Топологическая сопряженность

Понятие в топологии

В математике две функции называются топологически сопряженными , если существует гомеоморфизм , который сопрягает одну в другую. Топологическая сопряженность и связанная-но-различная § Топологическая эквивалентность потоков важны при изучении итерационных функций и, в более общем смысле, динамических систем , поскольку , если динамика одной итерационной функции может быть определена, то для топологически сопряженной функции это следует тривиально. ^[1]

Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что и являются итерационными функциями, и существует гомеоморфизм такой, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}$

так что и топологически сопряжены. Тогда должно быть ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}$

и поэтому итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь обозначает композицию функций . ${\displaystyle \circ }$

Определение

${\displaystyle f\colon X\to X,g\colon Y\to Y}$, и являются непрерывными функциями на топологических пространствах , и . ${\displaystyle h\colon Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f}$топологически полусопряженный означает , по определению, что является сюръекцией такой, что . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$

${\displaystyle f}$и быть топологически сопряженным означает, по определению, что они топологически полусопряжены и, кроме того, является инъективным , затем биективным , и его обратное также непрерывно ; т.е. является гомеоморфизмом ; далее, называется топологическим сопряжением между и . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Потоки

Аналогично, на , и на являются потоками , причем , и как и выше. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle h\colon Y\to X}$

${\displaystyle \phi }$топологически полусопряженный означает , по определению, что является сюръекцией такой, что , для каждого , . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi }$и топологическая сопряженность означает , по определению, что они топологически полусопряжены и h является гомеоморфизмом. ^[2] ${\displaystyle \psi }$

Примеры

• Логистическое отображение и отображение палатки топологически сопряжены. ^[3]
• Логистическое отображение единичной высоты и отображение Бернулли топологически сопряжены. ^{[ необходима ссылка ]}
• Для определенных значений в пространстве параметров отображение Хенона , ограниченное множеством Жюлиа , топологически сопряжено или полусопряжено отображению сдвига в пространстве двусторонних последовательностей в двух символах. ^[4]

Обсуждение

Топологическое сопряжение – в отличие от полусопряжения – определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства к себе, объявляя и связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамических систем , поскольку каждый класс содержит все функции, которые разделяют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты отображаются в гомеоморфные орбиты посредством сопряжения. Запись делает этот факт очевидным: . Говоря неформально, топологическое сопряжение – это «изменение координат» в топологическом смысле. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$ ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$

Однако аналогичное определение для потоков несколько ограничительно. Фактически, мы требуем, чтобы отображения и были топологически сопряжены для каждого , что требует большего, чем просто чтобы орбиты отображались в орбиты гомеоморфно. Это мотивирует определение топологической эквивалентности , которое также разбивает множество всех потоков в на классы потоков, разделяющих одну и ту же динамику, опять же с топологической точки зрения. ${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$

Топологическая эквивалентность

Мы говорим, что два потока и топологически эквивалентны , если существует гомеоморфизм , отображающий орбиты в орбиты гомеоморфно и сохраняющий ориентацию орбит. Другими словами, обозначив орбиту, имеем ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h:Y\to X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}$

для каждого . Кроме того, необходимо выстроить течение времени: для каждого существует такое, что, если , и если s таково, что , то . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta }$ ${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle s>0}$

В целом, топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку она не требует, чтобы временной термин отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы будет негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений, которые имеют замкнутые орбиты. В то время как орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, таким образом, не удовлетворяя критерию топологической сопряженности, удовлетворяя критерию топологической эквивалентности.

Гладкая и орбитальная эквивалентность

Дополнительные критерии эквивалентности можно изучить, если потоки и возникают из дифференциальных уравнений. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Две динамические системы, определяемые дифференциальными уравнениями и , называются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм , , такой, что ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$ ${\displaystyle h:X\to Y}$

${\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

В этом случае динамические системы могут быть преобразованы друг в друга посредством преобразования координат . ${\displaystyle y=h(x)}$

Две динамические системы в одном и том же пространстве состояний, определяемые соотношениями и , называются орбитально эквивалентными, если существует положительная функция , такая, что . Орбитально эквивалентные системы отличаются только временной параметризацией. ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$ ${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)}$

Системы, которые являются гладко эквивалентными или орбитально эквивалентными, также являются топологически эквивалентными. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях вида . Если матрица , имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет неустойчивый узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной действительной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы являются топологически эквивалентными, но не орбитально эквивалентными или гладко эквивалентными, ^[5], поскольку их собственные значения различны (обратите внимание, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть подобны , поэтому их собственные значения, а также алгебраические и геометрические кратности , должны быть равны). ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ ${\displaystyle A}$

Обобщения динамической топологической сопряженности

Существуют два известных расширения концепции динамической топологической сопряженности:

1. Аналогичные системы, определяемые как изоморфные динамические системы
2. Сопряженные динамические системы, определяемые через сопряженные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике. ^{[6] [7]}

Смотрите также

• Коммутативная диаграмма

Ссылки

1. Арнольд VI Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Springer, 2020) [1]
2. Арнольд VI Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Springer, 2020) [2]
3. Alligood, KT, Sauer, T., and Yorke, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. стр. 114–124. ISBN 0-387-94677-2.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Девани, Р.; Нитецкий, З. (1979). «Сдвиговые автоморфизмы в отображении Хенона». Comm. Math. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode :1979CMaPh..67..137D. doi :10.1007/bf01221362. S2CID  121479458 . Получено 2 сентября 2016 г. .
5. Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркации (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
6. "Сложность и категориальная динамика". Архивировано из оригинала 19 августа 2009 г.
7. "Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы". Архивировано из оригинала 2015-02-25.

В данной статье использованы материалы из топологического сопряжения PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .