Твёрдое тело

Физический объект, который не деформируется под действием сил или моментов.

Положение твердого тела определяется положением его центра масс и его ориентацией (всего не менее шести параметров). ^[1]

В физике твердое тело , также известное как жесткий объект , ^[2] — это твердое тело , в котором деформация равна нулю или пренебрежимо мала. Расстояние между любыми двумя заданными точками на твердом теле остается постоянным во времени независимо от внешних сил или моментов , приложенных к нему. Твердое тело обычно рассматривается как непрерывное распределение массы .

В исследовании специальной теории относительности не существует абсолютно твердого тела; и объекты можно считать твердыми только в том случае, если они не движутся со скоростью, близкой к скорости света . В квантовой механике твердое тело обычно рассматривается как совокупность точечных масс . Например, молекулы (состоящие из точечных масс: электронов и ядер) часто рассматриваются как твердые тела (см. классификацию молекул как жестких роторов ).

Кинематика

Линейное и угловое положение

Положение твердого тела — это положение ^{[ сломанный якорь ]} всех частиц, из которых оно состоит. Чтобы упростить описание этого положения, мы используем свойство твердого тела, а именно, что все его частицы сохраняют одинаковое расстояние друг относительно друга. Если тело твердое, достаточно описать положение по крайней мере трех неколлинеарных частиц . Это позволяет восстановить положение всех остальных частиц при условии, что известно их постоянное положение относительно трех выбранных частиц. Однако обычно используется другой, математически более удобный, но эквивалентный подход. Положение всего тела представляется следующим образом:

1. линейное положение или положение тела, а именно положение одной из частиц тела, специально выбранное в качестве точки отсчета (обычно совпадающее с центром масс или центроидом тела), вместе с
2. угловое положение (также известное как ориентация или положение ) тела.

Таким образом, положение твердого тела имеет две составляющие: линейную и угловую соответственно. ^[3] То же самое справедливо и для других кинематических и кинетических величин, описывающих движение твердого тела, таких как линейная и угловая скорость , ускорение , импульс , импульс и кинетическая энергия . ^[4]

Линейное положение ^{[ сломанный якорь ]} может быть представлено вектором с хвостом в произвольной точке отсчета в пространстве (начало выбранной системы координат ) и его кончиком в произвольной интересующей точке на твердом теле, обычно совпадающей с его центром масс или центроидом . Эта точка отсчета может определять начало системы координат, закрепленной на теле.

Существует несколько способов численного описания ориентации твердого тела, включая набор из трех углов Эйлера , кватернион или матрицу направляющих косинусов (также называемую матрицей вращения ). Все эти методы фактически определяют ориентацию базисного набора (или системы координат ), который имеет фиксированную ориентацию относительно тела (т. е. вращается вместе с телом), относительно другого базисного набора (или системы координат), из которого наблюдается движение твердого тела. Например, базисный набор с фиксированной ориентацией относительно самолета можно определить как набор из трех ортогональных единичных векторов b ₁ , b ₂ , b ₃ , таких, что b ₁ параллелен хорде крыла и направлен вперед, b ₂ перпендикулярен плоскости симметрии и направлен вправо, а b ₃ задается векторным произведением . ${\displaystyle b_{3}=b_{1}\times b_{2}}$

В общем, когда твердое тело движется, его положение и ориентация изменяются со временем. В кинематическом смысле эти изменения называются трансляцией и вращением соответственно. Действительно, положение твердого тела можно рассматривать как гипотетическое перемещение и вращение (рото-трансляцию) тела, начиная с гипотетического исходного положения (не обязательно совпадающего с положением, фактически занимаемым телом во время его движения).

Линейная и угловая скорость

Скорость (также называемая линейной скоростью ) и угловая скорость измеряются относительно системы отсчета .

