600-ячеечный

Четырехмерный аналог икосаэдра.

Сеть

В геометрии 600-ячейка — это выпуклый правильный 4-многогранник (четырёхмерный аналог платонова тела ) с символом Шлефли {3,3,5}. Он также известен как C ₆₀₀ , гексакосихорон ^[1] и гексакосихедроид . ^[2] Его также называют тетраплексом (сокращенно от «тетраэдрический комплекс») и политетраэдром , поскольку он ограничен тетраэдрическими ячейками .

Граница из 600 ячеек состоит из 600 тетраэдрических ячеек , по 20 соприкасающихся в каждой вершине. Вместе они образуют 1200 треугольных граней, 720 ребер и 120 вершин. Это четырехмерный аналог икосаэдра , поскольку он имеет пять тетраэдров, сходящихся на каждом ребре, точно так же , как икосаэдр имеет пять треугольников , сходящихся в каждой вершине. Его двойной многогранник — 120-ячеечный .

Геометрия

600-ячеечный является пятым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке сложности и размера при том же радиусе). ^[a] Его можно разложить на двадцать пять перекрывающихся экземпляров своего непосредственного предшественника, 24-ячеечного , ^[5], поскольку 24-ячеечный может быть деконструирован на три перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8-ячеечного) , и 8-ячеечный вариант можно разобрать на два перекрывающихся экземпляра его предшественника, 16-ячеечного . ^[6]

Обратная процедура создания каждого из них на основе экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра. Длина ребра 24-ячеечной ячейки равна ее радиусу, а длина ребра 600-ячеечной ячейки примерно в 0,618 раза превышает ее радиус, ^[7] что является золотым сечением .

Координаты

Единичный радиус в декартовых координатах

Вершины 600-ячейки единичного радиуса с центром в начале 4-мерного пространства и ребрами длиной1/φ≈ 0,618 (где φ =1 + √ 5/2≈ 1,618 – золотое сечение), можно выразить ^[8] следующим образом:

8 вершин получены из

(0, 0, 0, ±1)

перестановкой координат и 16 вершин вида:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

Остальные 96 вершин получаются четными перестановками

(±φ/2, ±1/2, ±φ ⁻¹/2, 0)

Обратите внимание, что первые 8 — это вершины 16-ячейки , вторые 16 — вершины тессеракта , а эти 24 вершины вместе — вершины 24-ячейки . Остальные 96 вершин являются вершинами курносой 24-клетки , которую можно найти, последовательно разделив каждое из 96 ребер другой 24-клетки (двойственной первой) в золотом сечении. ^[9]

При интерпретации как кватернионы ^[b] это единичные икосианы .

В 24-клетке имеются квадраты , шестиугольники и треугольники , лежащие на больших окружностях (в центральных плоскостях через четыре или шесть вершин). ^[c] В 600-ячейке имеется двадцать пять перекрывающихся вписанных 24-ячеек, причем каждая вершина и квадрат являются общими для пяти 24-ячеек, а каждый шестиугольник или треугольник - для двух 24-ячеек. ^[e] В каждой 24-ячейке есть три непересекающиеся 16-ячейки, поэтому в 600-ячейке имеется 75 перекрывающихся вписанных 16-ячеек. ^[f] Каждая 16-ячейка представляет собой отдельный ортонормированный базис для выбора системы координат .

60 осей и 75 16-ячеек 600-ячейки составляют геометрическую конфигурацию , которая на языке конфигураций записывается как 60 ₅ 75 ₄ , чтобы указать, что каждая ось принадлежит 5 16-ячейкам, а каждая 16-ячейка содержит 4 топоры. ^[10] Каждая ось ортогональна ровно 15 другим, и это всего лишь ее компаньоны в 5 16-ячейках, в которых она встречается.

Сферические координаты Хопфа

В 600-ячейке имеются также большие пятиугольники и декагоны кругов (в центральных плоскостях через десять вершин). ^[11]

Только края десятиугольника являются видимыми элементами 600-ячейки (поскольку они являются краями 600-ячейки). Края других многоугольников большого круга являются внутренними хордами 600-ячеечного объекта, которые не показаны ни на одном из 600-ячеечных изображений в этой статье (кроме случаев, когда они показаны пунктирными линиями). ^[к]

По симметрии через каждую вершину проходит равное количество многоугольников каждого типа; поэтому все 120 вершин можно рассматривать как пересечение набора центральных многоугольников только одного вида: десятиугольников, шестиугольников, пятиугольников, квадратов или треугольников. Например, 120 вершин можно рассматривать как вершины 15 пар полностью ортогональных квадратов, не имеющих общих вершин, или как 100 двойственных пар неортогональных шестиугольников, между которыми все пары осей ортогональны, или как 144 неортогональных шестиугольника. пятиугольники, шесть из которых пересекаются в каждой вершине. Эта последняя пятиугольная симметрия 600-ячейки фиксируется набором координат Хопфа ^[13] (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) ^[n], заданным как:

({<10}𝜋/5, {≤5}𝜋/10, {<10}𝜋/5)

где {<10} — это перестановка десяти цифр (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), а {≤5} — это перестановка шести цифр (0 1 2 3 4 5). Координаты 𝜉 _i и 𝜉 _j располагаются в пределах 10 вершин десятиугольников большого круга; четные и нечетные цифры обозначают вершины двух пятиугольников большого круга, вписанных в каждый декагон. ^[о]

Состав

Многогранные сечения

Взаимные расстояния вершин, измеренные в градусах дуги на описанной гиперсфере , имеют только значения 36° =𝜋/5, 60° =𝜋/3, 72° =2𝜋/5, 90° =𝜋/2, 108° =3𝜋/5, 120° =2𝜋/3, 144° =4𝜋/5, и 180° = 𝜋. Отходя от произвольной вершины V, имеем при 36° и 144° 12 вершин икосаэдра , [ ^р] при 60° и 120° — 20 вершин додекаэдра , при 72° и 108° — 12 вершин большего икосаэдра. , под углом 90° - 30 вершин икосододекаэдра и , наконец, под углом 180° - антиподальная вершина V. ^{[14] [15] [16]} Их можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера H3 с перекрывающимися окрашенными вершинами. ^[17]

Эти многогранные сечения являются твердыми телами в том смысле, что они трехмерны, но, конечно, все их вершины лежат на поверхности 600-ячеек (они полые, а не сплошные). Каждый многогранник лежит в евклидовом 4-мерном пространстве как параллельное сечение 600-ячейки (гиперплоскости). В искривленном трехмерном пространстве оболочки граничной поверхности из 600 ячеек многогранник окружает вершину V так же, как он окружает свой собственный центр. Но ее собственный центр находится внутри 600-клетки, а не на ее поверхности. V на самом деле не находится в центре многогранника, потому что он смещен наружу от этой гиперплоскости в четвертом измерении, к поверхности 600-ячейки. Таким образом, V — вершина 4-пирамиды, основанной на многограннике.

Золотые аккорды

Геометрия вершин 600-ячеистой ячейки, показывающая 5 правильных многоугольников большого круга и 8 длин хорд между вершинами ^[c] с углами дуги. Золотое сечение ^[q] управляет дробными корнями всех остальных аккордов ^[r] и радиальными золотыми треугольниками, которые встречаются в центре.

120 вершин распределены ^[18] на восьми разных длинах хорд друг от друга. Эти ребра и хорды 600-клеточного элемента являются просто ребрами и хордами пяти его больших многоугольников-кругов. ^[19] В порядке возрастания длины это √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 и √ 4 . ^[с]

Обратите внимание, что четыре гиперкубические хорды 24-клеточной ячейки ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) ^[c] чередуются с четырьмя новыми хордами дополнительных больших кругов 600-ячеечной ячейки, десятиугольниками и пятиугольниками. Длины новых золотых хорд обязательно представляют собой квадратные корни дробей, но это совершенно особые дроби, связанные с золотым сечением ^[q], включая два золотых сечения √ 5 , как показано на диаграмме. ^[р]

Пограничные конверты

Трехмерная проекция 600 ячеек, выполняющая простое вращение . Видна трехмерная поверхность, состоящая из 600 тетраэдров.

600-ячейка завершает 24-ячейку, добавляя еще 96 вершин между существующими 24 вершинами 24-ячейки, ^[u] фактически добавляет еще двадцать четыре перекрывающихся 24-ячейки, вписанных в 600-ячейку. ^[f] Сформированная таким образом новая поверхность представляет собой мозаику из более мелких и более многочисленных ячеек ^[v] и граней: тетраэдров с длиной ребра.1/φ≈ 0,618 вместо октаэдров с длиной ребра 1. Он охватывает √ 1 ребра 24-ячеек, которые становятся невидимыми внутренними хордами в 600-ячейке, как хорды √ 2 и √ 3 .

Трехмерная проекция 24-клеточного элемента , выполняющего простое вращение . Видна трехмерная поверхность, состоящая из 24 октаэдров. Он также присутствует в 600-ячеечной камере, но в виде невидимой внутренней граничной оболочки.

Поскольку тетраэдры состоят из более коротких треугольных ребер, чем октаэдры (в раз1/φ, обратное золотое сечение), 600-ячейка не имеет единичной длины ребра в системе координат с единичным радиусом, как это имеет 24-ячейка и тессеракт; в отличие от этих двух, 600-ячеечный не является радиально равносторонним . Как и они, он имеет особую радиально-треугольную форму ^[z] , но в центре встречаются золотые треугольники, а не равносторонние треугольники. ^[aa] Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный 600-ячеечный, трехмерный икосододекаэдр и двумерный декагон . (Икосододекаэдр — это экваториальное сечение икосододекаэдра, а декагон — это экваториальное сечение икосододекаэдра.) Радиально золотые многогранники — это те, которые можно построить с помощью своих радиусов из золотых треугольников .

Граничная оболочка из 600 маленьких тетраэдрических ячеек окружает двадцать пять оболочек из 24 октаэдрических ячеек (добавляя некоторое четырехмерное пространство в местах между этими изогнутыми трехмерными оболочками). Форма этих промежутков должна быть какой-то октаэдрической 4-пирамидой , но в 600-ячеечной структуре она не является правильной. ^[аб]

Геодезика

Вершинные хорды 600-ячеистой ячейки расположены в геодезических многоугольниках большого круга пяти видов: декагоны, шестиугольники, пятиугольники, квадраты и треугольники. ^[22]

Клеточно-центрированная стереографическая проекция 72 центральных декагонов 600-клеток на их большие круги. Каждый большой круг разделен на 10 дуговых ребер в местах пересечения шести больших кругов.

