Эксперимент Шихаллиона

1774 г. попытка измерить среднюю плотность Земли.

56 ° 40'4 "N 4 ° 5'52" W  /  56,66778 ° N 4,09778 ° W  / 56,66778; -4,09778

Эксперимент Шихаллиона — эксперимент XVIII века по определению средней плотности Земли . Финансируемый грантом Королевского общества , он был проведен летом 1774 года вокруг шотландской горы Шихаллион в Пертшире . Эксперимент заключался в измерении крошечного отклонения вертикали из-за гравитационного притяжения близлежащей горы. Шихаллион считался идеальным местом после поиска гор-кандидатов благодаря своей изолированности и почти симметричной форме.

Изолированное положение и симметричная форма Шихаллиона хорошо подходили для эксперимента.

Этот эксперимент ранее рассматривался, но отвергался Исааком Ньютоном как практическая демонстрация его теории гравитации ; однако группа ученых, в частности Невил Маскелин , королевский астроном , была убеждена, что эффект можно будет обнаружить, и взялась провести эксперимент. Угол отклонения зависел от относительных плотностей и объемов Земли и горы: если можно было определить плотность и объем Шихаллиона, то можно было бы определить и плотность Земли. Как только это станет известно, это, в свою очередь, даст приблизительные значения для других планет, их спутников и Солнца , ранее известные только в терминах их относительных соотношений.

Фон

Маятник висит прямо вниз в симметричном гравитационном поле . Однако, если поблизости находится достаточно большая масса, такая как гора, ее гравитационное притяжение должно немного отклонить отвес маятника от истинного значения (в том смысле, что он не указывает на центр масс Земли). Изменение угла отвеса относительно известного объекта, например звезды, можно было тщательно измерить на противоположных сторонах горы. Если бы массу горы можно было установить независимо от определения ее объема и оценки средней плотности ее пород, то эти значения можно было бы экстраполировать, чтобы получить среднюю плотность Земли и, как следствие, ее массу .

Исаак Ньютон рассматривал этот эффект в «Началах» ^[1] , но пессимистически полагал, что любая настоящая гора будет производить слишком маленькое отклонение, чтобы его можно было измерить. ^[2] Гравитационные эффекты, писал он, заметны только в планетарном масштабе. ^[2] Пессимизм Ньютона был необоснованным: хотя его расчеты предполагали отклонение менее 2  угловых минут (для идеализированной горы высотой три мили [5 км]), этот угол, хотя и очень небольшой, находился в пределах теоретических возможностей инструменты своего времени. ^[3]

Эксперимент по проверке идеи Ньютона предоставит как подтверждающие доказательства его закона всемирного тяготения , так и оценки массы и плотности Земли. Поскольку массы астрономических объектов были известны только в относительных соотношениях, масса Земли могла бы обеспечить разумные значения для других планет , их спутников и Солнца . Данные также позволили определить значение гравитационной постоянной Ньютона  G , хотя это не было целью экспериментаторов; ссылки на значение G появились в научной литературе лишь почти сто лет спустя. ^[4]

В поисках горы

Чимборасо в Андах в Эквадоре , объект французского эксперимента 1738 года.

Чимборасо, 1738 г.

Пара французских астрономов, Пьер Бугер и Шарль Мари де ла Кондамин , были первыми, кто предпринял попытку эксперимента, проведя свои измерения на вулкане Чимборасо высотой 6268 метров (20 564 фута) . В то время он находился в « Настоящей Аудиенсии Кито » вице-королевства Перу ^[5] , а сейчас находится в провинции Чимборасо в Республике Эквадор . Их экспедиция отправилась из Франции в Южную Америку в 1735 году, чтобы попытаться измерить длину дуги меридиана в один градус широты вблизи экватора , но они воспользовались возможностью и попытались провести эксперимент по отклонению. В декабре 1738 года в очень сложных условиях местности и климата они провели пару измерений на высотах 4680 и 4340 м. ^[6] Бугер написал в статье 1749 года, что им удалось обнаружить отклонение на 8  угловых секунд , но он преуменьшил значимость их результатов, предположив, что эксперимент лучше провести в более легких условиях во Франции или Англии. ^{[3] [6]} Он добавил, что эксперимент, по крайней мере, доказал, что Земля не может быть полой оболочкой , как предполагали некоторые мыслители того времени, в том числе Эдмонд Галлей . ^[5]

Шихаллион, 1774 г.

