Топос

Математическая категория

В математике топос ( США : / ˈ t ɒ p ɒ s / , Великобритания : / ˈ t oʊ p oʊ s , ˈ t oʊ p ɒ s / ; множественное число topoi / ˈ t ɒ p ɔɪ / или / ˈ t oʊ p ɔɪ / , или топосы ) — категория , которая ведет себя как категория пучков множеств на топологическом пространстве (или в более общем смысле: на сайте ) . Топосы ведут себя во многом как категории множеств и обладают понятием локализации; они являются прямым обобщением топологии множества точек . ^[1] Топоры Гротендика находят применение в алгебраической геометрии ; в логике используются более общие элементарные топоры .

Математическая область, изучающая топосы, называется теорией топосов .

Топос Гротендика (топос в геометрии)

С момента появления пучков в математике в 1940-х годах основной темой было изучение пространства путем изучения пучков в пространстве. Эту идею изложил Александр Гротендик , введя понятие «топос». Основная полезность этого понятия заключается в множестве ситуаций в математике, где топологическая эвристика очень эффективна, но отсутствует честное топологическое пространство; иногда удается найти топос, формализующий эвристику. Важным примером этой программной идеи является этальный топос схемы . Другой иллюстрацией способности топосов Гротендика воплощать «сущность» различных математических ситуаций является их использование в качестве мостов для соединения теорий, которые, хотя и написаны, возможно, на очень разных языках, имеют общее математическое содержание. ^{[2] [3]}

Эквивалентные определения

Топос Гротендика — это категория C , которая удовлетворяет любому из следующих трёх свойств. (Теорема Жана Жиро утверждает, что все приведенные ниже свойства эквивалентны.)

• Существует малая категория D и включение C ↪ Presh( D ), допускающее левый сопряженный , сохраняющий конечный предел .
• C — категория пучков на площадке Гротендика .
• C удовлетворяет аксиомам Жиро, приведенным ниже.

Здесь Presh( D ) обозначает категорию контравариантных функторов из D в категорию множеств; такой контравариантный функтор часто называют предпучком .

Аксиомы Жиро

Аксиомы Жиро для категории C :

• C имеет небольшой набор генераторов и допускает все малые копределы . Кроме того, волокнистые продукты распределяются по сопутствующим продуктам. То есть, учитывая набор I , отображение копроизведения с индексом I на A и морфизм A' → A , обратный образ является копроизведением с индексом I для обратных моделей:
  $${\displaystyle \left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').}$$
• Суммы в C не пересекаются. Другими словами, расслоенное произведение X и Y по их сумме является исходным объектом в C .
• Все отношения эквивалентности в C эффективны .

Последняя аксиома нуждается в наибольшем объяснении. Если X — объект C , «отношение эквивалентности» R на X — это отображение R → X × X в C такое, что для любого объекта Y в C индуцированное отображение Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) задает обычное отношение эквивалентности на множестве Hom( Y , X ). Поскольку C имеет копределы, мы можем сформировать коэквалайзер двух отображений R → X ; назовите это X / R . Отношение эквивалентности «эффективно», если каноническое отображение

${\displaystyle R\to X\times _{X/R}X\,\!}$

является изоморфизмом.

Примеры

Теорема Жиро уже дает «пучки на узлах» в качестве полного списка примеров. Однако обратите внимание, что неэквивалентные сайты часто порождают эквивалентные топосы. Как указано во введении, пучки в обычных топологических пространствах мотивируют многие основные определения и результаты теории топоса.

Категория наборов и G-сетов

Категория множеств представляет собой важный частный случай: она играет роль точки в теории топоса. Действительно, множество можно рассматривать как пучок в точке, поскольку функторы в одноэлементной категории с одним объектом и только тождественным морфизмом являются всего лишь конкретными множествами в категории множеств.

