Теорема Блоха

Fundamental theorem in condensed matter physics

Изоповерхность квадратного модуля блоховского состояния в решетке кремния

Сплошная линия: схематическое изображение реальной части типичного состояния Блоха в одном измерении. Пунктирная линия соответствует коэффициенту e ^{i k · r} . Светлые круги представляют атомы.

В физике конденсированного состояния теорема Блоха утверждает, что решения уравнения Шредингера в периодическом потенциале могут быть выражены как плоские волны, модулированные периодическими функциями . Теорема названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха , открывшего теорему в 1929 году. ^[1] Математически они записываются ^[2]

функция Блоха

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

где - положение, - волновая функция , - периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор - вектор импульса кристалла , - число Эйлера , - мнимая единица . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i}$

Функции этого вида известны как функции Блоха или состояния Блоха и служат подходящей основой для волновых функций или состояний электронов в кристаллических твердых телах .

Описание электронов с помощью функций Блоха, называемых блоховскими электронами (или реже волнами Блоха ), лежит в основе концепции электронных зонных структур .

Эти собственные состояния записываются с индексами как , где – дискретный индекс, называемый индексом зоны , который присутствует, поскольку существует множество различных волновых функций с одним и тем же (каждая из них имеет разные периодические компоненты ). Внутри зоны (т. е. при фиксированном ) непрерывно меняется с , как и ее энергия. Кроме того, является уникальным только с точностью до постоянного вектора обратной решетки , или . Следовательно, волновой вектор можно без ограничения общности ограничить первой зоной Бриллюэна обратной решетки . ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Приложения и последствия

Применимость

Наиболее распространенным примером теоремы Блоха является описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура. Однако описание волн Блоха в более общем смысле применимо к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодическая диэлектрическая структура в электромагнетизме приводит к фотонным кристаллам , а периодическая акустическая среда — к фононным кристаллам . Обычно его рассматривают в различных формах динамической теории дифракции .

Волновой вектор

Волновую функцию Блоха (внизу) можно разбить на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одно и то же состояние Блоха, разбитое двумя разными способами, с использованием волнового вектора k ₁ (слева) или k ₂ (справа). Разность ( k ₁ − k ₂ ) представляет собой вектор обратной решетки . На всех графиках синий цвет — это действительная часть, а красный — мнимая часть.

Предположим, что электрон находится в блоховском состоянии , где u периодичен с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Фактическое квантовое состояние электрона полностью определяется , а не непосредственно k или u . Это важно, потому что k и u не уникальны . В частности, если можно записать, как указано выше, используя k , это также можно записать, используя ( k + K ) , где K — любой вектор обратной решетки (см. рисунок справа). Следовательно, волновые векторы, отличающиеся на вектор обратной решетки, эквивалентны в том смысле, что характеризуют один и тот же набор блоховских состояний. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Первая зона Бриллюэна представляет собой ограниченный набор значений k со свойством, что никакие два из них не эквивалентны, но каждое возможное k эквивалентно одному (и только одному) вектору в первой зоне Бриллюэна. Следовательно, если мы ограничим k первой зоной Бриллюэна, то каждое состояние Блоха будет иметь уникальное k . Поэтому первая зона Бриллюэна часто используется для изображения всех блоховских состояний без избыточности, например, в зонной структуре, и по той же причине используется во многих расчетах.

Когда k умножается на приведенную постоянную Планка , она равна кристаллическому импульсу электрона . В связи с этим групповую скорость электрона можно рассчитать на основе того, как энергия блоховского состояния меняется с k ; более подробную информацию см. в разделе «Импульс кристалла».

Подробный пример

Подробный пример, на котором разрабатываются следствия теоремы Блоха в конкретной ситуации, см. в статье Частица в одномерной решетке (периодический потенциал) .

Заявление

Теорема Блоха  .  Для электронов в идеальном кристалле существует основа волновых функций со следующими двумя свойствами:

• каждая из этих волновых функций является собственным состоянием энергии,
• каждая из этих волновых функций является состоянием Блоха, а это означает, что эту волновую функцию можно записать в виде , где u ( r ) имеет ту же периодичность, что и атомная структура кристалла, так что ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).}$$

Второй и эквивалентный способ формулировки теоремы заключается в следующем ^[3]

Теорема Блоха  .  Для любой волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, и для перевода вектора решетки существует хотя бы один вектор такой, что: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).}$$

Доказательство

Использование периодичности решетки

Поскольку теорема Блоха является утверждением о периодичности решетки, в этом доказательстве все симметрии закодированы как трансляционная симметрия самой волновой функции.

