Топологическое свойство

Математическое свойство пространства

В топологии и смежных областях математики топологическое свойство или топологический инвариант — это свойство топологического пространства , которое инвариантно относительно гомеоморфизмов . С другой стороны, топологическое свойство — это собственный класс топологических пространств, который замкнут относительно гомеоморфизмов. То есть свойство пространств является топологическим свойством, если всякий раз, когда пространство X обладает этим свойством, каждое пространство, гомеоморфное X, обладает этим свойством. Неформально, топологическое свойство — это свойство пространства, которое можно выразить с помощью открытых множеств .

Распространенной проблемой в топологии является решение вопроса о том, являются ли два топологических пространства гомеоморфными или нет. Чтобы доказать, что два пространства не являются гомеоморфными, достаточно найти топологическое свойство, которое не является общим для них.

Свойства топологических свойств

Недвижимость — это: ${\displaystyle P}$

• Наследственный , если для каждого топологического пространства и подмножества подпространство обладает свойством ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$
• Слабо наследственное , если для каждого топологического пространства и замкнутого подмножества подпространство обладает свойством ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$

Общие топологические свойства

Кардинальные функции

• Мощность пространства .​ ${\displaystyle \vert X\vert }$ ${\displaystyle X}$
• Мощность топологии (множества открытых подмножеств) пространства . ${\displaystyle \vert \tau (X)\vert }$ ${\displaystyle X}$
• Вес , наименьшая мощность базиса топологии пространства . ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Плотность — наименьшая мощность подмножества, замыкание которого равно . ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Разделение

Некоторые из этих терминов определяются по-другому в старой математической литературе; см. историю аксиом разделения .

• T ₀ или Колмогоровское . Пространство является колмогоровским, если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует по крайней мере либо открытое множество, содержащее x , но не y , либо открытое множество, содержащее y, но не x .
• T ₁ или Фреше . Пространство является пространством Фреше , если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x , но не y . (Сравните с T ₀ ; здесь нам разрешено указывать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T _{1 ,} если все его синглтоны замкнуты. Пространства T ₁ всегда являются T ₀ .
• Sober . Пространство является sober , если каждое неприводимое замкнутое множество C имеет единственную общую точку p . Другими словами, если C не является (возможно, нераздельным) объединением двух меньших замкнутых непустых подмножеств, то существует p такое, что замыкание { p } равно C , и p является единственной точкой с этим свойством.
• T ₂ или Хаусдорфово . Пространство является Хаусдорфовым, если каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Пространства T ₂ всегда являются T ₁ .
• T _2½ или Урысона . Пространство является пространством Урысона, если каждые две различные точки имеют непересекающиеся замкнутые окрестности. Пространства T _2½ всегда являются пространствами T ₂ .
• Полностью T ₂ или полностью Хаусдорфово . Пространство является полностью T _{2 ,} если каждые две различные точки разделены функцией . Каждое полностью Хаусдорфово пространство является пространством Урысона.
• Регулярное . Пространство является регулярным, если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а p — точка, не лежащая в C , то C и p имеют непересекающиеся окрестности.
• T ₃ или регулярное Хаусдорфово . Пространство является регулярным Хаусдорфовым , если оно является регулярным пространством T _0. (Регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T ₀ , поэтому терминология является единообразной .)
• Полностью регулярное . Пространство полностью регулярно, если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а p — точка, не лежащая в C , то C и { p } разделены функцией .
• T _3½ , Тихонов , Полностью регулярное Хаусдорфово или Полностью T ₃ . Тихоновское пространство является полностью регулярным пространством T ₀ . (Полностью регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T ₀ , поэтому терминология является единообразной.) Тихоновские пространства всегда регулярно Хаусдорфовы.
• Нормально . Пространство нормально , если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Нормальные пространства допускают разбиения единицы .
• T ₄ или нормальное хаусдорфово . Нормальное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно T _1. Нормальные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
• Полностью нормально . Пространство является полностью нормальным , если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.
• T ₅ или Полностью нормальное хаусдорфово . Полностью нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T _1. Полностью нормальные хаусдорфовы пространства всегда являются нормальными хаусдорфовыми.
• Совершенно нормально . Пространство является совершенно нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены функцией . Совершенно нормальное пространство также должно быть совершенно нормальным.
• T ₆ или совершенно нормальное Хаусдорфово , или совершенно T ₄ . Пространство является совершенно нормальным Хаусдорфовым , если оно одновременно совершенно нормально и T ₁ . Совершенно нормальное Хаусдорфово пространство должно быть также совершенно нормальным Хаусдорфовым.
• Дискретное пространство . Пространство является дискретным , если все его точки полностью изолированы, т. е. если любое подмножество открыто.
• Число изолированных точек . Число изолированных точек топологического пространства.