Ребра √ 0,𝚫 = 𝚽 образуют 72 плоских правильных центральных десятиугольника , по 6 из которых пересекаются в каждой вершине. ^[p] Точно так же, как икосододекаэдр можно разбить на 6 центральных декагонов (60 ребер = 6 × 10), 600-ячейку можно разбить на 72 декагона (720 ребер = 72 × 10). Ребра 720 √ 0,𝚫 делят поверхность на 1200 треугольных граней и 600 тетраэдрических ячеек: 600 ячеек. 720 ребер расположены в 360 параллельных парах на расстоянии √ 3,𝚽 друг от друга. Как и в декагоне и икосододекаэдре, ребра образуют золотые треугольники , которые встречаются в центре многогранника. 72 больших десятиугольника можно разделить на 6 наборов по 12 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда ^[af] так, что только один большой десятиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 12 десятиугольников в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[24]

Хорды ​​√ 1 образуют 200 центральных шестиугольников (25 наборов по 16, причем каждый шестиугольник состоит из двух наборов), ^[d] 10 из которых пересекаются в каждой вершине ^[ag] (по 4 от каждой из пяти 24-клеток, которые встречаются в вершине, с каждым шестиугольником в двух из этих 24 ячеек). ^[i] Каждый набор из 16 шестиугольников состоит из 96 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24-клеток. Хорды ​​√ 1 соединяют вершины, находящиеся на расстоянии двух ребер √ 0,𝚫 друг от друга. Каждая хорда √ 1 представляет собой длинный диаметр пары тетраэдрических ячеек, связанных гранями ( треугольная бипирамида ), и проходит через центр общей грани. Так как граней 1200, то и хорд 1200 √ 1 , в 600 параллельных парах, расположенных на расстоянии √ 3 друг от друга. Шестиугольные плоскости неортогональны (отстоят друг от друга на 60 градусов), но они встречаются в виде 100 двойственных пар , в которых все 3 оси одного шестиугольника ортогональны всем 3 осям его двойника. ^[25] 200 больших шестиугольников можно разделить на 10 наборов по 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один большой шестиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 20 шестиугольников в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[26]

Хорды ​​√ 1.𝚫 образуют 144 центральных пятиугольника, по 6 из которых пересекаются в каждой вершине. ^[k] Хорды ​​√ 1.𝚫 проходят от вершины до каждой второй вершины в тех же плоскостях, что и 72 декагона: в каждый декагон вписано два пятиугольника. Хорды ​​√ 1.𝚫 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии двух ребер √ 0.𝚫 друг от друга на большом геодезическом круге. Хорды ​​720 √ 1.𝚫 встречаются в 360 параллельных парах на расстоянии √ 2.𝚽 = φ друг от друга.

Хорды ​​√ 2 образуют 450 центральных квадратов, 15 из которых пересекаются в каждой вершине (по 3 от каждой из пяти 24-клеток, пересекающихся в вершине). Хорды ​​√ 2 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии трех ребер √ 0,𝚫 друг от друга (и двух хорд √ 1 друг от друга). Всего 600 √ 2 хорд в 300 параллельных парах с интервалом √ 2 . 450 больших квадратов (225 полностью ортогональных пар) можно разделить на 15 наборов по 30 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один квадратный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 30 квадратов (15 полностью ортогональных пар) в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[27]

Хорды ​​√ 2.𝚽 = φ образуют катеты 720 центральных равнобедренных треугольников (72 набора по 10 вписанных в каждый десятиугольник), 6 из которых пересекаются в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника имеет длину √ 3,𝚽 . Хорды ​​√ 2.𝚽 проходят от вершины до каждой третьей вершины в тех же плоскостях, что и 72 декагона, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии трех √ 0.𝚫 ребер друг от друга на большом геодезическом круге. Существует 720 различных аккордов √ 2,𝚽 в 360 параллельных парах на расстоянии √ 1,𝚫 друг от друга.

Хорды ​​√ 3 образуют 400 равносторонних центральных треугольников (25 наборов по 32 треугольника, каждый треугольник состоит из двух наборов), 10 из которых пересекаются в каждой вершине (по 4 от каждой из пяти 24-клеток , причем каждый треугольник находится в двух из 24-клеток). ). Каждый набор из 32 треугольников состоит из 96 √ 3 хорд и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24-клеток. Хорды ​​√ 3 проходят от вершины до каждой второй вершины в тех же плоскостях, что и 200 шестиугольников: в каждый шестиугольник вписано два треугольника. Хорды ​​√ 3 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии четырех ребер √ 0,𝚫 друг от друга (и двух хорд √ 1 друг от друга на большом геодезическом круге). Каждая хорда √ 3 представляет собой длинный диаметр двух кубических ячеек в одной и той же 24-ячейке. ^[ах] Всего 1200 √ 3 аккордов в 600 параллельных парах, √ 1 друг от друга.

Хорды ​​√ 3.𝚽 (диагонали пятиугольников) образуют катеты 720 центральных равнобедренных треугольников (144 набора по 5 вписанных в каждый пятиугольник), 6 из которых пересекаются в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника является ребром пятиугольника длины √ 1,𝚫 , поэтому это золотые треугольники . Хорды ​​√ 3.𝚽 проходят от вершины до каждой четвертой вершины в тех же плоскостях, что и 72 декагона, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии четырех √ 0.𝚫 ребер друг от друга на большом геодезическом круге. Существует 720 различных аккордов √ 3,𝚽 в 360 параллельных парах на расстоянии √ 0,𝚫 друг от друга.

√ 4 хорды имеют 60 длинных диаметров (75 наборов по 4 ортогональных оси, каждый набор содержит 16 ячеек ), 120 длинных радиусов 600 ячеек. Хорды ​​√ 4 соединяют противоположные вершины, которые находятся на расстоянии пяти √ 0, 𝚫 ребер друг от друга на большом геодезическом круге. Существует 25 различных, но перекрывающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 25 вписанных 24-клеток. ^[j] Существует 75 различных, но перекрывающихся наборов 4 ортогональных диаметров, каждый из которых содержит одну из 75 вписанных 16-ячеек.

Сумма квадратов длин ^[ai] всех этих различных хорд 600-ячейки равна 14 400 = 120 ² . ^[aj] Это все центральные многоугольники, проходящие через вершины, но у 600-клеточного многоугольника есть один примечательный большой круг, который не проходит ни через одну вершину (0-угольник). ^[an] Более того, в 4-мерном пространстве на 3-сфере есть геодезические, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Между двумя вершинами из 600 ячеек существуют геодезические кратчайшие пути, которые являются спиральными, а не просто круговыми; они соответствуют изоклиническим (диагональным) вращениям, а не простым вращениям. ^[ао]

Все перечисленные выше геодезические многоугольники лежат в центральных плоскостях всего трёх видов, каждая из которых характеризуется углом поворота: десятиугольных плоскостей (𝜋/5друг от друга), шестиугольные плоскости (𝜋/3кроме, также в 25 вписанных 24-клетках), и квадратные плоскости (𝜋/2помимо, также в 75 вписанных 16-клетках и 24-клетках). Эти центральные плоскости 600-ячеистой ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует икосододекаэдр . Существует 450 больших квадратов, расположенных на расстоянии 90 градусов друг от друга; 200 больших шестиугольников, расположенных на расстоянии 60 градусов друг от друга; и 72 больших десятиугольника, расположенных на расстоянии 36 градусов друг от друга. ^[at] Каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата. Каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две вершины (одна из которых имеет диаметр √ 4 дюйма): плоскость большого двуугольника . ^[au] Каждая большая десятиугольная плоскость полностью ортогональна плоскости, которая не пересекает ни одной вершины: большой нулевой плоскости. ^[ал]

Расслоения многоугольников большого круга

Каждый набор подобных многоугольников большого круга (квадратов, шестиугольников или десятиугольников) можно разделить на группы непересекающихся параллельных больших кругов Клиффорда (из 30 квадратов, 20 шестиугольников или 12 десятиугольников). ^[af] Каждое расслоение параллельных больших кругов Клиффорда ^[ap] представляет собой дискретное расслоение Хопфа , которое заполняет 600 ячеек, посещая все 120 вершин только один раз. ^[32] Каждое дискретное расслоение Хопфа имеет свое трехмерное основание , которое представляет собой отдельный многогранник, который действует как карта или масштабная модель расслоения. ^[av] Многоугольники большого круга в каждом пучке спирально вращаются вокруг друг друга, очерчивая спиральные кольца связанных между собой граней ячеек, которые вложены друг в друга, проходят друг через друга, не пересекаясь ни в каких ячейках, и точно заполняют 600 ячеек своими непересекающимися наборами ячеек. . Различные пучки волокон со своими клеточными кольцами заполняют одно и то же пространство (600 ячеек), но их волокна проходят параллельно Клиффорду в разных «направлениях»; Многоугольники большого круга в разных расслоениях не являются параллельными Клиффорда. ^[33]

Декагоны

Триаконтаграмма {30/12}=6{5/2} — это конфигурация двойной шестерки Шлефли 30 ₂ 12 ₅ , характерная для многогранников H ₄ . Окружность из 30 вершин представляет собой косой многоугольник Петри. ^[aw] Внутренний угол между соседними краями составляет 36 °, а также изоклинический угол между соседними параллельными плоскостями декагона Клиффорда. ^[в]

Расслоения 600-клетки включают в себя 6 расслоений ее 72 больших декагонов: 6 пучков волокон по 12 больших декагонов. ^[ae] 12 параллельных десятиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные десятиугольники натянуты на края других больших десятиугольников.

Каждый пучок волокон ^[aq] очерчивает 20 спиральных колец по 30 тетраэдрических ячеек в каждом, ^[ad] с пятью кольцами, гнездящимися вместе вокруг каждого декагона. ^[34] Карта Хопфа этого расслоения представляет собой икосаэдр , где каждая из 12 вершин поднимается до большого десятиугольника, а каждая из 20 треугольных граней поднимается до кольца из 30 ячеек. ^[av] Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно из 20 клеточных колец в каждом из 6 расслоений. Тетраэдрическая ячейка вносит вклад в каждое из своих шести ребер в декагон в другом расслоении, но вносит этот край в пять различных клеточных колец в расслоении. ^[ак]

12 больших кругов и 30-клеточных колец 6 характеристических расслоений Хопфа 600-ячеечной клетки составляют 600-клеточную геометрическую конфигурацию из 30 «точек» и 12 «линий», записанных как 30 ₂ 12 ₅ . Она называется конфигурацией двойной шестерки Шлефли в честь Людвига Шлефли , ^[36] швейцарского математика, открывшего 600-ячеечную конфигурацию и полный набор правильных многогранников в n измерениях. ^[37]

Шестиугольники

Слоения 24-клетки включают в себя 4 расслоения ее 16 больших шестиугольников: 4 пучка волокон 4 больших шестиугольников. Четыре параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники натянуты на ребра других больших шестиугольников. Каждый пучок волокон очерчивает 4 спиральных кольца по 6 октаэдрических ячеек каждое, причем вокруг каждого шестиугольника располагаются по три кольца. Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 4 расслоений. Октаэдрическая ячейка вносит 3 из своих 12 ребер в 3 различных параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом слоении, но вносит вклад в каждое ребро в три различных клеточных кольца в слоении.

