stringtranslate.com

Топологический порядок

В физике топологический порядок [1] ​​— это разновидность порядка в фазе материи при нулевой температуре (также известной как квантовая материя). Макроскопически топологический порядок определяется и описывается устойчивым вырождением основного состояния [2] и квантованными неабелевыми геометрическими фазами вырожденных основных состояний. [1] Микроскопически топологические порядки соответствуют моделям дальнодействующей квантовой запутанности . [3] Состояния с различными топологическими порядками (или различными моделями дальнодействующих запутанностей) не могут переходить друг в друга без фазового перехода.

Различные топологически упорядоченные состояния обладают интересными свойствами, такими как (1) топологическое вырождение и дробная статистика или статистика неабелевой группы , которые могут быть использованы для реализации топологического квантового компьютера ; (2) идеально проводящие краевые состояния, которые могут иметь важные применения в устройствах; (3) возникающее калибровочное поле и статистика Ферми, которые предполагают квантовое информационное происхождение элементарных частиц ; [4] (4) топологическая энтропия запутанности , которая раскрывает запутанное происхождение топологического порядка и т. д. Топологический порядок важен при изучении нескольких физических систем, таких как спиновые жидкости , [5] [6] [7] [8] и квантовый эффект Холла , [9] [10] наряду с потенциальными приложениями к отказоустойчивым квантовым вычислениям . [11]

Топологические изоляторы [12] и топологические сверхпроводники (за пределами 1D) не имеют топологического порядка, как определено выше, их запутанности являются только короткодействующими, но являются примерами топологического порядка, защищенного симметрией .

Фон

Материя, состоящая из атомов, может иметь различные свойства и появляться в различных формах, таких как твердое тело , жидкость , сверхтекучая среда и т. д. Эти различные формы материи часто называют состояниями материи или фазами . Согласно физике конденсированного состояния и принципу возникновения , различные свойства материалов обычно возникают из-за различных способов организации атомов в материалах. Эти различные организации атомов (или других частиц) формально называются порядками в материалах. [13]

Атомы могут организовываться многими способами, что приводит к множеству различных порядков и множеству различных типов материалов. Теория нарушения симметрии Ландау дает общее понимание этих различных порядков. Она указывает на то, что различные порядки на самом деле соответствуют различным симметриям в организациях составляющих атомов. Когда материал переходит из одного порядка в другой (т. е. когда материал претерпевает фазовый переход ), происходит следующее: симметрия организации атомов изменяется.

Например, атомы имеют случайное распределение в жидкости , поэтому жидкость остается той же самой, если мы смещаем атомы на произвольное расстояние. Мы говорим, что жидкость имеет непрерывную трансляционную симметрию . После фазового перехода жидкость может превратиться в кристалл . В кристалле атомы организуются в регулярный массив ( решетку ). Решетка остается неизменной только тогда, когда мы смещаем ее на определенное расстояние (целое число, умноженное на постоянную решетки ), поэтому кристалл имеет только дискретную трансляционную симметрию . Фазовый переход между жидкостью и кристаллом представляет собой переход, который снижает непрерывную трансляционную симметрию жидкости до дискретной симметрии кристалла. Такое изменение симметрии называется нарушением симметрии . Суть различия между жидкостями и кристаллами заключается, таким образом, в том, что организации атомов имеют разные симметрии в двух фазах.

Теория нарушения симметрии Ландау была очень успешной теорией. Долгое время физики считали, что теория Ландау описывает все возможные порядки в материалах и все возможные (непрерывные) фазовые переходы.

