Тензор кручения

Способ описания поворота или завинчивания движущейся рамы по кривой.

Развитие единичного круга в евклидовом пространстве с четырьмя различными вариантами плоского соединения, сохраняющими евклидову метрику, определяемую , где - постоянный скаляр соответственно: . Все полученные кривые в касательном пространстве имеют длину дуги , кривизну и соответствующее кручение (в смысле Френе-Серре ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0.01,0.1,0.5,1.0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$

В дифференциальной геометрии тензор кручения — это тензор , которому соответствует любая аффинная связность . Тензор кручения — это билинейная карта двух входных векторов , которая создает выходной вектор , представляющий смещение в касательном пространстве, когда касательное пространство разворачивается (или «прокатывается») вдоль бесконечно малого параллелограмма, стороны которого равны . Он кососимметричен на своих входах, поскольку развертка по параллелограмму в противоположном направлении приводит к противоположному смещению, аналогично тому, как винт движется в противоположных направлениях, когда его закручивают в двух направлениях. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T(X,Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$

Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезических . Учитывая систему параметризованных геодезических, можно выделить класс аффинных связностей, имеющих эти геодезические, но отличающихся кручением. Существует уникальное соединение, которое поглощает кручение , обобщая соединение Леви-Чивита на другие, возможно, неметрические ситуации (например, геометрию Финслера ). Разницей между соединением с кручением и соответствующим соединением без кручения является тензор, называемый тензором конторсии . Поглощение кручения также играет фундаментальную роль при изучении G-структур и метода эквивалентности Картана . Кручение также полезно при изучении непараметрических семейств геодезических через соответствующую проективную связь . В теории относительности такие идеи были реализованы в форме теории Эйнштейна-Картана .

Определение

Пусть M — многообразие с аффинной связностью на касательном расслоении (она же ковариантная производная ) ∇. Тензор кручения (иногда называемый тензором Картана ( кручения ) поля ∇ — это векторнозначная 2-форма , определенная на векторных полях X и Y согласно ^[1]

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

где [ X , Y ] — скобка Ли двух векторных полей. По правилу Лейбница T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) для любой гладкой функции f . Таким образом, T является тензорным , несмотря на то, что он определен в терминах связности , которая является дифференциальным оператором первого порядка: он дает 2-форму на касательных векторах, в то время как ковариантная производная определена только для векторных полей.

Компоненты тензора кручения

Компоненты тензора кручения в терминах локального базиса ( e1 _{, ...} , en ) сечений касательного расслоения можно получить _, полагая X = ei , Y = ej _и вводя коммутаторные коэффициенты γ ^k _ij е _{k знак равно}  [ е _я , е _j ] . Тогда компоненты кручения равны ^[2] ${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

Вот коэффициенты связи , определяющие связь. Если базис голономен , то скобки Ли исчезают, . Так . В частности (см. ниже), если уравнения геодезических определяют симметричную часть связности, то тензор кручения определяет антисимметричную часть. ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$ ${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$ ${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$

Торсионная форма

Форма кручения , альтернативная характеристика кручения, применяется к расслоению реперов F M многообразия M . Это главное расслоение оснащено формой связности ω , gl ( n )-значной однозначной формой, которая отображает вертикальные векторы в генераторы правого действия в gl ( n ) и эквивариантно переплетает правое действие GL( n ) на касательное расслоение к FM с присоединенным представлением на gl ( n ). Расслоение кадров также несет в себе каноническую одну форму θ со значениями в R ⁿ , определенную в кадре u ∈ F _x M (рассматриваемую как линейную функцию u  : R ⁿ → T _x M ) согласно ^[3]

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))}$

где π  : F M → M — отображение проекции главного расслоения, а π∗ — его преобразование вперед. Тогда форма кручения будет ^[4]

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

Эквивалентно, Θ = Dθ , где D — внешняя ковариантная производная, определяемая связностью.

Торсионная форма представляет собой (горизонтальную) тензорную форму со значениями в Rn , что означает ^, что при правильном действии g ∈ GL( n ) она преобразуется эквивариантно :

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

где g действует в правой части через свое присоединенное представление на Rn ^.

Торсионная форма в раме

Форму кручения можно выразить через форму связности на базисном многообразии M , записанную в конкретном репере касательного расслоения ( e1 _, ..., en _n ) . Форма связи выражает внешнюю ковариантную производную этих основных разделов: ^[5]

${\displaystyle D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.}$

Форма пайки для касательного расслоения (относительно этой рамки) представляет собой двойственный базис θi ∈ T ^∗ M к e _i , так что θ ⁱ ( e _j ) = ^δ i ^j ₍ дельта Кронекера ). Тогда крученная 2-форма имеет компоненты

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.}$

В самом правом выражении

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)}$

являются компонентами системы координат тензора кручения, как указано в предыдущем определении.

