Серия Лорана

Степенной ряд с отрицательными степенями

Ряд Лорана определяется относительно конкретной точки и пути интегрирования γ. Путь интегрирования должен лежать в кольце, обозначенном здесь красным цветом, внутри которого является голоморфным ( аналитическим ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(z)}$

В математике ряд Лорана сложной функции — это представление этой функции в виде степенного ряда , включающего члены отрицательной степени. Он может быть использован для выражения сложных функций в случаях, когда разложение в ряд Тейлора не может быть применено. Ряд Лорана был назван в честь Пьера Альфонса Лорана и впервые опубликован им в 1843 году. Карл Вейерштрасс ранее описал его в статье, написанной в 1841 году, но не опубликованной до 1894 года. ^[1] ${\displaystyle f(z)}$

Определение

Ряд Лорана для комплексной функции относительно точки задается выражением , где и являются константами, определяемыми контурным интегралом , который обобщает интегральную формулу Коши : ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.}$$

Путь интегрирования — против часовой стрелки вокруг жордановой кривой, охватывающей и лежащей в кольце , в котором является голоморфным (аналитическим). Разложение для тогда будет справедливо в любой точке внутри кольца. Кольцо показано красным на рисунке справа вместе с примером подходящего пути интегрирования, обозначенным . Если мы возьмем в качестве окружности , где , это просто равносильно вычислению комплексных коэффициентов Фурье ограничения на . Тот факт, что эти интегралы не изменяются при деформации контура, является непосредственным следствием теоремы Грина . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle |z-c|=\varrho }$ ${\displaystyle r<\varrho <R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Можно также получить ряд Лорана для комплексной функции при . Однако это то же самое, что и при (см. пример ниже). ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

На практике приведенная выше интегральная формула может не предлагать наиболее практичный метод вычисления коэффициентов для заданной функции ; вместо этого часто объединяют ряд Лорана, объединяя известные разложения Тейлора. Поскольку разложение Лорана функции уникально всякий раз, когда оно существует, любое выражение этой формы, которое равно заданной функции в некотором кольце, должно фактически быть разложением Лорана . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Конвергентный ряд Лорана

e ^{−1/ x 2} и приближения Лорана: см. текст для ключа. По мере того, как отрицательная степень ряда Лорана возрастает, он приближается к правильной функции.

e ^{−1/ x 2} и его лорановские приближения с отрицательной степенью роста. Окрестность вокруг нулевой сингулярности никогда не может быть приближена.

Ряды Лорана с комплексными коэффициентами являются важным инструментом в комплексном анализе , особенно для исследования поведения функций вблизи сингулярностей .

Рассмотрим, например, функцию с . Как действительная функция, она бесконечно дифференцируема всюду; как комплексная функция, однако, она не дифференцируема при . Заменяя на в степенном ряду для показательной функции , мы получаем ее ряд Лорана, который сходится и равен для всех комплексных чисел, кроме сингулярности . График напротив показан черным цветом и его приближения Лорана для = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и 50 . Так как , приближение становится точным для всех (комплексных) чисел, кроме сингулярности . ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1/x^{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

В более общем смысле ряды Лорана можно использовать для выражения голоморфных функций, определенных на кольце , подобно тому, как степенные ряды используются для выражения голоморфных функций, определенных на диске .

Предположим , что задан ряд Лорана с комплексными коэффициентами и комплексным центром . Тогда существует единственный внутренний радиус и внешний радиус, такие что: $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

• Ряд Лорана сходится на открытом кольце . Чтобы сказать, что ряд Лорана сходится, мы имеем в виду, что сходятся как положительные степенные ряды, так и отрицательные степенные ряды. Более того, эта сходимость будет равномерной на компактных множествах . Наконец, сходящийся ряд определяет голоморфную функцию на открытом кольце. ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$
• За пределами кольца ряд Лорана расходится. То есть в каждой точке вне кольца расходится степенной ряд положительной степени или степенной ряд отрицательной степени. ${\displaystyle A}$
• Относительно границы кольца нельзя сделать общего утверждения, за исключением того, что существует по крайней мере одна точка на внутренней границе и одна точка на внешней границе, такие, что не могут быть голоморфно продолжены в эти точки. ${\displaystyle f(z)}$

Возможно, что может быть равно нулю или бесконечности; с другой стороны, не обязательно верно, что меньше . Эти радиусы можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{1 \over R}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Мы считаем бесконечным, когда этот последний предел равен нулю. ${\displaystyle R}$

Наоборот, если начать с кольца вида и голоморфной функции, определенной на , то всегда существует единственный ряд Лорана с центром , который сходится (по крайней мере) на и представляет функцию . ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$

В качестве примера рассмотрим следующую рациональную функцию вместе с ее разложением в простейшую дробь : $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).}$$

Эта функция имеет сингулярности при и , где знаменатель выражения равен нулю, и выражение, следовательно, не определено. Ряд Тейлора относительно (который дает степенной ряд) будет сходиться только в круге радиуса 1, поскольку он «попадает» в сингулярность при 1. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=2i}$ ${\displaystyle z=0}$

Однако существуют три возможных разложения Лорана относительно 0 в зависимости от радиуса : ${\displaystyle z}$

• Один ряд определен на внутреннем диске, где | z | < 1 ; он такой же, как ряд Тейлора. Это следует из формы простейшей дроби функции, а также из формулы для суммы геометрической прогрессии для . $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle |z|<|a|}$
• Вторая серия определена на среднем кольце, где она находится между двумя сингулярностями: Здесь мы используем альтернативную форму суммирования геометрической прогрессии для . ${\displaystyle 1<z<2}$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle |z|>|a|}$
• Третий ряд определен на бесконечном внешнем кольце, где , (что также является разложением Лорана при ). Этот ряд можно вывести с помощью геометрического ряда, как и раньше, или путем выполнения полиномиального деления столбиком 1 на , не останавливаясь на остатке, а продолжая в члены; действительно, «внешний» ряд Лорана рациональной функции аналогичен десятичной форме дроби. («Внутреннее» разложение в ряд Тейлора можно получить аналогичным образом, просто изменив порядок членов в алгоритме деления.) ${\displaystyle 2<z<\infty }$ ${\displaystyle z=\infty }$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.}$$ ${\displaystyle (x-1)(x-2i)}$ ${\displaystyle x^{-n}}$

Случай ; т. е. голоморфная функция , которая может быть неопределенной в одной точке , особенно важен. Коэффициент разложения Лорана такой функции называется вычетом в сингулярности ; он играет важную роль в теореме о вычетах . В качестве примера рассмотрим ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{-1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.}$$

Эта функция голоморфна всюду, кроме точки . ${\displaystyle z=0}$

Чтобы определить разложение Лорана относительно , ​​мы используем наши знания ряда Тейлора показательной функции : ${\displaystyle c=0}$ $${\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots .}$$

Получаем, что остаток равен 2.

Один пример для расширения информации : ${\displaystyle z=\infty }$ $${\displaystyle f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .}$$

Уникальность

Предположим, что функция, голоморфная на кольце, имеет два ряда Лорана: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r<|z-c|<R}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.}$$

Умножим обе части на , где k — произвольное целое число, и проинтегрируем по пути γ внутри кольца, ${\displaystyle (z-c)^{-k-1}}$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.}$$

Ряд сходится равномерно на , где ε — положительное число, достаточно малое для того, чтобы γ содержалось в суженном замкнутом кольце, поэтому интегрирование и суммирование можно поменять местами. Подстановка тождества в суммирование дает ${\displaystyle r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon }$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}}$$ $${\displaystyle a_{k}=b_{k}.}$$

Поэтому серия Лорана уникальна.

полиномы Лорана

Многочлен Лорана — это ряд Лорана, в котором только конечное число коэффициентов ненулевые. Многочлены Лорана отличаются от обычных многочленов тем, что могут иметь члены отрицательной степени.

