Теорема об универсальном коэффициенте

Установить связи между теориями гомологии и когомологии

В алгебраической топологии универсальные теоремы о коэффициентах устанавливают связи между группами гомологий (или группами когомологий ) с различными коэффициентами. Например, для каждого топологического пространства X его целочисленные группы гомологий :

H _i ( X ; Z )

полностью определяют ее группы гомологий с коэффициентами в A для любой абелевой группы A :

H _i ( X ; A )

Здесь H _i может быть симплициальной гомологией или, в более общем смысле, сингулярной гомологией . Обычное доказательство этого результата — чистый кусок гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп . Форма результата такова, что могут быть использованы другие коэффициенты A за счет использования функтора Tor .

Например, обычно принимают A за Z /2 Z , так что коэффициенты являются модулями 2. Это становится очевидным при отсутствии 2- кручения в гомологии. В общем случае результат указывает на связь, которая имеет место между числами Бетти b _i поля X и числами Бетти b _{i поля F с} коэффициентами в поле F . Они могут различаться, но только когда характеристика F является простым числом p , для которого существует некоторое p -кручение в гомологии.

Изложение гомологического случая

Рассмотрим тензорное произведение модулей H _i ( X ; Z ) ⊗ A. Теорема утверждает, что существует короткая точная последовательность , включающая функтор Tor

${\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}$

Более того, эта последовательность расщепляется , хотя и не естественным образом. Здесь μ — отображение, индуцированное билинейным отображением H _i ( X ; Z ) × A → H _i ( X ; A ) .

Если кольцо коэффициентов A равно Z / pZ , то это частный случай спектральной последовательности Бокштейна .

Универсальная теорема об коэффициентах для когомологий

Пусть G — модуль над областью главных идеалов R (например, Z или полем).

Существует также теорема об универсальном коэффициенте для когомологий, включающая функтор Ext , которая утверждает, что существует естественная короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

Как и в случае гомологии, последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

На самом деле, предположим,

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}$

и определить:

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

Тогда h выше — это каноническая карта:

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

Альтернативная точка зрения может быть основана на представлении когомологий через пространство Эйленберга–Маклейна , где отображение h переводит гомотопический класс отображений из X в K ( G , i ) в соответствующий гомоморфизм, индуцированный в гомологии. Таким образом, пространство Эйленберга–Маклейна является слабым правым сопряженным к функтору гомологии . ^[1]

Пример: когомологии mod 2 действительного проективного пространства

Пусть X = P ⁿ ( R ) , вещественное проективное пространство . Мы вычисляем сингулярные когомологии X с коэффициентами в G = Z /2 Z , используя интегральные гомологии, т.е. R = Z .

Зная, что целочисленная гомология задается выражением:

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Имеем Ext( G , G ) = G , Ext( R , G ) = 0 , так что приведенные выше точные последовательности дают

${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;G)=G.}$

На самом деле полная структура кольца когомологий такова:

${\displaystyle H^{*}(X;G)=G[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

Следствия

Частным случаем теоремы является вычисление интегральных когомологий. Для конечного CW-комплекса X , H _i ( X ; Z ) конечно порожден, и поэтому мы имеем следующее разложение .

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

где β _i ( X ) — числа Бетти X и — часть кручения . Можно проверить, что ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

и

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}$

Это дает следующее утверждение для интегральных когомологий:

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

Для X — ориентируемого , замкнутого и связного n - многообразия это следствие в сочетании с двойственностью Пуанкаре дает β _i ( X ) = β _{n − i} ( X ) .

Универсальная спектральная последовательность коэффициентов

Существует обобщение теоремы об универсальном коэффициенте для (ко)гомологий со скрученными коэффициентами .

Для когомологий имеем

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}$

Где — кольцо с единицей, — цепной комплекс свободных модулей над , — любой -бимодуль для некоторого кольца с единицей , — группа Ext . Дифференциал имеет степень . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Ext}$ ${\displaystyle d^{r}}$ ${\displaystyle (1-r,r)}$

Аналогично для гомологии

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=Tor_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}$

для Tor группа Tor и дифференциал имеют степень . ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle (r-1,-r)}$

Примечания

1. (Кайнен 1971)

Ссылки

• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология , Cambridge University Press, Кембридж, 2002. ISBN  0-521-79540-0 . Современное, геометрически приправленное введение в алгебраическую топологию. Книга доступна бесплатно в форматах PDF и PostScript на домашней странице автора.
• Кайнен, ПК (1971). «Слабые сопряженные функторы». Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. дои : 10.1007/bf01113560. S2CID  122894881.
• Джером Левин . «Узловые модули. I». Труды Американского математического общества 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

Внешние ссылки

• Теорема об универсальном коэффициенте с кольцевыми коэффициентами