Телесный угол

Мера того, насколько большим объект кажется наблюдателю в данной точке трехмерного пространства.

В геометрии телесный угол (символ: Ω ) является мерой величины поля зрения из некоторой конкретной точки, которую покрывает данный объект. То есть это мера того, насколько большим кажется объект наблюдателю, смотрящему с этой точки. Точка, из которой рассматривается объект, называется вершиной телесного угла, и говорят, что объект стягивает свой телесный угол в этой точке.

В Международной системе единиц (СИ) телесный угол выражается в безразмерной единице , называемой стерадианом (обозначение: ср). Один стерадиан соответствует одной единице площади единичной сферы , окружающей вершину, поэтому объект, который блокирует все лучи, исходящие от вершины, будет покрывать количество стерадианов, равное общей площади поверхности единичной сферы, . Телесные углы также можно измерять в квадратах угловых мер, таких как градусы , минуты и секунды. ${\displaystyle 4\pi }$

Небольшой объект поблизости может образовывать тот же телесный угол, что и более крупный объект, расположенный дальше. Например, хотя Луна намного меньше Солнца , она также намного ближе к Земле . Действительно, если смотреть из любой точки Земли, оба объекта имеют примерно одинаковый телесный угол (и, следовательно, видимый размер). Это очевидно во время солнечного затмения .

Определение и свойства

Телесный угол объекта в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы с центром в вершине, которую покрывает объект. Указание площади сегмента единичной сферы в стерадианах аналогично указанию длины дуги единичного круга в радианах. Точно так же, как плоский угол в радианах представляет собой отношение длины дуги к ее радиусу, телесный угол в стерадианах представляет собой отношение площади, занимаемой предметом на сфере, к площади, определяемой квадратом радиуса указанного объекта. сфера. Формула

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}$$

где – площадь сферической поверхности, – радиус рассматриваемой сферы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$

Телесные углы часто используются в астрономии , физике и, в частности, астрофизике . Телесный угол объекта, находящегося очень далеко, примерно пропорционален отношению площади к квадрату расстояния. Здесь «площадь» означает площадь объекта, проецируемого в направлении обзора.

Любая область на сфере, площадь которой равна квадрату ее радиуса, если смотреть из ее центра, стягивает ровно один стерадиан .

Телесный угол сферы, измеренный из любой точки внутри нее, равен 4 π  ср, а телесный угол, образуемый в центре куба одной из его граней, составляет одну шестую этого значения, или 2 π /3 ср. Телесные углы также можно измерять в квадратных градусах (1 ср = ( 180/ π ) ² квадратных градуса), в квадратных угловых минутах и ​​квадратных угловых секундах или в долях сферы (1 ср =1/4 πдробная площадь), также известная как спат (1 сп = 4 π  ср).

В сферических координатах есть формула для дифференциала ,

$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

где θ — широта (угол от Северного полюса), а φ — долгота.

Телесный угол для произвольно ориентированной поверхности S, опирающейся в точку P , равен телесному углу проекции поверхности S на единичную сферу с центром P , который можно вычислить как поверхностный интеграл :

$${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

где - единичный вектор , соответствующий вектору положения бесконечно малой площади поверхности dS относительно точки P , и где представляет собой единичный вектор нормали к dS . Даже если проекция единичной сферы на поверхность S не изоморфна , кратные складки правильно рассматриваются в соответствии с ориентацией поверхности, описываемой знаком скалярного произведения . ${\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}$

Таким образом, можно аппроксимировать телесный угол, образованный небольшой гранью , имеющей плоскую поверхность dS , ориентацию и расстояние r от наблюдателя, как: ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}$$

где площадь поверхности сферы A знак равно 4 π r ² .

Практическое применение

• Определение силы света и яркости , а также соответствующих радиометрических величин силы излучения и сияния.
• Вычисление сферического избытка E сферического треугольника
• Расчет потенциалов методом граничных элементов (МГЭ)
• Оценивая размеры лигандов в металлокомплексах, см. угол конуса лиганда.
• Расчет электрического поля и напряженности магнитного поля вокруг распределений заряда
• Вывод закона Гаусса
• Расчет излучательной мощности и излучения при теплопередаче
• Расчет сечений резерфордовского рассеяния
• Расчет сечений комбинационного рассеяния света
• Телесный угол приемного конуса оптического волокна

Твердые углы для обычных объектов

Конус, сферический колпачок, полусфера

Разрез конуса (1) и сферической шапки (2) внутри сферы. На этом рисунке θ = A /2 и r = 1 .