Открытие и характеристика

Однако с конца 1980-х годов постепенно стало очевидно, что теория нарушения симметрии Ландау не может описывать все возможные порядки. В попытке объяснить высокотемпературную сверхпроводимость [14] было введено киральное спиновое состояние. [ 5] [6] Сначала физики все еще хотели использовать теорию нарушения симметрии Ландау для описания кирального спинового состояния. Они определили киральное спиновое состояние как состояние, которое нарушает симметрию обращения времени и симметрию четности, но не симметрию вращения спина. Это должно было стать концом истории согласно описанию порядков с нарушением симметрии Ландау. Однако быстро стало понятно, что существует много различных киральных спиновых состояний, которые имеют точно такую ​​же симметрию, поэтому одной симметрии недостаточно для характеристики различных киральных спиновых состояний. Это означает, что киральные спиновые состояния содержат новый вид порядка, который выходит за рамки обычного описания симметрии. [15] Предложенный новый вид порядка был назван «топологическим порядком». [1] Название «топологический порядок» мотивировано низкоэнергетической эффективной теорией хиральных спиновых состояний, которая является топологической квантовой теорией поля (TQFT). [16] [17] [18] Новые квантовые числа, такие как вырождение основного состояния [15] (которое может быть определено на замкнутом пространстве или открытом пространстве с зазорными границами, включая как абелевы топологические порядки [19] [20] , так и неабелевы топологические порядки [21] [22] ) и неабелева геометрическая фаза вырожденных основных состояний, [1] были введены для характеристики и определения различных топологических порядков в хиральных спиновых состояниях. Совсем недавно было показано, что топологические порядки также могут быть охарактеризованы топологической энтропией . [23] [24]

Но эксперименты [ которые? ] вскоре показали [ как? ] , что хиральные спиновые состояния не описывают высокотемпературные сверхпроводники, и теория топологического порядка стала теорией без экспериментальной реализации. Однако сходство между хиральными спиновыми состояниями и квантовыми холловскими состояниями позволяет использовать теорию топологического порядка для описания различных квантовых холловских состояний. [2] Так же, как и хиральные спиновые состояния, различные квантовые холловские состояния имеют одинаковую симметрию и находятся за пределами описания нарушения симметрии Ландау. Обнаружено, что различные порядки в различных квантовых холловских состояниях действительно могут быть описаны топологическими порядками, поэтому топологический порядок имеет экспериментальную реализацию.

Состояние дробного квантового Холла (FQH) было открыто в 1982 году [9] [10] до введения концепции топологического порядка в 1989 году. Но состояние FQH не является первым экспериментально обнаруженным топологически упорядоченным состоянием. Сверхпроводник , открытый в 1911 году, является первым экспериментально обнаруженным топологически упорядоченным состоянием; он имеет топологический порядок Z 2. [примечание 1]

Хотя топологически упорядоченные состояния обычно появляются в сильно взаимодействующих системах бозонов/фермионов, простой вид топологического порядка может также появляться в системах свободных фермионов. Этот вид топологического порядка соответствует интегральному квантовому состоянию Холла, которое можно охарактеризовать числом Черна заполненной энергетической зоны, если мы рассматриваем целочисленное квантовое состояние Холла на решетке. Теоретические расчеты предполагают, что такие числа Черна могут быть измерены для системы свободных фермионов экспериментально. [28] [29] Также хорошо известно, что такое число Черна может быть измерено (возможно, косвенно) краевыми состояниями.

Наиболее важной характеристикой топологических порядков были бы базовые дробные возбуждения (такие как анионы ) и их статистика слияния и статистика сплетения (которая может выходить за рамки квантовой статистики бозонов или фермионов ). Текущие исследовательские работы показывают, что возбуждения типа петель и струн существуют для топологических порядков в 3+1-мерном пространстве-времени, и их многопетлевая/струнная статистика сплетения являются важнейшими сигнатурами для идентификации 3+1-мерных топологических порядков. [30] [31] [32] Многопетлевая/струнная статистика сплетения 3+1-мерных топологических порядков может быть зафиксирована инвариантами связей конкретной топологической квантовой теории поля в 4-мерном пространстве-времени. [32]

Механизм

Большой класс 2+1D топологических порядков реализуется посредством механизма, называемого струнно-сетчатой ​​конденсацией . [33] Этот класс топологических порядков может иметь зазорный край и классифицируется теорией унитарной категории слияния (или моноидальной категории ). Обнаружено, что струнно-сетчатая конденсация может генерировать бесконечно много различных типов топологических порядков, что может указывать на то, что еще предстоит открыть много различных новых типов материалов.

