Рациональная точка

В теории чисел и алгебраической геометрии рациональная точка алгебраического многообразия — это точка, координаты которой принадлежат заданному полю . Если поле не указано, то обычно подразумевается поле рациональных чисел . Если поле — это поле действительных чисел , то рациональную точку чаще называют действительной точкой .

Понимание рациональных точек является центральной целью теории чисел и диофантовой геометрии . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: при $n > 2$ кривая Ферма уравнения не имеет других рациональных точек, кроме $(1, 0)$ , $(0, 1)$ и, если $n$ четно, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$ . $x^{n}+y^{n}=1$

Определение

Для данного поля $k$ и алгебраически замкнутого расширения $K$ поля $k$ аффинное многообразие $X$ над $k$ — это множество общих нулей в $K n$ набора многочленов с коэффициентами в $k$ :

{\begin{align}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{align}}

Эти общие $нули$ называются точками X.

K - рациональная точка (или $k$ - точка ) $X$ — это точка $X$ , которая принадлежит $k$ $n$ , то есть последовательности из $n$ элементов $k$ такой, что для всех $j$ $.$ Множество $k$ -рациональных точек $X$ часто обозначается $X$ $($ $k$ $)$ . $(a_{1},\точки,a_{n})$ $f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0$

Иногда, когда имеется в виду поле $k$ или когда $k$ — это поле рациональных чисел , говорят « рациональная $\mathbb {Q}$ точка» вместо « $k$ -рациональная точка».

Например, рациональные точки единичной окружности уравнения

x^{2}+y^{2}=1

пары рациональных чисел

\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),

где $(a, b, c)$ — пифагорова тройка .

Эта концепция также имеет смысл в более общих условиях. Проективное многообразие $X$ в проективном пространстве ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над полем $k$ может быть определено набором однородных полиномиальных уравнений от переменных k -точка ⁠ ⁠ , записанная как последовательность из $n$ $+ 1$ элементов $k , не все из$ $которых$ равны нулю, с пониманием того, что умножение всех из на один и тот же ненулевой элемент $k$ дает одну и ту же точку в проективном пространстве. Тогда $k$ -точка $X$ означает $k$ -точку ⁠ ⁠ , в которой заданные полиномы обращаются в нуль. $x_{0},\точки ,x_{n}.$ $\mathbb {P} ^{n},$ $[a_{0},\точки ,a_{n}],$ $a_{0},\точки ,a_{n}$ $\mathbb {P} ^{n}$

В более общем случае, пусть $X$ будет схемой над полем $k$ . Это означает, что задан морфизм схем $f : X \to Spec (k) . Тогда$ $k$ -точка $X$ означает сечение этого морфизма, то есть морфизм $a : Spec(k) \to X$ такой, что композиция $fa$ является тождеством на $Spec(k)$ . Это согласуется с предыдущими определениями, когда $X$ является аффинным или проективным многообразием (рассматриваемым как схема над $k$ ).

Когда $X$ является многообразием над алгебраически замкнутым полем $k$ , большая часть структуры $X$ определяется его множеством $X (k)$ k -рациональных точек. Однако для общего поля $k$ $X$ $($ $k$ $)$ дает только частичную информацию о $X$ . В частности, для многообразия $X$ над полем $k$ и любого $расширения$ поля $E$ поля $k$ X также определяет множество $X$ $($ $E$ $)$ $E$ -рациональных точек $X$ , то есть множество решений уравнений, определяющих X $со$ $значениями$ в $E$ .

Пример: Пусть $X$ — коническая кривая в аффинной плоскости $A2$ над действительными числами ⁠ $⁠$ Тогда множество действительных точек ⁠ ⁠ пусто, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен. С другой стороны, в терминологии алгебраической геометрии алгебраическое многообразие $X$ над ⁠ ⁠ не пусто, поскольку множество комплексных точек ⁠ ⁠ не пусто. $x^{2}+y^{2}=-1$ $\mathbb {R} .$ $X(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $X(\mathbb {C} )$

В более общем смысле, для схемы $X$ над коммутативным кольцом $R$ и любой коммутативной $R$ - алгебры $S$ множество $X (S)$ $S$ -точек X означает множество морфизмов $Spec($ $S$ $) \to$ $X$ над $Spec($ $R$ $)$ . Схема $X$ определяется с точностью до изоморфизма функтором S $\mapsto$ $X$ $($ $S$ $)$ $;$ это философия отождествления схемы с ее $функтором$ точек . Другая формулировка состоит в том, что схема $X$ над $R$ определяет схему $X$ $S$ над $S$ заменой базы , и $S$ -точки $X$ (над $R$ ) могут быть отождествлены с $S$ -точками $X$ $S$ (над $S$ ).

