Идеальная теория

Теория идеалов в коммутативных кольцах в математике

В математике идеальная теория — это теория идеалов в коммутативных кольцах . Хотя понятие идеала существует и для некоммутативных колец , гораздо более существенная теория существует только для коммутативных колец (поэтому в этой статье рассматриваются идеалы только в коммутативных кольцах).

Всюду в статьях кольца относятся к коммутативным кольцам. См. также статью «Идеал (теория колец)», где описаны основные операции, такие как сумма или произведение идеалов.

Идеалы в конечно порожденной алгебре над полем

Идеалы в конечно порожденной алгебре над полем (т. е. фактор кольца полиномов над полем) ведут себя несколько лучше, чем идеалы в общем коммутативном кольце. Во-первых, в отличие от общего случая, если — конечно порожденная алгебра над полем, то радикал идеала в есть пересечение всех максимальных идеалов, содержащих этот идеал (т. к. — кольцо Джекобсона ). Это можно рассматривать как расширение Nullstellensatz Гильберта , которое касается случая, когда кольцо полиномов. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Топология, определяемая идеалом

Если I — идеал в кольце A , то он определяет топологию на A , где подмножество U кольца A открыто, если для каждого x в U

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

для некоторого целого числа . Эта топология называется I -адической топологией. Ее также называют а -адической топологией, если она порождается элементом . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle I=aA}$ ${\displaystyle a}$

Например, возьмем кольцо целых чисел и идеал, порожденный простым числом p . Для каждого целого числа определите , когда оно должно быть простым . Тогда, очевидно, ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=pA}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$ ${\displaystyle x=p^{n}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

где обозначает открытый шар радиуса с центром . Следовательно, -адическая топология на том же самом, что и топология метрического пространства, заданная . Как метрическое пространство, можно дополнить . Полученное полное метрическое пространство имеет структуру кольца, расширяющую кольцевую структуру ; это кольцо обозначается как и называется кольцом целых p -адических чисел . ${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |z-x|_{p}<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Идеальная группа класса

В дедекиндовой области А (например, кольце целых чисел в числовом поле или координатном кольце гладкой аффинной кривой) с полем дробей идеал обратим в том смысле, что существует дробный идеал (т. е. A -подмодуль ) такой, что , где произведение слева является произведением подмодулей K . Другими словами, дробные идеалы образуют группу под продуктом. Фактор группы дробных идеалов по подгруппе главных идеалов тогда является группой классов идеалов A . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I\,I^{-1}=A}$

В общем кольце идеал не может быть обратимым (фактически уже не ясно определение дробного идеала). Однако в нетеровой области целостности все же возможно разработать некоторую теорию, обобщающую ситуацию в дедекиндовых областях. Например, Ч. VII коммутативной алгебры Бурбаки дает такую ​​теорию.

Группа идеальных классов A , если ее можно определить, тесно связана с группой Пикара спектра A ( часто они совпадают; например, для областей Дедекинда).

В теории алгебраических чисел, особенно в теории полей классов , удобнее использовать обобщение группы идеальных классов, называемое группой идельных классов .

Операции закрытия

Есть несколько операций над идеалами, которые играют роль замыканий. Самый основной из них – это радикальный идеал . Другой вариант — Интегральная замкнутость идеала . При неизбыточном первичном разложении пересечение , радикалы которых минимальны (не содержат ни одного из радикалов других ), однозначно определяется ; это пересечение тогда называется несмешанной частью . Это также операция закрытия. ${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Учитывая идеалы в кольце , идеал ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

называется насыщением по и является операцией замыкания (это понятие тесно связано с изучением локальных когомологий). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

См. также плотное закрытие .

Теория редукции

Локальные когомологии в идеальной теории

Локальные когомологии иногда можно использовать для получения информации об идеале. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Пусть – модуль над кольцом и идеалом. Затем определяет пучок на (ограничение на Y пучка, ассоциированного с M ). Развернув определение, можно увидеть: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

Здесь называется идеальным преобразованием по . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$

Смотрите также

• Система параметров

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 15 ноября 2019 г.