Коллективные движения конденсированных струн порождают возбуждения выше конденсированных состояний струнной сети. Эти возбуждения оказываются калибровочными бозонами . Концы струн являются дефектами, которые соответствуют другому типу возбуждений. Эти возбуждения являются калибровочными зарядами и могут нести фермиевскую или дробную статистику . [34]

Конденсации других протяженных объектов, таких как « мембраны », [35] «бранные сети» [36] и фракталы, также приводят к топологически упорядоченным фазам [37] и «квантовой стекловидности». [38] [39]

Математическая формулировка

Мы знаем, что теория групп является математической основой порядков, нарушающих симметрию. Какова математическая основа топологического порядка? Было обнаружено, что подкласс 2+1D топологических порядков — абелевы топологические порядки — может быть классифицирован с помощью подхода K-матрицы. [40] [41] [42] [43] Конденсация струнной сети предполагает, что тензорная категория (такая как категория слияния или моноидальная категория ) является частью математической основы топологического порядка в 2+1D. Более поздние исследования предполагают, что (вплоть до обратимых топологических порядков, которые не имеют дробных возбуждений):

Топологический порядок в высших измерениях может быть связан с теорией n-категории. Квантовая операторная алгебра является очень важным математическим инструментом в изучении топологических порядков.

Некоторые также предполагают, что топологический порядок математически описывается расширенной квантовой симметрией . [44]

Приложения

Материалы, описанные теорией нарушения симметрии Ландау, оказали существенное влияние на технологию. Например, ферромагнитные материалы, которые нарушают симметрию вращения спина , могут использоваться в качестве носителей цифровой информации. Жесткий диск из ферромагнитных материалов может хранить гигабайты информации. Жидкие кристаллы , которые нарушают симметрию вращения молекул, находят широкое применение в технологии отображения. Кристаллы, которые нарушают симметрию трансляции, приводят к четко определенным электронным зонам, которые, в свою очередь, позволяют нам создавать полупроводниковые устройства, такие как транзисторы . Различные типы топологических порядков даже богаче, чем различные типы порядков, нарушающих симметрию. Это предполагает их потенциал для захватывающих новых применений.

Одним из теоретических приложений было бы использование топологически упорядоченных состояний в качестве среды для квантовых вычислений в технике, известной как топологические квантовые вычисления . Топологически упорядоченное состояние - это состояние со сложной нелокальной квантовой запутанностью . Нелокальность означает, что квантовая запутанность в топологически упорядоченном состоянии распределена между многими различными частицами. В результате структура квантовых запутанностей не может быть разрушена локальными возмущениями. Это значительно снижает эффект декогеренции . Это говорит о том, что если мы используем различные квантовые запутанности в топологически упорядоченном состоянии для кодирования квантовой информации, информация может сохраняться гораздо дольше. [45] Квантовой информацией, закодированной топологическими квантовыми запутанностями, также можно манипулировать, перетаскивая топологические дефекты друг вокруг друга. Этот процесс может обеспечить физический аппарат для выполнения квантовых вычислений . [46] Следовательно, топологически упорядоченные состояния могут обеспечить естественную среду как для квантовой памяти , так и для квантовых вычислений. Такие реализации квантовой памяти и квантовых вычислений потенциально могут быть сделаны отказоустойчивыми . [11]

Топологически упорядоченные состояния в целом имеют особое свойство, заключающееся в том, что они содержат нетривиальные граничные состояния. Во многих случаях эти граничные состояния становятся идеальным проводящим каналом, который может проводить электричество, не генерируя тепла. [47] Это может быть еще одним потенциальным применением топологического порядка в электронных устройствах.