Доказательство с использованием периодичности решетки.

Источник: ^[4]

Предварительные сведения: кристаллические симметрии, решетка и обратная решетка.

Определяющим свойством кристалла является трансляционная симметрия. Это означает, что если кристалл сдвинуть на соответствующую величину, все его атомы окажутся в одних и тех же местах. (Кристалл конечного размера не может иметь идеальную трансляционную симметрию, но это полезное приближение.)

Трехмерный кристалл имеет три примитивных вектора решетки a ₁ , a ₂ , a ₃ . Если кристалл смещается под воздействием любого из этих трех векторов или их комбинации вида где n _i — три целых числа, то атомы оказываются в том же наборе мест, в котором они находились в начале. $${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},}$$

Еще одним полезным ингредиентом доказательства являются векторы обратной решетки . Это три вектора b ₁ , b ₂ , b ₃ (с единицами обратной длины) со свойством a _i · b _i = 2 π , но a _i · b _j = 0 , когда i ≠ j . (Формулу для b _i см. в разделе вектор обратной решетки .)

Лемма об операторах перевода

Обозначим через оператор перевода , который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ (как и выше, n _j — целые числа). Для доказательства теоремы Блоха полезен следующий факт: ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$

Лемма  .  Если волновая функция ψ является собственным состоянием всех операторов перевода (одновременно), то ψ является состоянием Блоха.

Доказательство леммы

Предположим, что у нас есть волновая функция ψ , которая является собственным состоянием всех операторов сдвига. В качестве частного случая для j = 1, 2, 3 , где C _j — три числа ( собственные значения ), которые не зависят от r . Полезно записать числа C _j в другой форме, выбрав три числа θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ с e ^{2 πiθ _j} = C _j : Опять же, θ _j — это три числа, которые не зависят от r . Определим k = θ ₁ b ₁ + θ ₂ b ₂ + θ ₃ b ₃ , где b _j — векторы обратной решетки (см. выше). Наконец, определите Тогда. Это доказывает, что u имеет периодичность решетки. Поскольку это доказывает, что государство является государством Блоха. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$

Наконец, мы готовы к основному доказательству теоремы Блоха, которое заключается в следующем.

Как и выше, обозначим оператор перевода , который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ , где n _i — целые числа. Поскольку кристалл обладает трансляционной симметрией, этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона . Более того, каждый такой оператор перевода коммутирует со всеми другими. Следовательно, существует одновременно собственный базис оператора Гамильтона и любого возможного оператора. Эта основа и есть то, что мы ищем. Волновые функции в этом базисе являются собственными состояниями энергии (потому что они являются собственными состояниями гамильтониана), а также состояниями Блоха (потому что они являются собственными состояниями операторов перевода; см. лемму выше). ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$

Использование операторов

В этом доказательстве все симметрии кодируются как коммутационные свойства операторов перевода.

Доказательство с помощью операторов

Источник: ^[5]

Мы определяем оператор сдвига с помощью Мы используем гипотезу среднего периодического потенциала и приближение независимого электрона с гамильтонианом. Учитывая, что гамильтониан инвариантен для сдвига, он должен коммутировать с оператором сдвига, и оба оператора должны иметь общий набор собственных функций. Поэтому мы начинаем рассматривать собственные функции оператора перевода: Данный оператор является аддитивным. Если мы подставим сюда уравнение собственных значений и разделим обе части, то получим $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

Это верно для того, где, если мы используем условие нормализации для одной примитивной ячейки объема V и, следовательно, и где . Наконец, что справедливо для волны Блоха, т.е. для с $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$ $${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$ $${\displaystyle s=ik}$$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

Использование теории групп

Помимо технических деталей теории групп, это доказательство интересно тем, что становится ясно, как обобщить теорему Блоха для групп, которые не являются только сдвигами. Обычно это делается для пространственных групп , которые представляют собой комбинацию трансляции и точечной группы , и используется для расчета зонной структуры, спектра и удельной теплоемкости кристаллов с учетом определенной симметрии кристаллической группы, такой как FCC или BCC, и, в конечном итоге, дополнительного базиса . ^{[6] : 365–367  [7]} В этом доказательстве также можно заметить, насколько важно то, что дополнительная точечная группа определяется симметрией эффективного потенциала, но она должна коммутировать с гамильтонианом.