Симметричный хребет Шихаллион, вид на озеро Лох-Раннох.

Между 1763 и 1767 годами во время операций по обследованию линии Мейсон-Диксон между штатами Пенсильвания и Мэриленд британские астрономы обнаружили гораздо больше систематических и неслучайных ошибок, чем можно было ожидать, что продлило работу дольше, чем планировалось. ^[7] Когда эта информация достигла членов Королевского общества, Генри Кавендиш понял, что это явление могло быть связано с гравитационным притяжением близлежащих гор Аллегейни , которое, вероятно, отклонило отвесы теодолитов и жидкости внутри спиртовых уровней. . ^[8]

Вдохновленная этой новостью, в 1772 году Королевскому обществу Невилом Маскелином , королевским астрономом , была предложена новая попытка эксперимента . ^[9] Он предположил, что эксперимент «сделает честь нации, где он был проведен» ^[3] и предложил в качестве подходящих целей Уэрнсайд в Йоркшире или массив Бленкатра - Скиддо в Камберленде . Королевское общество сформировало Комитет притяжения для рассмотрения этого вопроса, назначив Маскелина, Джозефа Бэнкса и Бенджамина Франклина среди своих членов. ^[10] Комитет направил астронома и геодезиста Чарльза Мэйсона найти подходящую гору. ^[1]

После длительных поисков летом 1773 года Мейсон сообщил, что лучшим кандидатом был Шихаллион (тогда называвшийся Шехаллиен ), вершина высотой 1083 м (3553 фута), лежащая между Лох-Теем и Лох-Раннохом в центральном Шотландском нагорье . ^[10] Гора стояла изолированно от близлежащих холмов, что уменьшало их гравитационное влияние, а ее симметричный гребень с востока на запад упрощал расчеты. Его крутые северный и южный склоны позволили бы провести эксперимент близко к центру масс , максимизируя эффект отклонения.

Мейсон отказался выполнять работу самостоятельно за предложенную комиссию в размере одной гинеи в день. ^[10] Таким образом, эта задача выпала на долю Маскелина, за что ему был предоставлен временный отпуск от своих обязанностей в качестве Королевского астронома. В этой задаче ему помогали математик и геодезист Чарльз Хаттон и Рубен Берроу , который был математиком Королевской Гринвичской обсерватории . Для строительства обсерваторий для астрономов и помощи в съемках была привлечена рабочая сила. Научная группа была особенно хорошо оснащена: ее астрономические инструменты включали медный квадрант размером 12 дюймов (30 см) из экспедиции Кука по Венере в 1769 году , зенитный сектор длиной 10 футов (3,0 м) и регулятор (точные маятниковые часы ) для отсчета времени. астрономические наблюдения. ^[11] Они также приобрели теодолит и цепь Гюнтера для обследования горы, а также пару барометров для измерения высоты. ^[11] Щедрое финансирование эксперимента стало возможным благодаря недостаточным расходам на транзит экспедиции по Венере , которая была передана Обществу королем Георгом III . ^{[1] [3]}

Измерения

Астрономический

Отклонение представляет собой разницу между истинным зенитом  Z , определенным с помощью астрометрии , и видимым зенитом Z' , определенным по отвесу.

