Теорема Фубини

Условия переключения порядка интегрирования в исчислении

В математическом анализе теорема Фубини характеризует условия, при которых возможно вычислить двойной интеграл с помощью повторного интеграла . Она была введена Гвидо Фубини в 1907 году . Теорема утверждает, что если функция интегрируема по Лебегу на прямоугольнике , то можно вычислить двойной интеграл как повторный интеграл: Эта формула, как правило, неверна для интеграла Римана , но она верна, если функция непрерывна на прямоугольнике. В многомерном исчислении этот более слабый результат иногда также называют теоремой Фубини, хотя он был известен еще Леонарду Эйлеру . ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle \,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right){\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right){\text{d}}y.}$$

Теорема Тонелли , введенная Леонидой Тонелли в 1909 году, похожа, но применяется к неотрицательной измеримой функции, а не к интегрируемой функции по ее области определения. Теоремы Фубини и Тонелли обычно объединяются и образуют теорему Фубини-Тонелли, которая дает условия, при которых можно изменить порядок интегрирования в повторном интеграле.

Схожая теорема часто называется теоремой Фубини для бесконечных рядов , ^[1] хотя она принадлежит Альфреду Прингсхайму . ^[2] Она утверждает, что если — последовательность действительных чисел с двойным индексом, и если является абсолютно сходящейся, то ${\textstyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$

${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}.}$

Хотя теорема Фубини для бесконечных рядов является частным случаем более общей теоремы Фубини, не обязательно следует характеризовать первую как доказанную последней, поскольку свойства мер, необходимые для доказательства теоремы Фубини, в частности субаддитивность меры, могут быть доказаны с помощью теоремы Фубини для бесконечных рядов. ^[3]

История

Частный случай теоремы Фубини для непрерывных функций на произведении замкнутых ограниченных подмножеств действительных векторных пространств был известен Леонарду Эйлеру в 18 веке. В 1904 году Анри Лебег распространил этот результат на ограниченные измеримые функции на произведении интервалов. ^[4] Леви предположил, что теорему можно распространить на функции, которые интегрируемы, а не ограничены ^{[ требуется ссылка ]} , и это было доказано Фубини в 1907 году. ^[5] В 1909 году Леонида Тонелли дала вариацию теоремы Фубини, которая применяется к неотрицательным функциям, а не к интегрируемым функциям. ^[6]

Меры по продукту

Если и являются пространствами мер , то существует несколько естественных способов определить меру произведения на произведении . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

В смысле теории категорий измеримые множества в произведении пространств с мерой являются элементами σ-алгебры, порожденной произведениями , где измеримо по и измеримо по . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

Мера μ на X  ×  Y называется мерой произведения , если μ ( A  ×  B ) =  μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) для измеримых подмножеств A  ⊂  X и B  ⊂  Y и мер μ ₁ на X и μ ₂ на Y . В общем случае может быть много различных мер произведения на X  ×  Y . Теорема Фубини и теорема Тонелли требуют технических условий, чтобы избежать этого осложнения; наиболее распространенный подход заключается в предположении, что все пространства мер являются σ-конечными , и в этом случае существует единственная мера произведения на X × Y . Всегда существует единственная максимальная мера произведения на X  ×  Y , где мера измеримого множества является инф мер множеств, содержащих его, которые являются счетными объединениями произведений измеримых множеств. Максимальную меру произведения можно построить, применив теорему Каратеодори о расширении к аддитивной функции μ, такой что μ ( A  ×  B ) =  μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) на кольце множеств, порожденных произведениями измеримых множеств. (Теорема Каратеодори о расширении дает меру на пространстве с мерой, которое в общем случае содержит больше измеримых множеств, чем пространство с мерой X  ×  Y , поэтому, строго говоря, мера должна быть ограничена σ-алгеброй, порожденной произведениями A  ×  B измеримых подмножеств X и Y .)

Произведение двух полных мерных пространств обычно не является полным. Например, произведение меры Лебега на единичном интервале I с собой не является мерой Лебега на квадрате I  ×  I. Существует вариация теоремы Фубини для полных мер, которая использует завершение произведения мер вместо незавершенного произведения.

Для интегрируемых функций

Предположим, что X и Y являются σ-конечными мерными пространствами, и предположим, что X  ×  Y задана мера произведения (которая уникальна, поскольку X и Y являются σ-конечными). Теорема Фубини утверждает, что если f является X  ×  Y интегрируемой, то есть f является измеримой функцией , и тогда $${\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}$$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Первые два интеграла являются итерированными интегралами относительно двух мер соответственно, а третий является интегралом относительно меры произведения. Частичные интегралы и не обязательно должны быть определены везде, но это не имеет значения, так как точки, где они не определены, образуют множество меры 0. ${\textstyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ ${\textstyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$

Если указанный выше интеграл абсолютного значения не является конечным, то два повторных интеграла могут иметь разные значения. Ниже приведена иллюстрация этой возможности.

Условие, что X и Y являются σ-конечными, обычно безвредно, поскольку почти все пространства мер, для которых требуется использовать теорему Фубини, являются σ-конечными. Теорема Фубини имеет некоторые довольно технические расширения на случай, когда X и Y не предполагаются σ-конечными (Fremlin 2003). Основное дополнительное осложнение в этом случае состоит в том, что может быть более одной меры произведения на X × Y . Теорема Фубини продолжает выполняться для максимальной меры произведения, но может не выполняться для других мер произведения. Например, существует мера произведения и неотрицательная измеримая функция f, для которых двойной интеграл от | f | равен нулю, но два повторных интеграла имеют разные значения; см. раздел о контрпримерах ниже для примера этого. Теорема Тонелли и теорема Фубини–Тонелли (изложенная ниже) могут не выполняться на не σ-конечных пространствах, даже для максимальной меры произведения.

Теорема Тонелли для неотрицательных измеримых функций

Теорема Тонелли , названная в честьЛеониды Тонелли, является преемницей теоремы Фубини. Заключение теоремы Тонелли идентично заключению теоремы Фубини, но предположение о том, чтоимеет конечный интеграл, заменено предположением о том, чтоявляется неотрицательной измеримой функцией. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

Теорема Тонелли утверждает, что если и являются σ-конечными мерными пространствами , а является неотрицательной измеримой функцией, то ${\displaystyle (X,A,\mu )}$ ${\displaystyle (Y,B,\nu )}$ ${\displaystyle f:X\times Y\to [0,\infty ]}$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Особый случай теоремы Тонелли заключается в перестановке сумм, как в , где неотрицательны для всех x и y . Суть теоремы в том, что перестановка порядка сумм сохраняется, даже если ряд расходится. По сути, единственный способ, которым изменение порядка суммирования может изменить сумму, — это когда существуют некоторые подпоследовательности, которые расходятся к , и другие, расходящиеся к . При всех неотрицательных элементах этого не происходит в приведенном примере. ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$ ${\displaystyle a_{xy}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Без условия, что мерные пространства являются σ-конечными, все три этих интеграла могут иметь разные значения. Некоторые авторы дают обобщения теоремы Тонелли на некоторые мерные пространства, которые не являются σ-конечными, но эти обобщения часто добавляют условия, которые немедленно сводят проблему к σ-конечному случаю. Например, можно было бы взять σ-алгебру на A × B как ту, которая генерируется произведением подмножеств конечной меры, а не ту, которая генерируется всеми произведениями измеримых подмножеств, хотя это имеет нежелательное последствие, что проекции из произведения на его множители A и B не являются измеримыми. Другой способ — добавить условие, что носитель f содержится в счетном объединении произведений множеств конечных мер. Фремлин (2003) дает некоторые довольно технические расширения теоремы Тонелли на некоторые не σ-конечные пространства. Ни одно из этих обобщений не нашло существенного применения за пределами абстрактной теории меры, во многом потому, что почти все пространства мер, представляющие практический интерес, являются σ-конечными.

Теорема Фубини–Тонелли

Объединение теоремы Фубини с теоремой Тонелли дает теорему Фубини–Тонелли. Часто называемая просто теоремой Фубини, она утверждает, что если и являются σ-конечными мерными пространствами, и если является измеримой функцией, то Более того, если любой из этих интегралов конечен, то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}$$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Абсолютное значение в условиях выше может быть заменено либо положительной, либо отрицательной частью ; эти формы включают теорему Тонелли как частный случай, поскольку отрицательная часть неотрицательной функции равна нулю и, следовательно, имеет конечный интеграл. Неформально, все эти условия говорят, что двойной интеграл от хорошо определен, хотя, возможно, бесконечен. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Преимущество теоремы Фубини–Тонелли над теоремой Фубини заключается в том, что повторные интегралы могут быть проще для изучения, чем двойной интеграл. Как и в теореме Фубини, одинарные интегралы могут не быть определены на множестве меры 0. ${\displaystyle |f|}$