Легко показать, что Θ ⁱ преобразуется тензорно в том смысле, что если другая система отсчета

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}}$

для некоторой обратимой матричнозначной функции ( g ^j _i ), то

${\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.}$

Другими словами, Θ — тензор типа (1, 2) (несущий один контравариантный и два ковариантных индекса).

Альтернативно, форма припоя может быть охарактеризована независимо от системы координат как TM -значная однозначная форма θ на M , соответствующая тождественному эндоморфизму касательного расслоения при изоморфизме двойственности End(TM ) ≈ TM ⊗ T ^∗ М. ​Тогда крученная 2-форма является сечением

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)}$

предоставлено

${\displaystyle \Theta =D\theta ,}$

где D — внешняя ковариантная производная . ( Подробнее см. в форме подключения .)

Неприводимое разложение

Тензор кручения можно разложить на две неприводимые части: часть без следов и часть, содержащую следовые члены. Используя обозначение индекса , след T определяется выражением

${\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

и часть без следов

${\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

где δ ⁱ _j — дельта Кронекера .

По сути, человек имеет

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).}$

След T , tr T , является элементом T ^∗ M , определяемым следующим образом. Для каждого фиксированного вектора X ∈ TM , T определяет элемент T ( X ) из Hom( TM , TM ) через

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

Тогда (tr T )( X ) определяется как след этого эндоморфизма. То есть,

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

Тогда бесследовая часть T равна

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),}$

где ι обозначает внутренний продукт .

Кривизна и тождества Бьянки

Тензор кривизны ∇ — это отображение TM × TM → End(TM ) , определенное на векторных полях X , Y и Z формулами

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

Для векторов в точке это определение не зависит от того, как векторы расширяются до векторных полей вдали от точки (таким образом, оно определяет тензор, во многом похожий на кручение).

Тождества Бьянки связывают кривизну и кручение следующим образом. ^[6] Обозначим циклическую сумму по X , Y и Z . Например, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

Тогда имеют место следующие тождества

1. Первая личность Бьянки:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)}$

2. Вторая личность Бьянки:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0}$

Форма кривизны и тождества Бьянки

Форма кривизны — это gl ( n )-значная 2-форма

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

где, опять же, D обозначает внешнюю ковариантную производную. В терминах формы кривизны и формы кручения соответствующие тождества Бьянки имеют вид ^[7]

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$
2. ${\displaystyle D\Omega =0.}$

Более того, по формам кривизны и кручения можно восстановить тензоры кривизны и кручения следующим образом. В точке u из FxM _имеем [ ⁸ ]

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}}$

где снова u  : R ⁿ → T _x M — функция, задающая репер в слое, а выбор подъема векторов через π ⁻¹ не имеет значения, поскольку формы кривизны и кручения горизонтальны (они исчезают на неоднозначных вертикальных векторах ).

Характеристики и интерпретации

Кручение — это способ характеристики степени скольжения или скручивания, которое совершает плоскость при качении по поверхности или аффинному многообразию более высокой размерности . ^[9]

Например, рассмотрим катку плоскости по маленькому кругу, нарисованному на сфере. Если самолет не скользит и не перекручивается, то при прокатке самолета по окружности он также очертит круг в плоскости. Оказывается, что плоскость повернется (несмотря на то, что при ее вращении не произойдет поворота), эффект обусловлен кривизной сферы . Но начерченная кривая все равно будет кругом, то есть, в частности, замкнутой кривой, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке. С другой стороны, если бы плоскость катилась по сфере, но при этом допускалась ее скольжение или скручивание, то путь, который круг прочерчивает на плоскости, мог бы представлять собой гораздо более общую кривую, которую даже не нужно было бы замыкать. Кручение — это способ количественной оценки этого дополнительного скольжения и скручивания при движении самолета по кривой.

Таким образом, тензор кручения можно интуитивно понять, взяв небольшой контур параллелограмма со сторонами, заданными векторами v и w , в пространстве и прокатав касательное пространство вдоль каждой из четырех сторон параллелограмма, отмечая по мере движения точку контакта. Когда схема будет завершена, отмеченная кривая будет смещена из плоскости параллелограмма вектором, обозначенным . Таким образом, тензор кручения является тензором: (билинейной) функцией двух входных векторов v и w , которая создает выходной вектор . Он кососимметричен по аргументам v и w , что является отражением того факта, что перемещение контура в противоположном направлении отменяет исходное смещение, почти так же, как поворот винта в противоположных направлениях смещает винт в противоположных направлениях. Таким образом, тензор кручения связан с кручением кривой , хотя и отличается от него , как оно появляется в формулах Френе-Серре : кручение соединения измеряет смещение развернутой кривой из ее плоскости, в то время как кручение Кривая также является смещением из соприкасающейся плоскости . В геометрии поверхностей геодезическое кручение описывает, как поверхность закручивается вокруг кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизны измеряет, как движущиеся кадры катятся по кривой, не скользя и не перекручиваясь. ${\displaystyle T(v,w)}$ ${\displaystyle T(v,w)}$

