В геометрии мозаика размерности 2 (плоская мозаика) или выше, или многогранник размерности 3 ( многогранник ) или выше, является изоэдральным или гране-транзитивным, если все его грани одинаковы. Точнее, все грани должны быть не просто конгруэнтны , но и транзитивны , т. е. должны лежать на одной и той же орбите симметрии . Другими словами, для любых двух граней A и B должна существовать симметрия всей фигуры посредством перемещений , вращений и/или отражений , которые отображают A на B. По этой причине выпуклые равногранные многогранники представляют собой формы, из которых можно сделать игральные кости . [1]
Изоэдральные многогранники называются изоэдрами . Их можно описать по конфигурации лица . У изоэдра четное количество граней.
Двойственный изоэдральному многограннику является вершинно-транзитивным , т.е. изогональным. Каталонские тела , бипирамиды и трапецоэдры являются изоэдрическими. Они являются двойниками (изогональных) архимедовых тел , призм и антипризм соответственно. Платоновы тела , которые либо самодвойственны, либо двойственны другому Платонову телу, являются транзитивными по вершинам, ребрам и граням (т.е. изогональными, изотоксальными и изоэдральными).
Форма, которая является изоэдральной, имеет правильные вершины, а также является транзитивной по ребрам (т.е. изотоксальной), называется квазирегулярной двойственной формой. Некоторые теоретики считают эти фигуры действительно квазирегулярными, поскольку они обладают одной и той же симметрией, но это не является общепринятым.
Многогранник, который является равногранным и изогональным, называется благородным .
Не все изозоноэдры [2] являются изоэдрическими. [3] Например, ромбический икосаэдр является изозоноэдром, но не изоэдром. [4]
Многогранник (или многогранник в целом) является k -изоэдральным, если он содержит k граней в фундаментальных областях своей симметрии. [5] Аналогично, k -изоэдральная мозаика имеет k отдельных орбит симметрии (она может содержать m различных форм граней, для m = k или только для некоторого m < k ). [6] («1-изоэдральный» — то же самое, что «изоэдральный».)
Моноэдральный многогранник или моноэдральная мозаика ( m = 1) имеет конгруэнтные грани, прямо или отражательно, которые встречаются в одной или нескольких позициях симметрии . М - гранный многогранник или мозаика имеет m различных форм граней (« двугранник », « трехгранник »… то же самое, что «2-гранник», «3-гранник»… соответственно). [7]
Вот несколько примеров k -изоэдральных многогранников и мозаик, грани которых окрашены в соответствии с их позициями симметрии k :
Ячеисто -транзитивная или изохорная фигура представляет собой n - многогранник ( n ≥ 4) или n - соты ( n ≥ 3), ячейки которых конгруэнтны и транзитивны друг другу. В трех измерениях катоптрические соты , двойственные однородным сотам, изохорны. В 4-х измерениях изохорные многогранники пронумерованы до 20 ячеек. [8]
Фасетно -транзитивная или изотопическая фигура представляет собой n -мерный многогранник или соту с ее гранями (( n −1) -гранями ), конгруэнтными и транзитивными. Двойственным изотопу является изогональный многогранник . _ По определению это изотопическое свойство является общим для двойственных однородных многогранников .