stringtranslate.com

Тороидальный многогранник

Многогранный тор можно построить так, чтобы он аппроксимировал поверхность тора, из сетки четырехугольных граней, как в этом примере 6x4.

В геометрии тороидальный многогранник — это многогранник , который также является тороидом ( тором с g -дыркой ), имеющим топологический род ( g ) 1 или больше. Известные примеры включают многогранники Часара и Силасси .

Различия в определении

Тороидальные многогранники определяются как наборы многоугольников , которые встречаются на своих ребрах и вершинах, образуя многообразие , как они это делают. То есть, каждое ребро должно быть общим для ровно двух многоугольников, и в каждой вершине ребра и грани, которые встречаются в вершине, должны быть связаны вместе в один цикл чередующихся ребер и граней, связь вершины. Для тороидальных многогранников это многообразие является ориентируемой поверхностью . [1] Некоторые авторы ограничивают фразу «тороидальные многогранники», чтобы означать более конкретно многогранники, топологически эквивалентные (роду 1) тору . [ 2]

В этой области важно различать вложенные тороидальные многогранники, грани которых представляют собой плоские многоугольники в трехмерном евклидовом пространстве , которые не пересекают ни себя, ни друг друга, от абстрактных многогранников , топологических поверхностей без какой-либо определенной геометрической реализации. [3] Промежуточное положение между этими двумя крайностями занимают многогранники, образованные геометрическими многоугольниками или звездчатыми многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальная природа многогранника может быть проверена его ориентируемостью и его эйлеровой характеристикой , которая неположительна. Эйлерова характеристика обобщается до V − E + F = 2 − 2 g , где g — его топологический род.

Многогранники Часара и Силасси

Двумя простейшими возможными вложенными тороидальными многогранниками являются многогранники Часара и Силасси.

Многогранник Часара — это тороидальный многогранник с семью вершинами, 21 ребром и 14 треугольными гранями. [6] Он и тетраэдр — единственные известные многогранники, в которых каждый возможный отрезок прямой, соединяющий две вершины, образует ребро многогранника. [7] Его двойственный многогранник, многогранник Силасси , имеет семь шестиугольных граней, которые все смежны друг с другом, [8] таким образом, обеспечивая существование половины теоремы о том, что максимальное число цветов, необходимых для карты на торе (рода один), равно семи. [9]

Многогранник Часара имеет наименьшее количество вершин среди всех вложенных тороидальных многогранников, а многогранник Силасси имеет наименьшее количество граней среди всех вложенных тороидальных многогранников.

Тороидальный дельтаэдр Конвея

Тороидальный дельтаэдр Конвея
Тороидальный дельтаэдр Конвея

Тороидальный дельтаэдр был описан Джоном Х. Конвеем в 1997 году, содержащим 18 вершин и 36 граней. Некоторые смежные грани являются копланарными . Конвей предположил, что это должен быть дельтаэдрический тороид с наименьшим количеством возможных граней. [10]

тороиды Стюарта

Специальная категория тороидальных многогранников строится исключительно из правильных многоугольных граней , без пересечений и с дополнительным ограничением, что смежные грани не могут лежать в одной плоскости друг с другом. Они называются тороидами Стюарта [11], названными в честь Бонни Стюарт , которая их интенсивно изучала. [12] Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников ; однако, в отличие от тел Джонсона, существует бесконечно много тороидов Стюарта. [13] Они включают также тороидальные дельтаэдры , многогранники, все грани которых являются равносторонними треугольниками.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определенных Стюартом, — это квазивыпуклые тороидальные многогранники . Это тороиды Стюарта, которые включают все ребра своих выпуклых оболочек . Для такого многогранника каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо является многоугольником, все ребра которого лежат на поверхности тороида. [14]

Самопересекающиеся многогранники

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников, соответствует абстрактному топологическому многообразию, образованному его многоугольниками и их системой общих ребер и вершин, и род многогранника может быть определен из этого абстрактного многообразия. Примерами являются октагемиоктаэдр рода 1, малый кубокубооктаэдр рода 3 и большой додекаэдр рода 4 .

Коронные многогранники

Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную диэдральную симметрию и имеет те же вершины, что и однородная пятиугольная призма .

Коронный многогранник или стефаноид — это тороидальный многогранник, который также является благородным , будучи как изогональным (равные вершины), так и изоэдральным (равные грани). Коронные многогранники являются самопересекающимися и топологически самодвойственными . [15]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Уайтли (1979); Стюарт (1980), стр. 15.
  2. ^ Уэббер, Уильям Т. (1997), «Моноэдральные идевалентные многогранники, являющиеся тороидами», Geometriae Dedicata , 67 (1): 31–44, doi : 10.1023/A: 1004997029852, MR  1468859, S2CID  117884274.
  3. ^ Уайтли, Уолтер (1979), «Реализуемость многогранников» (PDF) , Структурная топология (1): 46–58, 73, MR  0621628.
  4. ^ Акош Часар, Многогранник без диагоналей, Институт Бояи, Сегедский университет, 1949 г.
  5. ^ Грюнбаум, Бранко ; Силасси, Лайош (2009), «Геометрические реализации специальных тороидальных комплексов», Вклад в дискретную математику , 4 (1): 21–39, doi : 10.11575/cdm.v4i1.61986 , ISSN  1715-0868
  6. ^ Часар, А. (1949), «Многогранник без диагоналей», Acta Sci. Математика. Сегед , 13 : 140–142..
  7. ^ Циглер, Гюнтер М. (2008), «Многогранные поверхности высокого рода», в Бобенко, А.И.; Шредер, П.; Салливан, Дж. М .; Циглер, Г.М. (ред.), Дискретная дифференциальная геометрия , Семинары в Обервольфахе, том. 38, Springer-Verlag, стр. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN 978-3-7643-8620-7, S2CID  15911143.
  8. ^ Силасси, Лайош (1986), «Регулярные тороиды», Структурная топология , 13 : 69–80, hdl : 2099/1038.
  9. ↑ Хивуд, П. Дж. (1890), «Теоремы о раскраске карт», Quarterly Journal of Mathematics , First Series, 24 : 322–339
  10. ^ Конвей, Джон, «Многогранники положительного рода», группа Usenet по геометрии.исследования; см. сообщения от "23 сентября 1997 г., 12:00:00 утра", объявляющие о тороидальном дельтаэдре, и "25 сентября 1997 г., 12:00:00 утра", описывающие его конструкцию. В отличие от тороидов Стюарта, он имеет копланарные смежные треугольники, но в остальном напоминает тороидальный дельтаэдр с большим количеством граней, описанный Стюартом (1980), стр. 60.
  11. ^ Вебб, Роберт (2000), «Стелла: навигатор многогранников», Симметрия: Культура и наука , 11 (1–4): 231–268, MR  2001419.
  12. ^ Стюарт, Б. М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентируемых многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Б. М. Стюарт, ISBN 978-0-686-11936-4.
  13. ^ Стюарт (1980), стр. 15.
  14. ^ Стюарт (1980), «Квазивыпуклость и слабая квазивыпуклость», стр. 76–79.
  15. ^ Грюнбаум, Бранко (1994), «Многогранники с полыми гранями», Многогранники: абстрактные, выпуклые и вычислительные , NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series, т. 440, Kluwer Academic Publishers, стр. 43–70, doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3. См. в частности стр. 60.

Внешние ссылки