К северу и югу от горы были построены обсерватории, а также помещения для размещения оборудования и ученых. ^[6] Руины этих сооружений остаются на склоне горы. Большая часть рабочей силы размещалась в грубых брезентовых палатках. Астрономические измерения Маскелина были проведены первыми. Ему было необходимо определить зенитные расстояния относительно отвеса для набора звезд в точное время, когда каждая из них проходила строго на юг ( астрономическая широта ). ^{[3] [12] [13]} Погодные условия часто были неблагоприятными из-за тумана и дождя. Однако из южной обсерватории ему удалось провести 76 измерений на 34 звездах в одном направлении, а затем 93 наблюдения на 39 звездах в другом. Затем с северной стороны он провел серию из 68 наблюдений на 32 звездах и серию из 100 наблюдений на 37 звездах. ^[6] Проведя серию измерений с плоскостью зенитного сектора сначала на восток, а затем на запад, он успешно избежал любых систематических ошибок, возникающих при коллимации сектора. ^[1]

Чтобы определить отклонение, вызванное горой, необходимо было учесть кривизну Земли : наблюдатель, двигающийся на север или юг, увидит смещение местного зенита на тот же угол, что и любое изменение геодезической широты . После учета наблюдательных эффектов, таких как прецессия , аберрация света и нутация , Маскелин показал, что разница между локально определенным зенитом для наблюдателей к северу и югу от Шихаллиона составила 54,6 угловых секунды. ^[6] Как только геодезическая группа определила разницу в 42,94 дюйма по широте между двумя станциями, он смог вычесть ее и после округления до точности своих наблюдений объявить, что сумма отклонений на север и юг составила 11,6 дюйма. . ^{[3] [6] [14]}

Маскелин опубликовал свои первоначальные результаты в «Философских трудах Королевского общества» в 1775 году ^[14] , используя предварительные данные о форме горы и, следовательно, о положении ее центра тяжести . Это заставило его ожидать отклонения в 20,9 дюйма, если средние плотности Шихаллиона и Земли были равны. ^{[3] [15]} Поскольку отклонение было примерно вдвое меньше, он смог сделать предварительное заявление о том, что средняя плотность Земли примерно вдвое превышает плотность Шихаллиона. Более точное значение придется дождаться завершения процесса съемки. ^[14]

Маскелин воспользовался возможностью, чтобы отметить, что Шихаллион обладает гравитационным притяжением, как и все горы; и что закон тяготения Ньютона обратных квадратов был подтвержден. ^{[14] [16]} Благодарное Королевское общество вручило Маскелайну Медаль Копли 1775 года ; биограф Чалмерс позже отметил, что «если какие-либо сомнения в отношении истинности ньютоновской системы еще оставались, то теперь они полностью устранены». ^[17]

Геодезия

Работу геодезической группы сильно затруднила ненастная погода, и на выполнение задания потребовалось лишь 1776 год. ^{[15] [а]} Чтобы найти объем горы, необходимо было разделить ее на набор вертикальных призм и вычислить объем каждой. Задача триангуляции , выпавшая на долю Чарльза Хаттона, была серьезной: геодезисты получили тысячи пеленгов для более чем тысячи точек вокруг горы. ^[18] Более того, вершины его призм не всегда удобно совпадали с измеряемыми высотами. Чтобы разобраться во всех своих данных, ему пришла в голову идея интерполировать серию линий через заданные интервалы между измеренными значениями, отмечая точки одинаковой высоты. При этом он не только мог легко определить высоту своих призм, но и по вихрю линий можно было мгновенно получить представление о форме местности. Таким образом, Хаттон использовал контурные линии , которые с тех пор стали широко использоваться для изображения картографического рельефа . ^{[6] [18]}

Хаттону пришлось вычислить индивидуальные привлекательности каждой из множества призм, образующих его сетку, и этот процесс был столь же трудоемким, как и само исследование. Эта задача заняла у него еще два года, прежде чем он смог представить свои результаты, что он и сделал в стостраничной статье Королевскому обществу в 1778 году. ^[19] Из его расчетов, в которых учитывалось влияние широты на гравитацию. Из этого следовало, что если бы плотность Земли и Шихаллиона была одинаковой, притяжение отвеса к Земле было бы в 9933 раза больше суммы его притяжения к горе на северной и южной станциях. ^[18] Однако измеренное отклонение в 11,6 дюйма означало, что притяжение Земли на самом деле было в 17 804 раза сильнее. Отсюда следует, что средняя плотность Земли примерно в 1,8 раза превышает плотность горы. ^{[15] [18] [19]} Хаттон взял для Шихаллиона плотность 2500 кг·м ^-3 и объявил, что плотность Земли в 1,8 раза выше, или 4500 кг·м ^-3 , ^[18] меньше 20 % от современного значения 5515 кг·м ^-3 . ^[20]