Аналогично, для любой группы существует топос , эквивалентный категории -множеств . Мы конструируем это как категорию предпучков на категории с одним объектом, но теперь набор морфизмов задается группой . Поскольку любой функтор должен выполнять -действие над целью, это дает категорию -множеств. Аналогично, для группоида категория предпучков на дает набор множеств, индексированных набором объектов в , а автоморфизмы объекта в действуют на цель функтора. ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Топосы из окольцованных пространств

Более экзотические примеры и смысл существования теории топоса взяты из алгебраической геометрии. Основной пример топоса взят из топоса Зарисского схемы . Для каждой схемы существует узел (объектов, заданных открытыми подмножествами, и морфизмов, заданных включениями), категория предпучков которого образует топос Зарисского . Но как только будут рассмотрены выдающиеся классы морфизмов, возникнет множество их обобщений, что приведет к нетривиальной математике. Более того, топосы дают основу для изучения схем исключительно как функторов категории алгебр. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ ${\displaystyle (X)_{Zar}}$

Схеме и даже стопке можно сопоставить этальный топос, топос фппф или топос Нисневича . Другой важный пример топоса — кристаллический участок . В случае этального топоса они образуют основные объекты изучения анабелевой геометрии , которая изучает объекты алгебраической геометрии, которые полностью определяются структурой их этальной фундаментальной группы .

Патологии

Теория топоса в некотором смысле является обобщением классической топологии множества точек. Поэтому следует ожидать появления старых и новых примеров патологического поведения. Например, есть пример Пьера Делиня нетривиального топоса, не имеющего точек (определение точек топоса см. ниже).

Геометрические морфизмы

Если и являются топосами, геометрический морфизм — это пара сопряженных функторов ( u ^∗ , u _∗ ) (где u ^∗  : Y → X сопряжено слева с u _∗  : X → Y ) таких, что u ^∗ сохраняет конечные пределы. Заметим, что u ^∗ автоматически сохраняет копределы благодаря наличию правого сопряженного. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$

По теореме Фрейда о сопряженном функторе задать геометрический морфизм X → Y значит дать функтор u ^∗ :  Y → X , который сохраняет конечные пределы и все малые копределы. Таким образом, геометрические морфизмы между топосами можно рассматривать как аналоги карт локалей .

Если и являются топологическими пространствами и являются непрерывным отображением между ними, то операции обратного и прямого продвижения на пучках приводят к геометрическому морфизму между связанными топосами для сайтов . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)}$

Точки топосов

Точка топоса определяется как геометрический морфизм топосов множеств в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если X - обычное пространство и x - точка X , то функтор, переводящий пучок F в его стебель F _x, имеет правый сопряженный (функтор "пучок небоскреба"), поэтому обычная точка X также определяет топос -теоретический момент. Их можно построить как движение назад-вперед по непрерывному отображению x :  1 → X.

Для этального топоса пространства точка — это более утонченный объект. Учитывая точку базовой схемы, точка топоса затем задается сепарабельным расширением поля так , что соответствующая карта учитывает исходную точку . Тогда карта факторизации ${\displaystyle (X)_{et}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle (X)_{et}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \kappa (x)}$ ${\displaystyle x':{\text{Spec}}(k)\to X}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))}$$

этальным морфизмом

Точнее, это глобальные точки. Сами по себе они недостаточны для отображения пространственного аспекта топоса, поскольку нетривиальный топос может его не иметь. Обобщенные точки — это геометрические морфизмы топоса Y ( стадия определения ) в X. Их достаточно, чтобы отобразить космический аспект. Например, если X — классифицирующий топос S [ T ] для геометрической теории T , то универсальное свойство говорит, что его точки являются моделями T (на любой стадии определения Y ).

Основные геометрические морфизмы

Геометрический морфизм ( u ^∗ , u _∗ ) является существенным , если u ^∗ имеет еще один сопряженный слева u _! или, что то же самое (по теореме о сопряженном функторе), если u ^∗ сохраняет не только конечные, но и все малые пределы.

Кольчатые топои

Кольцевой топос — это пара ( X , R ), где X — топос, а R — коммутативный кольцевой объект в X. Большинство конструкций окольцованных пространств проходят через окольцованные топосы. Категория объектов R -модуля в X является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных. Более полезной абелевой категорией является подкатегория квазикогерентных R -модулей: это R -модули, допускающие представление.