Линейная скорость твердого тела — векторная величина, равная скорости изменения его линейного положения во времени. Таким образом, это скорость опорной точки, закрепленной на теле. Во время чисто поступательного движения (движения без вращения) все точки твердого тела движутся с одинаковой скоростью . Однако, когда движение включает в себя вращение, мгновенная скорость любых двух точек тела, как правило, не будет одинаковой. Две точки вращающегося тела будут иметь одинаковую мгновенную скорость, только если они окажутся на оси, параллельной мгновенной оси вращения .

Угловая скорость — векторная величина, описывающая угловую скорость , с которой изменяется ориентация твердого тела, и мгновенную ось, вокруг которой оно вращается (существование этой мгновенной оси гарантируется теоремой Эйлера о вращении ). Все точки твердого тела всегда испытывают одинаковую угловую скорость . Во время чисто вращательного движения все точки тела изменяют положение, за исключением тех, которые лежат на мгновенной оси вращения . Связь между ориентацией и угловой скоростью не является прямым аналогом связи между положением и скоростью. Угловая скорость не является скоростью изменения ориентации во времени, поскольку не существует такого понятия, как вектор ориентации, который можно дифференцировать для получения угловой скорости.

Кинематические уравнения

Теорема сложения для угловой скорости

Угловая скорость твердого тела B в системе отсчета N равна сумме угловой скорости твердого тела D в N и угловой скорости B относительно D: ^[5]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.}$

В этом случае твердые тела и системы отсчета неразличимы и полностью взаимозаменяемы.

Теорема сложения для позиции

Для любого набора из трех точек P, Q и R радиус-вектор от P до R представляет собой сумму радиус-вектора от P до Q и радиус-вектора от Q до R:

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.}$

Норма радиус-вектора — это пространственное расстояние. Здесь координаты всех трех векторов должны быть выражены в системах координат с одинаковой ориентацией.

Математическое определение скорости

Скорость точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени в N вектора положения от O к P: ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })}$

где O — любая произвольная точка, зафиксированная в системе отсчета N, а N слева от оператора d/d t указывает, что производная берется в системе отсчета N. Результат не зависит от выбора O, пока O зафиксирована в N.

Математическое определение ускорения

Ускорение точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени по N ее скорости: ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).}$

Скорость двух точек, закрепленных на твердом теле

Для двух точек P и Q, которые закреплены на твердом теле B, где B имеет угловую скорость в системе отсчета N, скорость Q в N может быть выражена как функция скорости P в N: ^[7] ${\displaystyle \scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}}$

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.}$

где — вектор положения от P до Q. ^[7] с координатами, выраженными в N (или системе отсчета с той же ориентацией, что и N.) Это соотношение можно вывести из временной инвариантности расстояния нормы между P и Q. ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

Ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле

Дифференцируя уравнение для скорости двух точек, закрепленных на твердом теле в системе N, по времени, ускорение в системе отсчета N точки Q, закрепленной на твердом теле B, можно выразить как

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

где — угловое ускорение B в системе отсчета N. ^[7] ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}}$

Угловая скорость и ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле

Как упоминалось выше, все точки твердого тела B имеют одинаковую угловую скорость в неподвижной системе отсчета N, и, следовательно, одинаковое угловое ускорение. ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.}$

Скорость одной точки, движущейся по твердому телу

Если точка R движется в твердом теле B, а точка B движется в системе отсчета N, то скорость R в N равна

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

где Q — точка, зафиксированная в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. ^[8] Это соотношение часто сочетается с соотношением для скорости двух точек, зафиксированных на твердом теле .

Ускорение одной точки, движущейся на твердом теле

Ускорение в системе отсчета N точки R, движущейся в теле B, пока B движется в системе N, определяется выражением

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

где Q — точка, зафиксированная в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. ^[8] Это уравнение часто объединяется с Ускорением двух точек, зафиксированных на твердом теле .