Для полных мер

Версии теорем Фубини и Тонелли выше не применимы к интегрированию на произведении действительной прямой с собой и мерой Лебега. Проблема в том, что мера Лебега на не является произведением меры Лебега на с собой, а скорее его завершением: произведением двух полных пространств мер и в общем случае не является полной. По этой причине иногда используют версии теоремы Фубини для полных мер: грубо говоря, заменяют все меры их завершениями. Различные версии теоремы Фубини похожи на версии выше, со следующими незначительными отличиями: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• Вместо того чтобы брать произведение двух пространств мер, берется завершение некоторого произведения. ${\displaystyle X\times Y}$
• Если измеримо по завершении , то его ограничения на вертикальные или горизонтальные линии могут быть неизмеримыми для подмножества линий с мерой 0, поэтому нужно допустить возможность того, что вертикальные или горизонтальные интегралы не определены на множестве с мерой 0, поскольку они включают интегрирование неизмеримых функций. Это не имеет большого значения, поскольку они уже могут быть неопределенными из-за неинтегрируемости функций. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• Обычно также предполагается, что меры на и являются полными, в противном случае два частных интеграла по вертикальным или горизонтальным линиям могут быть хорошо определены, но не измеримы. Например, если является характеристической функцией произведения измеримого множества и неизмеримого множества, содержащегося в множестве меры 0, то ее единственный интеграл хорошо определен всюду, но не измерим. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Доказательства

Доказательства теорем Фубини и Тонелли по необходимости несколько техничны, поскольку они должны использовать гипотезу, связанную с σ-конечностью . Большинство доказательств включают в себя построение полных теорем путем доказательства их для все более сложных функций, с шагами, как указано ниже.

1. Используйте тот факт, что мера произведения является мультипликативной для прямоугольников, чтобы доказать теоремы для характеристических функций прямоугольников.
2. Используйте условие, что пространства σ-конечны (или какое-либо связанное с ним условие), чтобы доказать теорему для характеристических функций измеримых множеств. Это также охватывает случай простых измеримых функций (измеримых функций, принимающих только конечное число значений).
3. Используя условие измеримости функций, доказать теоремы для положительных измеримых функций, приближая их простыми измеримыми функциями. Это доказывает теорему Тонелли.
4. Используйте условие интегрируемости функций, чтобы записать их как разность двух положительных интегрируемых функций и применить теорему Тонелли к каждой из них. Это доказывает теорему Фубини.

Интегралы Римана

Для интегралов Римана теорема Фубини доказывается путем уточнения разбиений вдоль осей x и y с целью создания совместного разбиения вида , которое является разбиением по . Это используется для того, чтобы показать, что двойные интегралы любого порядка равны интегралу по . ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]\times [y_{j},y_{j+1}]}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Контрпримеры

Следующие примеры показывают, как теорема Фубини и теорема Тонелли могут оказаться неверными, если опустить любую из их гипотез.

Несостоятельность теоремы Тонелли для не σ-конечных пространств

Предположим, что X — единичный интервал с измеримыми по Лебегу множествами и мерой Лебега, а Y — единичный интервал со всеми измеримыми подмножествами и подсчитывающей мерой , так что Y не является σ-конечным. Если f — характеристическая функция диагонали X × Y , то интегрирование f по X дает функцию 0 на Y , но интегрирование f по Y дает функцию 1 на X . Таким образом, два повторных интеграла различны. Это показывает, что теорема Тонелли может быть ошибочной для пространств, которые не являются σ-конечными, независимо от того, какая мера произведения выбрана. Обе меры являются разложимыми , что показывает, что теорема Тонелли ошибочна для разложимых мер (которые немного более общие, чем σ-конечные меры).

Несостоятельность теоремы Фубини для немаксимальных мер произведения

Теорема Фубини справедлива для пространств, даже если они не предполагаются σ-конечными, при условии использования максимальной меры произведения. В приведенном выше примере для максимальной меры произведения диагональ имеет бесконечную меру, поэтому двойной интеграл от | f | бесконечен, и теорема Фубини справедлива бессодержательно. Однако, если мы дадим X × Y меру произведения так, что мера множества является суммой мер Лебега его горизонтальных сечений, то двойной интеграл от | f | равен нулю, но два повторных интеграла все еще имеют разные значения. Это дает пример меры произведения, где теорема Фубини неверна.