Подобно топологическому порядку, топологические изоляторы [48] [49] также имеют бесщелевые граничные состояния. Граничные состояния топологических изоляторов играют ключевую роль в обнаружении и применении топологических изоляторов. Это наблюдение естественным образом приводит к вопросу: являются ли топологические изоляторы примерами топологически упорядоченных состояний? На самом деле топологические изоляторы отличаются от топологически упорядоченных состояний, определенных в этой статье. Топологические изоляторы имеют только короткодействующие запутывания и не имеют топологического порядка, в то время как топологический порядок, определенный в этой статье, является моделью дальнодействующего запутывания. Топологический порядок устойчив к любым возмущениям. Он имеет эмерджентную калибровочную теорию, эмерджентный дробный заряд и дробную статистику. Напротив, топологические изоляторы устойчивы только к возмущениям, которые уважают симметрию обращения времени и U(1). Их квазичастичные возбуждения не имеют дробного заряда и дробной статистики. Строго говоря, топологический изолятор является примером топологического порядка с защитой симметрии (SPT) , [50] где первым примером SPT-порядка является фаза Холдейна цепочки со спином 1. [51] [52] [53] [54] Но фаза Холдейна цепочки со спином 2 не имеет SPT-порядка.

Потенциальное воздействие

Теория нарушения симметрии Ландау является краеугольным камнем физики конденсированного состояния . Она используется для определения территории исследований конденсированного состояния. Существование топологического порядка, по-видимому, указывает на то, что природа гораздо богаче, чем до сих пор указывала теория нарушения симметрии Ландау . Таким образом, топологический порядок открывает новое направление в физике конденсированного состояния — новое направление высокозапутанной квантовой материи. Мы понимаем, что квантовые фазы материи (т. е. фазы материи при нулевой температуре) можно разделить на два класса: запутанные состояния дальнего действия и запутанные состояния ближнего действия. [3] Топологический порядок — это понятие, которое описывает запутанные состояния дальнего действия: топологический порядок = модель запутанностей дальнего действия. Запутанные состояния ближнего действия тривиальны в том смысле, что все они принадлежат одной фазе. Однако при наличии симметрии даже запутанные состояния ближнего действия нетривиальны и могут принадлежать разным фазам. Говорят, что эти фазы содержат порядок SPT . [50] Порядок SPT обобщает понятие топологического изолятора на взаимодействующие системы.

Некоторые предполагают, что топологический порядок (или, точнее, конденсация струнной сети ) в локальных бозонных (спиновых) моделях имеет потенциал обеспечить единое происхождение для фотонов , электронов и других элементарных частиц в нашей Вселенной. [4]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Обратите внимание, что сверхпроводимость может быть описана теорией Гинзбурга–Ландау с динамическим калибровочным полем U(1) ЭМ, которая является калибровочной теорией Z 2 , то есть эффективной теорией топологического порядка Z 2 . Предсказание вихревого состояния в сверхпроводниках было одним из главных успехов теории Гинзбурга–Ландау с динамическим калибровочным полем U(1). Вихрь в калиброванной теории Гинзбурга–Ландау есть не что иное, как линия потока Z 2 в калибровочной теории Z 2 . Теория Гинзбурга–Ландау без динамического калибровочного поля U(1) не может описать реальные сверхпроводники с динамическим электромагнитным взаимодействием. [8] [25] [26] [27] Однако в физике конденсированного состояния сверхпроводником обычно называют состояние с нединамическим калибровочным полем ЭМ. Такое состояние является состоянием нарушения симметрии без топологического порядка.