Другие количества

Если C является началом локальной системы координат L , прикрепленной к телу, то пространственное или крутильное ускорение твердого тела определяется как пространственное ускорение C (в отличие от материального ускорения, указанного выше): где $${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$представляет собой положение точки/частицы относительно точки отсчета тела в локальной системе координат L (жесткость тела означает, что это положение не зависит от времени)
• ${\displaystyle A(t)\,}$— матрица ориентации , ортогональная матрица с определителем 1, представляющая ориентацию (угловое положение) локальной системы координат L относительно произвольной опорной ориентации другой системы координат G. Думайте об этой матрице как о трех ортогональных единичных векторах, по одному в каждом столбце, которые определяют ориентацию осей L относительно G.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)}$представляет собой угловую скорость твердого тела
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})}$представляет собой полную скорость точки/частицы
• ${\displaystyle \mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})}$представляет собой полное ускорение точки/частицы
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)}$представляет собой угловое ускорение твердого тела
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})}$представляет собой пространственное ускорение точки/частицы
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)}$представляет собой пространственное ускорение твердого тела (т.е. пространственное ускорение начала координат L ).

В 2D угловая скорость является скаляром, а матрица A(t) просто представляет собой поворот в плоскости xy на угол, который является интегралом угловой скорости по времени.

Транспортные средства , идущие люди и т. д. обычно вращаются в соответствии с изменениями направления скорости: они движутся вперед относительно своей собственной ориентации. Тогда, если тело следует по замкнутой орбите в плоскости, угловая скорость, интегрированная по интервалу времени, за который орбита завершается один раз, равна целому числу, умноженному на 360°. Это целое число является числом оборотов относительно начала скорости. Сравните величину вращения, связанную с вершинами многоугольника .

Кинетика

Любая точка, жестко связанная с телом, может быть использована в качестве точки отсчета (начала системы координат L ) для описания линейного движения тела (векторы линейного положения, скорости и ускорения зависят от выбора).

Однако в зависимости от области применения удобным выбором может быть:

• центр масс всей системы, который, как правило, имеет наиболее простое движение для тела, свободно движущегося в пространстве;
• точка, в которой поступательное движение равно нулю или упрощено, например, на оси или шарнире , в центре шарового шарнира и т. д.

Когда в качестве точки отсчета используется центр масс:

• (Линейный) импульс не зависит от вращательного движения. В любой момент времени он равен полной массе твердого тела, умноженной на поступательную скорость.
• Момент импульса относительно центра масс такой же, как и без трансляции: в любой момент времени он равен тензору инерции , умноженному на угловую скорость. Когда угловая скорость выражается относительно системы координат, совпадающей с главными осями тела, каждый компонент момента импульса является произведением момента инерции (главного значения тензора инерции) на соответствующий компонент угловой скорости; крутящий момент равен тензору инерции, умноженному на угловое ускорение .
• При отсутствии внешних сил возможными движениями являются поступательное движение с постоянной скоростью, устойчивое вращение вокруг фиксированной главной оси, а также прецессия без момента .
• Чистая внешняя сила, действующая на твердое тело, всегда равна полной массе, умноженной на поступательное ускорение (т.е. второй закон Ньютона справедлив для поступательного движения, даже если чистый внешний крутящий момент отличен от нуля и/или тело вращается).
• Полная кинетическая энергия представляет собой просто сумму поступательной и вращательной энергии .

Геометрия

Два твердых тела называются разными (не копиями), если нет собственного вращения одного относительно другого. Твердое тело называется хиральным, если его зеркальное изображение отличается в этом смысле, т. е. если оно либо не имеет симметрии , либо его группа симметрии содержит только собственные вращения. В противном случае объект называется ахиральным: зеркальное изображение является копией, а не другим объектом. Такой объект может иметь плоскость симметрии, но не обязательно: может также быть плоскость отражения, относительно которой изображение объекта является повернутым вариантом. Последнее применимо к S 2n , случай которого n = 1 является инверсионной симметрией.

Для (жесткого) прямоугольного прозрачного листа инверсионная симметрия соответствует тому, что на одной стороне находится изображение без вращательной симметрии, а на другой стороне — изображение, через которое просвечивает изображение на верхней стороне, перевернутое. Можно выделить два случая:

• Поверхность листа с изображением не симметрична — в этом случае обе стороны различны, но зеркальное изображение объекта одинаково после поворота на 180° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.
• Поверхность листа с изображением имеет ось симметрии — в этом случае обе стороны одинаковы, и зеркальное изображение объекта также одинаково, опять же после поворота на 180° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.

Лист со сквозным изображением является ахиральным. Мы можем снова выделить два случая:

• Поверхность листа с изображением не имеет оси симметрии - обе стороны различны.
• Поверхность листа с изображением имеет ось симметрии - обе стороны одинаковы

Конфигурация пространства

Конфигурационное пространство твердого тела с одной фиксированной точкой (т. е. тела с нулевым поступательным движением) задается базовым многообразием группы вращения SO(3) . Конфигурационное пространство нефиксированного (с ненулевым поступательным движением) твердого тела — это E ⁺ (3) , подгруппа прямых изометрий евклидовой группы в трех измерениях (комбинации трансляций и вращений ).

Смотрите также

• Угловая скорость
• Соглашения о топорах
• Дифференциальное вращение
• Динамика твердого тела
• Бесконечно малые вращения
• Уравнения Эйлера (динамика твердого тела)
• Законы Эйлера
• Врожденная жесткость
• Жесткий ротор
• Жесткая трансформация
• Геометрическая механика
• Классическая механика (Гольдштейн)

Примечания

1. Лоренцо Скьявикко, Бруно Сицилиано (2000). «§2.4.2 Углы крена, тангажа и рыскания». Моделирование и управление роботами-манипуляторами (2-е изд.). Спрингер. п. 32. ISBN 1-85233-221-2.
2. Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику . Oxford University Press.(ссылка: [1])
3. В общем случае положение точки или частицы в физике также известно как линейное положение , в отличие от углового положения линии или сегмента линии (например, при круговом движении «радиуса», соединяющего вращающуюся точку с центром вращения), или базисного набора , или системы координат .
4. В кинематике линейный означает «вдоль прямой или кривой линии» ( путь частицы в пространстве ). В математике , однако, линейный имеет другое значение. В обоих контекстах слово «линейный» связано со словом «линия». В математике линия часто определяется как прямая кривая . Для тех, кто принимает это определение, кривая может быть прямой, и кривые линии не должны существовать. В кинематике термин линия используется как синоним термина траектория или путь (а именно, он имеет то же самое неограниченное значение, что и данное в математике слову кривая ). Короче говоря, предполагается, что существуют как прямые, так и кривые линии. В кинематике и динамике следующие слова относятся к тому же неограниченному значению термина «линия»:
   • «линейный» (= вдоль прямой или кривой линии),
   • «прямолинейный» (= по прямой линии, от латинского rectus = прямой и linere = распростертый),
   • «криволинейный» (=вдоль изогнутой линии, от латинского curvus = изогнутый и linere = растянутый).
   В топологии и метеорологии термин «линия» имеет одинаковое значение: контурная линия — это кривая.
5. Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). "2-4 Вспомогательные системы отсчета". Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
6. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-6 Скорость и ускорение". Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
7. Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). "2-7 Две точки, закрепленные на твердом теле". Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
8. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-8 Одна точка, движущаяся по твердому телу". Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

Ссылки

• Рой Фезерстоун (1987). Алгоритмы динамики роботов . Springer. ISBN 0-89838-230-0.Эта ссылка эффективно объединяет теорию винтов с динамикой твердого тела для робототехнических приложений. Автор также выбирает широкое использование пространственных ускорений вместо материальных ускорений, поскольку они упрощают уравнения и допускают компактную запись.
• На странице JPL DARTS имеется раздел по алгебре пространственных операторов (ссылка: [2]), а также обширный список литературы (ссылка: [3]).
• Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику . Oxford University Press.(ссылка: [4]).
• Профессор, доктор Деннис М. Кохманн, заметки лекций по динамике, Швейцарская высшая техническая школа Цюриха. [5]

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Твердые тела на Wikimedia Commons
• Цитаты, связанные с Rigid body в Wikiquote