Телесный угол конуса с вершиной в вершине телесного угла и с углом при вершине 2 θ представляет собой площадь сферической шапки на единичной сфере.

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Для малых θ, таких что cos θ ≈ 1 − θ ² /2, это уменьшается до π θ ² , площади круга.

Вышеупомянутое получается путем вычисления следующего двойного интеграла с использованием единичного элемента поверхности в сферических координатах :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}$$

Эту формулу можно вывести и без использования математических вычислений . Более 2200 лет назад Архимед доказал, что площадь поверхности сферической крышки всегда равна площади круга, радиус которого равен расстоянию от края сферической крышки до точки, где ось симметрии крышки пересекает крышку. ^[1] На диаграмме этот радиус обозначен как

$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}$$

Следовательно, для единичной сферы телесный угол сферической шапки определяется как

$${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$$

Когда θ =π/2, сферическая крышка становится полусферой с телесным углом 2 π .

Телесный угол дополнения конуса равен

$${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Это также телесный угол той части небесной сферы , которую может видеть астрономический наблюдатель, находящийся на широте θ , при вращении Земли. На экваторе видна вся небесная сфера; на каждом полюсе только одна половина.

Телесный угол, опирающийся на сегмент сферической шапки, рассеченный плоскостью под углом γ от оси конуса и проходящей через вершину конуса, можно рассчитать по формуле ^[2]

$${\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].}$$

Например, если γ = − θ , то формула сводится к приведенной выше формуле сферической шапочки: первый член становится π , а второй π cos θ .

Тетраэдр

Пусть OABC — вершины тетраэдра с началом в точке O, стянутой треугольной гранью ABC, где — векторные положения вершин A, B и C. Определим угол вершины θ _a как угол BOC и определим θ _b , θ _в соответственно. Пусть – двугранный угол между плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAC и OBC, и определим соответственно . Телесный угол Ω, опирающийся на треугольную поверхность ABC, определяется выражением ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ ${\displaystyle \phi _{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{ac}}$ ${\displaystyle \phi _{bc}}$

$${\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}$$

Это следует из теории сферического избытка и приводит к тому, что существует теорема, аналогичная теореме о том, что «Сумма внутренних углов плоского треугольника равна π » , для суммы четырех внутренних телесных углов треугольника. тетраэдр следующим образом:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}$$

где варьируется по всем шести двугранным углам между любыми двумя плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAB, OAC, OBC и ABC. ^[3] ${\displaystyle \phi _{i}}$

Полезная формула для расчета телесного угла тетраэдра в начале координат O, которая является чисто функцией углов при вершинах θ _a , θ _b , θ _c , дается теоремой Л'Юилье [ ^{4] [5]} как

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$$

где

$${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}$$

Другая интересная формула предполагает выражение вершин как векторов в трехмерном пространстве. Позвольте быть векторными позициями вершин A, B и C, и пусть a , b и c будут величиной каждого вектора (расстояние от исходной точки). Телесный угол Ω, опирающийся на треугольную поверхность ABC, равен: ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}$$

где

$${\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$$

обозначает скалярное тройное произведение трех векторов и обозначает скалярное произведение . ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Здесь необходимо соблюдать осторожность, чтобы избежать отрицательных или неправильных телесных углов. Одним из источников потенциальных ошибок является то, что скалярное тройное произведение может быть отрицательным, если a , b , c имеют неправильную обмотку . Вычисление абсолютного значения является достаточным решением, поскольку никакая другая часть уравнения не зависит от обмотки. Другая ловушка возникает, когда скалярное тройное произведение положительно, а делитель отрицателен. В этом случае возвращается отрицательное значение, которое необходимо увеличить на π .

Пирамида

Телесный угол четырехгранной прямоугольной пирамиды с углами при вершине a и b ( двугранные углы , измеренные к противоположным боковым граням пирамиды) равен

$${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}$$

Если известны длины сторон ( α и β ) основания пирамиды и расстояние ( d ) от центра прямоугольника основания до вершины пирамиды (центра сферы), то приведенное выше уравнение можно манипулировать, чтобы дать

$${\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}$$

Телесный угол прямой n -угольной пирамиды, основанием которой является правильный n -сторонний многоугольник радиуса описанной окружности r , с высотой пирамиды h равен

$${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}$$

Телесный угол произвольной пирамиды с n -сторонним основанием, определяемым последовательностью единичных векторов, представляющих ребра { s ₁ , s ₂ }, ... s _n , может быть эффективно вычислен по формуле: ^[2]

$${\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}$$

где круглые скобки (* *) — скалярное произведение , а квадратные скобки [* * *] — тройное скалярное произведение , а i — мнимая единица . Индексы цикличны: s ₀ = s _n и s ₁ = s _{n + 1} . Комплексные произведения добавляют фазу, связанную с каждым углом вершины многоугольника. Однако количество, кратное , теряется при обрезке ветки и должно отслеживаться отдельно. Кроме того, текущий продукт сложных фаз необходимо время от времени масштабировать, чтобы избежать недорасхода в пределе почти параллельных сегментов. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \arg }$

