Точная последовательность операции

Инструмент для классификации многообразий в пределах гомотопического типа в размерности > 4

В математической теории хирургии точная последовательность хирургии является основным техническим инструментом для вычисления набора структур хирургии компактного многообразия размерности . Набор структур хирургии компактного -мерного многообразия является точечным множеством , которое классифицирует -мерные многообразия в пределах гомотопического типа . ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Основная идея заключается в том, что для вычисления достаточно понять другие члены последовательности, которые обычно легче определить. С одной стороны, это нормальные инварианты , которые образуют обобщенные группы когомологий , и, следовательно, можно использовать стандартные инструменты алгебраической топологии, чтобы вычислить их, по крайней мере, в принципе. С другой стороны, есть L-группы , которые определяются алгебраически в терминах квадратичных форм или в терминах цепных комплексов с квадратичной структурой. Об этих группах известно очень много. Другая часть последовательности — это отображения препятствий хирургии из нормальных инвариантов в L-группы. Для этих отображений существуют определенные формулы характеристических классов , которые позволяют вычислять их в некоторых случаях. Знание этих трех компонентов, то есть: нормальных отображений, L-групп и отображений препятствий хирургии, достаточно для определения набора структур (по крайней мере, до проблем расширения). ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

На практике нужно действовать индивидуально, для каждого многообразия это уникальная задача определить точную последовательность хирургии, см. несколько примеров ниже. Также обратите внимание, что существуют версии точной последовательности хирургии в зависимости от категории многообразий , с которыми мы работаем: гладкие (DIFF), PL или топологические многообразия , и от того, учитываем ли мы кручение Уайтхеда или нет (декорации или ). ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

Оригинальная работа Браудера и Новикова 1962 года о существовании и единственности многообразий в пределах односвязного гомотопического типа была переформулирована Салливаном в 1966 году как точная последовательность хирургии . В 1970 году Уолл разработал теорию неодносвязной хирургии и точную последовательность хирургии для многообразий с произвольной фундаментальной группой .

Определение

Точная последовательность операции определяется как

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

где:

элементы и являются абелевыми группами нормальных инвариантов , ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

записи и являются L-группами, связанными с групповым кольцом , ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$

карты и карты хирургических препятствий , ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

стрелки и будут объяснены ниже. ${\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}$

Версии

Существуют различные версии точной последовательности хирургии. Можно работать в любой из трех категорий многообразий: дифференцируемые (гладкие), PL, топологические. Другая возможность — работать с декорациями или . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

Записи

Нормальные инварианты

Нормальное отображение степени один состоит из следующих данных: -мерное ориентированное замкнутое многообразие , отображение , которое имеет степень один (что означает ), и отображение расслоения из устойчивого касательного расслоения в некоторое расслоение над . Два таких отображения эквивалентны, если между ними существует нормальный бордизм (что означает бордизм источников, покрытых подходящими данными расслоения). Классы эквивалентности нормальных отображений степени один называются нормальными инвариантами . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}([M])=[X]}$ ${\displaystyle b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$

При таком определении нормальные инварианты представляют собой просто точечный набор с базовой точкой, заданной . Однако конструкция Понтрягина-Тома дает структуру абелевой группы. Фактически мы имеем неестественную биекцию ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle (id,id)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$

где обозначает гомотопическое волокно отображения , которое является бесконечным петлевым пространством и, следовательно, отображения в него определяют обобщенную теорию когомологий. Имеются соответствующие отождествления нормальных инвариантов с при работе с PL-многообразиями и с при работе с топологическими многообразиями. ${\displaystyle G/O}$ ${\displaystyle J\colon BO\to BG}$ ${\displaystyle [X,G/PL]}$ ${\displaystyle [X,G/TOP]}$

L-группы

-Группы определяются алгебраически в терминах квадратичных форм или в терминах цепных комплексов с квадратичной структурой. Подробнее см. основную статью. Здесь будут важны только свойства L-групп, описанные ниже. ${\displaystyle L}$