Условия счетности

• Сепарабельно . Пространство является сепарабельным , если оно имеет счетное плотное подмножество.
• Пространство является счётным, если каждая точка имеет счётную локальную базу.
• Счетно-второстепенно . Пространство счетно-второстепенно, если оно имеет счетную базу для своей топологии. Счетно-второстепенные пространства всегда сепарабельны, счетно-второстепенны и линделефовы.
• Пространство является линделёфовым , если каждое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие.
• σ -компакт . Пространство является σ-компактным , если оно является объединением счетного числа компактных подпространств .

Связанность

• Связно . Пространство связно, если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными открыто-замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само.
• Локально связно . Пространство локально связно , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных множеств.
• Полностью несвязно . Пространство полностью несвязно, если оно не имеет связного подмножества с более чем одной точкой.
• Путевой связности . Пространство X является путевым связностью , если для любых двух точек x , y в X существует путь p из x в y , т. е. непрерывное отображение p : [0,1] →  X с p (0) = x и p (1) = y . Путевые связности всегда связны.
• Локально линейно связно . Пространство локально линейно связно , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связных множеств. Локально линейно связное пространство связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно.
• Связно по дуге . Пространство X является связным по дуге, если для любых двух точек x , y в X существует дуга f из x в y , т. е. инъективное непрерывное отображение с и . Связные по дуге пространства являются линейно связными. ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=x}$ ${\displaystyle p(1)=y}$
• Односвязно . Пространство X односвязно , если оно линейно связно и каждое непрерывное отображение гомотопно постоянному отображению. ${\displaystyle f\colon S^{1}\to X}$
• Локально односвязно . Пространство X локально односвязно , если каждая точка x в X имеет локальную базу окрестностей U , которая односвязна.
• Полулокально односвязный . Пространство X является полулокально односвязным , если каждая точка имеет локальную базу окрестностей U такую, что каждая петля в U стягиваема в X. Полулокальная простая связность, строго более слабое условие, чем локальная простая связность, является необходимым условием существования универсального покрытия .
• Стягиваемый . Пространство X стягиваемо , если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Стягиваемые пространства всегда односвязны.
• Гиперсвязный . Пространство гиперсвязно , если никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися. Каждое гиперсвязное пространство связно.
• Ультрасвязное . Пространство является ультрасвязным, если никакие два непустых замкнутых множества не являются непересекающимися. Каждое ультрасвязное пространство является линейно связным.
• Недискретное или тривиальное . Пространство является недискретным, если единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само. Говорят, что такое пространство имеет тривиальную топологию .

Компактность

• Компактное . Пространство компактно , если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие . Некоторые авторы называют такие пространства квазикомпактными и оставляют компактными хаусдорфовы пространства, где каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные пространства всегда линделёфовы и паракомпактные. Компактные хаусдорфовы пространства, следовательно, нормальны.
• Последовательно компактно . Пространство является последовательно компактным, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Счётно компактно . Пространство счётно компактно , если каждое счётное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
• Псевдокомпакт . Пространство псевдокомпактно , если каждая непрерывная вещественная функция на этом пространстве ограничена.
• σ-компактный . Пространство является σ-компактным , если оно является объединением счетного числа компактных подмножеств.
• Пространство является линделёфовым , если каждое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие.
• Паракомпакт . Пространство является паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет открытое локально конечное измельчение. Паракомпактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.
• Локально компактный . Пространство локально компактно, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей. Используются также немного другие определения. Локально компактные хаусдорфовы пространства всегда тихоновские.
• Ультрасвязный компакт . В ультрасвязном компактном пространстве X каждое открытое покрытие должно содержать само X. Непустые ультрасвязные компактные пространства имеют наибольшее собственное открытое подмножество, называемое монолитом .