Пример

Рассмотрим (плоское) евклидово пространство . На него положим связь плоскую, но с ненулевым кручением, определяемую на стандартной евклидовой системе координат (евклидовым) векторным произведением : ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$

$${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.}$$

${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}}$ ${\displaystyle X(0)=e_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rl}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{array}}}$$

${\displaystyle {\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a}$ ${\displaystyle X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}}$

Теперь кончик вектора , перемещаясь вдоль оси, очерчивает спираль. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{1}}$

$${\displaystyle x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.}$$

дифференциальной геометрии кривых

Разработка

Одна из интерпретаций кручения предполагает появление кривой. ^[10] Предположим, что задан кусочно-гладкий замкнутый контур , базирующийся в точке , где . Предположим, что гомотопно нулю. Кривую можно развернуть в касательное пространство at следующим образом. Пусть – параллельный кофрейм вдоль , и пусть – координаты на, индуцированные . Развитием является кривая , в координатах которой утверждается дифференциальное уравнение ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta ^{i}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(p)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$

$${\displaystyle dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.}$$

винтовой дислокации^[11] ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)}$

Вышеизложенные соображения можно сделать более количественными, если рассмотреть небольшой параллелограмм, начинающийся в точке , со сторонами . Тогда касательный бивектор к параллелограмму равен . Развертывание этого параллелограмма с помощью связи, вообще говоря, уже не является замкнутым, а перемещение при обходе петли представляет собой перенос по вектору , где – тензор кручения, до членов более высокого порядка по . Это смещение прямо аналогично вектору Бюргерса в кристаллографии. ^{[12] [13]} ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ ${\displaystyle v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M}$ ${\displaystyle \Theta (v,w)}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle v,w}$

В более общем смысле можно также транспортировать движущийся кадр по кривой . Линейная трансформация , которой подвергается рамка, определяется кривизной соединения. Вместе линейное преобразование фрейма и перевод начальной точки из в составляют голономию связи. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

Кручение нити

В материаловедении , и особенно в теории упругости , важную роль также играют идеи кручения. Одна из задач моделирует рост лоз и фокусируется на вопросе, как лозам удается обвивать объекты. ^[14] Сама лоза моделируется как пара эластичных нитей, скрученных друг вокруг друга. В состоянии минимизации энергии лоза естественным образом растет в форме спирали . Но лозу также можно вытянуть, чтобы максимально увеличить ее протяженность (или длину). В этом случае кручение лозы связано с кручением пары нитей (или, что то же самое, кручением поверхности ленты, соединяющей нити), и отражает разницу между максимизирующей длину (геодезической) конфигурацией лозы и его энергосберегающая конфигурация.

Кручение и завихренность

В гидродинамике кручение естественным образом связано с вихревыми линиями .

Предположим, что соединение задано в трех измерениях с 2-формой кривизны и 2-формой кручения . Пусть – кососимметричный тензор Леви-Чивита , и ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega _{a}^{b}}$ ${\displaystyle \Theta ^{a}=D\theta ^{a}}$ ${\displaystyle \eta _{abc}}$

$${\displaystyle t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},}$$

$${\displaystyle s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.}$$

$${\displaystyle D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.}$$

${\displaystyle Dt_{a}=0}$

$${\displaystyle Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.}$$

^[15] ${\displaystyle s_{ab}}$

Геодезика и поглощение кручения

Предположим, что γ ( t ) — кривая на M. Тогда γ — аффинно параметризованная геодезическая при условии, что

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$

для всего времени t в области γ . (Здесь точка обозначает дифференцирование по t , которое связывает с γ касательный вектор, указывающий вдоль него.) Каждая геодезическая однозначно определяется своим начальным касательным вектором в момент времени t = 0 , . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$

Одно из применений кручения соединения включает в себя геодезическое распыление соединения: грубо говоря, семейство всех аффинно параметризованных геодезических. Кручение — это неоднозначность классификации связей по их геодезическим разбрызгиваниям:

• Две связности ∇ и ∇′, имеющие одинаковые аффинно параметризованные геодезические (т.е. один и тот же геодезический спрей), отличаются только кручением. ^[16]

Точнее, если X и Y — пара касательных векторов в точке p ∈ M , то пусть

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}$

быть разницей двух связей, рассчитанной с точки зрения произвольных расширений X и Y от p . По правилу произведения Лейбница видно, что Δ на самом деле не зависит от того, как расширяются X и Y ′ (поэтому оно определяет тензор на M ). Пусть S и A — симметричные и знакопеременные части Δ:

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$

Затем

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$– разность тензоров кручения.
• ∇ и ∇′ определяют одни и те же семейства аффинно параметризованных геодезических тогда и только тогда, когда S ( X , Y ) = 0 .

Другими словами, симметричная часть разности двух связей определяет, имеют ли они одинаковые параметризованные геодезические, тогда как косая часть разности определяется относительным кручением двух связей. Другое последствие:

• Для любой аффинной связности ∇ существует единственная связность без кручения ∇′ с тем же семейством аффинно параметризованных геодезических. Разница между этими двумя связями на самом деле представляет собой тензор, тензор конторсии .

Это обобщение основной теоремы римановой геометрии на общие аффинные (возможно, неметрические) связности. Выделение единственной связи без кручения, подчиненной семейству параметризованных геодезических, известно как поглощение кручения и является одним из этапов метода эквивалентности Картана .

Смотрите также

• Тензор конторсии
• Куртрайт Филд
• Тензор кривизны
• Связь Леви-Чивита
• Коэффициент кручения
• Кручение кривых

Примечания

1. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Теорема 5.1
2. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Предложение 7.6
3. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Раздел 2
4. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Теорема 2.4
5. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Раздел 7
6. Кобаяши и Номидзу 1963, Том 1, Предложение III.5.2.
7. Кобаяши и Номидзу 1963, Том 1, III.2.
8. Кобаяши и Номидзу 1963, Том 1, III.5.
9. Хель, Ф.В., и Обухов, Ю.Н. (2007). Кручение Эли Картана в геометрии и теории поля, очерк. Препринт arXiv arXiv:0711.1535.
10. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Раздел 4
11. Билби, Б.А., Буллоу, Р., и Смит, Э. (1955). Непрерывные распределения дислокаций: новое применение методов неримановой геометрии. Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки, 231(1185), 263-273.
12. «Торсион», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
13. Озакин А. и Явари А. (2014). Аффинное развитие замкнутых кривых в многообразиях Вайценбека и вектор Бюргерса механики дислокаций. Математика и механика твердого тела , 19 (3), 299–307.
14. Гориели и др. 2006.
15. Траутман (1980) Комментарии к статье Эли Картана: Sur une обобщение понятия de la notion de courbure de Riemann et les espaces a torsion . В Бергманне, П.Г. и Де Саббате, V. Космология и гравитация: вращение, кручение, вращение и супергравитация (том 58). Springer Science & Business Media.
16. См. Спивак (1999), том II, приложение 1 к главе 6. См. также Бишоп и Голдберг (1980), раздел 5.10.

Рекомендации

• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1980), Тензорный анализ многообразий , Dover Publications
• Картан, Э. (1923), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
• Картан, Э. (1924), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party) (Suite)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/asens.753
• Эльжановский, М.; Эпштейн, М. (1985), «Геометрическая характеристика гиперупругой однородности», Архив Rational Mechanics and Analysis , 88 (4): 347–357, Бибкод : 1985ArRMA..88..347E, doi : 10.1007/BF00250871, S2CID  120127682
• Гориели, А.; Робертсон-Тесси, М.; Табор, М.; Вандивер, Р. (2006), «Модели эластичного роста» (PDF) , BIOMAT-2006 , Springer-Verlag , заархивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г.
• Хель, ФРВ; фон дер Хейде, П.; Керлик, Грузия; Нестер, Дж. М. (1976), «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы», Rev. Mod. Физ. , 48 (3): 393–416, Бибкод : 1976RvMP...48..393H, doi : 10.1103/revmodphys.48.393, 393.
• Киббл, TWB (1961), «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле», J. Math. Физ. , 2 (2): 212–221, Бибкод : 1961JMP.....2..212K, doi : 10.1063/1.1703702, 212.
• Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 г.), ISBN 0-471-15733-3
• Поплавски, Нью-Джерси (2009), Пространство-время и поля , arXiv : 0911.0334 , Бибкод : 2009arXiv0911.0334P
• Схоутен, Дж. А. (1954), Исчисление Риччи , Springer-Verlag
• Шрёдингер, Э. (1950), Структура пространства-времени , издательство Кембриджского университета.
• Скиама, Д.В. (1964), «Физическая структура общей теории относительности», Rev. Mod. Физ. , 36 (1): 463, Бибкод : 1964RvMP...36..463S, doi : 10.1103/RevModPhys.36.463
• Спивак, М. (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Том II , Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, ISBN 0-914098-71-3

Внешние ссылки

• Билл Терстон (2011) «Качение без скольжения, интерпретация кручения», URL (версия: 27 января 2011 г.).