Карты хирургической обструкции

В первую очередь, отображение является теоретико-множественным отображением (что означает, что оно не обязательно является гомоморфизмом) со следующим свойством (когда : ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

Нормальное отображение степени один обычно кобордантно гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда изображение в . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle \theta (f,b)=0}$ ${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Нормальная инвариантная стрелка η : S ( X ) → N ( X ) {\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}

Любая гомотопическая эквивалентность определяет нормальное отображение степени один. ${\displaystyle f\colon M\to X}$

Стрелка обструкции хирургии ∂ : L n + 1 ( π 1 ( X ) ) → S ( X ) {\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}

Эта стрелка описывает на самом деле действие группы на множестве, а не просто отображение. Определение основано на теореме реализации для элементов -групп , которая гласит: ${\displaystyle L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle L}$

Пусть будет -мерным многообразием с и пусть . Тогда существует степень один нормального отображения многообразий с границей ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (M\times I,M\times 0,M\times 1)}$

со следующими свойствами:

1. ${\displaystyle \theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

2. является диффеоморфизмом ${\displaystyle F_{0}\colon M\to M\times 0}$

3. является гомотопической эквивалентностью замкнутых многообразий ${\displaystyle F_{1}\colon M'\to M\times 1}$

Пусть представляет элемент в и пусть . Тогда определяется как . ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (f,x)}$ ${\displaystyle f\circ F_{1}\colon M'\to X}$

Точность

Напомним, что набор структур хирургии — это всего лишь точечный набор, а карта препятствий хирургии может не быть гомоморфизмом. Поэтому необходимо объяснить, что подразумевается под «точной последовательностью». Таким образом, точная последовательность хирургии является точной последовательностью в следующем смысле: ${\displaystyle \theta }$

Для нормального инварианта имеем тогда и только тогда, когда . Для двух многообразных структур имеем тогда и только тогда, когда существует такое, что . Для элемента имеем тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle z\in {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle z\in \mathrm {Im} (\eta )}$ ${\displaystyle \theta (z)=0}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle \eta (x_{1})=\eta (x_{2})}$ ${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (u,x_{1})=x_{2}}$ ${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id} }$ ${\displaystyle u\in \mathrm {Im} (\theta )}$

Версии пересмотрены

В топологической категории отображение препятствий хирургии может быть преобразовано в гомоморфизм. Это достигается путем помещения альтернативной структуры абелевой группы на нормальные инварианты, как описано здесь . Более того, точную последовательность хирургии можно отождествить с точной последовательностью алгебраической хирургии Раницкого, которая по определению является точной последовательностью абелевых групп. Это дает набору структур структуру абелевой группы. Однако следует отметить, что на сегодняшний день не существует удовлетворительного геометрического описания этой структуры абелевой группы. ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

Классификация коллекторов

Ответ на организующие вопросы теории хирургии можно сформулировать в терминах точной последовательности хирургии. В обоих случаях ответ дается в форме двухэтапной теории обструкции.

Вопрос о существовании. Пусть — конечный комплекс Пуанкаре. Он гомотопически эквивалентен многообразию тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия. Во-первых, должен иметь редукцию векторного расслоения своего нормального расслоения Спивака. Это условие можно также сформулировать так, что множество нормальных инвариантов непусто. Во-вторых, должен существовать нормальный инвариант такой, что . Эквивалентно, отображение препятствия хирургии попадает в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle \theta (x)=0}$ ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\rightarrow L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle 0\in L_{n}(\pi _{1}(X))}$

Вопрос уникальности. Пусть и представляют два элемента в наборе структур хирургии . На вопрос, представляют ли они один и тот же элемент, можно ответить в два этапа следующим образом. Во-первых, должен быть нормальный кобордизм между нормальными отображениями степени один, индуцированными и , это означает в . Обозначим нормальный кобордизм . Если препятствие хирургии в для превращения этого нормального кобордизма в h-кобордизм (или s-кобордизм ) относительно границы исчезает, то и фактически представляют один и тот же элемент в наборе структур хирургии . ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle f'\colon M'\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}\eta (f)=\eta (f')}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}\theta (F,B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$

