В математике тета -характеристика неособой алгебраической кривой C — это класс дивизоров Θ такой, что 2Θ — канонический класс . В терминах голоморфных линейных расслоений L на связной компактной римановой поверхности , это, следовательно, L , такое, что L 2 — каноническое расслоение , здесь также эквивалентно голоморфному кокасательному расслоению . В терминах алгебраической геометрии эквивалентное определение — как обратимый пучок , который квадратируется к пучку дифференциалов первого рода . Тета-характеристики были введены Розенхайном (1851)
Важность этой концепции была впервые осознана в аналитической теории тета-функций , а геометрически — в теории бикасательных . В аналитической теории существует четыре фундаментальных тета-функции в теории эллиптических функций Якоби . Их метки фактически являются тета-характеристиками эллиптической кривой . Для этого случая канонический класс тривиален (нуль в группе классов делителей ), и поэтому тета-характеристики эллиптической кривой E над комплексными числами находятся в однозначном соответствии с четырьмя точками P на E с 2 P = 0; этот подсчет решений ясен из структуры группы, произведения двух групп окружностей , когда E рассматривается как комплексный тор .
Для C рода 0 существует один такой класс делителей, а именно класс -P , где P — любая точка на кривой. В случае более высокого рода g , предполагая, что поле, над которым определен C , не имеет характеристики 2 , характеристики тета можно подсчитать как
в числе, если базовое поле алгебраически замкнуто.
Это происходит потому, что решения уравнения на уровне класса делителей образуют единый смежный класс решений
Другими словами, если K — канонический класс, а Θ — любое данное решение
любое другое решение будет иметь форму
Это сводит подсчет характеристик тета к нахождению 2-ранга якобиева многообразия J ( C ) многообразия C . В комплексном случае, опять же, результат следует, поскольку J ( C ) является комплексным тором размерности 2 g . Над общим полем см. теорию, изложенную в матрице Хассе-Витта для подсчета p-ранга абелева многообразия . Ответ тот же, при условии, что характеристика поля не равна 2.
Тета-характеристику Θ будем называть четной или нечетной в зависимости от размерности ее пространства глобальных сечений . Оказывается, на C существуют четные и нечетные тета-характеристики.
Классически характеристики тета делились на эти два вида, нечетные и четные, в соответствии со значением инварианта Арфа определенной квадратичной формы Q со значениями mod 2. Таким образом, в случае g = 3 и плоской кривой четвертой степени было 28 одного типа, а остальные 36 другого; это является основным в вопросе подсчета касательных к двум точкам, поскольку соответствует 28 касательным к двум точкам четвертой степени . Геометрическое построение Q как формы пересечения с помощью современных инструментов возможно алгебраически. Фактически применяется спаривание Вейля в его форме абелева многообразия . Тройки (θ 1 , θ 2 , θ 3 ) тета-характеристик называются сизигетическими и асизигетическими в зависимости от того, равно ли Arf(θ 1 )+Arf(θ 2 )+Arf(θ 3 )+Arf(θ 1 +θ 2 +θ 3 ) 0 или 1.
Атья (1971) показал, что для компактного комплексного многообразия выбор тета-характеристик взаимно однозначно соответствует спиновым структурам .
