В математике абстрактный многогранник — это алгебраическое частично упорядоченное множество , которое охватывает диадическое свойство традиционного многогранника без указания чисто геометрических свойств, таких как точки и линии.
Говорят, что геометрический многогранник является реализацией абстрактного многогранника в некотором реальном N-мерном пространстве , обычно евклидовом . Это абстрактное определение допускает более общие комбинаторные структуры, чем традиционные определения многогранника, тем самым допуская новые объекты, не имеющие аналогов в традиционной теории.
В евклидовой геометрии две фигуры, которые не похожи , тем не менее могут иметь общую структуру. Например, квадрат и трапеция оба состоят из чередующейся цепи из четырех вершин и четырех сторон, что делает их четырехугольниками . Говорят, что они изоморфны или «сохраняют структуру».
Эта общая структура может быть представлена в базовом абстрактном многограннике, чисто алгебраическом частично упорядоченном множестве, которое фиксирует схему связей (или инцидентностей) между различными структурными элементами. Измеримые свойства традиционных многогранников, такие как углы, длины ребер, асимметрия, прямолинейность и выпуклость, не имеют никакого значения для абстрактного многогранника.
То, что верно для традиционных многогранников (также называемых классическими или геометрическими многогранниками), может не быть таковым для абстрактных, и наоборот. Например, традиционный многогранник является правильным, если все его грани и вершинные фигуры являются правильными, но это не обязательно так для абстрактного многогранника. [1]
Традиционный многогранник называется реализацией соответствующего абстрактного многогранника. Реализация — это отображение или инъекция абстрактного объекта в реальное пространство, обычно евклидово , для построения традиционного многогранника как реальной геометрической фигуры.
Шесть показанных четырехугольников являются различными реализациями абстрактного четырехугольника, каждая из которых обладает различными геометрическими свойствами. Некоторые из них не соответствуют традиционным определениям четырехугольника и называются неверными реализациями. Обычный многогранник является верной реализацией.
В абстрактном многограннике каждый структурный элемент (вершина, ребро, ячейка и т. д.) связан с соответствующим членом множества. Термин грань используется для обозначения любого такого элемента, например вершины (0-грань), ребра (1-грань) или общей k -грани, а не только многоугольной 2-грани.
Грани ранжируются в соответствии с их реальной размерностью: вершины имеют ранг 0, ребра — ранг 1 и т. д.
Инцидентные грани разных рангов, например вершина F ребра G, упорядочиваются отношением F < G. Говорят, что F является подгранью G.
F, G называются инцидентными , если либо F = G, либо F < G, либо G < F. Такое использование термина «инцидентность» также встречается в конечной геометрии , хотя оно отличается от традиционной геометрии и некоторых других областей математики. Например, в квадрате ABCD ребра AB и BC не являются абстрактно инцидентными (хотя они оба инцидентны вершине B). [ необходима цитата ]
Тогда многогранник определяется как множество граней P с отношением порядка < . Формально P (с < ) будет (строгим) частично упорядоченным множеством или посетом .
Так же, как число ноль необходимо в математике, так и каждое множество имеет пустое множество ∅ в качестве подмножества. В абстрактном многограннике ∅ по соглашению определяется как наименьшая или нулевая грань и является подгранью всех остальных. [ почему? ] Поскольку наименьшая грань находится на один уровень ниже вершин или 0-граней, ее ранг равен −1, и ее можно обозначить как F −1 . Таким образом, F −1 ≡ ∅, и абстрактный многогранник также содержит пустое множество в качестве элемента. [2] Обычно это не реализуется.
Существует также одна грань, все остальные являются подгранями. Она называется наибольшей гранью. В n -мерном многограннике наибольшая грань имеет ранг = n и может быть обозначена как F n . Иногда она реализуется как внутренняя часть геометрической фигуры.
