Теория пучка Тимошенко – Эренфеста

Модель сдвиговой деформации и эффектов изгиба

Ориентация линии, перпендикулярной средней плоскости толстой книги в мягкой обложке при изгибе.

Теория балок Тимошенко –Эренфеста была разработана Стивеном Тимошенко и Полом Эренфестом ^{[1] [2] [3]} в начале 20-го века. ^{[4] [5]} Модель учитывает эффекты деформации сдвига и вращательного изгиба , что делает ее пригодной для описания поведения толстых балок, сэндвич-композитных балок или балок, подверженных высокочастотному возбуждению , когда длина волны приближается к толщине балки. Полученное уравнение имеет 4-й порядок, но, в отличие от теории балок Эйлера–Бернулли , присутствует также частная производная второго порядка. Физически учет добавленных механизмов деформации эффективно снижает жесткость балки, в то время как результатом является больший прогиб под статической нагрузкой и более низкие прогнозируемые собственные частоты для данного набора граничных условий. Последний эффект более заметен для более высоких частот, поскольку длина волны становится короче (в принципе сопоставимой с высотой балки или короче), и, таким образом, расстояние между противостоящими силами сдвига уменьшается.

Эффект инерции вращения был введен Брессом ^[6] и Рэлеем. ^[7]

Если модуль сдвига материала балки стремится к бесконечности (и, таким образом, балка становится жесткой при сдвиге), и если пренебречь эффектами инерции вращения, теория балки Тимошенко сходится к теории балки Эйлера–Бернулли .

Квазистатический пучок Тимошенко

Деформация балки Тимошенко (синяя) по сравнению с деформацией балки Эйлера–Бернулли (красная).

Деформация балки Тимошенко. Нормаль поворачивается на величину , не равную . ${\displaystyle \theta _{x}=\varphi (x)}$ ${\displaystyle dw/dx}$

В статической теории балки Тимошенко без учета осевых эффектов смещения балки предполагаются определяемыми выражением

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)}$

где - координаты точки балки, - компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, - угол поворота нормали к срединной поверхности балки, - смещение срединной поверхности в -направлении. ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$

Основными уравнениями являются следующие связанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}$

Теория балки Тимошенко для статического случая эквивалентна теории Эйлера–Бернулли , если пренебречь последним членом, это приближение справедливо, когда

${\displaystyle {\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1}$

где

• ${\displaystyle L}$длина балки.
• ${\displaystyle A}$это площадь поперечного сечения.
• ${\displaystyle E}$это модуль упругости .
• ${\displaystyle G}$модуль сдвига .
• ${\displaystyle I}$— второй момент площади .
• ${\displaystyle \kappa }$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно для прямоугольного сечения. ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x)}$распределенная нагрузка (сила на длину).
• ${\displaystyle w}$- смещение срединной поверхности в -направлении. ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$— угол поворота нормали к срединной поверхности балки.

Объединение двух уравнений дает для однородной балки постоянного поперечного сечения:

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Изгибающий момент и поперечная сила в балке связаны со смещением и поворотом . Эти соотношения для линейно-упругой балки Тимошенко следующие: ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

Граничные условия

Два уравнения, описывающие деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены граничными условиями , если они должны быть решены. Для корректной постановки задачи необходимы четыре граничных условия . Типичные граничные условия:

• Просто опертые балки : смещение равно нулю в местах расположения двух опор. Изгибающий момент, приложенный к балке, также должен быть указан. Вращение и поперечная сдвигающая сила не указаны. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Q_{x}}$
• Закрепленные балки : смещение и поворот указаны равными нулю на защемленном конце. Если один конец свободен, то на этом конце необходимо указать силу сдвига и изгибающий момент . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle M_{xx}}$

Энергия деформации балки Тимошенко

Энергия деформации балки Тимошенко выражается как сумма энергии деформации, вызванной изгибом и сдвигом. Оба эти компонента квадратичны по своим переменным. Функция энергии деформации балки Тимошенко может быть записана как,

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}$

Пример: Консольная балка

Консольная балка Тимошенко под сосредоточенной нагрузкой на свободном конце

Для консольной балки одна граница защемлена, а другая свободна. Давайте используем правую систему координат , где направление положительно вправо, а направление положительно вверх. Следуя обычным правилам, мы предполагаем, что положительные силы действуют в положительных направлениях осей и , а положительные моменты действуют по часовой стрелке. Мы также предполагаем, что соглашение о знаках результирующих напряжений ( и ) таково, что положительные изгибающие моменты сжимают материал в нижней части балки (нижние координаты), а положительные сдвигающие силы вращают балку против часовой стрелки. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle z}$