Теория диофантовых уравнений традиционно подразумевала изучение целых точек , то есть решений полиномиальных уравнений в целых числах , а $\mathbb {Z}$ не в рациональных . Для однородных полиномиальных уравнений , $\mathbb {Q} .$ таких как эти две задачи по сути эквивалентны, поскольку каждую рациональную точку можно масштабировать так, чтобы она стала целой точкой. $x^{3}+y^{3}=z^{3},$

Рациональные точки на кривых

Большую часть теории чисел можно рассматривать как изучение рациональных точек алгебраических многообразий, удобной установкой для этого являются гладкие проективные многообразия. Для гладких проективных кривых поведение рациональных точек сильно зависит от рода кривой.

Род 0

Каждая гладкая проективная кривая $X$ рода ноль над полем $k$ изоморфна конической (степени 2) кривой в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{2}.$ Если $X$ имеет $k$ -рациональную точку, то она изоморфна ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{1}$ над $k$ , и поэтому ее $k$ -рациональные точки полностью понятны. ^[1] Если $k$ является полем ⁠ ⁠ $\mathbb {Q}$ рациональных чисел (или, в более общем смысле, числовым полем ), существует алгоритм для определения того, имеет ли данная коника рациональную точку, основанный на принципе Хассе : коника над ⁠ ⁠ $\mathbb {Q}$ имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда она имеет точку над всеми пополнениями ⁠ ⁠ $\mathbb {Q} ,$ то есть над ⁠ ⁠ $\mathbb {R}$ и всеми p -адическими полями ⁠ ⁠ $\mathbb {Q} _{p}.$

Род 1

Труднее определить, имеет ли кривая рода 1 рациональную точку. Принцип Хассе в этом случае не выполняется: например, по Эрнсту Сельмеру , кубическая кривая в ⁠ ⁠ имеет точку над всеми завершениями ⁠ ⁠, но не имеет рациональной точки. ^[2] Невыполнение принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется группой Тейта–Шафаревича . $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\mathbb {Q} ,$

Если $X$ — кривая рода 1 с $k$ $-$ рациональной точкой $p0$ , то $X$ называется эллиптической кривой над $k$ . В этом случае $X$ имеет структуру коммутативной алгебраической группы (с $p0 в$ качестве нулевого элемента), и поэтому множество $X (k)$ $k$ - рациональных точек является абелевой группой . Теорема Морделла–Вейля гласит, что для эллиптической кривой (или, в более общем смысле, абелева многообразия ) $X$ над числовым полем $k$ , абелева группа $X (k)$ конечно порождена . Программы компьютерной алгебры могут определить группу Морделла–Вейля $X (k)$ во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это следовало бы из гипотезы о том, что группа Тейта–Шафаревича конечна, или из связанной с ней гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера . ^[3]

Род не менее 2

Теорема Фалтингса (ранее гипотеза Морделла) утверждает, что для любой кривой $X$ рода не менее 2 над числовым полем $k$ множество $X (k)$ конечно. ^[4]

Некоторые из великих достижений теории чисел сводятся к определению рациональных точек на конкретных кривых. Например, Великая теорема Ферма (доказанная Ричардом Тейлором и Эндрю Уайлсом ) эквивалентна утверждению, что для целого числа $n$ не менее 3 единственными рациональными точками кривой в ⁠ ⁠ над ⁠ ⁠ являются очевидные: $[0,1,1]$ и $[1,0,1]$ ; $[0,1,-1]$ и $[1,0,-1]$ для четного $n$ ; и $[1,-1,0]$ для нечетного $n$ . Кривая $X$ (как и любая гладкая кривая степени $n$ в ⁠ ⁠ ) имеет род $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {P} ^{2}$ ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.$

Неизвестно, существует ли алгоритм для нахождения всех рациональных точек на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. Существует алгоритм, который работает в некоторых случаях. Его завершение в общем случае следовало бы из предположений о том, что группа Тейта–Шафаревича абелева многообразия над числовым полем конечна и что препятствие Брауэра–Манина является единственным препятствием к принципу Хассе в случае кривых. ^[5]

