В топологии топологическое пространство с тривиальной топологией — это пространство, в котором единственными открытыми множествами являются пустое множество и все пространство. Такие пространства принято называть недискретными , антидискретными , конкретными или кодискретными . Интуитивно это приводит к тому, что все точки пространства «собраны вместе» и не могут быть различимы топологическими средствами. Каждое недискретное пространство является псевдометрическим пространством , в котором расстояние между любыми двумя точками равно нулю .
Подробности
Тривиальная топология — это топология с наименьшим возможным количеством открытых множеств , а именно с пустым множеством и всем пространством, поскольку определение топологии требует, чтобы эти два множества были открыты. Несмотря на свою простоту, пространство X с более чем одним элементом и тривиальной топологией лишено ключевого желательного свойства: оно не является пространством T 0 .
Другие свойства недискретного пространства X , многие из которых весьма необычны, включают:
- Единственными закрытыми множествами являются пустое множество и X.
- Единственно возможным базисом X является { X } .
- Если X имеет более одной точки, то, поскольку это не T 0 , оно также не удовлетворяет ни одной из высших аксиом T. В частности, это не хаусдорфово пространство . Не будучи Хаусдорфом, X не является топологией порядка и не метризуемо .
- X , однако, регулярен , совершенно регулярен , нормален и совершенно нормален ; однако все это довольно бессодержательно, поскольку единственными замкнутыми множествами являются ∅ и X .
- X компактно и, следовательно , паракомпактно , по Линделефу , и локально компактно .
- Любая функция , областью определения которой является топологическое пространство и областью определения X, является непрерывной .
- X связан по путям и поэтому связан .
- X является счетным по счету во второй раз и, следовательно , счетным по счету в первый раз , сепарабельным и линделефовым .
- Все подпространства X имеют тривиальную топологию.
- Все факторпространства X имеют тривиальную топологию
- Произвольные произведения тривиальных топологических пространств либо с топологией произведения , либо с топологией ящика имеют тривиальную топологию.
- Все последовательности в X сходятся к каждой точке X. В частности, у каждой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность (вся последовательность или любая другая подпоследовательность), поэтому X секвенциально компактно .
- Внутренность любого множества, кроме X , пуста.
- Замыкание каждого непустого подмножества X есть X . Другими словами: каждое непустое подмножество X плотно — свойство, которое характеризует тривиальные топологические пространства.
- В результате замыкание каждого открытого подмножества U в X равно либо ∅ (если U = ∅), либо X (в противном случае). В частности, замыкание каждого открытого подмножества X снова является открытым множеством, и, следовательно, X экстремально несвязно .
- Если S — любое подмножество X с более чем одним элементом, то все элементы X являются предельными точками S. Если S является одноэлементным , то каждая точка X \ S по-прежнему является предельной точкой S.
- X — пространство Бэра .
- Два топологических пространства, несущих тривиальную топологию, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность .
В некотором смысле противоположностью тривиальной топологии является дискретная топология , в которой каждое подмножество открыто.
Тривиальная топология принадлежит однородному пространству , в котором все декартово произведение X × X является единственным окружением .
Пусть Top — категория топологических пространств с непрерывными отображениями, а Set — категория множеств с функциями. Если G : Top → Set — это функтор , который присваивает каждому топологическому пространству его базовое множество (так называемый функтор забывания ), а H : Set → Top — это функтор, который помещает тривиальную топологию в заданное множество, то H (функтор забывания) так называемый косвободный функтор ) справа сопряжен с G. (Так называемый свободный функтор F : Set → Top , который ставит дискретную топологию на заданное множество, сопряжен слева с G .) [1] [2]
Смотрите также
Примечания
- ^ Киган Смит, «Сопряженные функторы в алгебре, топологии и математической логике», 8 августа 2008 г., стр. 13.
- ^ бесплатный функтор в nLab
Рекомендации