Предположим, что защемленный конец находится в точке , а свободный конец — в точке . Если к свободному концу приложена сосредоточенная нагрузка в положительном направлении, то диаграмма свободного тела балки дает нам ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

и

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

Поэтому из выражений для изгибающего момента и поперечной силы имеем

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

Интегрирование первого уравнения и применение граничного условия при приводит к ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Второе уравнение тогда можно записать как

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Интегрирование и применение граничного условия при дает ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

Осевое напряжение определяется по формуле

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

Динамический пучок Тимошенко

В теории балок Тимошенко без учета осевых эффектов смещения балки предполагаются определяемыми выражением

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

где - координаты точки балки, - компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, - угол поворота нормали к срединной поверхности балки, - смещение срединной поверхности в -направлении. ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$

Исходя из вышеизложенного предположения, теория балки Тимошенко, учитывающая колебания, может быть описана связанными линейными уравнениями в частных производных : ^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

где зависимые переменные — это , поступательное смещение балки, и , угловое смещение. Обратите внимание, что в отличие от теории Эйлера–Бернулли , угловое отклонение является другой переменной и не аппроксимируется наклоном отклонения. Также, ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$— плотность материала балки (но не линейная плотность ).
• ${\displaystyle A}$это площадь поперечного сечения.
• ${\displaystyle E}$это модуль упругости .
• ${\displaystyle G}$модуль сдвига .
• ${\displaystyle I}$— второй момент площади .
• ${\displaystyle \kappa }$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно для прямоугольного сечения. ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$распределенная нагрузка (сила на длину).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$
• ${\displaystyle w}$- смещение срединной поверхности в -направлении. ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$— угол поворота нормали к срединной поверхности балки.

Эти параметры не обязательно являются константами.

Для линейной упругой, изотропной, однородной балки постоянного поперечного сечения эти два уравнения можно объединить, чтобы получить ^{[9] [10]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Однако можно легко показать, что это уравнение неверно. Рассмотрим случай, когда q постоянна и не зависит от x или t, в сочетании с наличием небольшого затухания все производные по времени будут стремиться к нулю, когда t стремится к бесконечности. Члены сдвига в этой ситуации отсутствуют, что приводит к теории балок Эйлера-Бернулли, где деформация сдвига не учитывается.

Уравнение Тимошенко предсказывает критическую частоту Для нормальных мод уравнение Тимошенко может быть решено. Будучи уравнением четвертого порядка, существует четыре независимых решения, два колебательных и два затухающих для частот ниже . Для частот больше , чем все решения являются колебательными и, как следствие, появляется второй спектр. ^[11] ${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}}$

Аксиальные эффекты

Если смещения балки заданы как

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

где - дополнительное смещение в направлении, то определяющие уравнения балки Тимошенко принимают вид ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

где и - внешне приложенная осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается результирующим напряжением ${\displaystyle J=\rho I}$ ${\displaystyle N(x,t)}$

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

где — осевое напряжение, а толщина балки предполагается равной . ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ ${\displaystyle 2h}$

Комбинированное уравнение балки с учетом эффектов осевой силы имеет вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Демпфирование

Если в дополнение к осевым силам предположить демпфирующую силу, пропорциональную скорости, имеющую вид

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

связанные уравнения для балки Тимошенко принимают вид

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

и объединенное уравнение становится

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

Недостатком этой анзац-силы затухания (напоминающей вязкость) является то, что, в то время как вязкость приводит к частотно-зависимой и амплитудно-независимой скорости затухания колебаний балки, эмпирически измеренные скорости затухания нечувствительны к частоте, но зависят от амплитуды отклонения балки.

Коэффициент сдвига

Определение коэффициента сдвига не является простым (и полученные значения не являются общепринятыми, т.е. существует более одного ответа); как правило, он должен удовлетворять:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}})}$.