Более высокие измерения

Разновидности с небольшим количеством рациональных точек

В более высоких размерностях одной объединяющей целью является гипотеза Бомбьери – Лэнга о том, что для любого многообразия $X$ общего типа над числовым полем $k$ множество $k$ -рациональных точек $X$ не является плотным по Зарискому в $X$ . (То есть $k -рациональные точки содержатся в конечном объединении подмногообразий$ $X$ меньшей размерности .) В размерности 1 это в точности теорема Фалтингса, поскольку кривая имеет общий тип тогда и только тогда, когда ее род не меньше 2. Лэнг также выдвинул более тонкие гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с гиперболичностью Кобаяши . ^[6]

Например, гипотеза Бомбьери–Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени $d$ в проективном пространстве ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над числовым полем не имеет плотных по Зарискому рациональных точек, если $d \geq n + 2$ . Об этом случае известно немного. Самый сильный известный результат гипотезы Бомбьери–Ланга — теорема Фалтингса о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если $X$ является подмногообразием абелева многообразия $A$ над числовым полем $k$ , то все $k$ -рациональные точки $X$ содержатся в конечном объединении трансляций абелевых подмногообразий, содержащихся в $X$ . ^[7] (Таким образом, если $X$ не содержит транслированных абелевых подмногообразий положительной размерности, то $X (k)$ конечно.)

Разновидности со многими рациональными точками

В противоположном направлении, говорят, что многообразие $X$ над числовым полем $k имеет$ потенциально плотные рациональные точки, если существует конечное поле расширения $E$ поля $k$ такое, что $E$ -рациональные точки $X$ плотны по Зарисскому в $X$ . Фредерик Кампана предположил, что многообразие потенциально плотно тогда и только тогда, когда оно не имеет рационального расслоения над положительно-мерным орбифолдом общего типа. ^[8] Известный случай состоит в том, что каждая кубическая поверхность в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ над числовым полем $имеет$ потенциально плотные рациональные точки, потому что (более строго) она становится рациональной над некоторым конечным расширением $k$ (если только это не конус над плоской кубической кривой). Гипотеза Кампаны также подразумевает, что поверхность K3 $X$ (такая как гладкая квартическая поверхность в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ ) над числовым полем имеет потенциально плотные рациональные точки. Это известно только в особых случаях, например, если $X$ имеет эллиптическое расслоение . ^[9]

Можно спросить, когда многообразие имеет рациональную точку без расширения базового поля. В случае гиперповерхности $X$ степени $d$ в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над числовым полем хорошие результаты получаются, когда $d$ намного меньше $n$ , часто основанные на методе окружности Харди–Литтлвуда . Например, теорема Хассе–Минковского гласит, что принцип Хассе справедлив для квадратичных гиперповерхностей над числовым полем (случай $d = 2$ ). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над ⁠ ⁠ $\mathbb {Q}$ при $n \geq 8$ . ^[10] В более высоких размерностях верно даже больше: каждая гладкая кубическая в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над ⁠ ⁠ $\mathbb {Q}$ имеет рациональную точку при $n \geq 9$ , Роджер Хит-Браун . ^[11] В более общем смысле теорема Бирча гласит, что для любого нечетного положительного целого числа $d$ существует целое число $N$ такое, что для всех $n \geq N$ каждая гиперповерхность степени $d$ в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над ⁠ ⁠ $\mathbb {Q}$ имеет рациональную точку.

Для гиперповерхностей меньшей размерности (с точки зрения их степени) все может быть сложнее. Например, принцип Хассе не выполняется для гладкой кубической поверхности в ⁠ ⁠ над ⁠ ⁠ Яна Касселса и Ричарда Гая. ^[12]Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра–Манина является единственным препятствием к принципу Хассе для кубических поверхностей. В более общем смысле, это должно выполняться для любого рационально связного многообразия над числовым полем. ^[13] $5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0$ $\mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {Q} ,$

В некоторых случаях известно, что $X$ имеет «много» рациональных точек, когда у него есть одна. Например, расширяя работу Беньямино Сегре и Юрия Манина , Янош Коллар показал: для кубической гиперповерхности $X$ размерности не менее 2 над совершенным полем $k,$ где $X$ не является конусом, $X$ унирациональна над $k,$ если она имеет $k$ -рациональную точку. ^[14] (В частности, для бесконечного $k$ унирациональность подразумевает, что множество $k$ -рациональных точек плотно по Зарискому в $X$ .) Гипотеза Манина является более точным утверждением, которое описывает асимптотику числа рациональных точек ограниченной высоты на многообразии Фано .