Ссылки

  1. ^ abcd Вэнь 1990
  2. ^ ab Вэнь и Ню 1990
  3. ^ ab Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2010). "Локальное унитарное преобразование, дальнодействующая квантовая запутанность, перенормировка волновой функции и топологический порядок". Phys. Rev. B . 82 (15): 155138. arXiv : 1004.3835 . Bibcode :2010PhRvB..82o5138C. doi :10.1103/physrevb.82.155138. S2CID  14593420.
  4. ^ ab Левин и Вэнь 2005a См. также Левин и Вэнь 2006a
  5. ^ ab Kalmeyer & Laughlin 1987
  6. ^ ab Wen, Wilczek & Zee 1989, стр. 11413–23
  7. ^ Read, N.; Sachdev, Subir (1991). «Разложение при больших N для фрустрированных квантовых антиферромагнетиков». Phys. Rev. Lett . 66 (13): 1773–6. Bibcode :1991PhRvL..66.1773R. doi :10.1103/physrevlett.66.1773. PMID  10043303.
  8. ^ ab Wen, Xiao-Gang (1991). "Теория среднего поля состояний спиновой жидкости с конечной энергетической щелью и топологическими порядками". Phys. Rev. B . 44 (6): 2664–72. Bibcode :1991PhRvB..44.2664W. doi :10.1103/physrevb.44.2664. PMID  9999836. S2CID  1675592.
  9. ^ Аб Цуй, Штормер и Госсард, 1982 г.
  10. ^ ab Laughlin 1983
  11. ^ Китаев 2003
  12. ^ Мур, Джоэл Э. (2010). «Рождение топологических изоляторов». Nature . 464 (7286): 194–8. Bibcode : 2010Natur.464..194M. doi : 10.1038/nature08916. PMID  20220837. S2CID  1911343.
  13. ^ Сяо-Ган Вэнь , Введение в топологические порядки (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г.
  14. ^ Беднорц, Г.; Мюллер, КА (1986). «Возможная высокая сверхпроводимость TC в системе Ba-La-Cu-O». Z. Phys. B. 64 ( 2): 189–193. Bibcode :1986ZPhyB..64..189B. doi :10.1007/BF01303701. S2CID  118314311.
  15. ^ ab Xiao-Gang Wen , Phys. Rev. B, 40 , 7387 (1989), "Вакуумное вырождение хирального спинового состояния в компактифицированных пространствах"
  16. ^ Атья, Майкл (1988), «Топологические квантовые теории поля», Publications Mathematiques de l'IHéS (68): 175, MR 1001453, ISSN  1618-1913, http://www.numdam.org/item?id =PMIHES_1988__68__175_0
  17. ^ Виттен, Эдвард (1988), «Топологическая квантовая теория поля», Communications in Mathematical Physics 117 (3): 353, MR 953828, ISSN  0010-3616, http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161738
  18. ^ Йеттер 1993
  19. ^ Ван, Ювен; Вэнь, Сяо-Ган (13 марта 2015 г.). «Вырождение границы топологического порядка». Physical Review B. 91 ( 12): 125124. arXiv : 1212.4863 . Bibcode : 2015PhRvB..91l5124W. doi : 10.1103/PhysRevB.91.125124. S2CID  17803056.
  20. ^ Капустин, Антон (19 марта 2014 г.). "Вырождение основного состояния для абелевых анионов при наличии щелевых границ". Physical Review B . 89 (12): 125307. arXiv : 1306.4254 . Bibcode :2014PhRvB..89l5307K. doi :10.1103/PhysRevB.89.125307. S2CID  33537923.
  21. ^ Ван, Хун; Ван, Идун (18 февраля 2015 г.). «Вырождение основного состояния топологических фаз на открытых поверхностях». Physical Review Letters . 114 (7): 076401. arXiv : 1408.0014 . Bibcode : 2015PhRvL.114g6401H. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.076401. PMID  25763964. S2CID  10125789.
  22. ^ Лан, Тянь; Ван, Жювэнь; Вэнь, Сяо-Ган (18 февраля 2015 г.). «Gapped Domain Walls, Gapped Boundaries and Topological Degeneracy» (Разорванные доменные стенки, разорванные границы и топологическое вырождение). Physical Review Letters . 114 (7): 076402. arXiv : 1408.6514 . Bibcode : 2015PhRvL.114g6402L. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.076402. PMID  25763965. S2CID  14662084.
  23. ^ Китаев и Прескилл 2006
  24. ^ Левин и Вэнь 2006
  25. ^ Мороз, Сергей; Прем, Абхинав; Гурари, Виктор; Радзиховский, Лео (2017). «Топологический порядок, симметрия и холловский отклик двумерных спин-синглетных сверхпроводников». Physical Review B. 95 ( 1): 014508. arXiv : 1606.03462 . Bibcode : 2017PhRvB..95a4508M. doi : 10.1103/PhysRevB.95.014508 .
  26. ^ Ханссон, TH; Оганесян, Вадим; Сонди, SL (2004). «Сверхпроводники топологически упорядочены». Annals of Physics . 313 (2): 497–538. arXiv : cond-mat/0404327 . Bibcode : 2004AnPhy.313..497H. doi : 10.1016/j.aop.2004.05.006.
  27. ^ Сяо-Лян Ци; Эдвард Виттен ; Шоу-Чэн Чжан (2012). «Топологическая полевая теория топологических сверхпроводников аксиона». Physical Review B. 87 ( 13): 134519. arXiv : 1206.1407 . Bibcode : 2013PhRvB..87m4519Q. doi : 10.1103/PhysRevB.87.134519. S2CID  119204930.
  28. ^ Юзелюнас, Гедиминас; Ян Шпильман (2011). «Видеть топологический порядок». Физика . 4 (99): 99. Bibcode :2011PhyOJ...4...99J. doi : 10.1103/Physics.4.99 .
  29. ^ Чжан, YF; Ли, Хуэйчао; Шэн, L.; Шэнь, R.; Син, DY (2012). «Запутанность и числа частиц подсистем в свободных фермионных системах». Журнал физики: конденсированное состояние . 26 (10): 105502. arXiv : 1111.0791 . doi : 10.1088/0953-8984/26/10/105502. PMID  24553300. S2CID  14947121.
  30. ^ Ван, Чэньцзе; Левин, Майкл (22 августа 2014 г.). «Статистика плетения возбуждений петель в трех измерениях». Physical Review Letters . 113 (8): 080403. arXiv : 1403.7437 . Bibcode :2014PhRvL.113h0403W. doi :10.1103/PhysRevLett.113.080403. PMID  25192079. S2CID  23104804.
  31. ^ Ван, Ювен; Вэнь, Сяо-Ган (15 января 2015 г.). «Неабелева струна и сплетение частиц в топологическом порядке: модульное представление SL(3,Z) и теория скрученной калибровки 3+1D». Physical Review B . 91 (3): 035134. arXiv : 1404.7854 . doi :10.1103/PhysRevB.91.035134. S2CID  13893760.
  32. ^ ab Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (сентябрь 2017 г.). «Статистика плетения и инварианты связей бозонной/фермионной топологической квантовой материи в измерениях 2+1 и 3+1». Annals of Physics . 384C : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode :2017AnPhy.384..254P. doi :10.1016/j.aop.2017.06.019. S2CID  119578849.
  33. ^ Левин и Вэнь 2005
  34. ^ Левин и Вэнь 2003
  35. ^ Хамма, Занарди и Вэнь 2005
  36. ^ Бомбин и Мартин-Дельгадо 2007
  37. ^ Вэнь, Сяо-Ган (1991). «Топологические порядки и теория Черна-Саймонса в сильно коррелированной квантовой жидкости». Int. J. Mod. Phys. B . 5 (10): 1641. Bibcode :1991IJMPB...5.1641W. CiteSeerX 10.1.1.676.1963 . doi :10.1142/s0217979291001541. ; Топологические порядки и теория Черна–Саймонса в сильно коррелированной квантовой жидкости. обзор, содержащий комментарии по топологическим порядкам в более высоких измерениях и/или в фазах Хиггса ; также введен индекс размерности (DI) для характеристики устойчивости вырождения основного состояния топологически упорядоченного состояния. Если DI меньше или равен 1, то топологические порядки не могут существовать при конечной температуре.
  38. ^ Prem, Abhinav; Haah, Jeongwan; Nandkishore, Rahul (2017). "Стеклянная квантовая динамика в трансляционно-инвариантных фрактонных моделях". Physical Review B. 95 ( 15): 155133. arXiv : 1702.02952 . Bibcode : 2017PhRvB..95o5133P. doi : 10.1103/PhysRevB.95.155133. S2CID  118911031.
  39. ^ Шамон 2005
  40. ^ Blok, B.; Wen, XG (1 октября 1990 г.). «Эффективные теории дробного квантового эффекта Холла при общих дробях заполнения». Physical Review B. 42 ( 13): 8133–44. Bibcode :1990PhRvB..42.8133B. doi :10.1103/physrevb.42.8133. PMID  9994984.