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона . Попытки предоставить точные выражения предпринимались многими учеными, включая Стивена Тимошенко , ^[12] Рэймонда Д. Миндлина , ^[13] GR Cowper, ^[14] GR, 1966, "The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory", J. Appl. Mech., Vol. 33, No.2, pp. 335–340.</ref> NG Stephen, ^[15] JR Hutchinson ^[16] и др. (см. также вывод теории балок Тимошенко как уточненной теории балок на основе вариационно-асимптотического метода в книге Хана К. Ле ^[17], приводящей к различным коэффициентам сдвига в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике в большинстве случаев достаточно выражений Стивена Тимошенко ^[18] . В 1975 году Канеко ^[19] опубликовал превосходный обзор исследований коэффициента сдвига. Совсем недавно новые экспериментальные данные показали, что коэффициент сдвига недооценен. ^{[20] [21]}

Корректирующие коэффициенты сдвига для однородной изотропной балки по Кауперу - подбор. ^[14]

где - коэффициент Пуассона. ${\displaystyle \nu }$

Смотрите также

• Теория пластин
• Теория сэндвича

Ссылки

1. Айзек Элишаков (2020) «Кто разработал так называемую теорию балок Тимошенко?», Математика и механика твердого тела 25(1): 97–116 doi :10.1177/1081286519856931
2. Элишаков, И. (2020) Справочник по теориям балок Тимошенко-Эренфеста и пластин Уфлянда-Миндлина , World Scientific , Сингапур, ISBN 978-981-3236-51-6 
3. Григолюк, Е.И. (2002) С.П. Тимошенко: Жизнь и судьба . М.: Издательство Авиационного института.
4. Тимошенко, СП (1921) «LXVI. О поправке на сдвиг дифференциального уравнения поперечных колебаний призматических стержней», Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 41(245): 744–746 doi :10.1080/14786442108636264
5. Тимошенко, СП (1922) «X. О поперечных колебаниях стержней постоянного сечения», Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 43(253): 125–131 doi :10.1080/14786442208633855
6. Бресс JAC, 1859, Аппликационный курс механики - Сопротивление материалов и стабильность конструкций, Париж, Готье-Виллар (на французском языке)
7. Рэлей Лорд (Дж. В. С. Стратт), 1877-1878, Теория звука, Лондон: Macmillan (см. также Довер, Нью-Йорк, 1945)
8. Уравнения балки Тимошенко
9. Томсон, У. Т., 1981, Теория вибрации и ее приложения , второе издание. Прентис-Холл, Нью-Джерси.
10. Розингер, Х. Э. и Ричи, И. Г., 1977, О поправке Тимошенко для сдвига в вибрирующих изотропных балках , J. Phys. D: Appl. Phys., т. 10, стр. 1461-1466.
11. «Экспериментальное исследование предсказаний теории пучков Тимошенко», А. Диас-де-Анда, Х. Флорес, Л. Гутьеррес, Р. А. Мендес-Санчес, Г. Монсивайс и А. Моралес, Журнал звука и вибрации, том 331 , выпуск 26, 17 декабря 2012 г., стр. 5732–5744.
12. Тимошенко, Стивен П., 1932, Schwingungsprobleme der Technik , Юлиус Спрингер.
13. Миндлин, RD, Дересевич, H., 1953, Коэффициент сдвига Тимошенко для изгибных колебаний балок , Технический отчет № 10, Проект ONR NR064-388, Кафедра гражданского строительства, Колумбийский университет, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк
14. Ошибка цитирования: Указанная ссылка Cowperбыла вызвана, но не определена (см. страницу справки ).
15. Стивен, НГ, 1980. «Коэффициент сдвига Тимошенко для балки, подверженной гравитационной нагрузке», Журнал прикладной механики, т. 47, № 1, стр. 121–127.
16. Хатчинсон, Дж. Р., 1981, «Поперечные колебания балок, точные и приближенные решения», Журнал прикладной механики, т. 48, № 12, стр. 923–928.
17. Ле, Хань Ч., 1999, Колебания оболочек и стержней , Springer.
18. Стивен Тимошенко, Джеймс М. Гир. Механика материалов. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. С. 207.
19. Канеко, Т., 1975, «О поправке Тимошенко для сдвига в вибрирующих балках», J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 8, стр. 1927–1936.
20. «Экспериментальная проверка точности теории балки Тимошенко», RA Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.
21. «О точности теории балки Тимошенко выше критической частоты: наилучший коэффициент сдвига», JA Franco-Villafañe и RA Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, январь 2016 г., стр. 1–4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.