Это дает пример двух различных мер произведения на одном и том же произведении двух пространств мер. Для произведений двух σ-конечных пространств мер существует только одна мера произведения.

Несостоятельность теоремы Тонелли для неизмеримых функций

Предположим, что X — первый несчетный ординал с конечной мерой, где измеримые множества либо счетны (с мерой 0), либо являются множествами счетного дополнения (с мерой 1). (Неизмеримое) подмножество E множества X × X , заданное парами ( x , y ) с x < y, счетно на каждой горизонтальной линии и имеет счетное дополнение на каждой вертикальной линии. Если f — характеристическая функция множества E , то два повторных интеграла f определены и имеют различные значения 1 и 0. Функция f неизмерима. Это показывает, что теорема Тонелли может не выполняться для неизмеримых функций.

Несостоятельность теоремы Фубини для неизмеримых функций

Разновидность приведенного выше примера показывает, что теорема Фубини может оказаться неверной для неизмеримых функций, даже если | f | интегрируема и оба повторных интеграла хорошо определены: если мы возьмем f равным 1 на E и –1 на дополнении к E , то | f | интегрируема на произведении с интегралом 1, и оба повторных интеграла хорошо определены, но имеют разные значения 1 и –1.

Предполагая гипотезу континуума, можно отождествить X с единичным интервалом I , так что существует ограниченная неотрицательная функция на I × I, два повторных интеграла которой (использующие меру Лебега) оба определены, но не равны. Этот пример был найден Вацлавом Серпинским  (1920). ^[7] Более сильные версии теоремы Фубини о произведении двух единичных интервалов с мерой Лебега, где функция больше не предполагается измеримой, а просто то, что два повторных интеграла хорошо определены и существуют, не зависят от стандартных аксиом Цермело–Френкеля теории множеств . Континуум-гипотеза и аксиома Мартина подразумевают, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны, в то время как Харви Фридман  (1980) показал, что с ZFC согласуется то, что сильная теорема типа Фубини для [0,1] верна, и всякий раз, когда существуют два повторных интеграла, они равны. ^[8] См. Список утверждений, неразрешимых в ZFC .

Несостоятельность теоремы Фубини для неинтегрируемых функций

Теорема Фубини гласит, что (для измеримых функций на произведении σ-конечных мерных пространств), если интеграл абсолютной величины конечен, то порядок интегрирования не имеет значения; если мы сначала интегрируем по x , а затем по y , мы получаем тот же результат, что и при интегрировании сначала по y , а затем по x . Предположение о том, что интеграл абсолютной величины конечен, называется « интегрируемостью по Лебегу », и без нее два повторных интеграла могут иметь разные значения.

Простой пример, показывающий, что повторные интегралы могут быть разными в общем случае, — взять два пространства мер положительными целыми числами и взять функцию f ( x , y ) равной 1, если x = y , −1, если x  =  y  + 1, и 0 в противном случае. Тогда два повторных интеграла будут иметь разные значения 0 и 1.

Другой пример для функции имеет следующий вид: Повторные интегралы $${\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).}$$

$${\displaystyle \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}}$$и имеют разные значения. Соответствующий двойной интеграл не сходится абсолютно (иначе говоря, интеграл от абсолютного значения не является конечным): $${\displaystyle \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty .}$$

Теорема Фубини об умножении интегралов

Произведение двух интегралов

Для произведения двух интегралов с нижним пределом, равным нулю, и общим верхним пределом имеем следующую формулу:

Доказательство

Пусть и являются примитивными функциями функций и соответственно, которые проходят через начало координат: ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u)}$

Поэтому у нас есть

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=V(u)W(u)}$$

По правилу произведения производная правой части равна

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl [}V(x)W(x){\bigr ]}=V(x)w(x)+v(x)W(x)}$$

и путем интегрирования имеем:

$${\displaystyle \int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)}$$

Таким образом, уравнение с самого начала получается:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x}$$

Теперь введем второй параметр интегрирования для описания первообразных и : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}V(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=V(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}W(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=W(x)}$