Эти наименьшие и наибольшие лица иногда называют неправильными лицами, а все остальные — правильными лицами. [3]
Грани абстрактного четырехугольника или квадрата показаны в таблице ниже:
Отношение < включает в себя набор пар, которые здесь включают
Отношения порядка транзитивны , т.е. F < G и G < H подразумевают, что F < H. Поэтому, чтобы указать иерархию граней, нет необходимости приводить каждый случай F < H, а только пары, где один является последователем другого , т.е. где F < H и ни один G не удовлетворяет F < G < H.
Ребра W, X, Y и Z иногда записываются как ab , ad , bc и cd соответственно, но такая запись не всегда уместна.
Все четыре ребра структурно подобны, и то же самое относится к вершинам. Поэтому фигура имеет симметрию квадрата и обычно называется квадратом.
Меньшие посеты и, в частности, многогранники часто лучше всего визуализировать на диаграмме Хассе , как показано на рисунке. По соглашению, грани одинакового ранга располагаются на одном вертикальном уровне. Каждая «линия» между гранями, скажем, F, G, указывает на отношение порядка <, такое, что F < G, где F находится ниже G на диаграмме.
Диаграмма Хассе определяет уникальный посет и, следовательно, полностью отражает структуру политопа. Изоморфные политопы порождают изоморфные диаграммы Хассе, и наоборот. То же самое, как правило, не относится к графовому представлению политопа.
Ранг грани F определяется как ( m − 2), где m — максимальное число граней в любой цепочке (F', F", ... , F), удовлетворяющей условию F' < F" < ... < F. F' всегда является наименьшей гранью, F −1 .
Ранг абстрактного многогранника P — это максимальный ранг n любой грани. Это всегда ранг наибольшей грани F n .
Ранг грани или многогранника обычно соответствует размерности его аналога в традиционной теории.
Для некоторых званий их типы лица указаны в следующей таблице.
† Традиционно «лицо» означало лицо ранга 2 или 2-лицо. В абстрактной теории термин «лицо» обозначает лицо любого ранга.
В геометрии флаг — это максимальная цепочка граней, т. е. (полностью) упорядоченный набор Ψ граней, каждая из которых является подгранью следующей (если таковая имеется), и такой, что Ψ не является подмножеством какой-либо большей цепочки. Для любых двух различных граней F, G во флаге либо F < G, либо F > G.
Например, { ø , a , ab , abc } — это флаг в треугольнике abc .
Для данного многогранника все флаги содержат одинаковое количество граней. Другие посеты, в общем случае, не удовлетворяют этому требованию.
Любое подмножество P' частично упорядоченного множества P является частично упорядоченным множеством (с тем же отношением <, ограниченным P').
В абстрактном многограннике, если заданы любые две грани F и H множества P, причем F ≤ H , множество { G | F ≤ G ≤ H } называется сечением P и обозначается H / F. (В теории порядка сечение называется замкнутым интервалом частично упорядоченного множества и обозначается [ F , H ].
Например, в призме abcxyz (см. схему) сечение xyz / ø (выделено зеленым) представляет собой треугольник
K -сечение — это сечение ранга k .
Таким образом, P является частью самого себя.
Это понятие сечения не имеет того же значения, что в традиционной геометрии.
Гранью для данной j -грани F является ( j − 1 )-сечение F /∅, где F j — наибольшая грань.
Например, в треугольнике abc грань ab равна ab / ∅ = { ∅, a, b, ab }, что является отрезком прямой.
Различие между F и F /∅ обычно несущественно, и их часто рассматривают как идентичные.
Вершинная фигура в данной вершине V представляет собой ( n −1)-сечение F n / V , где F n — наибольшая грань.
Например, в треугольнике abc вершина в точке b равна abc / b = { b, ab, bc, abc }, что является отрезком прямой. Вершины куба — треугольники.
Посет P называется связным , если P имеет ранг ≤ 1 или, если даны любые две собственные грани F и G, существует последовательность собственных граней
такой, что F = H 1 , G = H k , и каждый H i , i < k, инцидентен своему последующему элементу.