Доказательство с помощью теории характеров ^{[6] : 345–348.}

Все переводы унитарные и абелевы .​ Переводы можно записать в терминах единичных векторов. Мы можем думать о них как о коммутирующих операторах, где $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

Коммутативность операторов дает три коммутирующие циклические подгруппы (при условии, что они могут быть порождены только одним элементом), которые являются бесконечными, одномерными и абелевыми. Все неприводимые представления абелевых групп одномерны. ^[8] ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$

Поскольку они одномерны, матричное представление и символ одинаковы. Символ — это представление комплексных чисел группы или также след представления , которое в данном случае является одномерной матрицей. Все эти подгруппы, поскольку они циклические, имеют характеры, являющиеся соответствующими корнями из единицы . По сути у них есть один генератор , который должен подчиняться , а значит и персонажу . Обратите внимание, что это просто в случае конечной циклической группы, но в счетном бесконечном случае бесконечной циклической группы (т.е. группы сдвигов в данном случае) существует предел, при котором характер остается конечным. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$ ${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Учитывая, что символ является корнем из единицы, для каждой подгруппы символ можно записать как $${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

Если ввести граничное условие Борна–фон Кармана на потенциал: где L – макроскопическая периодичность в направлении , которую также можно рассматривать как кратную где $${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Эта замена в независимом от времени уравнении Шредингера простым эффективным гамильтонианом приводит к периодичности волновой функции: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

И для каждого измерения оператор перевода с периодом L $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

Отсюда мы видим, что символ также должен быть инвариантным при переводе : и из последнего уравнения мы получаем для каждого измерения периодическое условие: где - целое число и ${\displaystyle L_{i}}$ $${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$ $${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$ ${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

Волновой вектор идентифицирует неприводимое представление таким же образом , как и является макроскопической периодической длиной кристалла в направлении . В этом контексте волновой вектор служит квантовым числом для оператора перевода. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Мы можем обобщить это на 3 измерения , и общая формула для волновой функции будет выглядеть следующим образом: т.е. специализируя ее на сдвиге , и мы доказали теорему Блоха. ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$

В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, то есть разложение волновой функции, обобщается из дискретного преобразования Фурье , которое применимо только для циклических групп и, следовательно, переводов, в разложение волновой функции по характеру , где характеры заданной из конкретной конечной точечной группы .

Также здесь можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) можно рассматривать как фундаментальные строительные блоки, а не сами неприводимые представления. ^[9]

Скорость и эффективная масса

Если мы применим независимое от времени уравнение Шредингера к волновой функции Блоха, мы получим с граничными условиями. Учитывая, что это определено в конечном объеме, мы ожидаем бесконечное семейство собственных значений; здесь параметр гамильтониана, и поэтому мы приходим к «непрерывному семейству» собственных значений, зависящему от непрерывного параметра , и, таким образом, к основной концепции зонной электронной структуры. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$

Доказательство ^[10]

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}$$

Мы остаемся с $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$$

Это показывает, что эффективный импульс можно рассматривать как состоящий из двух частей: стандартного импульса и кристаллического импульса . Точнее, импульс кристалла не является импульсом, но он обозначает импульс так же, как электромагнитный импульс в минимальной связи , и как часть канонического преобразования импульса. $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,}$$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$

Для эффективной скорости мы можем получить

средняя скорость блоховского электрона

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle }$

Доказательство ^[11]

Мы оцениваем производные и, учитывая, что они являются коэффициентами следующего разложения по q , где q считается малым по отношению к k. Даны собственные значения. Мы можем рассмотреть следующую задачу возмущения в q: Теория возмущений второго порядка утверждает, что Для вычисления линейный порядок по q , где интегрирование производится по примитивной ячейке или всему кристаллу, если интеграл нормирован по ячейке или кристаллу. ${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$$ $${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$$ $${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }}$$ $${\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$$

Мы можем упростить q , чтобы получить , и мы можем повторно вставить полные волновые функции $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$$

По эффективной массе

Теорема об эффективной массе

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$

Доказательство ^[11]

Член второго порядка. Снова с исключением , и мы имеем теорему $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$$

Величина справа, умноженная на коэффициент, называется тензором эффективной массы ^[12] , и мы можем использовать ее для записи полуклассического уравнения для носителя заряда в зоне ^[13] ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )}$

Квазиклассическое уравнение движения носителя заряда второго порядка в зоне

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)}$

где ускорение .​ Это уравнение аналогично аппроксимации волнового типа де Бройля ^[14] ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Квазиклассическое уравнение движения электрона первого порядка в зоне

${\displaystyle \hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

В качестве интуитивной интерпретации оба предыдущих уравнения формально напоминают и находятся в полуклассической аналогии со вторым законом Ньютона для электрона во внешней силе Лоренца .

История и связанные с ней уравнения

Концепция состояния Блоха была развита Феликсом Блохом в 1928 г. ^[15] для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же основная математика была открыта независимо несколько раз: Джорджем Уильямом Хиллом (1877 г.), ^[16] Гастоном Флоке (1883 г.), ^[17] и Александром Ляпуновым (1892 г.). ^[18] В результате распространено множество номенклатур: в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям она называется теорией Флоке (или иногда теоремой Ляпунова – Флоке ). Общей формой одномерного периодического потенциального уравнения является уравнение Хилла : ^[19] где f ( t ) — периодический потенциал. Конкретные периодические одномерные уравнения включают модель Кронига – Пенни и уравнение Матье . $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$$

Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеров группы решетки и применяется к спектральной геометрии . ^{[20] [21] [22]}

Смотрите также

• Блоховские колебания
• Волна Блоха – метод МоМ
• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Периодические граничные условия
• Симметрии в квантовой механике
• Модель жесткой привязки
• Функция Ванье

Рекомендации

1. Блох, Ф. (1929). Сверх квантовая механика электронов в кристаллическом кристалле. Zeitschrift für Physik, 52(7), 555-600.
2. Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-14286-7.
3. Зиман, Дж. М. (1972). Основы теории твердого тела (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 17–20. ISBN 0521297338.
4. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 134
5. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 137
6. Дрессельхаус, MS (2002). «Приложения теории групп к физике твердого тела» (PDF) . Массачусетский технологический институт . Архивировано (PDF) из оригинала 1 ноября 2019 г. Проверено 12 сентября 2020 г.
7. Колебательный спектр и теплоемкость гранецентрированного кубического кристалла, Роберт Б. Лейтон [1]
8. Рой, Рики (2 мая 2010 г.). «Теория представлений» (PDF) . Университет Пьюджет-Саунд.
9. Представления групп и гармонический анализ от Эйлера до Ленглендса, Часть II [2]
10. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 140
11. Ashcroft & Mermin 1976, с. 765 Приложение Е
12. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 228
13. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 229
14. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 227
15. Феликс Блох (1928). «Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 52 (7–8): 555–600. Бибкод : 1929ZPhy...52..555B. дои : 10.1007/BF01339455. S2CID  120668259.
16. Джордж Уильям Хилл (1886). «О движении лунного перигея, которое является функцией средних движений Солнца и Луны». Акта математика . 8 : 1–36. дои : 10.1007/BF02417081 .Эта работа была первоначально опубликована и распространена частным образом в 1877 году.
17. Гастон Флоке (1883). «Sur les équations différentielles linéaires à periodiques periodiques». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. дои : 10.24033/asens.220 .
18. Александр Михайлович Ляпунов (1992). Общая проблема устойчивости движения . Лондон: Тейлор и Фрэнсис.Перевод А. Т. Фуллера с французского перевода Эдуарда Даво (1907 г.) оригинальной русской диссертации (1892 г.).
19. Магнус, Вт ; Винклер, С. (2004). Уравнение Хилла. Курьер Дувр. п. 11. ISBN 0-486-49565-5.
20. Кучмент, П. (1982), Теория Флоке для уравнений в частных производных , RUSS MATH SURV., 37, 1–60
21. Кацуда, А.; Сунада, Т. (1987). «Гомологии и замкнутые геодезические на компактной римановой поверхности». амер. Дж. Математика . 110 (1): 145–156. дои : 10.2307/2374542. JSTOR  2374542.
22. Котани М; Сунада Т. (2000). «Карты Альбанезе и недиагональная долговременная асимптотика теплового ядра». Комм. Математика. Физ . 209 (3): 633–670. Бибкод : 2000CMaPh.209..633K. дои : 10.1007/s002200050033. S2CID  121065949.

дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Дрессельхаус, MS (2010). Теория групп: приложение к физике конденсированного состояния. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-642-06945-1. ОСЛК  692760083.
• Х. Фёлль. «Периодические потенциалы и теорема Блоха – лекции по курсу «Полупроводники I»». Кильский университет.
• MSP Истхэм (1973). Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений . Тексты по математике. Эдинбург: Шотландская академическая пресса.
• Ж. Газалет; С. Дюпон; Дж. К. Кастелик; К. Роллан и Б. Джафари-Рухани (2013). «Учебный обзор волн, распространяющихся в периодических средах: электронные, фотонные и фононные кристаллы. Восприятие теоремы Блоха как в реальной, так и в области Фурье». Волновое движение . 50 (3): 619–654. дои : 10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.