Метризуемость

• Метризуемое . Пространство метризуемо, если оно гомеоморфно метрическому пространству . Метризуемые пространства всегда хаусдорфовы и паракомпактные (и, следовательно, нормальные и тихоновские), и удовлетворяют первой аксиоме счетности. Более того, топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика для такая, что топология метрики совпадает с топологией ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(d)}$ ${\displaystyle T.}$
• Польским . Пространство называется польским , если оно метризуемо с отделимой и полной метрикой.
• Локально метризуемо . Пространство локально метризуемо, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.

Разнообразный

• Пространство Бэра . Пространство X является пространством Бэра, если оно не является тощим само по себе. Эквивалентно, X является пространством Бэра, если пересечение счетного числа плотных открытых множеств является плотным.
• Пространство дверей . Топологическое пространство является пространством дверей , если каждое подмножество открыто или закрыто (или и то, и другое).
• Топологическая однородность . Пространство X является (топологически) однородным , если для любых x и y в X существует гомеоморфизм такой, что Интуитивно говоря, это означает, что пространство выглядит одинаково в каждой точке. Все топологические группы однородны. ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$
• Конечно порожденный или Александров . Пространство X является Александровым, если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты, или, что эквивалентно, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты. Это в точности конечно порожденные члены категории топологических пространств и непрерывных отображений.
• Нульмерный . Пространство нульмерно, если оно имеет базу из открыто-замкнутых множеств. Это как раз те пространства, у которых малая индуктивная размерность 0 .
• Почти дискретно . Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто-замкнуто). Почти дискретные пространства — это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.
• Булево . Пространство является булевым, если оно нульмерно, компактно и хаусдорфово (эквивалентно, полностью несвязно, компактно и хаусдорфово). Это именно те пространства, которые гомеоморфны пространствам Стоуна булевых алгебр .
• кручение Рейдемейстера
• ${\displaystyle \kappa }$-разрешимое . Пространство называется κ-разрешимым ^[1] (соответственно: почти κ-разрешимым), если оно содержит κ плотных множеств, которые попарно не пересекаются (соответственно: почти не пересекаются над идеалом нигде не плотных подмножеств). Если пространство не является -разрешимым, то оно называется -неразрешимым. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• Максимально разрешимо . Пространство максимально разрешимо, если оно -разрешимо, где Число называется дисперсионным характером ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle \Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X.}$
• Сильно дискретно . Множество является сильно дискретным подмножеством пространства , если точки в могут быть разделены попарно непересекающимися окрестностями. Пространство называется сильно дискретным, если каждая неизолированная точка из является точкой накопления некоторого сильно дискретного множества. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Нетопологические свойства

Существует множество примеров свойств метрических пространств и т. д., которые не являются топологическими свойствами. Чтобы показать, что свойство не является топологическим, достаточно найти два гомеоморфных топологических пространства, таких, что имеет , но не имеет . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P}$

Например, свойства метрического пространства ограниченность и полнота не являются топологическими свойствами. Пусть и — метрические пространства со стандартной метрикой. Тогда посредством гомеоморфизма . Однако является полным, но не ограниченным, в то время как является ограниченным, но не полным. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle \operatorname {arctan} \colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Смотрите также

• Характеристический класс  – Ассоциация классов когомологий с главными расслоениями
• Характеристические числа  – Ассоциация классов когомологий с главными расслоениямиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Класс Черна  – Характеристические классы векторных расслоений
• Эйлерова характеристика  – Топологический инвариант в математике
• Свойство неподвижной точки  – Математическое свойство
• Гомологии и когомологии
• Группа гомотопии и группа когомотопии
• Инвариант узла  – функция узла, которая принимает одно и то же значение для эквивалентных узлов.
• Число связи  – числовой инвариант, описывающий связь двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве.
• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств
• Квантовый инвариант  – Концепция в математической теории узлов
• Топологическое квантовое число  – Физические величины, которые принимают дискретные значения из-за топологических квантовых физических эффектов.
• Число витков  – количество раз, которое кривая огибает точку на плоскости.

Цитаты

1. Юхас, Иштван; Соукуп, Лайош; Сентмиклосси, Золтан (2008). «Разрешимость и монотонная нормальность». Израильский математический журнал . 166 (1): 1–16. arXiv : math/0609092 . дои : 10.1007/s11856-008-1017-y . ISSN  0021-2172. S2CID  14743623.

Ссылки

• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. стр. 369. ISBN 9780486434797.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.

[2] Саймон Мулиерас, Мачей Левенштейн и Грациана Пуэнтес, Инженерия запутанности и топологическая защита с помощью дискретных квантовых блужданий, Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf