спираль Бурдейка-Коксетера

Линейное расположение правильных тетраэдров, образующих спирали

Упаковка спиральных сфер Бордейка имеет каждую сферу, центрированную в вершине спирали Коксетера. Каждая сфера находится в контакте с 6 соседними сферами.

Спираль Бурдейка –Коксетера , названная в честь HSM Coxeter и Arie Hendrick Boerdijk  [es] , представляет собой линейную укладку правильных тетраэдров , расположенных таким образом, что ребра комплекса, принадлежащие только одному тетраэдру, образуют три переплетенные спирали . Существуют две хиральные формы, с обмотками по часовой стрелке или против часовой стрелки. В отличие от любой другой укладки Платоновых тел , спираль Бурдейка–Коксетера не является вращательно повторяющейся в трехмерном пространстве. Даже в бесконечной цепочке уложенных друг на друга тетраэдров никакие два тетраэдра не будут иметь одинаковую ориентацию, поскольку шаг спирали на ячейку не является рациональной частью окружности. Однако были обнаружены модифицированные формы этой спирали, которые вращательно повторяются ^[2] , и в 4-мерном пространстве эта спираль повторяется в кольцах, состоящих ровно из 30 тетраэдрических ячеек, которые образуют мозаику из 3-сферической поверхности 600-ячеечной структуры , одной из шести правильных выпуклых полихор .

Бакминстер Фуллер назвал это тетраспиралью и рассмотрел их с правильными и неправильными тетраэдрическими элементами. ^[3]

Геометрия

Координаты вершин спирали Бурдейка–Коксетера, составленной из тетраэдров с единичной длиной ребра, можно записать в виде

${\displaystyle (r\cos n\theta ,r\sin n\theta ,nh)}$

где , , и — произвольное целое число. Два различных значения соответствуют двум хиральным формам. Все вершины расположены на цилиндре с радиусом вдоль оси z. Учитывая, как чередуются тетраэдры, это дает кажущийся поворот каждых двух тетраэдров. Внутри спирали есть еще один вписанный цилиндр с радиусом . ^[4] ${\displaystyle r=3{\sqrt {3}}/10}$ ${\displaystyle \theta =\pm \cos ^{-1}(-2/3)\approx 131.81^{\circ }}$ ${\displaystyle h=1/{\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2\theta -{\frac {4}{3}}\pi \approx 23.62^{\circ }}$ ${\displaystyle 3{\sqrt {2}}/20}$

Многомерная геометрия

30 тетраэдрическое кольцо из 600-ячеечной проекции

600 -ячеечное разбиение на 20 колец по 30 тетраэдров , каждое из которых является спиралью Бурдейка–Коксетера. ^[5] При наложении на кривизну 3-сферы оно становится периодическим с периодом в десять вершин, охватывающим все 30 ячеек. Совокупность таких спиралей в 600-ячеечной топологии представляет собой дискретное расслоение Хопфа . ^[6] В то время как в 3-х измерениях ребра являются спиралями, в наложенной топологии 3-сферы они являются геодезическими и не имеют кручения . Они закручиваются вокруг друг друга естественным образом из-за расслоения Хопфа. ^[7] Совокупность ребер образует еще одно дискретное расслоение Хопфа из 12 колец с 10 вершинами каждое. Они соответствуют кольцам из 10 додекаэдров в двойственной 120-ячеечной топологии .

Кроме того, 16-ячеечное кольцо разбивается на два 8-тетраэдрических кольца , имеющих четыре ребра, а 5-ячеечное кольцо разбивается на одно вырожденное 5-тетраэдрическое кольцо .

Связанные многогранные спирали

Равносторонние квадратные пирамиды также могут быть соединены вместе в виде спирали с двумя конфигурациями вершин , 3.4.3.4 и 3.3.4.3.3.4. Эта спираль существует как конечное кольцо из 30 пирамид в 4-мерном многограннике .