Вышеуказанное условие гарантирует, что пара непересекающихся треугольников abc и xyz не является (единым) многогранником.
Посет P называется сильно связным , если каждая часть P (включая сам P) связна.
При этом дополнительном требовании две пирамиды, которые имеют только одну общую вершину, также исключаются. Однако, например, две квадратные пирамиды могут быть «склеены» по их квадратным граням, что даст октаэдр. «Общая грань» тогда не является гранью октаэдра.
Абстрактный многогранник — это частично упорядоченное множество , элементы которого мы называем гранями , удовлетворяющее 4 аксиомам: [ необходима цитата ]
n -многогранник — это многогранник ранга n . Абстрактный многогранник, связанный с вещественным выпуклым многогранником, также называется его решеткой граней . [4]
Для каждого ранга −1 и 0 существует только один поз. Это, соответственно, нулевая грань и точка. Они не всегда считаются допустимыми абстрактными многогранниками.
Существует только один многогранник ранга 1, который является отрезком прямой. Он имеет наименьшую грань, всего две 0-грани и наибольшую грань, например {ø, a, b, ab }. Из этого следует, что вершины a и b имеют ранг 0, и что наибольшая грань ab , а следовательно, и посет, имеют ранг 1.
Для каждого p , 3 ≤ p < , мы имеем (абстрактный эквивалент) традиционного многоугольника с p вершинами и p ребрами, или p -угольник. Для p = 3, 4, 5, ... мы имеем треугольник, квадрат, пятиугольник, ....
При p = 2 имеем двуугольник , а при p = получаем апейрогон .
Двуугольник — это многоугольник, имеющий всего 2 ребра. В отличие от любого другого многоугольника, оба ребра имеют те же две вершины. По этой причине он вырожден в евклидовой плоскости .
Грани иногда описываются с помощью "обозначения вершин" - например, { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } для треугольника abc . Этот метод имеет преимущество, подразумевая отношение < .
С двуугольником эта нотация вершин не может быть использована . Необходимо дать граням индивидуальные символы и указать пары подграней F < G.
Таким образом, двуугольник определяется как множество { ø , a , b , E', E", G} с отношением < , заданным формулой
где E' и E" - два ребра, а G - наибольшая грань.
Необходимость идентификации каждого элемента многогранника уникальным символом применима ко многим другим абстрактным многогранникам и поэтому является обычной практикой.
Многогранник может быть полностью описан с помощью вершинной нотации только в том случае, если каждая грань инцидентна уникальному набору вершин . Многогранник, обладающий этим свойством, называется атомистическим .
Множество j -граней (−1 ≤ j ≤ n ) традиционного n -многогранника образует абстрактный n -многогранник.
Понятие абстрактного многогранника является более общим и включает в себя также:
Двуугольник обобщается осоэдром и осотопами более высоких размерностей, которые могут быть реализованы как сферические многогранники – они заполняют сферу мозаикой.
Четыре примера нетрадиционных абстрактных многогранников — это полукуб (показан), полуоктаэдр , полудодекаэдр и полуикосаэдр . Это проективные аналоги платоновых тел , и их можно реализовать как (глобально) проективные многогранники — они заполняют действительную проективную плоскость .
Полукуб — еще один пример того, как вершинная нотация не может быть использована для определения многогранника: все 2-грани и 3-грани имеют один и тот же набор вершин.
Каждый геометрический многогранник имеет дуального близнеца. Абстрактно, дуальный многогранник — это тот же многогранник, но с обратным порядком ранжирования: диаграмма Хассе отличается только своими аннотациями. В n -многограннике каждая из исходных k -граней отображается в ( n − k − 1)-грань в дуальном многограннике. Так, например, n -грань отображается в (−1)-грань. Дуальный к дуальному многограннику ( изоморфен ) исходному.
Многогранник самодвойственен, если он такой же, как его двойственный, т.е. изоморфен ему. Следовательно, диаграмма Хассе самодвойственного многогранника должна быть симметрична относительно горизонтальной оси на полпути между вершиной и низом. Квадратная пирамида в примере выше самодвойственна.