То, что средняя плотность Земли так сильно превышает плотность ее поверхностных пород, естественно, означало, что глубже должен находиться более плотный материал. Хаттон правильно предположил, что материал ядра, вероятно, был металлическим и мог иметь плотность 10 000 кг·м ^-3 . ^[18] По его оценкам, эта металлическая часть занимает около 65% диаметра Земли. ^[19] Зная среднюю плотность Земли, Хаттон смог установить некоторые значения для планетарных таблиц Жерома Лаланда , которые ранее могли выражать плотности основных объектов Солнечной системы только в относительных единицах. ^[19]

Повторите эксперименты

Более точное измерение средней плотности Земли было сделано через 24 года после Шихаллиона, когда в 1798 году Генри Кавендиш использовал чрезвычайно чувствительные торсионные весы для измерения притяжения между большими массами свинца . Число Кавендиша, равное 5448 ± 33 кг·м ^-3, составляло всего 1,2% от принятого в настоящее время значения 5515 кг·м ^-3 , и его результат не мог быть значительно улучшен до 1895 года Чарльзом Бойсом . ^[c] Тщательность, с которой Кавендиш провел эксперимент, и точность его результатов привели к тому, что с тех пор его имя стало ассоциироваться с ним. ^[21]

Шотландский ученый Джон Плейфэр провел второе исследование Шихаллиона в 1811 году; на основе переосмысления слоев горных пород он предложил плотность от 4560 до 4870 кг·м ^-3 , ^[22] хотя тогдашний пожилой Хаттон энергично защищал первоначальное значение в статье для Общества в 1821 году. ^{[3] [23]} Расчеты Playfair приблизили плотность к ее современному значению, но она все еще была слишком низкой и значительно хуже, чем расчеты Кавендиша, сделанные несколькими годами ранее .

Трон Артура , место эксперимента Генри Джеймса 1856 года.

Эксперимент Шихаллиона был повторен в 1856 году Генри Джеймсом , генеральным директором Артиллерийского управления , который вместо этого использовал холм Трон Артура в центре Эдинбурга . ^{[6] [13] [24]} Имея в своем распоряжении ресурсы Артиллерийской службы, Джеймс расширил свою топографическую съемку до 21-километрового радиуса, доведя его до границ Мидлотиана . Он получил плотность около 5300 кг·м ^-3 . ^{[3] [15]}

В эксперименте 2005 года был предпринят вариант работы 1774 года: вместо вычисления локальных различий в зените эксперимент провел очень точное сравнение периода маятника наверху и внизу Шихаллиона. Период маятника является функцией g , местного ускорения гравитации . Ожидается, что на высоте маятник будет двигаться медленнее, но масса горы будет уменьшать эту разницу. Этот эксперимент имеет то преимущество, что его значительно легче провести, чем эксперимент 1774 года, но для достижения желаемой точности необходимо измерить период маятника с точностью до одной миллионной. ^[12] Этот эксперимент дал значение массы Земли 8,1 ± 2,4 × 10 ²⁴ кг , ^[25] что соответствует средней плотности 7500 ± 1900 кг·м ^-3 . ^{[d] [ нужен лучший источник ]}

Современное повторное исследование геофизических данных позволило учесть факторы, которые не смогла принять команда 1774 года. Благодаря цифровой модели рельефа радиусом 120 км , значительному расширению знаний о геологии Шихаллиона и помощи компьютера в отчете 2007 года была получена средняя плотность Земли 5480 ± 250 кг·м ^-3 . ^[26] По сравнению с современной цифрой 5515 кг·м ^-3 , это стало свидетельством точности астрономических наблюдений Маскелина. ^[26]