Другим важным классом окольцованных топосов, помимо окольцованных пространств, являются этальные топосы стопок Делиня-Мамфорда .

Гомотопическая теория топосов

Майкл Артин и Барри Мазур связали с местом, лежащим в основе топоса, просимплициальное множество (с точностью до гомотопии ). ^[4] (Лучше рассматривать это в Ho(pro-SS); см. Эдвардс). Используя эту обратную систему симплициальных множеств, можно иногда связать с гомотопическим инвариантом в классической топологии обратную систему инвариантов в теории топоса. Исследование просимплициального множества, ассоциированного с этальным топосом схемы, называется этальной гомотопической теорией . ^[5] В хороших случаях (если схема нётерова и геометрически одноветвистая ), это просимплициальное множество является проконечным .

Элементарные топосы (топосы в логике)

Введение

С начала 20-го века преобладающей аксиоматической основой математики была теория множеств , в которой все математические объекты в конечном итоге представлены множествами (включая функции , которые отображают между множествами). Более поздние работы по теории категорий позволяют обобщить эту основу с помощью топосов; каждый топос полностью определяет свою математическую основу. Категория множеств образует знакомый топос, и работа в рамках этого топоса эквивалентна использованию традиционной теоретико-множественной математики. Но вместо этого можно было бы выбрать работу со многими альтернативными топосами. Стандартная формулировка аксиомы выбора имеет смысл в любом топосе, но есть топосы, в которых она недействительна. Конструктивистам будет интересно работать в топосе без закона исключенного третьего . Если важна симметрия относительно конкретной группы G , можно использовать топос, состоящий из всех G -множеств .

Также возможно закодировать алгебраическую теорию , такую ​​как теория групп, как топос, в форме классифицирующего топоса . Отдельные модели теории, т. е. группы в нашем примере, тогда соответствуют функторам из кодирующего топоса в категорию множеств, которые соблюдают структуру топоса.

Формальное определение

При использовании для фундаментальной работы топос будет определен аксиоматически; теория множеств тогда рассматривается как частный случай теории топоса. На основе теории категорий существует множество эквивалентных определений топоса. Следующее имеет достоинство краткости:

Топос – это категория, обладающая следующими двумя свойствами:

• Все пределы , принятые для категорий конечного индекса, существуют.
• У каждого объекта есть объект силы. Это играет роль набора власти в теории множеств.

Формально властным объектом объекта является пара с , классифицирующая отношения, в следующем смысле. Прежде всего отметим, что для каждого объекта морфизм («семейство подмножеств») порождает подобъект . Формально это определяется оттягиванием назад вдоль . Универсальное свойство объекта власти состоит в том, что каждое отношение возникает таким образом, давая биективное соответствие между отношениями и морфизмами . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (PX,\ni _{X})}$ ${\displaystyle {\ni _{X}}\subseteq PX\times X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r\colon I\to PX}$ ${\displaystyle \{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X}$ ${\displaystyle \ni _{X}}$ ${\displaystyle r\times X:I\times X\to PX\times X}$ ${\displaystyle R\subseteq I\times X}$ ${\displaystyle r\colon I\to PX}$

Из конечных пределов и объектов власти можно вывести, что

• Все копределы , взятые для категорий конечного индекса, существуют.
• Категория имеет классификатор подобъектов .
• Категория является декартово закрытой .

В некоторых приложениях роль классификатора подобъектов является решающей, тогда как мощные объекты — нет. Таким образом, некоторые определения меняют роли того, что определяется, и того, что получается.

Логические функторы

Логический функтор — это функтор между топосами, сохраняющий конечные пределы, и степенные объекты. Логические функторы сохраняют структуры, которые имеют топосы. В частности, они сохраняют конечные копределы, классификаторы подобъектов и экспоненциальные объекты . ^[6]

Объяснение

Топос, определенный выше, можно понимать как декартову замкнутую категорию, для которой понятие подобъекта объекта имеет элементарное определение или определение первого порядка. Это понятие, как естественная категориальная абстракция понятий подмножества множества , подгруппы группы и, в более общем смысле, подалгебры любой алгебраической структуры , предшествует понятию топоса. Его можно определить в любой категории, а не только в топосах, в языке второго порядка , т. е. в терминах классов морфизмов, а не отдельных морфизмов, следующим образом. Учитывая две моники m , n из Y и Z соответственно в X , мы говорим, что m ≤ n , когда существует морфизм p : Y → Z , для которого np = m , индуцирующий предварительный порядок моник в X. Когда m ⩽ n и n ⩽ m, мы говорим, что m и n эквивалентны. Подобъекты X — это результирующие классы эквивалентности моник ему.

В топосе «подобъект» становится, по крайней мере имплицитно, понятием первого порядка следующим образом.

Как отмечалось выше, топос — это категория C , имеющая все конечные пределы и, следовательно, в частности, пустой предел или конечный объект 1. Тогда естественно рассматривать морфизмы формы x : 1 → X как элементы x ∈ X . Таким образом, морфизмы f : X → Y соответствуют функциям, отображающим каждый элемент x ∈ X в элемент fx ∈ Y с применением, реализуемым посредством композиции.

Тогда можно было бы подумать определить подобъект X как класс эквивалентности моник m : X′ → X , имеющих тот же образ { mx | х € Х' }. Загвоздка в том, что одной и той же функции могут соответствовать два или более морфизмов, то есть мы не можем предполагать, что C конкретна в том смысле, что функтор C (1,-): C → Set точен. Например, категория графов Grph и связанных с ними гомоморфизмов представляет собой топос, конечным объектом которого 1 является граф с одной вершиной и одним ребром ( петля), но он не является конкретным, поскольку элементы 1 → G графа G соответствуют только к петлям, а не к другим ребрам или вершинам без петель. В то время как определение второго порядка делает G и подграф всех петель G (с их вершинами) отдельными подобъектами G (если только каждое ребро не является циклом и каждая вершина не имеет цикл), это определение на основе изображений делает нет. Это можно решить для примера с графом и связанных с ним примеров с помощью леммы Йонеды , как описано в разделе «Дополнительные примеры» ниже, но тогда это перестает быть первым порядком. Topoi предоставляют более абстрактное, общее и решение первого порядка.

Рисунок 1. m как обратный образ общего подобъекта t вдоль f .

Как отмечалось выше, топос C имеет классификатор подобъектов Ω, а именно объект C с элементом t ∈ Ω, общий подобъект C , обладающий тем свойством, что каждая моника m : X ' → X возникает как обратный образ общего подобъект вдоль уникального морфизма f : X → Ω, как показано на рисунке 1. Теперь возврат моники является моникой, и все элементы, включая t , являются мониками, поскольку существует только один морфизм на 1 из любого данного объекта, откуда и возврат t вдоль f : X → Ω является моникой. Таким образом, моники X находятся в биекции с обратными образами t вдоль морфизмов из X в Ω. Последние морфизмы разбивают моники на классы эквивалентности, каждый из которых определяется морфизмом f : X → Ω, характеристическим морфизмом этого класса, который мы принимаем в качестве подобъекта X , характеризуемого или называемого f .

Все это относится к любому топосу, конкретному или нет. В конкретном случае, а именно C (1,-) верно, например, категории множеств, ситуация сводится к привычному поведению функций. Здесь моники m : X′ → X — это в точности инъекции (однозначные функции) из X′ в X , причем с заданным образом { mx | x ∈ X′ } составляют подобъект X , соответствующий морфизму f : X → Ω, для которого f ⁻¹ ( t ) является этим образом. Моники подобъекта, как правило, будут иметь множество областей, однако все они будут биекционными друг с другом.

Подводя итог, можно сказать, что это понятие классификатора подобъектов первого порядка неявно определяет для топоса то же самое отношение эквивалентности на монике X , которое ранее было явно определено понятием подобъекта второго порядка для любой категории. Понятие отношения эквивалентности в классе морфизмов само по себе является вторым порядком, который определение топоса аккуратно обходит, явно определяя только понятие классификатора подобъектов Ω, оставляя понятие подобъекта X как неявное следствие, характеризуемое (и, следовательно, именуемый) посредством ассоциированного с ним морфизма f : X → Ω.