А равносторонние пятиугольные пирамиды можно соединить в цепочку с тремя конфигурациями вершин: 3.3.5, 3.5.3.5 и 3.3.3.5.3.3.5:

В архитектуре

В основе Art Tower Mito лежит спираль Бурдейка-Коксетера.

Смотрите также

• Кольца параллельных ячеек Клиффорда
• Тороидальный многогранник
• Группа линий#Винтовая симметрия
• Косой апейрогон # Спиральные апейрогоны в трехмерном измерении

Примечания

1. Садок и Ривьер 1999, стр. 314, §4.2.2 Спираль Бурдейка-Коксетера и спираль PPII; спираль тетраэдров встречается в лево- или правоспиральной форме, но каждая форма содержит как лево-, так и правоспиральные спирали связанных ребер.
2. Сэдлер и др. 2013.
3. Фуллер 1975, 930.00 Тетраспираль.
4. «Данные Тетраспирали».
5. Садок 2001, стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.
6. Банчофф (2013) изучал разложение правильных 4-мерных многогранников на соты торов, покрывающих тор Клиффорда , которые соответствуют расслоениям Хопфа .
7. Банчофф 1988.

Ссылки

• Coxeter, HSM (1974). Правильные комплексные многогранники . Cambridge University Press. ISBN 052120125X.
• Boerdijk, AH (1952). «Некоторые замечания относительно плотной упаковки равных сфер». Philips Res. Rep . 7 : 303–313.
• Фуллер, Р. Бакминстер (1975). Эпплуайт, Э. Дж. (ред.). Синергетика. Macmillan.
• Pugh, Anthony (1976). "5. Соединение многогранников §5.36 Тетраспираль". Многогранники: визуальный подход . Издательство Калифорнийского университета. стр. 53. ISBN 978-0-520-03056-5.
• Садлер, Гарретт; Фанг, Фанг; Ковач, Хулио; Клее, Ирвин (2013). «Периодическая модификация спирали Бурдейка-Кокстера (тетраспираль)». arXiv : 1302.1174v1 [math.MG].
• Лорд, EA; Ранганатан, S. (2004). "Структура γ-латуни и спираль Бурдейка–Коксетера" (PDF) . Журнал некристаллических твердых тел . 334–335: 123–5. Bibcode :2004JNCS..334..121L. doi :10.1016/j.jnoncrysol.2003.11.069.
• Чжу, Ихань; Он, Цзиатинг; Шан, Ченг; Мяо, Сяохэ; Хуан, Цзяньфэн; Лю, Жипан; Чен, Хунъюй; Хан, Ю (2014). «Хиральные золотые нанопроволоки со структурой Бурдейка – Кокстера – Бернала». Дж. Ам. хим. Соц . 136 (36): 12746–52. дои : 10.1021/ja506554j . ПМИД  25126894.
• Лорд, Эрик А.; Маккей, Алан Л.; Ранганатан, С. (2006). "§4.5 Спираль Бурдейка–Коксетера". Новые геометрии для новых материалов . Cambridge University Press. стр. 64. ISBN 978-0-521-86104-5.
• Banchoff, Thomas F. (1988). "Геометрия отображения Хопфа и торов Пинколла заданного конформного типа". В Tangora, Martin (ред.). Компьютеры в алгебре . Нью-Йорк и Базель: Marcel Dekker. стр. 57–62.
• Banchoff, Thomas F. (2013). "Торические разложения правильных многогранников в 4-пространстве". В Senechal, Marjorie (ред.). Shaping Space . Springer New York. стр. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Садок, Дж. Ф.; Ривьер, Н. (1999). «Спираль Бурдейка-Коксетера и биологические спирали». The European Physical Journal B. 12 ( 2): 309–318. Bibcode :1999EPJB...12..309S. doi :10.1007/s100510051009. S2CID  92684626.
• Садок, Жан-Франсуа (2001). «Спирали и упаковки спиралей, полученные из многогранника {3,3,5}». European Physical Journal E . 5 : 575–582. doi :10.1007/s101890170040. S2CID  121229939.

Внешние ссылки

• Анимация спирали Бурдейка-Коксетера
• Данные Тетраспирали