Математическая процедура

Диаграмма сил Шихаллиона

Рассмотрим диаграмму сил справа, на которой отклонение сильно преувеличено. Анализ был упрощен за счет рассмотрения достопримечательности только на одной стороне горы. ^[22] Отвес массы  m расположен на расстоянии  d от P , центра масс горы массы  M _M и плотности  ρ _M . Он отклоняется на небольшой угол  θ из-за притяжения  F к P и веса  W, направленного к Земле. Векторная сумма W и F приводит к натяжению T  в струне маятника. Земля имеет массу  _ME , радиус  r _E и плотность  ρ _E.

Две силы гравитации, действующие на отвес, определяются законом гравитации Ньютона :

${\displaystyle F={\frac {GmM_{M}}{d^{2}}},\quad W={\frac {GmM_{E}}{r_{E}^{2}}}}$

где G — гравитационная постоянная Ньютона . G и m можно исключить, взяв отношение F к W :

${\displaystyle {\frac {F}{W}}={\frac {GmM_{M}/d^{2}}{GmM_{E}/r_{E}^{2}}}={\frac {M_{M}}{M_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}}$

где V _M и V _E — объемы горы и Земли. В условиях статического равновесия горизонтальная и вертикальная составляющие натяжения струны  T могут быть связаны с гравитационными силами и углом отклонения  θ :

${\displaystyle W=T\cos \theta ,\quad F=T\sin \theta }$

Замена Т :

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {F}{W}}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}}$

Поскольку V _E , VM и r _E известны, θ измерено и d вычислено, то  можно получить значение отношения ρ _E  :  _ρ M ^{: [22} _]

${\displaystyle {\frac {\rho _{E}}{\rho _{M}}}={\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}{\frac {1}{\tan \theta }}}$

Примечания

1. Во время пьяной вечеринки по случаю окончания исследований северная обсерватория случайно сгорела дотла, унеся с собой скрипку, принадлежавшую Дункану Робертсону, младшему члену исследовательской группы. В благодарность за развлечение, которое игра Робертсона доставила Маскелайну в течение четырех месяцев астрономических наблюдений, он компенсировал это, заменив потерянную скрипку на ту, которая теперь называется «Желтая лондонская леди».
2. Значения Хаттона выражаются в виде обыкновенных дробей, кратных плотности воды, например, Марса . Здесь они выражены в виде двух целых значащих цифр, умноженных на плотность воды 1000 кг·м ^-3. ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}}$
3. В статье Кавендиша указано значение 5480 кг·м ^-3 . Однако он допустил арифметическую ошибку: его измерения фактически привели к значению 5448 кг·м ^-3 ; несоответствие, которое не было обнаружено до 1821 года Фрэнсисом Бейли .
4. Примем объем Земли равным 1,0832 × 10 ¹² км ³ .

