База (топология)

Коллекция открытых множеств, используемых для определения топологии

В математике базис (или базис ; мн.ч.: базисы ) для топологии τ топологического пространства ( X , τ) — это семейство открытых подмножеств X , такое, что каждое открытое множество топологии равно объединению некоторого подсемейства . Например, множество всех открытых интервалов на числовой прямой является базисом для евклидовой топологии на , поскольку каждый открытый интервал является открытым множеством, и также каждое открытое подмножество может быть записано как объединение некоторого семейства открытых интервалов . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Базы вездесущи в топологии. Множества в базе топологии, которые называются базовыми открытыми множествами , часто проще описывать и использовать, чем произвольные открытые множества. ^[1] Многие важные топологические определения, такие как непрерывность и сходимость, можно проверить, используя только базовые открытые множества вместо произвольных открытых множеств. Некоторые топологии имеют базу открытых множеств с определенными полезными свойствами, которые могут облегчить проверку таких топологических определений.

Не все семейства подмножеств множества образуют базу для топологии на . При некоторых условиях, подробно описанных ниже, семейство подмножеств образует базу для (уникальной) топологии на , полученной путем взятия всех возможных объединений подсемейств. Такие семейства множеств очень часто используются для определения топологий. Более слабое понятие, связанное с базами, — это понятие подбазы для топологии. Базы для топологий также тесно связаны с базами соседства . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Определение и основные свойства

Для заданного топологического пространства база ^[2] (или базис ^[3] ) для топологии (также называемая базой для , если топология понятна) — это семейство открытых множеств, такое что каждое открытое множество топологии может быть представлено как объединение некоторого подсемейства . ^{[примечание 1]} Элементы из называются базовыми открытыми множествами . Эквивалентно, семейство подмножеств из является базой для топологии тогда и только тогда, когда и для каждого открытого множества в и точке существует некоторое базовое открытое множество такое, что . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

Например, совокупность всех открытых интервалов в вещественной прямой образует базу для стандартной топологии на вещественных числах. В более общем смысле, в метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров около точек образует базу для топологии. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

В общем случае топологическое пространство может иметь много баз. Вся топология всегда является базой для себя (то есть является базой для ). Для действительной прямой набор всех открытых интервалов является базой для топологии. Так же, как и набор всех открытых интервалов с рациональными концами или набор всех открытых интервалов с иррациональными концами, например. Обратите внимание, что две различные базы не обязательно должны иметь какое-либо общее базовое открытое множество. Одним из топологических свойств пространства является минимальная мощность базы для его топологии, называемая весом и обозначаемая . Из приведенных выше примеров действительная прямая имеет счетный вес. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)}$

Если является базой топологии пространства , то она удовлетворяет следующим свойствам: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

(B1) Элементы покрытия , т.е. каждая точка принадлежит некоторому элементу . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) Для каждой точки существует такая , что . ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

Свойство (B1) соответствует тому факту, что является открытым множеством; свойство (B2) соответствует тому факту, что является открытым множеством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

Наоборот, предположим, что есть просто множество без какой-либо топологии и есть семейство подмножеств, удовлетворяющих свойствам (B1) и (B2). Тогда есть база для топологии, которую оно порождает. Точнее, пусть будет семейством всех подмножеств , которые являются объединениями подсемейств Тогда есть топология на и есть база для . ^[5] (Набросок: определяет топологию, поскольку она устойчива относительно произвольных объединений по построению, она устойчива относительно конечных пересечений по (B2), она содержит по (B1) и она содержит пустое множество как объединение пустого подсемейства . Тогда семейство является базой для по построению.) Такие семейства множеств являются очень распространенным способом определения топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

В общем случае, если — множество и — произвольная коллекция подмножеств , существует (единственная) наименьшая топология на , содержащем . (Эта топология является пересечением всех топологий на , содержащем .) Топология называется топологией, порожденной , и называется подбазой для . Топологию также можно охарактеризовать как множество всех произвольных объединений конечных пересечений элементов . (См. статью о подбазе .) Теперь, если также удовлетворяет свойствам (B1) и (B2), топологию, порожденную , можно описать более простым способом без необходимости брать пересечения: — множество всех объединений элементов (и является базой для в этом случае). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

Часто существует простой способ проверить условие (B2). Если пересечение любых двух элементов из само является элементом из или является пустым, то условие (B2) автоматически выполняется (взяв ). Например, евклидова топология на плоскости допускает в качестве базы множество всех открытых прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, и непустое пересечение двух таких базовых открытых множеств также является базовым открытым множеством. Но другой базой для той же топологии является совокупность всех открытых дисков; и здесь необходимо полное условие (B2). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

Примером набора открытых множеств, который не является базой, является множество всех полубесконечных интервалов форм и с . Топология, сгенерированная содержит все открытые интервалы , следовательно, генерирует стандартную топологию на действительной прямой. Но является лишь подбазой для топологии, а не базой: конечный открытый интервал не содержит ни одного элемента из (эквивалентно, свойство (B2) не выполняется). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle S}$

