В математике теорема Кёйпера (в честь Николаса Кёйпера ) является результатом о топологии операторов в бесконечномерном комплексном гильбертовом пространстве H. Она утверждает, что пространство GL( H ) обратимых ограниченных эндоморфизмов H таково, что все отображения из любого конечного комплекса Y в GL( H ) гомотопны константе для топологии нормы на операторах.
Значимое следствие, также называемое теоремой Кёйпера , состоит в том, что эта группа слабо стягиваема , т. е. все ее гомотопические группы тривиальны. Этот результат имеет важное применение в топологической K-теории .
Для конечномерного H эта группа была бы комплексной общей линейной группой и совсем не стягиваемой. Фактически она гомотопически эквивалентна своей максимальной компактной подгруппе , унитарной группе U группы H. Доказательство того, что комплексная общая линейная группа и унитарная группа имеют один и тот же гомотопический тип, осуществляется с помощью процесса Грама-Шмидта или посредством матрично-полярного разложения и переносится на бесконечномерный случай сепарабельного гильбертова пространства , в основном потому, что пространство верхних треугольных матриц стягиваемо, как можно видеть совершенно явно. Основной феномен заключается в том, что переход к бесконечно многим измерениям приводит к исчезновению большей части топологической сложности унитарных групп; но см. раздел об унитарной группе Ботта, где переход к бесконечности более ограничен, и полученная группа имеет нетривиальные гомотопические группы.
Удивительным фактом является то, что единичная сфера , иногда обозначаемая S ∞ , в бесконечномерном гильбертовом пространстве H является стягиваемым пространством , в то время как никакие конечномерные сферы не являются стягиваемыми. Этот результат, безусловно, известный за десятилетия до Койпера, может иметь статус математического фольклора , но он довольно часто цитируется. [1] [ 2] На самом деле верно большее: S ∞ диффеоморфна H , которая , безусловно, стягиваема ввиду своей выпуклости. [3] Одним из следствий является то, что существуют гладкие контрпримеры к расширению теоремы Брауэра о неподвижной точке на единичный шар в H . [4] Существование таких контрпримеров, которые являются гомеоморфизмами , было показано в 1943 году Сидзуо Какутани , который, возможно, первым записал доказательство стягиваемости единичной сферы. [5] Но результат был, по сути, известен (в 1935 году Андрей Николаевич Тихонов показал, что единичная сфера является ретрактом единичного шара). [6]
Результат о группе ограниченных операторов был доказан голландским математиком Николаасом Кёйпером для случая сепарабельного гильбертова пространства; ограничение сепарабельности было позже снято. [7] Тот же результат, но для сильной операторной топологии, а не для топологии нормы, был опубликован в 1963 году Жаком Диксмье и Адриеном Дуади . [8] Геометрическая связь сферы и группы операторов заключается в том, что единичная сфера является однородным пространством для унитарной группы U. Стабилизатор одного вектора v единичной сферы является унитарной группой ортогонального дополнения v ; поэтому гомотопически длинная точная последовательность предсказывает, что все гомотопические группы единичной сферы будут тривиальными. Это показывает тесную топологическую связь, но само по себе недостаточно, поскольку включение точки будет только слабой гомотопической эквивалентностью , а это подразумевает стягиваемость непосредственно только для CW-комплекса . В статье, опубликованной через два года после статьи Койпера, [9]
Есть еще одна бесконечномерная унитарная группа, имеющая большое значение в теории гомотопий , к которой применима теорема Ботта о периодичности . Она, безусловно, не является стягиваемой. Отличие от группы Кейпера можно объяснить: группа Ботта — это подгруппа, в которой заданный оператор действует нетривиально только на подпространстве, натянутом на первое N фиксированного ортонормированного базиса { e i }, для некоторого N являясь тождественным на остальных базисных векторах.
Непосредственным следствием, учитывая общую теорию расслоений , является то, что каждое расслоение Гильберта является тривиальным расслоением . [10]
Результат о стягиваемости S ∞ дает геометрическую конструкцию классифицирующих пространств для некоторых групп, которые действуют на нем свободно, таких как циклическая группа с двумя элементами и группа окружности . Унитарная группа U в смысле Ботта имеет классифицирующее пространство BU для комплексных векторных расслоений (см. Классифицирующее пространство для U(n) ). Более глубокое применение, вытекающее из теоремы Кейпера, — это доказательство теоремы Атьи–Йениха (после Клауса Йениха и Михаэля Атьи ), утверждающей, что пространство фредгольмовых операторов на H , с топологией нормы, представляет функтор K (.) топологической (комплексной) K-теории в смысле теории гомотопий. Это дано Атьей. [11]
Тот же вопрос можно задать об обратимых операторах в любом банаховом пространстве бесконечной размерности. Здесь есть только частичные результаты. Некоторые классические пространства последовательностей обладают тем же свойством, а именно, что группа обратимых операторов является стягиваемой. С другой стороны, известны примеры, когда она не является связным пространством . [12] Там, где известно, что все гомотопические группы тривиальны, стягиваемость в некоторых случаях может оставаться неизвестной.