Рекомендации

1. Дэвис, РД (1985). «Память Маскелина в Шихаллионе». Ежеквартальный журнал Королевского астрономического общества . 26 (3): 289–294. Бибкод : 1985QJRAS..26..289D.
2. Ньютон (1972). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Том. II. п. 528. ИСБН 0-521-07647-1. Архивировано из оригинала 16 августа 2022 года . Проверено 28 декабря 2008 г.Перевод: Эндрю Мотт, Первое американское издание. Нью-Йорк, 1846 год.
3. Силлитто, РМ (31 октября 1990 г.). «Маскелин о Шихаллионе: лекция Королевскому философскому обществу Глазго» . Проверено 28 декабря 2008 г.
4. Корню, А.; Байль, Ж.Б. (1873). «Взаимное определение постоянной притяжения и средней плотности Земли». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 76 : 954–958.
5. Пойнтинг, Дж. Х. (1913). Земля: ее форма, размер, вес и вращение. Кембридж. стр. 50–56.
6. Пойнтинг, Дж. Х. (1894). Средняя плотность Земли (PDF) . стр. 12–22.
7. Ментцер, Роберт (август 2003 г.). «Как Мейсон и Диксон вели свою линию» (PDF) . Журнал «Профессиональный геодезист» . Архивировано из оригинала (PDF) 7 января 2014 года . Проверено 3 августа 2021 г.
8. Треткофф, Эрни. «Этот месяц в истории физики, июнь 1798 года: Кавендиш взвешивает мир». Американское физическое общество . Проверено 3 августа 2021 г.
9. Маскелин, Н. (1772). «Предложение по измерению привлекательности какого-либо холма в этом Королевстве». Философские труды Королевского общества . 65 : 495–499. Бибкод : 1775RSPT...65..495M. дои : 10.1098/rstl.1775.0049 .
10. Дэнсон, Эдвин (2006). Взвешивание мира. Издательство Оксфордского университета. стр. 115–116. ISBN 978-0-19-518169-2.
11. Дэнсон, Эдвин (2006). Взвешивание мира. Издательство Оксфордского университета. п. 146. ИСБН 978-0-19-518169-2.
12. «Вызов «Взвесьте мир», 2005 г.» (PDF) . подсчет мыслей. 23 апреля 2005 года . Проверено 28 декабря 2008 г.
13. Пойнтинг, Дж. Х. (1913). Земля: ее форма, размер, вес и вращение. Кембридж. стр. 56–59.
14. Маскелин, Н. (1775). «Отчет о наблюдениях, сделанных на горе Шихаллион, чтобы найти ее достопримечательность». Философские труды Королевского общества . 65 : 500–542. дои : 10.1098/rstl.1775.0050 .
15. Пойнтинг, Дж. Х.; Томсон, Джей-Джей (1909). Учебник физики (PDF) . Читать книги. стр. 33–35. ISBN 1-4067-7316-6.
16. Маккензи, AS (1900). Законы гравитации; мемуары Ньютона, Бугера и Кавендиша вместе с рефератами других важных мемуаров (PDF) . стр. 53–56.
17. Чалмерс, А. (1816). Общий биографический словарь. Том. 25. с. 317.
18. Дэнсон, Эдвин (2006). Взвешивание мира. Издательство Оксфордского университета. стр. 153–154. ISBN 978-0-19-518169-2.
19. Хаттон, К. (1778). «Отчет о расчетах, сделанных на основе обследования и мер, принятых в Шехаллиене». Философские труды Королевского общества . 68 . дои : 10.1098/rstl.1778.0034 .
20. "Планетарный информационный бюллетень". Лунная и планетарная наука . НАСА . Проверено 2 января 2009 г.
21. Юнгникель, Криста ; Маккормах, Рассел (1996). Кавендиш. Американское философское общество . стр. 340–341. ISBN 978-0-87169-220-7.
22. Раналли, Г. (1984). «Ранняя геофизическая оценка средней плотности Земли: Шехаллиен, 1774 г.». История наук о Земле . 3 (2): 149–152. Бибкод : 1984ESHis...3..149R. дои : 10.17704/eshi.3.2.k43q522gtt440172.
23. Хаттон, Чарльз (1821). «О средней плотности Земли». Труды Королевского общества .
24. Джеймс (1856). «Об отклонении отвеса у сиденья Артура и среднем удельном весе Земли». Труды Королевского общества . 146 : 591–606. дои : 10.1098/rstl.1856.0029 . JSTOR  108603.
25. «Результаты конкурса «Взвесьте мир»» . подсчет мыслей. Архивировано из оригинала 3 марта 2016 года . Проверено 28 декабря 2008 г.
26. Смоллвуд, младший (2007). «Возвращение к эксперименту Маскелина 1774 года с Шихаллионом». Шотландский геологический журнал . 43 (1): 15–31. Бибкод : 2007ScJG...43...15S. дои : 10.1144/sjg43010015. S2CID  128706820.