Дальнейшие примеры и непримеры

Каждый топос Гротендика является элементарным топосом, но обратное неверно (поскольку каждый топос Гротендика является кополным, чего не требуется от элементарного топоса).

Категории конечных множеств, конечных G -множеств ( действий группы G на конечном множестве) и конечных графов являются элементарными топосами, не являющимися топосами Гротендика.

Если C — малая категория, то функторная категория Set ^C (состоящая из всех ковариантных функторов из C в множества с естественными преобразованиями в качестве морфизмов) является топосом. Например, категория Grph графов, допускающих кратные направленные ребра между двумя вершинами, является топосом. Такой граф состоит из двух наборов: набора ребер и набора вершин, а также двух функций s,t между этими наборами, присваивающих каждому ребру e его источник s ( e ) и цель t ( e ). Таким образом, Grph эквивалентен функторной категории Set ^C , где C — категория с двумя объектами E и V и двумя морфизмами s,t : E → V , дающими соответственно источник и цель каждого ребра.

Лемма Йонеды утверждает, что C ^op вкладывается в множество ^C как полная подкатегория. В примере с графом вложение представляет C ^op как подкатегорию множества C ^, двумя объектами которой являются V' как одновершинный граф без ребер и E' как двухвершинный граф с одним ребром (оба как функторы), и чьи два нетождественных морфизма — это два гомоморфизма графов из V' в E' (оба являются естественными преобразованиями). Естественные преобразования из V' в произвольный граф (функтор) G составляют вершины G , а преобразования из E' в G составляют его ребра. Хотя Set ^C , который мы можем отождествить с Grph , не конкретизируется ни V', ни E' , функтор U : Grph → Set ² отправляет объект G в пару множеств ( Grph ( V' , G ), Grph ( E' , G )) и морфизм h : G → H на пару функций ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , h )) является точным. То есть морфизм графов можно понимать как пару функций, одна из которых отображает вершины, а другая — ребра, причем применение по-прежнему реализуется как композиция, но теперь с несколькими видами обобщенных элементов. Это показывает, что традиционная концепция конкретной категории как категории, объекты которой имеют базовый набор, может быть обобщена для охвата более широкого диапазона топосов, позволяя объекту иметь несколько базовых наборов, то есть подвергаться мультисортировке.

Категория точечных множеств с функциями сохранения точки не является топосом, поскольку в ней нет степенных объектов: если бы был степенным объектом указанного множества и обозначает указанный синглтон, то существует только одна функция сохранения точки , но отношения в так же многочисленны, как и указанные подмножества . Категория абелевых групп также не является топосом по той же причине: каждый гомоморфизм группы должен отображать 0 в 0. ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r\colon 1\to PX}$ ${\displaystyle 1\times X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Математический портал

• История теории топоса
• Гомотопическая гипотеза
• Интуиционистская теория типов
• ∞-топос
• Квазитопос
• Геометрическая логика

Примечания

1. Иллюзия 2004
2. Карамелло, Оливия (2016). Гротендик представляет собой объединяющие «мосты» в книге «Математика» (PDF) (HDR). Парижский университет Дидро (Париж 7).
3. Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: связь и изучение математических теорий через топо-теоретические «мосты». Издательство Оксфордского университета. дои : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.
4. Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969). Этальная гомотопия . Конспект лекций по математике. Том. 100. Шпрингер-Верлаг . дои : 10.1007/BFb0080957. ISBN 978-3-540-36142-8.
5. Фридлендер, Эрик М. (1982), Этальная гомотопия симплициальных схем , Анналы математических исследований, том. 104, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-08317-9
6. МакЛарти 1992, с. 159

Рекомендации

Некоторые нежные бумаги

• Эдвардс, Д.А.; Гастингс, HM (лето 1980 г.). «Теория Чеха: ее прошлое, настоящее и будущее». Математический журнал Роки Маунтин . 10 (3): 429–468. дои : 10.1216/RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR  44236540.
• Баэз, Джон . «Теория топоса в двух словах».Нежное знакомство.
• Стивен Викерс : «Топосы для нулевых вещей» и «Топосы для нулевых вещей». Элементарные и еще более элементарные введения в топосы как обобщенные пространства.
• Иллюзи, Люк (2004). «Что такое... Топос?» (PDF) . Уведомления АМС . 51 (9): 160–1.