Вершинная фигура в вершине V является двойственной фигурой грани, в которую V отображается в двойственном многограннике.
Формально абстрактный многогранник определяется как "регулярный", если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве его флагов. В частности, любые две k -грани F , G n -многогранника являются "одинаковыми", т.е. существует автоморфизм, который отображает F в G . Когда абстрактный многогранник является регулярным, его группа автоморфизмов изоморфна фактору группы Коксетера .
Все многогранники ранга ≤ 2 являются правильными. Наиболее известными правильными многогранниками являются пять Платоновых тел. Гемикуб (показан) также является правильным.
Неформально, для каждого ранга k это означает, что нет способа отличить любую k -грань от любой другой - грани должны быть идентичными и должны иметь идентичных соседей и т. д. Например, куб является правильным, потому что все грани являются квадратами, вершины каждого квадрата прикреплены к трем квадратам, и каждый из этих квадратов прикреплен к идентичным расположениям других граней, ребер и вершин и т. д.
Одного этого условия достаточно, чтобы гарантировать, что любой правильный абстрактный многогранник имеет изоморфные правильные ( n −1)-грани и изоморфные правильные вершинные фигуры.
Это более слабое условие, чем регулярность для традиционных многогранников, поскольку оно относится к (комбинаторной) группе автоморфизмов, а не к (геометрической) группе симметрии. Например, любой абстрактный многоугольник является правильным, поскольку углы, длины ребер, кривизна ребер, перекос и т. д. не существуют для абстрактных многогранников.
Существует несколько других более слабых концепций, некоторые из которых еще не полностью стандартизированы, например , полуправильный , квазиправильный , равномерный , хиральный и архимедов , которые применяются к многогранникам, у которых некоторые, но не все грани эквивалентны в каждом ранге.
Множество точек V в евклидовом пространстве, снабженное сюръекцией из множества вершин абстрактного многогранника P, такой, что автоморфизмы P индуцируют изометрические перестановки V , называется реализацией абстрактного многогранника. [5] [6] Две реализации называются конгруэнтными, если естественная биекция между их множествами вершин индуцируется изометрией их окружающих евклидовых пространств. [7] [8]
Если абстрактный n -многогранник реализован в n -мерном пространстве, так что геометрическое расположение не нарушает никаких правил для традиционных многогранников (таких как кривые грани или хребты нулевого размера), то реализация называется верной . В общем случае только ограниченный набор абстрактных многогранников ранга n может быть реализован верно в любом заданном n -пространстве. Характеристика этого эффекта является выдающейся проблемой.
Для правильного абстрактного многогранника, если комбинаторные автоморфизмы абстрактного многогранника реализуются посредством геометрических симметрий, то геометрическая фигура будет правильным многогранником.
Группа G симметрий реализации V абстрактного многогранника P порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину P в следующую. [9] [10] Произведение двух отражений можно разложить как произведение ненулевого переноса, конечного числа поворотов и, возможно, тривиального отражения. [11] [10]
В общем случае пространство модулей реализаций абстрактного многогранника представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности. [12] [13] Конус реализации абстрактного многогранника имеет несчетно бесконечную алгебраическую размерность и не может быть замкнут в евклидовой топологии . [11] [14]
Важным вопросом в теории абстрактных многогранников является проблема объединения . Это ряд вопросов, таких как
Например, если K — квадрат, а L — треугольник, то ответы на эти вопросы следующие:
Известно, что если ответ на первый вопрос — «Да» для некоторых регулярных K и L , то существует уникальный многогранник, грани которого — K , а вершинные фигуры — L , называемый универсальным многогранником с этими гранями и вершинными фигурами, который покрывает все другие такие многогранники. То есть, предположим, что P — универсальный многогранник с гранями K и вершинными фигурами L. Тогда любой другой многогранник Q с этими гранями и вершинными фигурами можно записать как Q = P / N , где
Q = P / N называется частным от P , и мы говорим, что P покрывает Q.
