иным, как коммутатором, а между двумя фермионными операторами он является антикоммутатором .

Тогда x и p — бозонные операторы, а b , , Q и — фермионные операторы. ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle Q^{\dagger }}$

Давайте поработаем с картиной Гейзенберга, где x , b и являются функциями времени. ${\displaystyle b^{\dagger }}$

Затем,

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

В общем, это нелинейно: т. е . x(t), b(t) и не образуют линейное представление SUSY, поскольку не обязательно линейно по x . Чтобы избежать этой проблемы, определите самосопряженный оператор . Затем, ${\displaystyle b^{\dagger }(t)}$ ${\displaystyle \Re \{W\}}$ ${\displaystyle F=\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF}$

${\displaystyle [Q,F\}=-{\frac {db}{dt}}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}}$

и мы видим, что у нас есть линейное представление SUSY.

Теперь введем две «формальные» величины: ; причем последнее является сопряженным к первому, так что ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

${\displaystyle \{\theta ,\theta \}=\{{\bar {\theta }},{\bar {\theta }}\}=\{{\bar {\theta }},\theta \}=0}$

и оба они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.

Далее мы определяем конструкцию, называемую суперполем :

${\displaystyle f(t,{\bar {\theta }},\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t)+{\bar {\theta }}\theta F(t)}$

f , конечно, самосопряжена. Затем,

${\displaystyle [Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}f-i{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}f-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}f.}$

Между прочим, существует также U(1) _R- симметрия, где p , x и W имеют нулевой R-заряд и R-заряд равен 1, а b имеет R-заряд -1. ${\displaystyle b^{\dagger }}$

Инвариантность формы

Предположим, что это реально для всего реального . Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана до ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

Существуют определенные классы суперпотенциалов, у которых бозонный и фермионный гамильтонианы имеют схожие формы. Конкретно

${\displaystyle V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})}$

где 's - параметры. Например, так можно записать потенциал атома водорода с угловым моментом. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle {\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+1)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}}$

Это соответствует для суперпотенциала ${\displaystyle V_{-}}$

${\displaystyle W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)}}-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}}$

${\displaystyle V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2}h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}}$

Это потенциал для углового момента, сдвинутого на константу. После решения основного состояния суперсимметричные операторы можно использовать для построения остальной части спектра связанного состояния. ${\displaystyle l+1}$ ${\displaystyle l=0}$

В общем, поскольку и являются партнерскими потенциалами, они имеют один и тот же энергетический спектр, за исключением одной дополнительной основной энергии. Мы можем продолжить этот процесс поиска партнерских потенциалов с условием инвариантности формы, дав следующую формулу для энергетических уровней через параметры потенциала ${\displaystyle V_{-}}$ ${\displaystyle V_{+}}$

${\displaystyle E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})}$

где параметры для множественных партнерских потенциалов. ${\displaystyle a_{i}}$

Приложения

В 2021 году суперсимметричная квантовая механика была применена к ценообразованию опционов и анализу рынков в области квантовых финансов ^[5] , а также к финансовым сетям . ^[6]

Смотрите также

• Алгебра суперсимметрии
• Супералгебра
• Суперсимметричная калибровочная теория

Рекомендации

1. Вэлэнс, А.; Морган, Ти Джей; Бержерон, Х. (1990), «Собственное решение кулоновского гамильтониана посредством суперсимметрии», American Journal of Physics , 58 (5), AAPT: 487–491, Bibcode : 1990AmJPh..58..487V, doi : 10.1119/1.16452, заархивировано из оригинала 24 февраля 2013 г.
2. Таллер, Б. (1992). Уравнение Дирака. Тексты и монографии по физике. Спрингер.
3. Шрёдингер, Эрвин (1940), «Метод определения квантово-механических собственных значений и собственных функций», Труды Королевской Ирландской академии , 46 , Королевская Ирландская академия: 9–16
4. Шрёдингер, Эрвин (1941), «Дальнейшие исследования решения проблем собственных значений путем факторизации», Труды Королевской Ирландской академии , 46 , Королевская Ирландская академия: 183–206
5. Гальперин, Игорь (14 января 2021 г.). «Неравновесная асимметрия, рыночные кризисы и ценообразование опционов: нелинейная модель Ланжевена рынков с суперсимметрией». ССНР  3724000.
6. Бардоша, Марко; Барукка, Паоло; Баттистон, Стефано; Каччоли, Фабио; Чимини, Джулио; Гарлашелли, Диего; Саракко, Фабио; Сквартини, Тициано; Кальдарелли, Гвидо (10 июня 2021 г.). «Физика финансовых сетей». Обзоры природы Физика . 3 (7): 490–507. arXiv : 2103.05623 . дои : 10.1038/s42254-021-00322-5. S2CID  232168335.

Источники

• Ф. Купер, А. Харе и У. Сукхатме, «Суперсимметрия и квантовая механика», Phys.Rept.251: 267–385, 1995.
• Д. С. Кулшрешта, Дж. К. Лян и Х. Дж. Мюллер-Кирстен, «Уравнения флуктуаций о классических конфигурациях поля и суперсимметричной квантовой механике», Annals Phys. 225:191-211, 1993.
• Г. Юнкер, «Суперсимметричные методы в квантовой и статистической физике», Springer-Verlag, Берлин, 1996 г.
• Б. Мельник и О. Росас-Ортис, «Факторизация: маленький или великий алгоритм?», J. Phys. А: Математика. Быт. 37: 10007–10035, 2004 г.

Внешние ссылки

• Рекомендации от INSPIRE-HEP