Основная часть

Основная часть ряда Лорана — это ряд членов с отрицательной степенью, то есть $${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.}$$

Если главная часть является конечной суммой, то имеет полюс в точке порядка, равного (отрицательной) степени самого старшего члена; с другой стороны, если имеет существенную особенность в точке , то главная часть является бесконечной суммой (то есть имеет бесконечно много ненулевых членов). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Если внутренний радиус сходимости ряда Лорана для равен 0, то имеет существенную особенность в тогда и только тогда, когда главная часть является бесконечной суммой, и имеет полюс в противном случае. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Если внутренний радиус сходимости положительный, может иметь бесконечно много отрицательных членов, но при этом оставаться регулярным при , как в примере выше, и в этом случае он представляется другим рядом Лорана в круге около  . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Ряды Лорана с конечным числом отрицательных членов ведут себя хорошо — они представляют собой степенные ряды, деленные на , и могут быть проанализированы аналогичным образом, — в то время как ряды Лорана с бесконечным числом отрицательных членов имеют сложное поведение на внутреннем круге сходимости. ${\displaystyle z^{k}}$

Умножение и сумма

Ряды Лорана в общем случае не могут быть перемножены. Алгебраически выражение для членов произведения может включать бесконечные суммы, которые не обязаны сходиться (нельзя взять свертку целочисленных последовательностей). Геометрически два ряда Лорана могут иметь неперекрывающиеся кольца сходимости.

Можно перемножить два ряда Лорана, содержащие только конечное число отрицательных членов: алгебраически все суммы конечны; геометрически они имеют полюса в и внутренний радиус сходимости 0, поэтому они оба сходятся на перекрывающемся кольце. ${\displaystyle c}$

Таким образом, при определении формального ряда Лорана требуется ряд Лорана только с конечным числом отрицательных членов.

Аналогично, сумма двух сходящихся рядов Лорана не обязательно сходится, хотя она всегда определяется формально, но сумма двух ограниченных снизу рядов Лорана (или любого ряда Лорана на проколотом диске) имеет непустое кольцо сходимости.

Кроме того, для поля , с помощью суммы и умножения, определенных выше, формальные ряды Лорана образуют поле , которое также является полем дробей кольца формальных степенных рядов . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F((x))}$ ${\displaystyle F[[x]]}$

Смотрите также

• серия Пюизё
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Формальный ряд Лорана  — ряд Лорана, рассматриваемый формально , с коэффициентами из произвольного коммутативного кольца , без учета сходимости и только с конечным числом отрицательных членов, так что умножение всегда определено.
• Z-преобразование  – особый случай, когда ряд Лорана берется около нуля, имеет большое применение в анализе временных рядов.
• Ряд Фурье  – подстановка преобразует ряд Лорана в ряд Фурье или наоборот. Это используется в разложении j -инварианта в q -ряд . ${\displaystyle z=e^{\pi iw}}$
• Аппроксимация Паде  – еще один метод, используемый в случаях, когда ряд Тейлора невозможен.

Ссылки

1. Рой, Ранджан (2012), «Приложение §1.5: Исторические заметки Ранджана Роя», Комплексный анализ: в духе Липмана Берса , Родригес, Руби Э .; Кра, Ирвин ; Гилман, Джейн П. (2-е изд.), Спрингер, с. 12, дои : 10.1007/978-1-4419-7323-8_1, ISBN 978-1-4419-7322-1

   Вейерштрасс, Карл (1841), «Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren Absoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen Liegt» [Представление аналитической функции комплексной переменной, абсолютное значение которой лежит между двумя заданными пределами], Mathematische Werke (в немецкий), т. 1, Берлин: Майер и Мюллер (опубликовано в 1894 г.), стр. 51–66.

Внешние ссылки

• «Серия Лорана», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Серия Лорана», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Лорана». Математический мир .
• Ряд Лорана и множество Мандельброта Роберта Мунафо