Учитывая этот факт, поиск многогранников с определенными гранями и вершинными фигурами обычно происходит следующим образом:
Эти две проблемы, в общем, очень сложны.
Возвращаясь к примеру выше, если K — квадрат, а L — треугольник, то универсальный многогранник { K , L } — куб (также обозначается как {4,3}). Гемикуб — это частное {4,3}/ N , где N — группа симметрий (автоморфизмов) куба с двумя элементами — тождеством и симметрией, которая отображает каждый угол (или ребро, или грань) в его противоположность.
Если L , вместо этого, также является квадратом, то универсальный многогранник { K , L } (то есть {4,4}) является замощением евклидовой плоскости квадратами. Это замощение имеет бесконечно много факторов с квадратными гранями, по четыре на вершину, некоторые из которых правильные, а некоторые нет. За исключением самого универсального многогранника, все они соответствуют различным способам замощения тора или бесконечно длинного цилиндра квадратами.
11-ячейка , открытая независимо HSM Coxeter и Branko Grünbaum , является абстрактным 4-многогранником. Его грани являются полуикосаэдрами. Поскольку его грани являются топологически проективными плоскостями вместо сфер, 11-ячейка не является мозаикой какого-либо многообразия в обычном смысле. Вместо этого 11-ячейка является локально проективным многогранником. Он самодвойственен и универсален: это единственный многогранник с полуикосаэдрическими гранями и полудодекаэдрическими вершинными фигурами.
57-ячейка также является самодвойственной, с гемидодекаэдрическими гранями. Она была открыта HSM Coxeter вскоре после открытия 11-ячейки. Как и 11-ячейка, она также универсальна, будучи единственным многогранником с гемидодекаэдрическими гранями и гемиикосаэдрическими вершинными фигурами. С другой стороны, существует много других многогранников с гемидодекаэдрическими гранями и типами Шлефли {5,3,5}. Универсальный многогранник с гемидодекаэдрическими гранями и икосаэдрическими (не гемиикосаэдрическими) вершинными фигурами конечен, но очень велик, с 10006920 гранями и вдвое меньшим количеством вершин.
Проблема объединения исторически рассматривалась в соответствии с локальной топологией . То есть, вместо того, чтобы ограничивать K и L конкретными многогранниками, им разрешается быть любым многогранником с заданной топологией , то есть любым многогранником, застилающим заданное многообразие . Если K и L являются сферическими (то есть замощениями топологической сферы ), то P называется локально сферическим и соответствует замощению некоторого многообразия. Например, если K и L оба являются квадратами (и поэтому топологически совпадают с окружностями), P будет замощением плоскости, тора или бутылки Клейна квадратами. Замощение n -мерного многообразия на самом деле является многогранником ранга n + 1. Это соответствует общепринятой интуиции, что Платоновы тела являются трехмерными, хотя их можно рассматривать как замощения двумерной поверхности шара.
В общем случае абстрактный многогранник называется локально X, если его грани и вершинные фигуры являются топологически либо сферами, либо X , но не обеими сферами. 11-ячеечный и 57-ячеечный являются примерами локально проективных многогранников ранга 4 (то есть четырехмерных) , поскольку их грани и вершинные фигуры являются мозаиками реальных проективных плоскостей . Однако в этой терминологии есть недостаток. Она не позволяет просто описать многогранник, грани которого являются торами , а вершинные фигуры — проективными плоскостями, например. Еще хуже, если разные грани имеют разные топологии или вообще не имеют четко определенной топологии. Однако был достигнут значительный прогресс в полной классификации локально тороидальных правильных многогранников [15]
Пусть Ψ будет флагом абстрактного n -политопа, и пусть −1 < i < n . Из определения абстрактного политопа можно доказать, что существует уникальный флаг, отличающийся от Ψ элементом ранга i , и тот же в противном случае. Если мы назовем этот флаг Ψ ( i ) , то это определит набор карт на флагах политопов, скажем φ i . Эти карты называются картами обмена , поскольку они всегда меняют пары флагов : ( Ψφ i ) φ i = Ψ . Некоторые другие свойства карт обмена :
Карты обмена и действие флага в частности могут быть использованы для доказательства того, что любой абстрактный многогранник является частным некоторого правильного многогранника.
