В геометрии тетрагемигексаэдр или гемикубооктаэдр — это однородный звездчатый многогранник , индексируемый как U 4 . Он имеет 7 граней (4 треугольника и 3 квадрата ), 12 ребер и 6 вершин. [1] Его вершинная фигура — скрещенный четырехугольник . Его диаграмма Коксетера–Дынкина —
(хотя это двойное покрытие тетрагемигексаэдра).
Тетрагемигексаэдр — единственный непризматический однородный многогранник с нечетным числом граней. Его символ Витхоффа — 3/2 3 | 2 , но он представляет собой двойное покрытие тетрагемигексаэдра восемью треугольниками и шестью квадратами, парными и совпадающими в пространстве. (Интуитивно его можно рассматривать как два совпадающих тетрагемигексаэдра.)
Тетрагемигексаэдр — это гемиполиэдр . Часть названия «геми» означает, что некоторые грани образуют группу с вдвое меньшим числом элементов, чем у некоторого правильного многогранника — здесь три квадратных грани образуют группу с вдвое меньшим числом граней, чем у правильного шестигранника, более известного как куб — отсюда и гемигексаэдр . Гемиграни также ориентированы в том же направлении, что и грани правильного многогранника. Три квадратных грани тетрагемигексаэдра, как и три ориентации граней куба, взаимно перпендикулярны .
Характеристика "half-as-many" также означает, что полуграни должны проходить через центр многогранника, где они все пересекаются друг с другом. Визуально каждый квадрат разделен на четыре прямоугольных треугольника , по два из которых видны с каждой стороны.
Тетрагемигексаэдр — неориентируемая поверхность. Он уникален как единственный однородный многогранник с эйлеровой характеристикой 1 и, следовательно, является проективным многогранником , давая представление реальной проективной плоскости [2], очень похожее на римскую поверхность .
Тетрагемигексаэдр имеет те же вершины и ребра, что и правильный октаэдр . Он также разделяет 4 из 8 треугольных граней октаэдра, но имеет три дополнительные квадратные грани, проходящие через центр многогранника.
Двойственная фигура тетрагемигексаэдра — тетрагемигексакрон .
Тетрагемигексаэдр 2-покрывается кубооктаэдром , [2] который соответственно имеет ту же абстрактную вершинную фигуру (2 треугольника и два квадрата: 3.4.3.4) и в два раза больше вершин, ребер и граней. Он имеет ту же топологию, что и абстрактный многогранник гемикубооктаэдр .
Тетрагемигексаэдр может быть также построен как скрещенный треугольный куплоид . Все куплоиды и их двойственные являются топологически проективными плоскостями. [3]
Тетрагемигексакрон является двойственным тетрагемигексаэдру и одним из девяти двойственных гемимногогранников .
Поскольку грани полумногогранников проходят через центр, двойственные фигуры имеют соответствующие вершины на бесконечности; правильно, на действительной проективной плоскости на бесконечности. [4] В «Двойственных моделях » Магнуса Веннингера они представлены пересекающимися призмами , каждая из которых простирается в обоих направлениях к одной и той же вершине на бесконечности, чтобы сохранить симметрию. На практике модельные призмы обрезаются в определенной точке, которая удобна для создателя. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса фигур звездчатости , называемых звездчатостью в бесконечность . Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, поскольку их конструкция не соответствует обычным определениям.
Топологически тетрагемигексакрон считается содержащим семь вершин. Три вершины, рассматриваемые в бесконечности ( реальная проективная плоскость в бесконечности), направленно соответствуют трем вершинам полуоктаэдра , абстрактного многогранника. Остальные четыре вершины существуют в чередующихся углах центрального куба ( полукуба , в данном случае тетраэдра ).