Тепловое ядро

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности при заданных граничных значениях

В математическом исследовании теплопроводности и диффузии тепловое ядро ​​является фундаментальным решением уравнения теплопроводности в указанной области с соответствующими граничными условиями . Оно также является одним из основных инструментов в изучении спектра оператора Лапласа и , таким образом, имеет некоторое вспомогательное значение во всей математической физике . Тепловое ядро ​​представляет собой эволюцию температуры в области, граница которой удерживается фиксированной при определенной температуре (обычно нулевой), так что начальная единица тепловой энергии помещается в точку в момент времени t = 0 .

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени . Синий: ход времени для двух выбранных точек. Интерактивная версия. ${\displaystyle \Phi (x,t)}$ ${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

Наиболее известным тепловым ядром является тепловое ядро ​​d -мерного евклидова пространства R ^d , которое имеет вид изменяющейся во времени гауссовой функции , которая определена для всех и . Это решает уравнение теплопроводности , где δ — дельта-распределение Дирака , а предел берется в смысле распределений , то есть для каждой гладкой функции ϕ компактного носителя , мы имеем $${\displaystyle K(t,x,y)=\exp \left(t\Delta \right)(x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}e^{-\|x-y\|^{2}/4t}}$$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle t>0}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$$

В более общей области Ω в R ^d такая явная формула, как правило, невозможна. Следующие простейшие случаи диска или квадрата включают, соответственно, функции Бесселя и тета-функции Якоби . Тем не менее, тепловое ядро ​​все еще существует и является гладким при t > 0 в произвольных областях и, действительно, на любом римановом многообразии с границей , при условии, что граница достаточно регулярна. Точнее, в этих более общих областях тепловое ядро ​​решение начальной краевой задачи $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&\quad {\text{ for all }}t>0{\text{ and }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{ for all }}x,y\in \Omega \qquad \qquad \,\\[6pt]&K(t,x,y)=0,&x\in \partial \Omega {\text{ or }}y\in \partial \Omega \qquad \,\,\,\,.\end{aligned}}\right.}$$

Нетрудно вывести формальное выражение для теплового ядра в произвольной области. Рассмотрим задачу Дирихле в связной области (или многообразии с границей) U . Пусть λ _n — собственные значения для задачи Дирихле лапласиана Пусть ϕ _n обозначает соответствующие собственные функции , нормированные так, чтобы быть ортонормированными в L 2 ( U ) . Обратный лапласиан Дирихле Δ ⁻¹ является компактным и самосопряженным оператором , и поэтому спектральная теорема подразумевает, что собственные значения Δ удовлетворяют Тепловое ядро ​​имеет следующее выражение: $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{array}}\right.}$$ $${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$$

Формальное дифференцирование ряда под знаком суммы показывает, что это должно удовлетворять уравнению теплопроводности. Однако сходимость и регулярность ряда весьма деликатны.

Тепловое ядро ​​иногда также отождествляется с соответствующим интегральным преобразованием , определяемым для компактно содержащегося гладкого ϕ как Теорема о спектральном отображении дает представление T в виде $${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$$ $${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$$

Существует несколько геометрических результатов о ядрах теплопроводности на многообразиях; например, кратковременная асимптотика, долговременная асимптотика и верхние/нижние границы гауссовского типа.

Смотрите также

• Тепловая сигнатура ядра
• Дзета-функция Минакшисундарама – Плейеля
• ядро Мелера
• Преобразование Вейерштрасса § Обобщения

Ссылки

• Берлина, Николь; Гетцлер, Э.; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Чавел, Айзек (1984), Собственные значения в римановой геометрии , Чистая и прикладная математика, т. 115, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-170640-1, МР  0768584.
• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения с частными производными , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0772-9
• Джилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема Атьи–Зингера, ISBN 978-0-8493-7874-4
• Григорьян, Александр (2009), Тепловое ядро ​​и анализ на многообразиях, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, т. 47, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4935-4, г-н  2569498