Многогранник также можно представить в виде таблицы его инцидентностей .
Следующая матрица инцидентности представляет собой матрицу треугольника:
Таблица показывает 1 везде, где грань является подгранью другой, или наоборот (поэтому таблица симметрична относительно диагонали) — так что на самом деле таблица содержит избыточную информацию ; было бы достаточно показать только 1, когда грань строки ≤ грани столбца.
Поскольку и тело, и пустое множество инцидентны всем остальным элементам, первая строка и столбец, а также последняя строка и столбец являются тривиальными и могут быть удобно опущены.
Дополнительная информация получается путем подсчета каждого вхождения. Это числовое использование позволяет группировать симметрию , как в диаграмме Хассе квадратной пирамиды : если вершины B, C, D и E считаются симметрично эквивалентными внутри абстрактного многогранника, то ребра f, g, h и j будут сгруппированы вместе, а также ребра k, l, m и n, и, наконец, также треугольники P , Q , R и S. Таким образом, соответствующая матрица инцидентности этого абстрактного многогранника может быть представлена как:
В этом представлении матрицы накопленных инцидентностей диагональные элементы представляют собой общее количество элементов каждого типа.
Элементы разного типа одного и того же ранга, очевидно, никогда не являются инцидентными, поэтому значение всегда будет равно 0; однако, чтобы помочь различать такие отношения, вместо 0 используется звездочка (*).
Поддиагональные элементы каждой строки представляют собой количество инцидентностей соответствующих подэлементов, тогда как наддиагональные элементы представляют собой соответствующее количество элементов вершинной, реберной или любой другой фигуры.
Уже эта простая квадратная пирамида показывает, что матрицы инцидентности, накопленные симметрией, больше не симметричны. Но все еще есть простое отношение сущности (помимо обобщенных формул Эйлера для диагонали, соответственно, субдиагональных сущностей каждой строки, соответственно, наддиагональных элементов каждой строки - тех, которые, по крайней мере, когда не рассматриваются никакие отверстия или звезды и т. д.), как и для любой такой матрицы инцидентности :
В 1960-х годах Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть обобщения концепции правильных многогранников , которые он назвал полистроматами . Он разработал теорию полистроматов, показав примеры новых объектов, включая 11-ячейковый .
11-ячейка — это самодвойственный 4-многогранник , грани которого не являются икосаэдрами , а являются « гемиикосаэдрами » — то есть, они представляют собой форму, которую можно получить, если рассматривать противоположные грани икосаэдров как фактически одну и ту же грань (Grünbaum, 1977). Через несколько лет после открытия Грюнбаумом 11-ячейки , HSM Coxeter открыл похожий многогранник, 57-ячейку (Coxeter 1982, 1984), а затем независимо переоткрыл 11-ячейку.
С более ранними работами Бранко Грюнбаума , HSM Коксетера и Жака Титса, заложившими основу, базовая теория комбинаторных структур, ныне известных как абстрактные многогранники, была впервые описана Эгоном Шульте в его докторской диссертации 1980 года. В ней он определил «регулярные комплексы инцидентности» и «регулярные многогранники инцидентности». Впоследствии он и Питер МакМаллен разработали основы теории в серии исследовательских статей, которые позже были собраны в книгу. С тех пор множество других исследователей внесли свой собственный вклад, и первые пионеры (включая Грюнбаума) также приняли определение Шульте как «правильное».
С тех пор исследования в области теории абстрактных многогранников были сосредоточены в основном на регулярных многогранниках, то есть таких, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно на множестве флагов многогранника.