При подстановке появляется двойной интеграл:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}w(x)+v(x){\biggl [}\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

Функции, которые являются чуждыми для рассматриваемого параметра интеграции, могут быть импортированы во внутреннюю функцию в качестве фактора:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}+{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

На следующем этапе к интегралам применяется правило сумм :

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

И наконец, используем теорему Фубини

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

Примеры расчетов

Арксинус Интеграл

Интеграл арксинуса, также называемый интегралом обратного синуса, является функцией, которая не может быть представлена ​​элементарными функциями . Однако интеграл арксинуса имеет некоторые элементарные значения функции. Эти значения можно определить путем интегрирования производной интеграла арксинуса, которая является частным от деления арксинуса на функцию тождества — кардинализированный арксинус. Интеграл арксинуса — это в точности исходная первообразная кардинализированного арксинуса. Для интегрирования этой функции теорема Фубини служит ключом, который открывает интеграл, меняя порядок параметров интегрирования. При правильном применении теорема Фубини приводит непосредственно к первообразной функции, которая может быть интегрирована элементарным способом, что показано голубым цветом в следующей цепочке уравнений:

$${\displaystyle \operatorname {Si} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$ $${\displaystyle ={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\ ,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}{\color {blue}\,\mathrm {d} x}{\color {green}\,\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y=}$$ $${\displaystyle ={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}{\frac {\pi }{2}}\ln {\bigl [}2{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}$$

Эта-функция Дирихле

Ряд Дирихле определяет эта -функцию Дирихле следующим образом:

$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots }$$

Значение η(2) равно π²/12, и это можно доказать с помощью теоремы Фубини ^{[ сомнительно – обсудим ]} следующим образом:

$${\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x}$$

Интеграл произведения обратной функции и натурального логарифма последующей функции является полилогарифмическим интегралом и не может быть представлен элементарными функциональными выражениями. Теорема Фубини снова раскрывает этот интеграл комбинаторным способом. Это работает путем проведения двойной интеграции на основе теоремы Фубини, используемой для аддитивной комбинации дробно-рациональных функций с дробями линейных и квадратных знаменателей:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$

$${\displaystyle ={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\color {RoyalBlue}{\biggl [}{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$$

Этот способ вычисления интеграла кардинализированного натурального логарифма функции-последователя был открыт Джеймсом Харпером и описан в его работе « Другое простое доказательство точного выражения 1 + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6» .

Исходная первообразная, показанная здесь голубым цветом, приводит непосредственно к значению η(2):

${\displaystyle \eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

Интегралы полных эллиптических интегралов

Несобственный интеграл полного эллиптического интеграла первого рода K принимает значение удвоенной константы Каталана точно. Первообразная этого K-интеграла принадлежит к так называемым эллиптическим полилогарифмам . Константа Каталана может быть получена только через арктангенс интеграла , который получается из применения теоремы Фубини:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}2\,\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C}$$

На этот раз выражение, теперь в королевском голубом тоне, не является элементарным, но оно приводит непосредственно к столь же неэлементарному значению «константы Каталана» с использованием интеграла арктангенса, также называемого интегралом обратного тангенса.

Та же процедура применима и к полному эллиптическому интегралу второго рода E следующим образом:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$ $${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}+{\frac {1}{2}}y{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}}$$

Двойное выполнение для экспоненциальной интегральной функции

Константа Маскерони возникает как Несобственный интеграл от нуля до бесконечности при интегрировании на произведении отрицательного натурального логарифма и экспоненциальной обратной величины . Но это также несобственный интеграл в тех же пределах на Кардинализированной разности обратной величины Последующей функции и экспоненциальной обратной величины :

$${\displaystyle \gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x}}$$

Согласованность этих двух интегралов можно показать, последовательно выполнив теорему Фубини дважды и приведя это двойное выполнение этой теоремы к тождеству с интегралом дополнительной показательной интегральной функции :

Вот как определяется дополнительная интегральная показательная функция:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$

Это производная этой функции:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$

Первая реализация теоремы Фубини:

Этот интеграл от построения интегральной показательной функции приводит к интегралу от отрицательного натурального логарифма и показательной обратной величины:

$${\displaystyle \gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y}={\color {green}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$ $${\displaystyle ={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {green}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}}$$

Вторая реализация теоремы Фубини:

Ранее описанный интеграл от описанной кардинализированной разности приводит к ранее упомянутому интегралу от показательной интегральной функции:

$${\displaystyle \gamma ={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$ $${\displaystyle ={\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}{\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,\mathrm {d} z}}$$

В принципе, произведения показательных функций и дробно-рациональных функций можно интегрировать следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}}$$

Таким образом, дважды используя теорему Фубини, точно показано , что эти интегралы действительно идентичны друг другу.