Подсчет точек над конечными полями

Многообразие $X$ над конечным полем $k$ имеет только конечное число $k$ -рациональных точек. Гипотезы Вейля , доказанные Андре Вейлем в размерности 1 и Пьером Делинем в любой размерности, дают сильные оценки для числа $k$ -точек в терминах чисел Бетти для $X.$ Например, если $X$ — гладкая проективная кривая рода $g$ над полем $k$ порядка $q$ (степень простого числа), то

{\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.

Для гладкой гиперповерхности $X$ степени $d$ в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над полем $k$ порядка $q$ теорема Делиня дает оценку: ^[15]

{\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.

Существуют также важные результаты о том, когда проективное многообразие над конечным полем $k$ имеет по крайней мере одну $k$ -рациональную точку. Например, теорема Шевалле–Уорнинга подразумевает, что любая гиперповерхность $X$ степени $d$ в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ над конечным полем $k$ имеет $k$ -рациональную точку, если $d \leq n$ . Для гладкого $X$ это также следует из теоремы Элен Эсно о том, что каждое гладкое проективное рационально цепочечно связное многообразие, например, каждое многообразие Фано, над конечным полем $k$ имеет $k$ -рациональную точку. ^[16]

Смотрите также

Примечания

^ Хайндри и Сильверман (2000), Теорема A.4.3.1.
^ Сильверман (2009), Замечание X.4.11.
^ Сильверман (2009), Гипотеза X.4.13.
^ Хайндри и Сильверман (2000), Теорема E.0.1.
^ Скоробогатов (2001), раздел 6,3.
^ Хайндри и Сильверман (2000), раздел F.5.2.
^ Хайндри и Сильверман (2000), Теорема F.1.1.1.
^ Кампана (2004), Гипотеза 9.20.
^ Хассетт (2003), Теорема 6.4.
^ Хули (1988), Теорема.
^ Хит-Браун (1983), Теорема.
^ Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.
^ Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.
^ Коллар (2002), Теорема 1.1.
^ Кац (1980), раздел II.
^ Эсно (2003), Следствие 1.3.

Ссылки

Кампана, Фредерик (2004), «Орбифолды, специальные разновидности и теория классификации» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 54 (3): 499–630, doi : 10.5802/aif.2027, MR 2097416
Коллио-Телен, Жан-Луи ; Каневский, Дмитрий; Сансук, Жан-Жак (1987), «Арифметика кубических диагональных поверхностей», Диофантова аппроксимация и теория трансцендентности , Конспекты лекций по математике, том. 1290, Springer Nature , стр. 1–108, номер документа : 10.1007/BFb0078705, ISBN. 978-3-540-18597-0, МР 0927558
Esnault, Hélène (2003), «Многообразия над конечным полем с тривиальной группой Чжоу 0-циклов имеют рациональную точку», Inventiones Mathematicae , 151 (1): 187–191, arXiv : math/0207022 , Bibcode : 2003InMat.151..187E, doi : 10.1007/s00222-002-0261-8, MR 1943746
Хассетт, Брендан (2003), «Потенциальная плотность рациональных точек на алгебраических многообразиях», Многообразия высших размерностей и рациональные точки (Будапешт, 2001) , Математические исследования общества Бойяи, т. 12, Springer Nature , стр. 223–282, doi :10.1007/978-3-662-05123-8_8, ISBN 978-3-642-05644-4, MR 2011748
Хит-Браун, DR (1983), «Кубические формы десяти переменных», Труды Лондонского математического общества , 47 (2): 225–257, doi :10.1112/plms/s3-47.2.225, MR 0703978
Хайндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: Введение , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5, г-н 1745599
Хули, Кристофер (1988), «О ненарных кубических формах», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1988 (386): 32–98, doi : 10.1515/crll.1988.386.32, MR 0936992
Кац, Н. М. (1980), «Работа Пьера Делиня» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , Хельсинки: Academia Scientiarum Fennica , стр. 47–52, MR 0562594
Коллар, Янош (2002), «Унирациональность кубических гиперповерхностей», Журнал Математического института Жюсье , 1 (3): 467–476, arXiv : math/0005146 , doi :10.1017/S1474748002000117, MR 1956057
Пунен, Бьорн (2017), Рациональные точки многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3773-2, г-н 3729254
Сильверман, Джозеф Х. (2009) [1986], Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0, МР 2514094
Скоробогатов, Алексей (2001), Торсоры и рациональные точки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6, г-н 1845760

Внешние ссылки

Коллио-Телен, Жан-Луи (2015), Локально-глобальные принципы для рациональных точек и нулевых циклов (PDF)