600-ячейка содержит 25 24-ячеек, и ее можно рассматривать (10 различными способами) как соединение 5 непересекающихся 24-клеток. ^[k] Он имеет 10 расслоений 200 больших шестиугольников: 10 пучков волокон 20 больших шестиугольников. 20 параллельных шестиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники натянуты на ребра больших десятиугольников. ^[ar] Каждый пучок волокон образует 20 спиральных колец по 6 октаэдрических ячеек в каждом, причем вокруг каждого шестиугольника располагаются по три кольца. Карта Хопфа этого расслоения представляет собой додекаэдр , каждая из 20 вершин которого поднимается до пучка больших шестиугольников. ^[26] Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно из 20 колец 6-октаэдра в каждом из 10 расслоений. 20 колец 6-октаэдра принадлежат 5 непересекающимся 24-ячейкам по 4 кольца 6-октаэдра каждая; каждое гексагональное расслоение 600-клеток состоит из 5 непересекающихся 24-клеток.

Квадраты

Расслоения 16-клетки включают в себя 3 расслоения ее 6 больших квадратов: 3 пучка волокон 2 больших квадратов. Два параллельных квадрата Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются краями других больших квадратов. Каждый пучок волокон очерчивает 2 спиральных кольца по 8 тетраэдрических ячеек в каждом. Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из трех расслоений. Тетраэдрическая ячейка вносит каждое из своих 6 ребер в отдельный квадрат (вкладывая два противоположных непересекающихся ребра в каждое из трех расслоений), но вносит каждое ребро в оба из двух отдельных клеточных колец в расслоении.

600-ячейка содержит 75 16-ячеек, и ее можно рассматривать (10 различными способами) как соединение 15 непересекающихся 16-ячеек. Он имеет 15 расслоений из 450 больших квадратов: 15 пучков волокон по 30 больших квадратов. 30 параллельных квадратов Клиффорда в каждой связке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами больших десятиугольников. ^[as] Каждый пучок волокон очерчивает 30 непересекающихся спиральных колец по 8 тетраэдрических ячеек в каждом. ^[ax] Карта Хопфа этого расслоения представляет собой икосододекаэдр , каждая из 30 вершин которого поднимается до пучка больших квадратов. ^[27] Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно из 30 колец 8-тетраэдра в каждом из 15 расслоений.

Кольца с параллельными ячейками Клиффорда

Плотно упакованные спиральные клеточные кольца ^{[38] [39] [32]} расслоений клеточно-непересекающиеся, но имеют общие вершины, ребра и грани. Каждое расслоение 600-клеток можно рассматривать как плотную упаковку клеточных колец, при этом соответствующие грани соседних клеточных колец соединены гранями друг с другом. ^[ba] То же расслоение можно также рассматривать как минимальное разреженное расположение меньшего количества полностью непересекающихся клеточных колец, которые вообще не соприкасаются. ^[г]

Расслоения больших декагонов можно рассматривать (пятью различными способами) как 4 полностью непересекающихся кольца из 30 клеток с промежутками, разделяющими их, а не как 20 клеточных колец, соединенных гранями, если исключить все клеточные кольца, кроме одного, из пяти, которые встречаются в точках. каждый декагон. ^[40] Пять различных способов сделать это эквивалентны, поскольку все пять соответствуют одному и тому же дискретному расслоению (в том же смысле, что 6 десятиугольных расслоений эквивалентны, в том смысле, что все 6 покрывают одну и ту же 600-ячейку). Четырехклеточные кольца по-прежнему составляют полное расслоение: они включают в себя все 12 параллельных декагонов Клиффорда, посещающих все 120 вершин. ^[bb] Это подмножество из 4 из 20 клеточных колец размерно аналогично ^[bc] подмножеству из 12 из 72 десятиугольников, поскольку оба представляют собой множества полностью непересекающихся параллельных многогранников Клиффорда , которые посещают все 120 вершин. ^[bd] Подмножество 4 из 20 клеточных колец является одним из 5 расслоений внутри расслоения 12 из 72 декагонов: расслоение расслоения. Все расслоения имеют эту двухуровневую структуру с подрасслоениями .

Расслоения больших шестиугольников из 24 ячеек можно рассматривать (тремя разными способами) как 2 полностью непересекающихся 6-клеточных кольца с промежутками, разделяющими их, а не как 4 клеточных кольца, соединенных гранями, если исключить все клеточные кольца, кроме одного. три, которые встречаются в каждом шестиугольнике. Таким образом, каждое из 10 расслоений больших шестиугольников из 600 ячеек можно рассматривать как два полностью непересекающихся октаэдрических клеточных кольца.

Расслоения больших квадратов из 16 ячеек можно рассматривать (двумя разными способами) как одно кольцо из 8-тетраэдра с соседним пустым пространством размером с клеточное кольцо, а не как два клеточных кольца, соединенных гранями, если исключить одно из двух клеточных колец, которые встречаются в каждом квадрате. Поэтому каждое из 15 расслоений больших квадратов из 600 ячеек можно рассматривать как одно тетраэдрическое клеточное кольцо. ^[топор]

Разреженные конструкции расслоений из 600 ячеек соответствуют разложениям с более низкой симметрией 600-клеточных, 24-клеточных или 16-клеточных с ячейками разного цвета, чтобы отличать клеточные кольца от пространств между ними. ^[be] Особая форма более низкой симметрии 600-ячеек, соответствующая разреженной конструкции больших декагонных расслоений, размерно аналогична ^[bc] курносой тетраэдрической форме икосаэдра (который является основанием ^[av] этих расслоений на 2-сфера). Каждое из 20 колец ячеек Бурдейка-Коксетера ^[ad] поднимается над соответствующей гранью икосаэдра. ^[бх]

Конструкции

600-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного, 120-ячеечного и многоугольников {7} и выше. ^[44] Следовательно, существует множество способов построить или разобрать 600-ячейку, но ни один из них не является тривиальным. Конструкцию 600-элементного аккумулятора по сравнению с его обычным предшественником, 24-элементным, сложно представить.

Строительство Госсета

Торольд Госсет открыл полуправильные 4-многогранники , в том числе курносый 24-клеточный с 96 вершинами, который находится между 24-клеточным и 600-ячеечным в последовательности выпуклых 4-многогранников возрастающего размера и сложности в том же радиусе. Конструкция Госсета из 600 ячеек из 24 ячеек состоит из двух этапов, с использованием курносой 24 ячейки в качестве промежуточной формы. На первом, более сложном этапе (описанном в другом месте ) курносая 24-ячейка создается путем специального усечения 24-ячейки в золотых сечениях ее краев. ^[9] На втором этапе 600-ячейка строится простым способом путем добавления 4-пирамид (вершин) к граням курносой 24-ячейки. ^[45]

Курносая 24-ячейка представляет собой уменьшенную 600-ячейку, из которой 24 вершины (и кластер из 20 тетраэдрических ячеек вокруг каждой) были усечены, в результате чего ^на месте каждой удаленной икосаэдрической пирамиды осталась «плоская» икосаэдрическая ячейка. ^[p] Таким образом, курносая 24-ячеечная клетка имеет 24 икосаэдрических ячейки и оставшиеся 120 тетраэдрических ячеек. Второй шаг конструкции Госсета из 600 ячеек представляет собой просто обратную этому убыванию: на каждую икосаэдрическую ячейку помещается икосаэдрическая пирамида из 20 тетраэдрических ячеек.

Построение 600-ячейки с единичным радиусом из ее предшественника, 24-ячейки с единичным радиусом, методом Госсета фактически требует трех шагов. 24-клеточный предшественник ячейки snub-24 не имеет того же радиуса: он больше, поскольку ячейка snub-24 является ее усечением. Начиная с 24-ячейки единичного радиуса, первым шагом является возвратно-поступательное движение ее вокруг ее средней сферы , чтобы построить ее внешний канонический двойник : более крупную 24-ячейку, поскольку 24-ячейка является самодвойственной. Эти более крупные 24 ячейки затем могут быть усечены до 24 ячеек с единичным радиусом.

Кластеры клеток

Поскольку конструкция Госсета настолько косвенна, она может не очень помочь нам непосредственно визуализировать, как 600 тетраэдрических ячеек соединяются вместе в изогнутую трехмерную поверхностную оболочку ^[v] или как они лежат на нижележащей поверхностной оболочке 24-клеточной оболочки. октаэдрические ячейки. Для этого полезно построить 600-ячейку непосредственно из кластеров тетраэдрических ячеек.

Большинству из нас трудно визуализировать 600-клетку снаружи в 4-мерном пространстве или распознать внешний вид 600-клеток из-за полного отсутствия у нас сенсорного опыта в 4-мерном пространстве, ^[46] но мы должны быть в состоянии визуализировать поверхностную оболочку из 600 ячеек изнутри, потому что этот объем представляет собой трехмерное пространство, по которому мы действительно можем «гулять» и исследовать. ^[47] В этих упражнениях по построению 600 ячеек из кластеров ячеек мы полностью находимся в трехмерном пространстве, хотя и в странно маленьком, замкнутом искривленном пространстве , в котором мы можем отойти всего на десять длин ребер по прямой. линию в любом направлении и вернитесь в исходную точку.

Икосаэдры

Правильный икосаэдр, окрашенный в симметрию курносого октаэдра . ^[bi] Икосаэдры из 600 ячеек соединены гранями друг с другом на желтых гранях и с кластерами из 5 тетраэдрических ячеек на синих гранях. Вершина икосаэдрической пирамиды (не видна) — это 13-я вершина из 600 ячеек внутри икосаэдра (но выше его гиперплоскости).

Кластер из 5 тетраэдрических ячеек: четыре клетки соединены гранями вокруг пятой ячейки (не видна). Четыре клетки лежат в разных гиперплоскостях.

Вершинная фигура 600-ячеистой структуры — икосаэдр . ^[p] Двадцать тетраэдрических ячеек встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду , вершиной которой является вершина, окруженная основанием икосаэдра. 600-ячеечная камера имеет двугранный угол𝜋/3+ арккос(-1/4) ≈ 164,4775° . ^[49]

Целую 600-ячеечную пирамиду можно собрать из 24 таких икосаэдрических пирамид (соединенных лицом к лицу на 8 из 20 граней икосаэдра, окрашенных в желтый цвет на иллюстрации), плюс 24 кластера по 5 тетраэдрических ячеек (четыре ячейки, соединенных гранями). вокруг единицы), которые заполняют пустоты, оставшиеся между икосаэдрами. Каждый икосаэдр связан гранями с каждым соседним кластером из 5 ячеек двумя синими гранями, имеющими общее ребро (которое также является одним из шести ребер центрального тетраэдра из пяти). Каждый икосаэдр окружен шестью кластерами по 5 ячеек, а каждый кластер из 5 ячеек окружен шестью икосаэдрами. Каждое ребро икосаэдра окружают пять тетраэдрических ячеек: две изнутри икосаэдрической пирамиды и три снаружи. ^[бл]

Вершины 24-х икосаэдрических пирамид являются вершинами 24-ячеистой, вписанной в 600-ячеистую. Остальные 96 вершин (вершины икосаэдров) являются вершинами вписанной курносой 24-клетки , которая имеет точно такую ​​же структуру описанных здесь икосаэдров и тетраэдров, за исключением того, что икосаэдры не являются 4-пирамидами, заполненными тетраэдрическими ячейками; это всего лишь «плоские» трехмерные икосаэдрические клетки, поскольку центральная апикальная вершина отсутствует.

Ребра из 24 ячеек, соединяющие вершины икосаэдрических пирамид, проходят через центры желтых граней. Раскрасить икосаэдры с 8 желтыми и 12 синими гранями можно пятью различными способами. ^[bm] Таким образом, вершина каждой икосаэдральной пирамиды представляет собой вершину из 5 различных 24-ячеек, ^[i] и 120 вершин содержат 25 (а не 5) 24-ячеек. ^[ф]

Икосаэдры соединены гранями в геодезические «прямые линии» своими противоположными желтыми гранями, согнутыми в четвертом измерении в кольцо из 6 икосаэдрических пирамид. Их вершины являются вершинами большого шестиугольника . Эта шестиугольная геодезическая пересекает кольцо из 12 тетраэдрических ячеек, поочередно соединенных лицом к лицу и вершиной к вершине. Длинный диаметр каждой пары тетраэдров, соединенных гранями (каждая треугольная бипирамида ), представляет собой ребро шестиугольника (ребро из 24 ячеек). Имеется 4 кольца по 6 икосаэдрических пирамид, пересекающихся в каждой вершине-вершине, так же, как в 24-ячейке (шестиугольное расслоение) имеются 4 непересекающихся между собой переплетающихся кольца по 6 октаэдров . ^[бк]

Тетраэдрические ячейки соединены гранями в тройные спирали , изогнутые в четвертом измерении в кольца из 30 тетраэдрических ячеек. ^{[объявление]} Три спирали представляют собой геодезические «прямые линии» из 10 ребер: большие десятиугольники круга, которые проходят по Клиффорду параллельно ^[af] друг другу. Каждый тетраэдр, имеющий шесть ребер, участвует в шести различных декагонах ^[ac] и тем самым во всех шести декагональных расслоениях 600-ячеек.

Разделение 600-ячеечной ячейки на кластеры по 20 ячеек и кластеры по 5 ячеек является искусственным, поскольку все ячейки одинаковы. Можно начать с выбора кластера икосаэдрических пирамид с центром в любой произвольно выбранной вершине, так что в 600-ячейке имеется 120 перекрывающихся икосаэдров. ^[bj] Каждая из 120 вершин представляет собой вершину пяти 24-вершинных 24-клеток, поэтому имеется 5*120/24 = 25 перекрывающихся 24-клеток. ^[к]

Октаэдры

Существует еще один полезный способ разделения поверхности из 600 ячеек на 24 кластера по 25 тетраэдрических ячеек, который раскрывает большую структуру ^[55] и прямую конструкцию 600-ячеистой поверхности из ее предшественника, 24-клеточной.

Начните с любого из кластеров из 5 ячеек (см. выше) и считайте его центральную ячейку центральным объектом нового, более крупного кластера тетраэдрических ячеек. Центральная ячейка — это первая секция из 600 ячеек, начинающаяся с ячейки. Окружив его большим количеством тетраэдрических ячеек, мы можем достичь более глубоких разделов, начиная с ячейки.

Во-первых, обратите внимание, что кластер из 5 ячеек состоит из 4 перекрывающихся пар тетраэдров, связанных гранями ( треугольных дипирамид ), длинный диаметр которых представляет собой ребро из 24 ячеек (ребро шестиугольника) длины √ 1 . Еще шесть треугольных дипирамид вписываются в вогнутости на поверхности кластера из 5, ^[br] так что внешние хорды, соединяющие его 4 вершинные вершины, также представляют собой 24-клеточные ребра длины √ 1 . Они образуют тетраэдр с длиной ребра √ 1 , который является вторым сечением 600-ячейки, начинающимся с ячейки. ^[bs] В 600-ячейке имеется 600 таких √ 1 тетраэдрических секций.

Поскольку шесть треугольных дипиамид помещаются в вогнутости, появляется 12 новых ячеек и 6 новых вершин в дополнение к 5 ячейкам и 8 вершинам исходного кластера. 6 новых вершин образуют третью часть 600-ячеистой ячейки, начиная с ячейки октаэдра с длиной ребра √ 1 , очевидно, ячейки из 24 ячеек. ^[bt] Пока что частично заполненный (17 тетраэдрическими ячейками) этот √ 1 октаэдр имеет вогнутые грани, в которые умещается короткая треугольная пирамида; он имеет тот же объем, что и правильная тетраэдрическая ячейка, но неправильную тетраэдрическую форму. ^[bu] Каждый октаэдр окружает 1 + 4 + 12 + 8 = 25 тетраэдрических ячеек: 17 правильных тетраэдрических ячеек плюс 8 объемно эквивалентных тетраэдрических ячеек, каждая из которых состоит из 6 фрагментов по одной шестой из 6 различных правильных тетраэдрических ячеек, каждая из которых охватывает три соседние октаэдрические ячейки. ^[бв]

Таким образом, ячейка с единичным радиусом 600 может быть построена непосредственно из ее предшественницы, ^[ab] ячейки с единичным радиусом 24, путем размещения на каждой из ее октаэдрических граней усеченной ^[bw] неправильной октаэдрической пирамиды из 14 вершин ^[bx], построенной (описанным выше способом) из 25 правильных тетраэдрических ячеек с длиной ребра1/φ≈ 0,618.

Союз двух Торов

Существует еще один полезный способ разделения поверхности из 600 ячеек на кластеры тетраэдрических ячеек, который обнаруживает больше структуры ^[56] и декагональные расслоения 600-ячеек. Целую 600-ячейку можно собрать вокруг двух колец из 5 икосаэдрических пирамид, соединенных вершина с вершиной в две геодезические «прямые линии».

100 тетраэдров в массиве 10×10, образующие границу тора Клиффорда в ячейке 600. ^[by] Его противоположные края идентифицируются, образуя дуоцилиндр .

120-ячеечную структуру можно разложить на два непересекающихся тора . Поскольку это двойник 600-ячеечного, та же самая структура двойного тора существует и в 600-ячеечном, хотя и несколько более сложная. Геодезический путь из 10 ячеек в ячейке 120 соответствует пути десятиугольника из 10 вершин в ячейке 600. ^[57]

Начните со сборки пяти тетраэдров вокруг общего ребра. Эта конструкция чем-то напоминает угловатую «летающую тарелку». Сложите десять таких штук, вершина к вершине, в стиле «блина». Заполните кольцевое кольцо между каждой парой «летающих тарелок» 10 тетраэдрами, чтобы сформировать икосаэдр. Вы можете рассматривать это как пять сложенных друг на друга икосаэдрических пирамид с пятью дополнительными кольцевыми промежутками, также заполненными. ^[bz] Поверхность такая же, как у десяти сложенных друг на друга пятиугольных антипризм : колонна с треугольной гранью и пятиугольным поперечным сечением. . ^[58] Согнутый в столбчатое кольцо, это тор, состоящий из 150 ячеек, десяти ребер в длину, со 100 открытыми треугольными гранями, ^[ca] 150 открытыми ребрами и 50 открытыми вершинами. Поместите еще один тетраэдр на каждую открытую грань. Это даст вам несколько неровный тор из 250 ячеек с 50 приподнятыми вершинами, 50 вершинами впадин и 100 краями впадин. ^[cb] Впадины представляют собой замкнутые пути с длиной 10 ребер и соответствуют другим экземплярам упомянутого выше пути десятиугольника с 10 вершинами (декагоны большого круга). Эти декагоны закручиваются вокруг центрального декагона ядра ^[cc] , но математически все они эквивалентны (все они лежат в центральных плоскостях).

Постройте второй идентичный тор из 250 ячеек, который соединяется с первым. Это составляет 500 ячеек. Эти два тора соединяются вместе, при этом вершины впадин касаются приподнятых вершин, оставляя 100 тетраэдрических пустот, которые заполняются оставшимися 100 тетраэдрами, спаривающимися на краях впадины. Этот последний набор из 100 тетраэдров находится на точной границе дуоцилиндра и образует тор Клиффорда . ^[cd] Их можно «развернуть» в квадратный массив 10×10. Между прочим, эта структура образует один тетраэдрический слой в тетраэдрически-октаэдрических сотах . С обеих сторон имеется ровно 50 углублений и выступов «яичных ящиков», которые соприкасаются с 250-клеточными торами. ^[by] В этом случае в каждую выемку вместо октаэдра, как в сотах, вписывается треугольная бипирамида, составленная из двух тетраэдров.

Это разложение 600-ячейки имеет симметрию [[10,2 ⁺ ,10]], порядка 400, ту же симметрию, что и большая антипризма . ^[59] Большая антипризма представляет собой всего лишь 600-ячеечную конструкцию с двумя удаленными выше 150-ячеечными торами, в результате чего остается только один средний слой из 300 тетраэдров, размерно аналогичный ^[bc] 10-гранному поясу икосаэдра с 5 вершинами. и удалены 5 нижних граней ( пятиугольная антипризма ). ^[се]

Каждый из двух 150-клеточных торов содержит по 6 клиффордовских параллельных больших декагонов (пять вокруг одного), и эти два тора являются клиффордовскими параллельными друг другу, поэтому вместе они составляют полное расслоение из 12 декагонов, которое достигает всех 120 вершин, несмотря на заполнение только половины 600-ячеечный с ячейками.

Спиральные кольца Бурдейка – Кокстера

600-ячейку также можно разделить на 20 непересекающихся переплетающихся колец по 30 ячеек, ^[34] каждая из которых имеет длину десять ребер, образуя дискретное расслоение Хопфа , которое заполняет всю 600-ячейку. ^{[60] [61]} Каждое кольцо из 30 тетраэдров, связанных гранями, представляет собой цилиндрическую спираль Бурдейка – Коксетера , изогнутую в кольцо в четвертом измерении.

Кольцо из 30 ячеек представляет собой трехмерное пространство, занимаемое 30 вершинами трех голубых параллельных больших десятиугольников Клиффорда, которые лежат рядом друг с другом, 36 ° =𝜋/5= длина ребра на расстоянии 600 ячеек друг от друга во всех их парах вершин. ^[cg] 30 пурпурных ребер, соединяющих эти пары вершин, образуют спиральную триаконтаграмму , косую 30-граммовую спираль из 30 связанных ребрами треугольных граней, то есть многоугольник Петри из 600 ячеек. ^[cf] Двойник кольца из 30 ячеек (косой 30-угольник, образованный соединением центров ячеек) — это многоугольник Петри 120-ячеечного кольца , двойственного многогранника 600-ячеечного . ^[aw] Центральная ось кольца из 30 ячеек представляет собой большую 30-угольниковую геодезическую, которая проходит через центры 30 граней, но не пересекает ни одной вершины. ^[ан]

15 оранжевых ребер и 15 желтых ребер образуют отдельные спирали массой 15 грамм. Каждый оранжевый или желтый край пересекает два больших голубых десятиугольника. Последовательные оранжевые или желтые края этих 15-граммовых спиралей не лежат на одном и том же большом круге; они лежат в разных центральных плоскостях, наклоненных под углом 36° =𝝅/5друг другу. ^[at] Каждая 15-граммовая спираль примечательна как ребро-путь изоклины, геодезический путь изоклинического вращения. ^[ao] Изоклина — это круговая кривая, которая пересекает каждую вторую вершину 15-грамма, пропуская вершину между ними. Одна изоклина дважды проходит вокруг каждой оранжевой (или желтой) 15-граммовой точки через каждую вторую вершину, затрагивая половину вершин в первом цикле и другую половину из них во втором цикле. Две соединенные петли образуют одну петлю Мёбиуса , косую пентадекаграмму {15/2} . Пентадекаграмма не показана на этих иллюстрациях (но см. ниже), поскольку ее края представляют собой невидимые хорды между вершинами, которые находятся на расстоянии двух оранжевых (или двух желтых) ребер друг от друга, и на этих иллюстрациях хорды не показаны. Хотя 30 вершин кольца из 30 ячеек не лежат в одной большой 30-угольной центральной плоскости, ^[cg] эти невидимые изоклины пентадекаграммы представляют собой настоящие геодезические круги особого вида, которые проходят через все четыре измерения, а не лежат в 2-мерном пространстве. -мерная плоскость, как это делает обычный геодезический большой круг. ^[ч]

Пять из этих 30-ячеечных спиралей гнездятся вместе и вращаются по спирали вокруг каждого из 10-вершинных десятиугольников, образуя 150-ячеечный тор, описанный выше при разложении большой антипризмы. ^[59] Таким образом, каждый большой декагон является центральным десятиугольником тора из 150 ячеек. ^[ci] 600-ячеечное кольцо можно разложить на 20 колец по 30 ячеек или на два тора по 150 ячеек и 10 колец по 30 ячеек, но не на четыре тора по 150 ячеек такого типа. ^[cj] 600-ячеечный тор можно разложить на четыре 150-клеточных тора другого вида. ^[40]

Радиальные золотые треугольники

600-ячейку можно построить радиально из 720 золотых треугольников с длинами ребер √ 0,𝚫 √ 1 √ 1 , которые встречаются в центре 4-многогранника, каждый из которых дает два радиуса √ 1 и ребро √ 0,𝚫 . Они образуют 1200 треугольных пирамид с вершинами в центре: неправильные тетраэдры с равносторонними основаниями √ 0,𝚫 (грани 600-ячейки). Они образуют 600 тетраэдрических пирамид с вершинами в центре: неправильные 5-клетки с правильными основаниями √ 0,𝚫 тетраэдров (ячейки 600-ячеек).

Характеристическая ортосхема

Каждый правильный 4-многогранник имеет свою характерную 4-ортосхему — неправильную 5-клеточную . ^[x] Характеристическая 5-ячеечная из обычных 600-ячеечных представлена ​​диаграммой Кокстера-Дынкина. , который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. Это неправильная тетраэдрическая пирамида, основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Обычная 600-ячеечная структура подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 14 400 экземпляров характерных 5-ячеечных ячеек, которые все встречаются в ее центре. ^[ай]

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре обычный 600-ячеечный). ^[cl] Если правильная 600-ячейка имеет единичный радиус и длину ребра , то десять ребер ее характеристической 5-ячейки имеют длину , , вокруг ее внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ck ]} плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характеристический тетраэдр, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами 600-ячейки). Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , , , сначала от вершины с 600 ячейками до центра ребра с 600 ячейками, затем поворот на 90° до центра грани с 600 ячейками, затем поворот на 90° до центра грани с 600 ячейками. -клеточный тетраэдрический клеточный центр, затем поворачивающийся на 90° к 600-клеточному центру. ${\displaystyle {\text{𝒍}}={\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$

Размышления

600-ячейка может быть построена путем отражения ее характерной 5-ячейки в ее собственных гранях (ее тетраэдрических зеркальных стенках). ^[см] Отражения и вращения связаны: отражение в четном числе пересекающихся зеркал является вращением. ^{[67] [68]} Например, полное изоклиническое вращение 600-ячейки в декагональных инвариантных плоскостях переносит каждую из 120 вершин через 15 вершин и обратно к себе на косой пентадекаграмме ₂ геодезической изоклины окружности 5𝝅, которая обвивает 3-сфера, поскольку каждый большой десятиугольник вращается (как колесо), а также наклоняется вбок (как подбрасывание монеты) в полностью ортогональной плоскости. ^[cn] Любой набор из четырех ортогональных пар антиподальных вершин (8 вершин одной из 75 вписанных 16-клеток) ^[bb], выполняющий такую ​​орбиту, посещает 15 * 8 = 120 различных вершин и генерирует 600 ячеек последовательно за одну полное изоклиническое вращение, точно так же, как любая отдельная характеристическая 5-ячейка, отражающаяся в своих собственных зеркальных стенках, одновременно генерирует 120 вершин путем отражения. ^[бо]

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля порядка 120. ^[70] Ниже приведены орбиты весов D4 относительно группы Вейля W(D4) : ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

О(1000): V1

О (0010): V2

О (0001): V3

Если кватернионы где являются сопряженными и и , то группа Кокстера является группой симметрии 600-ячейки и 120-ячейки порядка 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Учитывая это и обмен внутри , мы можем построить: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• курносый 24-клеточный ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 600-ячеечный ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 120- ячеечный ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

Ротации

Правильные выпуклые 4-многогранники являются выражением лежащей в их основе симметрии , известной как SO(4) — группы вращений [ ^71] вокруг фиксированной точки в 4-мерном евклидовом пространстве. ^[cx]

600-ячейка генерируется изоклиническим поворотом ^[ao] 24-ячейки на 36° =𝜋/5(дуга длиной в одну 600 ячеек). ^[да]

Двадцать пять 24-ячеечных

В 600-ячейку входит 25 вписанных 24-клеток. ^{[11] [co]} Следовательно, существует также 25 вписанных курносых 24-клеток, 75 вписанных тессерактов и 75 вписанных 16-клеток. ^[ф]

8-вершинная 16-ячеечная имеет 4 длинных диаметра, наклоненных под углом 90° =𝜋/2друг к другу, часто принимаемые за 4 ортогональные оси или основу системы координат.

24-вершинная 24-ячейка имеет 12 длинных диаметров, наклоненных под углом 60° =𝜋/3друг к другу: 3 непересекающихся набора из 4 ортогональных осей, каждый набор содержит диаметры одной из 3 вписанных 16-ячеек, изоклинически повернутых𝜋/3по отношению друг к другу. ^[дб]

120-вершинная 600-ячейка имеет 60 длинных диаметров: не просто 5 непересекающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 5 вписанных 24-клеток (как мы могли бы заподозрить по аналогии), но 25 отдельных, но перекрывающихся наборов по 12 диаметров, каждый состоящий из одной из 25 вписанных 24-клеток. ^[76] В 600-ячейке 5 непересекающихся 24-ячеек, но не только 5 : существует 10 различных способов разделить 600-ячейку на 5 непересекающихся 24-ячеек. ^[Дж]

Подобно 16-ячейкам и 8-ячейкам, вписанным в 24-ячейку, 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку, представляют собой взаимно изоклинические многогранники . Вращательное расстояние между вписанными 24-ячейками всегда равно𝜋/5в каждой инвариантной плоскости вращения. ^[си]

Пять 24-клеток не пересекаются, поскольку они параллельны по Клиффорду: их соответствующие вершины𝜋/5на двух непересекающихся параллельных ^[af] десятиугольных больших кругах Клиффорда (а также𝜋/5друг от друга на одном и том же большом десятиугольном круге). ^[ae] Изоклиническое вращение декагональных плоскостей за счет𝜋/5переводит каждую 24-клетку в непересекающуюся 24-клетку (точно так же, как изоклиническое вращение шестиугольных плоскостей𝜋/3переводит каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку). ^{[dc] Каждое изоклиническое вращение происходит в двух хиральных формах:} слева от каждой 24-клетки есть 4 непересекающиеся 24-клетки , а справа от нее - еще 4 непересекающиеся 24-клетки . ^[de] Левое и правое вращение достигают разных 24-клеток; следовательно, каждая 24-ячейка принадлежит двум различным наборам из пяти непересекающихся 24-клеток.

Все параллельные многогранники Клиффорда являются изоклиническими, но не все изоклинические многогранники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися объектами). ^[df] Каждая 24-ячейка изоклинична , и Клиффорд параллелен 8 другим, и изоклиничен, но не Клиффорд параллелен 16 другим. ^[d] С каждым из 16 он имеет 6 общих вершин: шестиугольную центральную плоскость. ^[i] Непересекающиеся 24-клетки связаны простым вращением на𝜋/5в инвариантной плоскости, пересекающей только две вершины 600-ячейки, ^[au] вращение, при котором полностью ортогональная фиксированная плоскость является их общей шестиугольной центральной плоскостью. Они также связаны изоклиническим вращением , при котором обе плоскости вращаются на𝜋/5. ^[дх]

Есть два вида𝜋/5изоклинические вращения, которые переводят каждую 24-клетку в другую 24-клетку. ^[dc] Непересекающиеся 24-клетки связаны𝜋/5изоклиническое вращение всего расслоения из 12 параллельных декагональных инвариантных плоскостей Клиффорда. (Имеется 6 таких наборов волокон, и для каждого набора возможно правое или левое изоклиническое вращение, поэтому таких различных вращений 12.) ^[de] Непересекающиеся 24-клетки связаны соотношением𝜋/5изоклиническое вращение всего расслоения из 20 клиффордовских параллельных шестиугольных инвариантных плоскостей. ^[dj] (Таких наборов волокон 10, следовательно, таких различных вращений 20.) ^[dg]

С другой стороны, каждый из 10 наборов из пяти непересекающихся 24-клеток клиффордов параллелен, потому что соответствующие ему большие шестиугольники клиффордовы параллельны. (24-клетки не имеют больших десятиугольников.) 16 больших шестиугольников в каждой 24-клетке можно разделить на 4 набора из 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , каждый набор которых охватывает все 24 вершины 24-клетки. 200 больших шестиугольников в 600-ячейке можно разделить на 10 наборов по 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, каждый набор которых покрывает все 120 вершин и представляет собой дискретное гексагональное расслоение. Каждый из 10 наборов по 20 непересекающихся шестиугольников можно разделить на пять наборов по 4 непересекающихся шестиугольника, каждый набор из 4 которых охватывает непересекающиеся 24 ячейки. Точно так же соответствующие большие квадраты непересекающихся 24-клеток параллельны Клиффорду.

Вращения на полиграммных изоклинах

Каждый из правильных выпуклых 4-многогранников имеет свой характерный вид правого (и левого) изоклинического вращения , соответствующий их характерному виду дискретного расслоения Хопфа больших кругов. ^[bg] Например, 600-ячейка может быть разделена шестью различными способами на набор параллельных больших декагонов Клиффорда, поэтому 600-ячейка имеет шесть различных правых (и левых) изоклинических вращений, в которых эти большие плоскости декагона являются инвариантными плоскостями вращение . Мы говорим, что эти изоклинические вращения характерны для 600-ячеек, потому что края 600-ячеек лежат в их инвариантных плоскостях. Эти вращения возникают только в 600-ячейке, хотя они также встречаются в более крупных правильных многогранниках (120-ячейка), которые содержат вписанные экземпляры 600-ячейки.

Подобно тому, как геодезические многоугольники (декагоны, шестиугольники или квадраты) в центральных плоскостях из 600 ячеек образуют расслоения параллельных больших кругов Клиффорда, соответствующие геодезические косые полиграммы (которые прослеживают пути на торе Клиффорда вершин при изоклиническом вращении) ^{[79 ]} образуют пучки волокон параллельных изоклин Клиффорда : спиральные круги, проходящие через все четыре измерения. ^[ao] Поскольку изоклинические вращения являются киральными и происходят в левой и правой формах, каждому многоугольному расслоению соответствуют соответствующие левые и правые полиграммные расслоения. ^[80] Все расслоения являются аспектами одного и того же дискретного расслоения Хопфа , поскольку расслоение представляет собой различные выражения одной и той же отдельной пары изоклинических вращений влево-вправо.

Клеточные кольца являются еще одним проявлением расслоения Хопфа. Каждое дискретное расслоение имеет набор непересекающихся клеточных колец, которые замощают 4-многогранник. ^[ba] Изоклины в каждом хиральном пучке спирально вращаются вокруг друг друга: они представляют собой осевые геодезические колец граничных ячеек. Кольца параллельных ячеек Клиффорда расслоения вложены друг в друга, проходят друг через друга, не пересекаясь ни в одной ячейке, и точно заполняют 600-ячейку своими непересекающимися наборами ячеек.

Изоклинические вращения вращают вершины твердого объекта по параллельным путям, причем каждая вершина вращается внутри двух ортогональных движущихся больших кругов, подобно тому, как ткацкий станок ткет кусок ткани из двух ортогональных наборов параллельных волокон. Пакет параллельных многоугольников большого круга Клиффорда и соответствующий пакет изоклин параллельных косых полиграмм Клиффорда являются основой и утком одного и того же отдельного левого или правого изоклинического вращения, которое переносит параллельные многоугольники большого круга Клиффорда друг к другу, переворачивая их, как монеты, и вращая. их через параллельный набор центральных плоскостей Клиффорда. Между тем, поскольку многоугольники также вращаются индивидуально, как колеса, вершины смещаются вдоль спиральных параллельных изоклин Клиффорда (хорды которых образуют косую полиграмму) через вершины, которые лежат в последовательных параллельных многоугольниках Клиффорда. ^[бф]

В ячейке с 600 ячейками каждое семейство изоклинических косых полиграмм (пути перемещения вершин в поворотах десятиугольника {10}, шестиугольника {6} или квадрата {4} большого многоугольника) можно разделить на пучки непересекающихся изоклин параллельных полиграмм Клиффорда. . ^[81] Пучки изоклин встречаются парами левой и правой киральности; изоклины в каждом вращении действуют как киральные объекты, как и само каждое отдельное изоклиническое вращение. ^[az] Каждое расслоение содержит равное количество левых и правых изоклин в двух непересекающихся пучках, которые прослеживают пути вершин 600-клеток во время левого или правого изоклинического вращения расслоения соответственно. Каждый левый или правый пучок изоклин сам по себе представляет собой дискретное расслоение Хопфа, которое заполняет все 600 ячеек, посещая все 120 вершин только один раз. Это другой пучок слоев , чем пучок больших кругов параллельных многоугольников Клиффорда, но два пучка слоев описывают одно и то же дискретное расслоение, поскольку они нумеруют эти 120 вершин вместе в одном и том же отдельном правом (или левом) изоклиническом вращении путем их пересечения как ткань из переплетенных параллельных волокон.

Каждое изоклиническое вращение включает в себя пары полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей вращения, которые вращаются на один и тот же угол. Есть два способа сделать это: либо вращаясь в «одном и том же» направлении, либо вращаясь в «противоположных» направлениях (в соответствии с правилом правой руки , согласно которому мы условно говорим, какая сторона находится «вверх» на каждой из четырех сторон). координатные оси). Правая полиграмма и правое изоклиническое вращение условно соответствуют инвариантным парам, вращающимся в одном направлении; левая полиграмма и левое изоклиническое вращение соответствуют парам, вращающимся в противоположных направлениях. ^[78] Левая и правая изоклины — это разные пути, ведущие в разные места. Кроме того, каждое отдельное изоклиническое вращение (влево или вправо) может выполняться в положительном или отрицательном направлении вдоль круговых параллельных волокон.

Расслоение параллельных изоклин Клиффорда представляет собой набор винтовых вершинных окружностей, описываемых различным левым или правым изоклиническим вращением. Каждая движущаяся вершина перемещается вдоль изоклины, содержащейся внутри (движущегося) клеточного кольца. В то время как левое и правое изоклинические вращения дважды вращают один и тот же набор параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда , они проходят через разные наборы многоугольников большого круга, потому что левые и правые изоклинические вращения затрагивают альтернативные вершины многоугольника большого круга {2p} (где p — простое число ≤ 5). ^[dl] Левое и правое вращение используют один и тот же пучок Хопфа из {2p} многоугольников, который является одновременно левым и правым пучком, но у них разные пучки {p} многоугольников ^[82], потому что дискретные слои противостоят левому и правому. правые многоугольники {p}, вписанные в многоугольник {2p}. ^[дм]

Простое вращение является прямым и локальным: некоторые вершины переносятся в соседние вершины вдоль больших кругов, а некоторые центральные плоскости — в другие центральные плоскости внутри одной и той же гиперплоскости. (Ячейка с 600 ячейками имеет четыре ортогональные центральные гиперплоскости, каждая из которых представляет собой икосододекаэдр.) При простом вращении существует только одна пара полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей вращения; оно не является расслоением.

Изоклиническое вращение является диагональным и глобальным, переводя все вершины в несмежные вершины (на расстоянии двух или более длин ребер) ^[cq] вдоль диагональных изоклин, а все многоугольники центральной плоскости - в параллельные многоугольники Клиффорда (того же типа). Пара лево-правых изоклинических вращений образует дискретное расслоение. Все центральные плоскости, параллельные Клиффорду, являются инвариантными плоскостями вращения, разделенными двумя равными углами и лежащими в разных гиперплоскостях. ^[at] Диагональная изоклина ^[cr] — это более короткий путь между несмежными вершинами, чем несколько простых маршрутов между ними, доступных вдоль ребер: это самый короткий маршрут на 3-сфере, геодезической .

Декагоны и пентадекаграммы

Слоения 600-клеточной структуры включают 6 расслоений ее 72 больших декагонов: 6 пучков волокон по 12 больших декагонов, ^[ae] каждое из которых ограничивает 20 хиральных клеточных колец по 30 тетраэдрических ячеек каждое, ^[ad] с тремя большими декагонами, ограничивающими каждое клеточное кольцо. и пять клеточных колец, гнездящихся вместе вокруг каждого декагона. 12 параллельных десятиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные десятиугольники натянуты на края других больших десятиугольников. ^[aq] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячейки в 12 инвариантных плоскостях большого декагона на 5𝝅 изоклинах.

Пучок из 12 параллельных десятиугольников Клиффорда делится на пучок из 12 левых пятиугольников и пучок из 12 правых пятиугольников, причем каждая левая-правая пара пятиугольников вписана в десятиугольник. ^[83] 12 больших многоугольников составляют расслоение, охватывающее все 120 вершин дискретного расслоения Хопфа . В расслоении 20 непересекающихся 30-клеточных колец, но только 4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец. ^[g] 600-ячейка имеет шесть таких дискретных десятиугольных расслоений, каждое из которых является областью (контейнером) уникальной пары лево-правых изоклинических вращений (левые и правые пучки волокон из 12 больших пятиугольников). ^[dn] Каждый большой декагон принадлежит только одному расслоению, ^[82] но каждое кольцо из 30 ячеек принадлежит 5 из шести расслоений (и полностью не пересекается с одним другим расслоением). 600-ячейка содержит 72 больших декагона, разделенных на шесть расслоений, каждое из которых представляет собой набор из 20 непересекающихся ячеек 30-клеточных колец (4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец), но 600-ячейка имеет только 20 различных 30-клеточных колец. сотовые кольца вообще. Каждое кольцо из 30 ячеек содержит 3 из 12 параллельных декагонов Клиффорда в каждом из 5 расслоений и 30 из 120 вершин.

В этих десятиугольных изоклинических вращениях вершины перемещаются вдоль изоклин, которые следуют краям шестиугольников , ^[26] продвигаясь на пифагорово расстояние, равное одному краю шестиугольника в каждой двойной единице вращения 36 ° × 36 °. ^[dj] При изоклиническом вращении каждое последующее пройденное ребро шестиугольника лежит в другом большом шестиугольнике, поэтому изоклина описывает перекошенную полиграмму, а не многоугольник. При изоклиническом вращении 60°×60° (как в характерном гексагональном вращении 24 ячеек и ниже в гексагональном вращении 600 ячеек) эта полиграмма является гексаграммой : изоклиническое вращение следует по круговой траектории с 6 ребрами, всего лишь как это делает простое шестиугольное вращение, хотя для перебора всех вершин в нем требуется два оборота, потому что изоклина представляет собой двойную петлю, проходящую через каждую другую вершину, а ее хорды представляют собой √ 3 хорды шестиугольника вместо √ 1 ребра шестиугольника. ^{[dq] Но в характерном} десятиугольном вращении 600 ячеек 36 ° × 36 ° последовательные большие шестиугольники расположены ближе друг к другу и более многочисленны, а полиграмма изоклины, образованная их 15 ребрами шестиугольников , представляет собой пентадекаграмму (15 грамм). ^[cn] Это не только не тот же период, что и у шестиугольника или простого десятиугольного вращения, но даже не целое число, кратное периоду шестиугольника, или десятиугольника, или любого из них простого вращения. Только составная триаконтаграмма {30/4}=2{15/2} (30 грамм), представляющая собой два вращающихся параллельно 15 грамма (черный и белый), кратна им всем и, таким образом, составляет вращательная единица декагонального изоклинического вращения. ^[дл]

В кольце из 30 ячеек несмежные вершины, связанные изоклиническими поворотами, находятся на расстоянии двух ребер друг от друга, а между ними лежат три другие вершины кольца. ^[ds] Две несмежные вершины соединены хордой √ 1 изоклины, которая представляет собой ребро большого шестиугольника (ребро из 24 ячеек). Хорды ​​√ 1 кольца из 30 ячеек (без ребер из √ 0 ,𝚫 из 600 ячеек) образуют косую триаконтаграмму _{{30/4} = 2{15/2},} которая содержит 2 непересекающиеся {15/2} двойные петли Мёбиуса. , левая-правая пара изоклин пентадекаграммы ₂ . Каждый левый (или правый) пучок из 12 пентагональных волокон пересекается левым (или правым) пучком из 8 параллельных пентадекаграммных волокон Клиффорда. Каждое отдельное кольцо из 30 ячеек имеет две изоклины пентадекаграммы с двойной петлей, проходящие через его четные или нечетные (черные или белые) вершины соответственно. ^[cu] Спирали пентадекаграммы не имеют присущей им киральности, но каждая действует как левая или правая изоклина в любом отдельном изоклиническом вращении. ^[dk] Два волокна пентадекаграммы принадлежат к левому и правому пучкам волокон пяти различных расслоений.