Интеграл кривой Гаусса

Теперь формула для возведения в квадрат интеграла установлена:

Затем можно составить следующую цепочку уравнений:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {1}{y^{2}+1}}-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp {\biggl [}-x^{2}(y^{2}+1){\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$$

Для интеграла кривой Гаусса это значение можно получить:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

Дилогарифм одного

Теперь снова устанавливается другая формула для возведения в квадрат интеграла:

Итак, эта цепочка уравнений применима в качестве нового примера:

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}=\arcsin(1)^{2}={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\biggl [}2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)}$$

Для дилогарифма единицы это значение выглядит следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Таким образом, можно решить Базельскую проблему .

отношение Лежандра

В следующем примере в качестве шаблона снова используется более обобщенная форма уравнения:

Следующие интегралы можно вычислить, используя неполные эллиптические интегралы первого и второго рода в качестве первообразных, и эти интегралы имеют значения, которые можно представить с помощью полных эллиптических интегралов :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=}$

$${\displaystyle {\biggl \{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}}$$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=}$

$${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}-{\sqrt {2}}\,E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}}$$

Подставив эти два интеграла в приведенную выше форму, получим:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$$

Для лемнискатного частного случая соотношения Лежандра получается следующий результат:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}}$

Смотрите также

• Принцип Кавальери  – Геометрическая концепция, связывающая площадь и объем – ранний частный случай
• Формула Коареа − обобщение на геометрическую теорию меры
• Теорема о распаде – теорема в теории меры – ограниченное обращение теоремы Фубини
• Теорема Фубини для распределений  – термин математического анализа, аналогичный обобщенной функцииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема Куратовского–Улама - аналог теоремы Фубини для произвольных вторых счетных пространств Бэра.
• Симметрия вторых производных − аналог дифференцирования
• Кошмар Фубини  – очевидное нарушение теоремы Фубини

Ссылки

1. Тао, Теренс (2016), Анализ I , Springer, стр. 188, ISBN 9789811017896
2. ET Whittaker; GN Watson (1902). Курс современного анализа . Cambridge University Press.
3. Ройден, Хэлси (2010), Реальный анализ , Prentice Hall, стр. 34, ISBN 9780131437470
4. Лебег, Анри (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primes, Париж: Готье-Вилларс
5. Фубини, Гвидо (1907), "Sugli Integrali Multipli", Рим. Акк. Л. Ренд. (5) , 16 (1): 608–614, JFM  38.0343.02Перепечатано в Fubini, G. (1958), Opere scelte , vol. 2, Кремонезе, стр. 243–249.
6. Тонелли, Леонида (1909). «Всесторонняя интеграция». Атти Национальной Академии Линчеи . (5). 18 (2): 246–253.
7. Серпинский, Вацлав (1920), «Sur un problème, касающаяся ансамблей mesurables superficiellement», Fundamenta Mathematicae , 1 (1): 112–115, doi : 10.4064/fm-1-1-112-115
8. Фридман, Харви (1980), «Последовательная теорема Фубини-Тонелли для неизмеримых функций», Illinois Journal of Mathematics , 24 (3): 390–395, doi : 10.1215/ijm/1256047607 , MR  0573474

Дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995), «Мера произведения и теорема Фубини», Вероятность и мера , Нью-Йорк: Wiley, стр. 231–240, ISBN 0-471-00710-2
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Расширенные тексты Birkhäuser: Basler Lehrbücher, Бостон: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-1-4612-0117-5, ISBN 0-8176-4231-5, г-н  1897317
• Фремлин, Д. Х. (2003), Теория меры , т. 2, Колчестер: Torres Fremlin, ISBN 0-9538129-2-8, г-н  2462280
• Weir, Alan J. (1973), «Теорема Фубини», Интеграция и мера Лебега , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 83–92, ISBN 0-521-08728-7

Внешние ссылки

• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Теорема Фубини», Математическая энциклопедия , EMS Press