Фибрилляция при операции Куинна

В своей диссертации, написанной под руководством Браудера , Фрэнк Куинн ввел последовательность волокон, так что длинная точная последовательность хирургии является индуцированной последовательностью на гомотопических группах. ^[1]

Примеры

1.Гомотопические сферы

Это пример из категории «гладкие ». ${\displaystyle n\geq 5}$

Идея точной последовательности хирургии неявно присутствует уже в оригинальной статье Кервера и Милнора о группах гомотопических сфер. В настоящей терминологии мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})=\Theta ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}}$группа кобордизма почти оснащенных многообразий, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}}$

${\displaystyle L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0}$где mod (вспомним -периодичность L-групп ) ${\displaystyle n\equiv 0,1,2,3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$

Точная последовательность хирургии в этом случае является точной последовательностью абелевых групп. В дополнение к указанным выше отождествлениям мы имеем

${\displaystyle bP^{n+1}=\mathrm {ker} (\eta \colon {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})\to {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)\to L_{n+1}(1))}$

Поскольку нечетномерные L-группы тривиальны, то получаются следующие точные последовательности:

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i}\to \Omega _{4i}^{alm}\to \mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0}$

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i-2}\to \Omega _{4i-2}^{alm}\to \mathbb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0}$

${\displaystyle 0\to bP^{2j}\to \Theta ^{2j-1}\to \Omega _{2j-1}^{alm}\to 0}$

Результаты Кервера и Милнора получены путем изучения среднего отображения в первых двух последовательностях и связывания групп со стабильной теорией гомотопии. ${\displaystyle \Omega _{i}^{alm}}$

2. Топологические сферы

Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерности может быть сформулирована как утверждение, что . Это было доказано для любого в работах Смейла, Фридмана и Перельмана. Из точной последовательности операций для в топологической категории мы видим, что ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)}$

является изоморфизмом. (На самом деле это можно расширить некоторыми специальными методами.) ${\displaystyle n\geq 1}$

3. Комплекспроективные пространствав топологической категории

Комплексное проективное пространство является -мерным топологическим многообразием с . Кроме того, известно, что в случае в топологической категории отображение препятствия хирургии всегда сюръективно. Следовательно, имеем ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ ${\displaystyle (2n)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=1}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {S}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to {\mathcal {N}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to L_{2n}(1)\to 0}$

Из работы Салливана можно рассчитать

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$и, следовательно, ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$

4.Асферическиймногообразия в топологической категории

Асферическое -мерное многообразие - это -многообразие такое, что для . Следовательно, единственная нетривиальная гомотопическая группа - это ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Один из способов сформулировать гипотезу Бореля — сказать, что для таких случаев группа Уайтхеда тривиальна и что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Wh(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)=0}$

Эта гипотеза была доказана во многих частных случаях — например, когда есть , когда это фундаментальная группа отрицательно искривленного многообразия или когда это словесно-гиперболическая группа или CAT(0)-группа. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Утверждение эквивалентно показу того, что отображение препятствий хирургии справа от набора структур хирургии является инъективным, а отображение препятствий хирургии слева от набора структур хирургии является сюръективным. Большинство доказательств вышеупомянутых результатов получены путем изучения этих карт или путем изучения карт сборки, с помощью которых они могут быть идентифицированы. Подробнее см. в Borel conjecture , Farrell-Jones Conjecture .

Ссылки

1. Куинн, Фрэнк (1971), Геомерная формулировка хирургии (PDF) , Топология многообразий, Proc. Univ. Georgia 1969, 500-511 (1971)

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных многообразиях , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0358813
• Люк, Вольфганг (2002), Базовое введение в теорию хирургии (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, школы "Теория многомерных многообразий" в Триесте, май/июнь 2001 г., Международный центр теоретической физики им. Абдуса Салама, Триест 1-224
• Раницки, Эндрю (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 102, Cambridge University Press
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия (PDF) , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, МР  2061749
• Wall, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, т. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, г-н  1687388