Прямоугольник широты и долготы

Телесный угол прямоугольника широты и долготы на земном шаре равен

$${\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,}$$

φ _Nφ _Sширотыэкваторарадианахθ _Eθ _Wдолготы^[8]φ _N − φ _Sθ _E − θ _Wππ

Прямоугольник широты и долготы не следует путать с телесным углом прямоугольной пирамиды. Все четыре стороны прямоугольной пирамиды пересекают поверхность сферы по большим дугам . В прямоугольнике широта-долгота только линии долготы представляют собой большие дуги круга; линии широты нет.

Небесные объекты

Используя определение углового диаметра , формулу телесного угла небесного объекта можно определить через радиус объекта и расстояние от наблюдателя до объекта : ${\textstyle R}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}$$

Введя соответствующие средние значения для Солнца и Луны (относительно Земли), средний телесный угол Солнца будет равен6,794 × 10 ⁻⁵ стерадиан, а средний телесный угол Луны равен6,418 × 10 ⁻⁵ стерадиан. В рамках всей небесной сферы Солнце и Луна составляют средние дробные площади0,000 5406 % (5,406  частей на миллион ) и0,000 5107 % (5,107 м.д. ) соответственно. Поскольку эти телесные углы примерно одинакового размера, Луна может вызывать как полное, так и кольцевое солнечное затмение в зависимости от расстояния между Землей и Луной во время затмения.

Телесные углы в произвольных размерах

Телесный угол, опирающийся на полную ( d − 1 )-мерную сферическую поверхность единичной сферы в d -мерном евклидовом пространстве, может быть определен в любом количестве измерений d . Этот коэффициент телесного угла часто необходим в расчетах со сферической симметрией. Оно определяется формулой

$${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},}$$

Γгамма-функцияd^[9]

$${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Это дает ожидаемые результаты в 4 π стерадиана для трехмерной сферы, ограниченной поверхностью площадью 4π r ² и 2 π радиан для 2D круга, ограниченного окружностью длиной 2π r . Это также дает немного менее очевидное значение 2 для одномерного случая, в котором одномерная «сфера» с центром в начале координат представляет собой интервал [− r , r ] и ограничена двумя предельными точками.

Аналог векторной формулы в произвольной размерности был получен Аомото ^{[10] [11]} и независимо Рибандо. ^[12] Он выражает их как бесконечный многомерный ряд Тейлора :

$${\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}$$

dVi- ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}$ ${\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{ji}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Рекомендации

1. «Архимед на сферах и цилиндрах». Математические страницы . 2015.
2. Мазонка, Олег (2012). «Телесный угол конических поверхностей, многогранных конусов и пересекающихся сферических колпачков». arXiv : 1205.1396 [math.MG].
3. Хопф, Хайнц (1940). «Избранные главы геометрии» (PDF) . ETH Цюрих : 1–2. Архивировано (PDF) из оригинала 21 сентября 2018 г.
4. «Теорема Л'Юилье - из Wolfram MathWorld» . Mathworld.wolfram.com. 19 октября 2015 г. Проверено 19 октября 2015 г.
5. «Сферический избыток - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. 19 октября 2015 г. Проверено 19 октября 2015 г.
6. Эрикссон, Фольке (1990). «О мере телесных углов». Математика. Маг . 63 (3): 184–187. дои : 10.2307/2691141. JSTOR  2691141.
7. Ван Остером, А; Стреки, Дж (1983). «Телесный угол плоского треугольника». IEEE Транс. Биомед. англ . БМЭ-30 (2): 125–126. дои : 10.1109/TBME.1983.325207. PMID  6832789. S2CID  22669644.
8. «Площадь прямоугольника широты и долготы». Математический форум @ Drexel . 2003.
9. Джексон, FM (1993). «Многогранники в евклидовом n-пространстве». Вестник Института математики и ее приложений . 29 (11/12): 172–174.
10. Аомото, Кадзухико (1977). «Аналитическая структура функции Шлефли». Нагойская математика. Дж . 68 : 1–16. дои : 10.1017/s0027763000017839 .
11. Бек, М.; Робинс, С.; Сэм, СВ (2010). «Теоремы положительности для полиномов телесных углов». Вклад в алгебру и геометрию . 51 (2): 493–507. arXiv : 0906.4031 . Бибкод : 2009arXiv0906.4031B.
12. Рибандо, Джейсон М. (2006). «Измерение телесных углов за пределами третьего измерения». Дискретная и вычислительная геометрия . 36 (3): 479–487. дои : 10.1007/s00454-006-1253-4 .

дальнейшее чтение

• Джеффи, АХ (1954). «Твердый угол, образованный круглой апертурой в точечных и разбросанных источниках: формулы и некоторые таблицы». Преподобный учёный. Инструмент . 25 (4): 349–354. Бибкод : 1954RScI...25..349J. дои : 10.1063/1.1771061.
• Маскет, А. Виктор (1957). «Интегралы контура твердого угла, ряды и таблицы». Преподобный учёный. Инструмент . 28 (3): 191. Бибкод : 1957RScI...28..191M. дои : 10.1063/1.1746479.
• Наито, Минору (1957). «Метод расчета телесного угла, образованного круглым отверстием». Дж. Физ. Соц. Япония . 12 (10): 1122–1129. Бибкод : 1957JPSJ...12.1122N. дои : 10.1143/JPSJ.12.1122.
• Пакстон, Ф. (1959). «Расчет твердого угла для круглого диска». Преподобный учёный. Инструмент . 30 (4): 254. Бибкод : 1959RScI...30..254P. дои : 10.1063/1.1716590 .
• Хаджави, А. (1968). «Расчет телесного угла, образуемого прямоугольными отверстиями». J. Опт. Соц. Являюсь . 58 (10): 1417–1418. дои : 10.1364/JOSA.58.001417.
• Гарднер, Р.П.; Карнесейл, А. (1969). «Телесный угол, опирающийся в точке на круглый диск». Нукл. Инструмент. Методы . 73 (2): 228–230. Бибкод : 1969NucIM..73..228G. дои : 10.1016/0029-554X(69)90214-6.
• Гарднер, Р.П.; Вергезе, К. (1971). «О телесном угле, опирающемся на круглый диск». Нукл. Инструмент. Методы . 93 (1): 163–167. Бибкод : 1971NucIM..93..163G. дои : 10.1016/0029-554X(71)90155-8.
• Гото, Х.; Яги, Х. (1971). «Твердый угол, опирающийся на прямоугольную щель». Нукл. Инструмент. Методы . 96 (3): 485–486. Бибкод : 1971NucIM..96..485G. дои : 10.1016/0029-554X(71)90624-0.
• Кук, Дж. (1980). «Твердый угол, образованный двумя прямоугольниками». Нукл. Инструмент. Методы . 178 (2–3): 561–564. Бибкод : 1980NucIM.178..561C. дои : 10.1016/0029-554X(80)90838-1.
• Асвестас, Джон С..; Инглунд, Дэвид К. (1994). «Вычисление телесного угла, образуемого плоской фигурой». Опция англ . 33 (12): 4055–4059. Бибкод : 1994OptEn..33.4055A. дои : 10.1117/12.183402.Опечатка там же. том 50 (2011), стр. 059801.
• Трика, Станислав (1997). «Угловое распределение телесного угла в точке, опирающейся на круглый диск». Опция Коммун . 137 (4–6): 317–333. Бибкод : 1997OptCo.137..317T. дои : 10.1016/S0030-4018(96)00789-4.
• Прата, MJ (2004). «Аналитический расчет телесного угла, образуемого детектором круглого диска при точечном косинусном источнике». Нукл. Инструмент. Методы Физ. Рез. А. _ 521 (2–3): 576. arXiv : math-ph/0305034 . Бибкод : 2004NIMPA.521..576P. дои :10.1016/j.nima.2003.10.098. S2CID  15266291.
• Тимус, DM; Прата, MJ; Калла, СЛ; Аббас, Мичиган; Онер, Ф.; Гальяно, Э. (2007). «Некоторые дальнейшие аналитические результаты о телесном угле, стянутом в точке круглым диском с использованием эллиптических интегралов». Нукл. Инструмент. Методы Физ. Рез. А. _ 580 : 149–152. Бибкод : 2007NIMPA.580..149T. дои :10.1016/j.nima.2007.05.055.

Внешние ссылки

• Артур П. Нортон, Звездный атлас, Галл и Инглис, Эдинбург, 1969.
• М.Г. Кендалл, Курс геометрии N измерений, № 8 статистических монографий и курсов Гриффина, изд. М.Г. Кендалл, Charles Griffin & Co. Ltd, Лондон, 1961 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Сплошной угол». Математический мир .