Примеры

Множество Γ всех открытых интервалов в образует основу евклидовой топологии на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Непустое семейство подмножеств множества X , замкнутое относительно конечных пересечений двух или более множеств, которое называется π -системой на X , обязательно является базой для топологии на X тогда и только тогда, когда оно покрывает X . По определению, каждая σ-алгебра , каждый фильтр (и, в частности, каждый фильтр соседства ) и каждая топология являются покрывающей π -системой и, следовательно, также базой для топологии. Фактически, если Γ является фильтром на X , то { ∅ } ∪ Γ является топологией на X , а Γ является ее базой. База для топологии не обязательно должна быть замкнута относительно конечных пересечений, и многие из них не являются таковыми. Но тем не менее, многие топологии определяются базами, которые также замкнуты относительно конечных пересечений. Например, каждое из следующих семейств подмножеств замкнуто относительно конечных пересечений и, таким образом, каждое образует базис для некоторой топологии на : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Множество Γ всех ограниченных открытых интервалов в порождает обычную евклидову топологию на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество Σ всех ограниченных замкнутых интервалов в порождает дискретную топологию на и, таким образом, евклидова топология является подмножеством этой топологии. И это несмотря на то, что Γ не является подмножеством Σ . Следовательно, топология, порожденная Γ , которая является евклидовой топологией на , грубее топологии, порожденной Σ . Фактически, она строго грубее, поскольку Σ содержит непустые компактные множества, которые никогда не бывают открытыми в евклидовой топологии. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество Γ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$} всех интервалов в Γ, таких, что обе конечные точки интервала являются рациональными числами, порождает ту же топологию, что и Γ . Это остается верным, если каждый экземпляр символа Γ заменить на Σ .
• Σ _∞ = { [ r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ порождает топологию, которая строго грубее топологии, порожденной Σ . Ни один элемент Σ _∞ не является открытым в евклидовой топологии на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ порождает топологию, которая строго грубее как евклидовой топологии , так и топологии, порожденной Σ _∞ . Множества Σ _∞ и Γ _∞ не пересекаются, но тем не менее Γ _∞ является подмножеством топологии, порожденной Σ _∞ .

Объекты, определяемые с точки зрения баз

• Топология порядка на полностью упорядоченном множестве допускает в качестве базы совокупность множеств, подобных открытым интервалам.
• В метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров образует основу топологии.
• Дискретная топология имеет в своей основе совокупность всех синглтонов .
• Вторично -счетное пространство — это пространство, имеющее счетную базу.

Топология Зарисского на спектре кольца имеет базу, состоящую из открытых множеств, которые имеют определенные полезные свойства. Для обычной базы для этой топологии каждое конечное пересечение базовых открытых множеств является базовым открытым множеством.

• Топология Зарисского — это топология, которая имеет алгебраические множества как замкнутые множества. Она имеет базу, образованную дополнениями множеств алгебраических гиперповерхностей . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Топология Зарисского спектра кольца (множества простых идеалов ) имеет такую ​​базу, что каждый элемент состоит из всех простых идеалов, не содержащих данный элемент кольца.

Теоремы

• Топология тоньше топологии тогда и только тогда, когда для каждого базового открытого множества , содержащего , существует базовое открытое множество , содержащее и содержащееся в . ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$
• Если являются базами для топологий, то совокупность всех произведений множеств , каждое из которых является базой для топологии произведения. В случае бесконечного произведения это по-прежнему применимо, за исключением того, что все, кроме конечного числа базовых элементов, должны составлять все пространство. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$ ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• Пусть будет базой для и пусть будет подпространством . Тогда, если мы пересечем каждый элемент с , полученный набор множеств будет базой для подпространства . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Если функция отображает каждое базовое открытое множество в открытое множество , то это открытое отображение . Аналогично, если каждый прообраз базового открытого множества открыт в , то является непрерывным . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является базой для топологического пространства тогда и только тогда, когда подмножество элементов которого содержит , образует локальную базу в для любой точки . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$

База для закрытых наборов

Замкнутые множества одинаково хорошо подходят для описания топологии пространства. Следовательно, существует двойственное понятие базы для замкнутых множеств топологического пространства. Для данного топологического пространства семейство замкнутых множеств образует базу для замкнутых множеств тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого множества и каждой точки, не в существует элемент из , содержащий , но не содержащий Семейство является базой для замкнутых множеств тогда и только тогда, когда его двойственное в то есть семейство дополнений членов из , является базой для открытых множеств из ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

Пусть будет базой для замкнутых множеств Тогда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. Для каждого из них объединение является пересечением некоторого подсемейства (то есть для любого не из существует некоторое содержащее и не содержащее ). ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Любая совокупность подмножеств множества, удовлетворяющая этим свойствам, образует базу для замкнутых множеств топологии на Замкнутые множества этой топологии являются в точности пересечениями членов ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