В каждой вершине есть шесть больших декагонов и шесть изоклин пентадекаграммы (шесть черных или шесть белых), которые пересекаются в вершине. ^[dv] Восемь изоклин пентадекаграммы (четыре черных и четыре белых) составляют уникальный правый (или левый) пучок волокон изоклин, охватывающий все 120 вершин в отдельном правом (или левом) изоклиническом вращении. Каждое расслоение имеет уникальное левое и правое изоклиническое вращение и соответствующие уникальные левые и правые пучки волокон из 12 пятиугольников и 8 изоклин пентадекаграмм. В 600-ячейке имеется только 20 различных черных изоклин и 20 различных белых изоклин. Каждая отдельная изоклина принадлежит 5 пучкам волокон.

Две 15-граммовые двухпетлевые изоклины осевые к каждому 30-клеточному кольцу. Кольца из 30 ячеек являются хиральными; каждое расслоение содержит 10 правых (по спирали по часовой стрелке) колец и 10 левых (по спирали против часовой стрелки) колец, но две изоклины в каждом трехклеточном кольце прямо конгруэнтны. ^[cv] ​​Каждый действует как левая (или правая) изоклина и левое (или правое) вращение, но не имеет присущей киральности. ^[dk] 20 левых и 20 правых 15-грамм расслоения в общей сложности содержат 120 непересекающихся открытых пентаграмм (60 левых и 60 правых), открытые концы которых являются соседними 600-клеточными вершинами ( на расстоянии одной длины ребра √ 0 ,𝚫 ). 30 хорд, соединяющих 30 вершин изоклины, представляют собой ребра шестиугольника на √ 1 (ребра из 24 ячеек), соединяющие вершины из 600 ячеек, которые представляют собой два ребра по 600 ячеек, расположенные на расстоянии √ 0,𝚫 друг от друга в большом десятиугольнике. ^[cs] Эти хорды изоклин являются одновременно ребрами шестиугольника и ребрами пентаграммы .

20 параллельных изоклин Клиффорда (кольцевые оси из 30 ячеек) каждого левого (или правого) пучка изоклин не пересекаются друг с другом. Либо отдельное вращение декагональной изоклины (влево или вправо) вращает все 120 вершин (и все 600 ячеек), но изоклины и пятиугольники пентадекаграммы соединены так, что вершины чередуются как 60 черных и 60 белых вершин (а также 300 черных и 300 белых ячеек), например черно-белые клетки шахматной доски . ^[du] В ходе вращения вершины на левой (или правой) изоклине вращаются внутри одной 15-вершинной черной (или белой) изоклины, а ячейки вращаются в пределах одного и того же черного (или белого) 30-клеточного кольца .

Шестиугольники и гексаграммы

Икосаграмма {20/6}=2{10/3} содержит две непересекающиеся декаграммы {10/3} (красную и оранжевую), которые соединяют вершины, расположенные на расстоянии 3 на {10} и 6 на {20}. В 600-ячейке края представляют собой большие пятиугольники, охватывающие 72 °.

Слоения 600-клеточной клетки включают 10 расслоений ее 200 больших шестиугольников: 10 пучков волокон 20 больших шестиугольников. 20 параллельных шестиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники натянуты на ребра больших десятиугольников. ^[ar] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячейки в 20 инвариантных плоскостях большого шестиугольника на 4𝝅 изоклинах.

Каждый пучок волокон очерчивает 20 непересекающихся прямо конгруэнтных клеточных колец по 6 октаэдрических ячеек каждое, причем вокруг каждого шестиугольника гнездятся три клеточных кольца. Пучок из 20 параллельных шестиугольных волокон Клиффорда разделен на пучок из 20 черных √ 3 больших треугольных волокон и пучок из 20 белых больших треугольных волокон, в каждый из которых вписан черный и белый треугольник, а в каждый шестиугольник - 6 черных и 6 белых треугольников. каждое 6-октаэдрическое кольцо. Черные или белые треугольники соединены тремя пересекающимися черными или белыми изоклинами, каждая из которых представляет собой особый вид спирального большого круга ^[dq] через соответствующие вершины в 10 параллельных черных (или белых) больших треугольниках Клиффорда. Хорды ​​10 √ 1.𝚫 каждой изоклины образуют косую декаграмму {10/3} , 10 больших ребер пятиугольника, соединенных конец к концу в спиральную петлю, трижды обвивающую 600-ячейку через все четыре измерения, а не лежащую квартира в центральной плоскости. Каждая пара черных и белых изоклин (пересекающихся противоположных вершин большого шестиугольника) образует составную 20-угольную икосаграмму {20/6}=2{10/3} .

Обратите внимание на связь между характерным вращением 24-ячеечной ячейки в инвариантных плоскостях большого шестиугольника (на изоклинах гексаграммы) и собственной версией вращения плоскостей большого шестиугольника для 600 ячеек (на изоклинах декаграммы). У них совершенно одинаковое изоклиническое вращение: у них одинаковая изоклина. Они имеют разные номера одной и той же изоклины, а хорда изоклины √ 1.𝚫 из 600 ячеек короче, чем хорда изоклины из 24 ячеек ( √ 3 ), потому что изоклина пересекает больше вершин в 600-ячейке (10), чем она есть в 24-клетке (6), но обе полиграммы Клиффорда имеют длину окружности 4𝝅. ^[dp] У них разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклины пересекает больше вершин в 600-ячейке, чем в 24-ячейке. ^[ди]

Квадраты и октаграммы

Многоугольник Клиффорда изоклинического вращения 600 ячеек в инвариантных плоскостях большого квадрата представляет собой косой правильный {24/5} 24-грамм с φ = √ 2,𝚽 ребрами, которые соединяют вершины 5 друг от друга на окружности из 24 вершин, что уникальная 24-ячейка ( √ 1 ребро не показано).

Расслоения 600-клеточной клетки включают 15 расслоений ее 450 больших квадратов: 15 пучков волокон по 30 больших квадратов. 30 параллельных квадратов Клиффорда в каждой связке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами больших десятиугольников. ^[as] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячейки в 30 больших квадратных инвариантных плоскостях (15 полностью ортогональных пар) на 4 изоклинах.

Каждый пучок волокон очерчивает 30 хиральных клеточных колец по 8 тетраэдрических ячеек в каждом, ^[ax] с левым и правым клеточным кольцом, вложенными вместе, чтобы заполнить каждую из 15 непересекающихся 16-ячеек, вписанных в 600-ячейку. По оси каждого кольца 8-тетраэдра находится особый вид винтового большого круга — изоклины. ^[ao] При левом (или правом) изоклиническом вращении 600-ячейки в инвариантных плоскостях большого квадрата все вершины вращаются по одной из 15 параллельных изоклин Клиффорда.

30 параллельных квадратов Клиффорда в каждом пакете соединены четырьмя параллельными 24-граммовыми изоклинами Клиффорда (по одной через каждую вершину), каждая из которых пересекает одну вершину в 24 из 30 квадратов и все 24 вершины только одной из 600 ячеек. 25 24-кл. Каждая изоклина представляет собой 24-граммовый контур, пересекающий все 25 24-клеток, 24 из них только один раз и одну 24 раза. 24 вершины в каждой 24-граммовой изоклине составляют уникальную 24-ячейку; в 600-ячейке имеется 25 таких различных изоклин. Каждая изоклина представляет собой косую {24/5} 24-граммовую хорду, 24 φ = √ 2, 𝚽, соединенную конец-к-концу в спиральную петлю, 5 раз обматывающую одну 24-ячейку во всех четырех измерениях, а не лежащую ровно в центральная плоскость. Соседние вершины 24-клеточной ячейки находятся на расстоянии одной хорды √ 1 и хорды 5 φ на ее изоклине. Левый (или правый) изоклинический поворот на 720° перемещает каждую 24-ячейку в каждую другую 24-ячейку и проходит через нее.

Обратите внимание на взаимосвязь между вращением 16-клеточной ячейки всего лишь в двух инвариантных больших квадратных плоскостях , вращением 24-клеточной ячейки в 6 параллельных больших квадратах Клиффорда и этим вращением 600-клеточной ячейки в 30 параллельных больших квадратах Клиффорда. Эти три вращения представляют собой одно и то же вращение, происходящее на одинаковых изоклинных кругах, которые пересекают больше вершин в 600-ячейке (24), чем в 16-ячейке (8). ^[dz] При вращении 16 ячеек расстояние между вершинами на кривой изоклины равно √ 2 длине ребра. В 600-ячейке вершины расположены ближе друг к другу, а ее хорда √ 2,𝚽 = φ — это расстояние между соседними вершинами на одной изоклине, но все эти изоклины имеют длину окружности 4𝝅.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации ^[87] представляет собой 600 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всей 600-ячейке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Вот конфигурация, расширенная k -гранными элементами и k -фигурами. Количество диагональных элементов представляет собой отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, к порядку подгруппы с удалением зеркала.

Симметрии

Икосианы представляют собой особый набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией , что и 600-ячеечный. ^[88] Икосианы лежат в золотом поле , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , где восемь переменных являются рациональными числами . ^[89] Конечные суммы 120 единичных икосианов называются икосианским кольцом .

При интерпретации как кватернионы ^[b] 120 вершин 600-ячейки образуют группу при кватернионном умножении . Эту группу часто называют бинарной группой икосаэдра и обозначают 2I, поскольку она является двойным покрытием обычной группы икосаэдра I. ^[90] Он дважды встречается в группе вращательной симметрии RSG 600-ячейки как инвариантная подгруппа , а именно как подгруппа 2I _L кватернионных левых умножений и как подгруппа 2I _R кватернионных правых умножений. Каждая вращательная симметрия 600-ячейки генерируется конкретными элементами 2I _L и 2I _R ; пара противоположных элементов порождает один и тот же элемент RSG . Центр RSG состоит из невращающегося Id и центральной инверсии −Id . Имеем изоморфизм RSG ≅ (2I _L × 2I _R )/{Id, -Id} . Порядок RSG равен120 × 120/2= 7200. Алгебра кватернионов как инструмент для рассмотрения трехмерных и четырехмерных вращений и как путь к полному пониманию теории вращений в четырехмерном евклидовом пространстве описана Мебиусом. ^[91]

Бинарная группа икосаэдра изоморфна SL (2,5) .

Полной группой симметрии 600-ячейки является группа Вейля H 4 . ^[92] Это группа порядка 14400. Она состоит из 7200 вращений и 7200 вращений-отражений. Вращения образуют инвариантную подгруппу полной группы симметрии. Группа вращательной симметрии была впервые описана С.Л. ван Оссом. ^[93] Группа H ₄ и ее конструкция алгебры Клиффорда из трехмерных групп симметрии по индукции описаны Дечантом. ^[94]

Визуализация

Симметрию трехмерной поверхности 600-ячеистой ячейки несколько сложно визуализировать как из-за большого количества тетраэдрических ячеек, ^[v] , так и из-за того, что у тетраэдра нет противоположных граней или вершин. ^[az] Можно начать с осознания того, что 600-ячеечный является двойником 120-ячеечного. Можно также заметить, что 600-ячейка содержит также вершины додекаэдра, ^[44] который при некотором усилии можно увидеть в большинстве перспективных проекций, представленных ниже.