  41. ^ Blok, B.; Wen, XG (1 октября 1990 г.). «Эффективные теории дробного квантового эффекта Холла: построение иерархии». Physical Review B. 42 ( 13): 8145–56. Bibcode :1990PhRvB..42.8145B. doi :10.1103/physrevb.42.8145. PMID  9994985.
  42. ^ Read, N. (17 сентября 1990 г.). "Структура возбуждения иерархической схемы в дробном квантовом эффекте Холла". Physical Review Letters . 65 (12): 1502–5. Bibcode :1990PhRvL..65.1502R. doi :10.1103/physrevlett.65.1502. PMID  10042282.
  43. ^ Wen, XG; Zee, A. (15 июля 1992 г.). «Классификация абелевых квантовых состояний Холла и матричная формулировка топологических жидкостей». Physical Review B. 46 ( 4): 2290–2301. Bibcode : 1992PhRvB..46.2290W. doi : 10.1103/physrevb.46.2290. PMID  10003903.
  44. ^ Baianu, Ion C. (23 апреля 2009 г.). "Алгебраические топологические основы суперсимметрии и нарушения симметрии в квантовой теории поля и квантовой гравитации: обзор". Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 5 : 051. arXiv : 0904.3644 . Bibcode :2009SIGMA...5..051B. doi : 10.3842/sigma.2009.051 .
  45. ^ Деннис и др. 2002
  46. ^ Фридман и др. 2003
  47. ^ Вэнь 1991a
  48. ^ Kane, CL; Mele, EJ (23 ноября 2005 г.). "Квантовый спиновый эффект Холла в графене". Physical Review Letters . 95 (22): 226801. arXiv : cond-mat/0411737 . Bibcode : 2005PhRvL..95v6801K. doi : 10.1103/physrevlett.95.226801. PMID  16384250. S2CID  6080059.
  49. ^ Мураками, Шуичи; Нагаоса, Наото; Чжан, Шоу-Чэн (6 октября 2004 г.). «Спин-холловский изолятор». Physical Review Letters . 93 (15): 156804. arXiv : cond-mat/0406001 . Bibcode : 2004PhRvL..93o6804M. doi : 10.1103/physrevlett.93.156804. PMID  15524922. S2CID  13018985.
  50. ^ ab Chen, Xie; Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (2011). "2D-симметрия защищенных топологических порядков и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения". Phys. Rev. B. 84 ( 23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode : 2011PhRvB..84w5141C. doi : 10.1103/physrevb.84.235141. S2CID  55330505.
  51. ^ Холдейн, ФДМ (11 апреля 1983 г.). «Нелинейная полевая теория антиферромагнетиков Гейзенберга с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного состояния Нееля с легкой осью». Physical Review Letters . 50 (15): 1153–6. Bibcode :1983PhRvL..50.1153H. doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
  52. ^ Холдейн, ФДМ (11 ноября 2004 г.). «Кривизна Берри на поверхности Ферми: аномальный эффект Холла как топологическое свойство ферми-жидкости». Physical Review Letters . 93 (20): 206602. arXiv : cond-mat/0408417 . Bibcode :2004PhRvL..93t6602H. doi :10.1103/physrevlett.93.206602. PMID  15600949. S2CID  35487502.
  53. ^ Аффлек, Ян; Холдейн, ФДМ (1 сентября 1987 г.). «Критическая теория квантовых спиновых цепей». Physical Review B. 36 ( 10): 5291–5300. Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A. doi : 10.1103/physrevb.36.5291. PMID  9942166.
  54. ^ Аффлек, И (15 мая 1989 г.). «Квантовые спиновые цепи и щель Холдейна». Journal of Physics: Condensed Matter . 1 (19). IOP Publishing: 3047–72. Bibcode : 1989JPCM....1.3047A. doi : 10.1088/0953-8984/1/19/001. S2CID  250850599.

Ссылки по категориям

Дробные квантовые состояния Холла

Хиральные спиновые состояния

Ранняя характеристика состояний FQH

Топологический порядок

Характеристика топологического порядка

Эффективная теория топологического порядка

Механизм топологического порядка

Квантовые вычисления

Возникновение элементарных частиц

Квантовая операторная алгебра