В некоторых случаях удобнее использовать базу для замкнутых множеств, а не для открытых. Например, пространство полностью регулярно тогда и только тогда, когда нулевые множества образуют базу для замкнутых множеств. Для любого топологического пространства нулевые множества образуют базу для замкнутых множеств некоторой топологии на Эта топология будет наилучшей полностью регулярной топологией на , более грубой, чем исходная. В похожем ключе топология Зарисского на A ⁿ определяется путем взятия нулевых множеств полиномиальных функций в качестве базы для замкнутых множеств. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Вес и характер

Мы будем работать с представлениями, установленными в (Энгелькинг 1989, стр. 12, стр. 127-128).

Зафиксируем топологическое пространство X. Здесь сеть — это семейство множеств, для которого для всех точек x и открытых окрестностей U , содержащих x , существует B в , для которого Обратите внимание, что, в отличие от базиса, множества в сети не обязательно должны быть открытыми. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

Мы определяем вес w ( X ) как минимальную мощность базиса; мы определяем сетевой вес nw ( X ) как минимальную мощность сети; характер точки как минимальную мощность соседнего базиса для x в X ; и характер X как ${\displaystyle \chi (x,X),}$ $${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

Суть вычисления характера и веса заключается в том, чтобы иметь возможность сказать, какие типы баз и локальных баз могут существовать. У нас есть следующие факты:

• nw ( X ) ≤ w ( X ).
• если X дискретно, то w ( X ) = nw ( X ) = | X |.
• если X является хаусдорфовым, то nw ( X ) конечен тогда и только тогда, когда X является конечным дискретным.
• если B является базисом X , то существует базис размера ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• если N — базис соседства для x в X , то существует базис соседства размера ${\displaystyle N'\subseteq N}$ ${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• если — непрерывная сюръекция, то nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Просто рассмотрим Y -сеть для каждого базиса B из X .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$
• если X хаусдорфово, то существует более слабая хаусдорфова топология , так что , следовательно , если X также компактно, то такие топологии совпадают и, следовательно, в сочетании с первым фактом мы имеем nw ( X ) = w ( X ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ')}$ ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$
• если непрерывное сюръективное отображение из компактного метризуемого пространства в хаусдорфово пространство, то Y компактно метризуемо. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Последний факт следует из того, что f ( X ) является компактным хаусдорфовым пространством, и, следовательно (поскольку компактные метризуемые пространства обязательно удовлетворяют второй арифметической счетности); а также из того факта, что компактные хаусдорфовы пространства метризуемы в точности в том случае, если они удовлетворяют второй арифметической счетности. (Применением этого, например, является то, что каждый путь в хаусдорфовом пространстве является компактным метризуемым.) ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

Увеличение цепочек открытых множеств

Используя приведенные выше обозначения, предположим, что w ( X ) ≤ κ некоторого бесконечного кардинала. Тогда не существует строго возрастающей последовательности открытых множеств (эквивалентно строго убывающей последовательности замкнутых множеств) длины ≥ κ ⁺ .

Чтобы увидеть это (без аксиомы выбора), зафиксируйте в качестве базиса открытые множества. И предположим per contra , что были бы строго возрастающей последовательностью открытых множеств. Это означает $${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$ $${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$ $${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

Поскольку мы можем использовать базис для нахождения некоторого U _γ с x в U _γ ⊆ V _α . Таким образом, мы можем хорошо определить отображение f  : κ ⁺ → κ , отображающее каждое α в наименьшее γ , для которого U _γ ⊆ V _α и удовлетворяет $${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$ $${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

Это отображение инъективно, в противном случае было бы α < β с f ( α ) = f ( β ) = γ , что далее означало бы U _γ ⊆ V _{α ,} но также соответствует , что является противоречием. Но это показало бы, что κ ⁺ ≤ κ , противоречие. $${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$

Смотрите также

• Теорема Есенина-Вольпина
• Аксиома склеивания
• Система соседства

Примечания

1. Пустое множество , которое всегда открыто, является объединением пустого семейства.

Ссылки

1. Адамс и Францоза 2009, стр. 46–56.
2. Уиллард 2004, Определение 5.1; Энгелькинг 1989, стр. 12; Бурбаки 1989, Определение 6, стр. 21; Архангельский и Пономарев 1984, стр. 40.
3. Дугунджи 1966, Определение 2.1, стр. 64.
4. Уиллард 2004, Теорема 5.3; Энгелькинг 1989, стр. 12.
5. Уиллард 2004, Теорема 5.3; Энгелькинг 1989, Предложение 1.2.1.

Библиография

• Адамс, Колин ; Францоса, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Архангельский, А. В.; Пономарев, В. И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Т. 13. Перевод с русского В. К. Джайна. Дордрехт: D. Reidel Publishing. Zbl  0568.54001.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.