В геометрии ребро — это особый тип отрезка линии , соединяющий две вершины многоугольника , многогранника или многогранника более высокой размерности . [1] В многоугольнике ребро — это отрезок линии на границе, [2] и его часто называют стороной многоугольника . В многограннике или, в более общем смысле, в многограннике, ребро — это отрезок прямой, где встречаются две грани (или стороны многогранника). [3] Сегмент, соединяющий две вершины и проходящий через внутреннюю или внешнюю часть, не является ребром, а называется диагональю .
В теории графов ребро — это абстрактный объект, соединяющий две вершины графа , в отличие от ребер многоугольника и многогранника, которые имеют конкретное геометрическое представление в виде отрезка прямой. Однако любой многогранник можно представить его скелетом или ребром-скелетом, графом, вершины которого являются геометрическими вершинами многогранника, а ребра соответствуют геометрическим ребрам. [4] И наоборот, графы, являющиеся скелетами трехмерных многогранников, могут быть охарактеризованы теоремой Стейница как в точности 3-связные плоские графы . [5]
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.
где V — количество вершин , E — количество ребер, а F — количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество ребер на 2 меньше суммы чисел вершин и граней. Например, у куба 8 вершин и 6 граней, а значит, 12 ребер.
В многоугольнике в каждой вершине встречаются два ребра ; в более общем смысле, по теореме Балинского , по крайней мере d ребер сходятся в каждой вершине d -мерного выпуклого многогранника. [6] Аналогично, в многограннике ровно две двумерные грани встречаются на каждом ребре, [7] в то время как в многогранниках более высоких размерностей три или более двумерных грани встречаются на каждом ребре.
В теории многомерных выпуклых многогранников грань или сторона d -мерного многогранника — это один из его ( d — 1)-мерных элементов, гребень — это ( d — 2)-мерный элемент, а вершина — это ( d − 3)-мерный объект. Таким образом, ребра многоугольника — это его грани, ребра трёхмерного выпуклого многогранника — его рёбра, а ребра четырёхмерного многогранника — его вершины. [8]