Следующие тексты представляют собой простые введения в топосы и основы теории категорий. Они должны подойти тем, кто мало разбирается в математической логике и теории множеств, даже нематематикам.

• Ловер, Ф. Уильям ; Шануэль, Стивен Х. (1997). Концептуальная математика: первое введение в категории. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-47817-5.«Введение в категории для ученых-компьютерщиков, логиков, физиков, лингвистов и т. д.». (цитата по тексту обложки).
• Ловер, Ф. Уильям; Роузбру, Роберт (2003). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01060-3.Знакомит с основами математики с категориальной точки зрения.

Основополагающая работа Гротендика о топосах:

• Гротендик, А .; Вердье, JL (1972). Теория топосов и этальных когомологий схем . Конспекты лекций по математике. Том. 269. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-37549-4. Том 2 , 270 doi : 10.1007/BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4 

Следующие монографии включают введение в некоторые или всю теорию топоса, но не предназначены в первую очередь для начинающих студентов. Перечислены в (воспринимаемом) порядке возрастания сложности.

• МакЛарти, Колин (1992). Элементарные категории, элементарные топосы. Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-158949-2.Хорошее введение в основы теории категорий, теории топоса и логики топоса. Предполагает очень мало предварительных условий.
• Голдблатт, Роберт (2013) [1984]. Топосы: Категориальный анализ логики. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-31796-0. Хорошее начало. Доступно онлайн на домашней странице Роберта Голдблатта.
• Белл, Джон Л. (2001). «Развитие категорической логики». В Габбае, DM; Гентнер, Франц (ред.). Справочник по философской логике . Том. 12 (2-е изд.). Спрингер. стр. 279–. ISBN 978-1-4020-3091-8.Версия доступна онлайн на домашней странице Джона Белла.
• Маклейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (2012) [1994]. Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса. Спрингер. ISBN 978-1-4612-0927-0.Более полная и более трудная для чтения.
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2013) [1985]. Топосы, тройки и теории. Спрингер. ISBN 978-1-4899-0023-4.(Онлайн-версия). Более краткий, чем «Пучки в геометрии и логике» , но труден для новичков.

Справочные издания для экспертов, менее подходящие для первого ознакомления.

• Эдвардс, Д.А.; Гастингс, HM (1976). Гомотопические теории Чеха и Стинрода с приложениями к геометрической топологии . Конспекты лекций по математике. Том. 542. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/BFb0081083. ISBN 978-3-540-38103-7.
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре: Том 3, Теория пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 52. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-44180-3.Третья часть «выдающегося произведения Борсо», как назвал ее Джонстон. По-прежнему подходит в качестве введения, хотя новичкам может быть сложно распознать наиболее важные результаты среди огромного количества предоставленного материала.
• Джонстон, Питер Т. (2014) [1977]. Теория Топоса. Курьер. ISBN 978-0-486-49336-7.Долгое время это был стандартный сборник по теории топоса. Однако даже Джонстон описывает эту работу как «слишком сложную для чтения и не для слабонервных».
• Джонстон, Питер Т. (2002). Зарисовки слона: сборник теории топоса. Том. 2. Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851598-2.По состоянию на начало 2010 года были доступны два из запланированных трех томов этого огромного сборника.
• Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: связь и изучение математических теорий через топо-теоретические «мосты». Издательство Оксфордского университета. дои : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

Книги, посвященные специальным применениям теории топоса.

• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер; Рота, GC, ред. (2004). Категориальные основы: специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83414-8.Включает в себя множество интересных специальных приложений.