Дополнительный математический объект
В математике структура множества (или некоторых множеств) относится к предоставлению ему (или им) определенных дополнительных свойств (например , операции , отношения , метрики или топологии ). Дополнительные свойства присоединены или связаны с множеством (или множествами), чтобы предоставить ему (или им) некоторое дополнительное значение или значимость.
Частичный список возможных структур — это меры , алгебраические структуры ( группы , поля и т. д.), топологии , метрические структуры ( геометрии ), порядки , графы , события , отношения эквивалентности , дифференциальные структуры и категории .
Иногда множество наделяется более чем одной функцией одновременно, что позволяет математикам более полно изучать взаимодействие между различными структурами. Например, упорядочение накладывает жесткую форму, очертание или топологию на множество, и если множество имеет как функцию топологии, так и функцию группы, так что эти две функции связаны определенным образом, то структура становится топологической группой . [1]
Отображение между двумя множествами с одинаковым типом структуры, которое сохраняет эту структуру [ морфизм : структура в области отображается должным образом на (тот же тип) структуру в кодомене ] представляет особый интерес во многих областях математики. Примерами являются гомоморфизмы , которые сохраняют алгебраические структуры; непрерывные функции , которые сохраняют топологические структуры; и дифференцируемые функции , которые сохраняют дифференциальные структуры.
История
В 1939 году французская группа под псевдонимом Николя Бурбаки увидела в структурах корень математики. Они впервые упомянули их в своем «Fascicule» Теории множеств и расширили его до Главы IV издания 1957 года. [2] Они выделили три материнские структуры : алгебраическую, топологическую и порядковую . [2] [3]
Пример: реальные числа
Множество действительных чисел имеет несколько стандартных структур:
- Порядок: каждое число либо меньше, либо больше любого другого числа.
- Алгебраическая структура: имеются операции сложения и умножения, первая из которых образует группу , а пара из которых вместе образует поле .
- Мера: интервалы действительной прямой имеют определенную длину , которая может быть расширена до меры Лебега на многих ее подмножествах .
- Метрика: существует понятие расстояния между точками.
- Геометрия: снабжена метрикой и является плоской .
- Топология: существует понятие открытых множеств .
Среди них есть интерфейсы:
- Его порядок и, независимо, его метрическая структура индуцируют его топологию.
- Его порядок и алгебраическая структура превращают его в упорядоченное поле .
- Его алгебраическая структура и топология превращают его в группу Ли , тип топологической группы .
Смотрите также
Ссылки
- ^ Сондерс, Мак Лейн (1996). «Структура в математике» (PDF) . Philosoph1A Mathemat1Ca . 4 (3): 176.
- ^ ab Corry, Leo (сентябрь 1992 г.). «Николя Бурбаки и концепция математической структуры». Synthese . 92 (3): 315–348. doi :10.1007/bf00414286. JSTOR 20117057. S2CID 16981077.
- ^ Уэллс, Ричард Б. (2010). Биологическая обработка сигналов и вычислительная нейронаука (PDF) . стр. 296–335 . Получено 7 апреля 2016 г.
Дальнейшее чтение
- Бурбаки, Николас (1968). «Элементы математики: теория множеств». Герман, Эддисон-Уэсли. стр. 259-346, 383-385.
- Фолдс, Стефан (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Хобокен: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438.
- Хегедус, Стивен Джон; Морено-Армелла, Луис (2011). «Возникновение математических структур». Образовательные исследования в области математики . 77 (2): 369–388. doi :10.1007/s10649-010-9297-7. S2CID 119981368.
- Колман, Бернард; Басби, Роберт К.; Росс, Шарон Катлер (2000). Дискретные математические структуры (4-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
- Малик, Д.С.; Сен, М.К. (2004). Дискретные математические структуры: теория и приложения . Австралия: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3.
- Пудлак, Павел (2013). «Математические структуры». Логические основы математики и вычислительной сложности, введение . Cham: Springer. С. 2–24. ISBN 9783319001197.
- Сенешаль, М. (21 мая 1993 г.). «Математические структуры». Science . 260 (5111): 1170–1173. doi :10.1126/science.260.5111.1170. PMID 17806355.
Внешние ссылки
- «Структура». PlanetMath . (дает модельно-теоретическое определение.)
- Математические структуры в информатике (журнал)