2D-проекции

Декагональная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

3D-проекции

Трехмерная модель 600-клеточной ячейки из коллекции Института Анри Пуанкаре была сфотографирована в 1934–1935 годах Маном Рэем и стала частью двух его более поздних картин «Шекспировское уравнение». ^[95]

Уменьшенные 600 ячеек

Курносую 24-ячейку можно получить из 600-ячейки, удалив вершины вписанной 24-ячейки и взяв выпуклую оболочку оставшихся вершин. ^[96] Этот процесс представляет собой уменьшение 600-клеточного числа.

Большую антипризму можно получить еще одним уменьшением 600-ячеек: удалением 20 вершин, лежащих на двух взаимно ортогональных кольцах, и взятием выпуклой оболочки оставшихся вершин. ^[59]

В 600-ячейке с уменьшенными в два раза 24, со всеми трехкратно уменьшенными ячейками икосаэдра, удалено 48 вершин, в результате чего осталось 72 из 120 вершин в 600-ячейке. Двойник 600-ячеистой ячейки, уменьшенной в три-24 раза, представляет собой 600-ячеечную, уменьшенную в три-24 раза, с 48 вершинами и 72 ячейками шестигранников.

Всего имеется 314 248 344 убавления 600-клеточного числа несмежными вершинами. Все они состоят из правильных тетраэдрических и икосаэдрических ячеек. ^[97]

Связанные многогранники и соты

600-ячеечный — один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией H ₄ [3,3,5]: ^[11]

Он похож на три правильных 4-многогранника : 5-ячеечный {3,3,3}, 16-ячеечный {3,3,4} евклидова 4-мерного пространства и тетраэдрические соты 6-го порядка {3,3, 6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические клетки.

Этот 4-многогранник является частью последовательности 4-многогранника и сот с вершинными фигурами икосаэдра :

Правильные комплексные многоугольники ₃ {5} ₃ ,и ₅ {3} ₅ ,, имеют реальное представление в виде 600 ячеек в 4-мерном пространстве. Оба имеют 120 вершин и 120 ребер. Первый имеет комплексную группу отражения ₃ [5] ₃ , порядок 360, а второй имеет симметрию ₅ [3] ₅ , порядок 600. ^[98] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Смотрите также

• 24-ячеечный , предшественник 4-многогранника , на котором основан 600-ячеечный.
• 120-ячеечный , двойной 4-мерный многогранник по сравнению с 600-ячеечным и его преемник
• Равномерное семейство 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• Правильный 4-многогранник
• Многогранник

Примечания

1. Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере четырехмерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Это их правильный порядок нумерации, порядок, в котором они вложены друг в друга как составные части. ^[3] Каждый больший многогранник в последовательности более округлый, чем его предшественник, и содержит больше контента ^[4] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 600-ячеечный представляет собой 4-многогранник с 120 точками: пятый в возрастающей последовательности, которая проходит от 4-многогранника с 5 точками до 4-многогранника с 600 точками.
2. В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто декартова координата (w, x, y, z).

3. 

   Геометрия вершин радиально равностороннего 24-ячеечного объекта, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорд между вершинами.

   Геометрия с 600 ячейками основана на 24-ячеечной геометрии .

   Модель с 600 ячейками дополняет 24-ячейку еще двумя многоугольниками большого круга (внешний десятиугольник и внутренний пятиугольник), добавляя еще 4 длины хорд, которые чередуются с четырьмя длинами хорд 24-ячеечной модели.
4. 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24-ячейками каждая 24-ячейка не пересекается с 8 24-ячейками и пересекает каждую из остальных 16 24-ячеек в шести вершинах, образующих шестиугольник. ^[12] В 600-ячейке содержится 25・16/2 = 200 таких шестиугольников.
5. В тех случаях, когда вписанные 4-многогранники одного и того же типа занимают непересекающиеся наборы вершин (например, две 16-ячейки, вписанные в тессеракт, или три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку), их наборы хорд вершин, центральные многоугольники и ячейки также должны быть непересекающимися. В тех случаях, когда они имеют общие вершины (например, три тессеракта, вписанные в 24-ячейку, или 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку), они также имеют общие хорды вершин и центральные многоугольники. ^[д]
6. 600-ячейка содержит ровно 25 24-ячеек, 75 16-ячеек и 75 8-ячеек, причем каждая 16-ячейка и каждая 8-ячейка лежат только в одной 24-ячейке. ^[21]
7. Многогранники полностью непересекающиеся , если все их наборы элементов не пересекаются: у них нет общих вершин, ребер, граней или ячеек. Они по-прежнему могут перекрываться в пространстве, разделяя 4-содержание, объем, область или родословную.
8. Каждая из 25 24-клеток 600-ячейки содержит ровно одну вершину каждого большого пятиугольника. ^[12] Шесть пятиугольников пересекаются в каждой вершине из 600 ячеек, поэтому каждая 24-ячейка пересекает все 144 больших пятиугольника.
9. Пять 24-клеток встречаются на каждой вершине икосаэдрической пирамиды ^[p] из 600 ячеек. Каждая 24-ячейка разделяет не одну вершину, а 6 вершин (одну из четырех шестиугольных центральных плоскостей) с каждой из четырех других 24-ячеек. ^[д]
10. Schoute был первым, кто заявил (сто лет назад), что существует ровно десять способов разделить 120 вершин 600-ячейки на пять непересекающихся 24-ячейки. 25 ячеек по 24 ячейки можно разместить в массиве 5 x 5 так, что каждая строка и каждый столбец массива разделяет 120 вершин ячейки 600 на пять непересекающихся ячеек по 24 ячейки. Строки и столбцы массива — единственные десять таких разделов 600-ячеечного массива. ^[21]
11. 600-ячейка содержит 25 отдельных 24-ячеек, связанных друг с другом пятиугольными кольцами. Каждый пятиугольник соединяет вместе пять полностью непересекающихся ^[g] 24-клеток, коллективными вершинами которых являются 120 вершин 600-ячейки. Каждая 24-точечная 24-ячейка содержит одну пятую всех вершин в 600-ячейке из 120 точек и связана с другими 96 вершинами (которые составляют курносую 24-ячейку) 144 пятиугольниками 600-ячеечной ячейки. Каждая из 25 24-клеток пересекает каждый из 144 больших пятиугольников всего в одной вершине. ^[h] Пять 24-клеток встречаются в каждой вершине из 600 ячеек, ^[i] таким образом, все 25 24-клеток связаны каждым большим пятиугольником. 600-клетку можно разбить на пять непересекающихся 24-клеток (10 различными способами), ^[j] , а также на 24 непересекающихся пятиугольника (вписанных в 12 параллельных больших декагонов Клиффорда одного из 6 десятиугольных расслоений), выбрав пятиугольник из одно и то же расслоение в каждой 24-клеточной вершине.
12. Углы 𝜉 _i и 𝜉 _j — это углы вращения в двух полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые характеризуют вращения в 4-мерном евклидовом пространстве . Угол 𝜂 — это наклон обеих этих плоскостей от полярной оси, где 𝜂 изменяется от 0 до𝜋/2. Координаты (𝜉 _i , 0, 𝜉 _j ) описывают большие круги, которые пересекаются на северном и южном полюсах («линии долготы»). (𝜉 _я ,𝜋/2, 𝜉 _j ) координаты описывают большие круги, ортогональные долготе («экваторы»); в 4-многограннике имеется более одного большого круга «экватора», поскольку экватор 3-сферы представляет собой целую 2-сферу больших кругов. Остальные координаты Хопфа (𝜉 _i , 0 < 𝜂 <𝜋/2, 𝜉 _j ) описывают большие круги ( не «линии широты»), которые пересекают экватор, но не проходят через северный или южный полюс.
13. Преобразование координат Хопфа (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) в декартовы координаты единичного радиуса (w, x, y, z):
    

    ш = потому что 𝜉 _я грех 𝜂

    х = потому что 𝜉 _j потому что 𝜂

    y = грех 𝜉 _j потому что 𝜂

    z = грех 𝜉 _я грех 𝜂

    Полюс начала координат Хопфа (0, 0, 0) является декартовым (0, 1, 0, 0). Условный «северный полюс» декартовой стандартной ориентации равен (0, 0, 1, 0), что соответствует Хопфу (𝜋/2,𝜋/2,𝜋/2). Декартово (1, 0, 0, 0) — это Хопфа (0,𝜋/2, 0).
14. Координаты Хопфа представляют собой тройки трех углов:

    (𝜉 _я , 𝜂, 𝜉 _j )

    которые параметризуют трехмерную сферу путем нумерации точек вдоль ее больших кругов. Координата Хопфа описывает точку как вращение от полярной точки (0, 0, 0). ^[l] Координаты Хопфа являются естественной альтернативой декартовым координатам ^[m] для оснащения правильных выпуклых 4-многогранников, поскольку группа 4-мерных вращений , обозначаемая SO(4), порождает эти многогранники.
15. Существует 600 перестановок этих координат, но в 600-ячейке всего 120 вершин. На самом деле это координаты Хопфа вершин 120-ячейки , которая имеет 600 вершин и которую можно рассматривать (двумя разными способами) как соединение 5 непересекающихся 600-ячеек.
16. В искривленном трехмерном пространстве граничной поверхности из 600 ячеек в каждой вершине можно найти двенадцать ближайших других вершин, окружающих вершину, так же, как вершины икосаэдра окружают его центр. Двенадцать ребер по 600 ячеек сходятся в центре икосаэдра, где они образуют шесть прямых линий, которые там пересекаются. Однако центр фактически смещается в 4-м измерении (радиально наружу от центра 600-ячейки) за пределы гиперплоскости, определяемой вершинами икосаэдра. Таким образом, вершинный икосаэдр на самом деле представляет собой каноническую икосаэдрическую пирамиду , ^[bj] состоящую из 20 правильных тетраэдров на правильном основании икосаэдра, а вершина является ее вершиной. ^[бк]
17. Золотые хорды с дробным корнем - это иррациональные дроби, которые являются функциями √ 5 . Они иллюстрируют, что золотое сечение φ = 1 + √ 5/2≈ 1,618 — это отношение окружности, связанное с 𝜋 : ^[20]
    

    𝜋/5= арккос (φ/2)

    представляет собой одно ребро десятиугольника, хорда 𝚽 = √ 0, 𝚫 = √ 0,382 ~ ≈ 0,618. И наоборот, в этой функции, открытой Робертом Эверестом, выражающей φ как функцию от 𝜋 и чисел 1, 2, 3 и 5 ряда Фибоначчи:
    

    φ = 1 – 2 потому что (3𝜋/5)

    3𝜋/5- длина дуги хорды φ = √ 2,𝚽 = √ 2,618 ~ ≈ 1,618.
18. Ребра из 600 ячеек представляют собой ребра десятиугольника длиной √ 0,𝚫 , что соответствует 𝚽, меньшему золотому сечению √ 5 ; края находятся в обратном золотом сечении 1/φк хордам шестиугольника √ 1 (24-клеточным ребрам). Другие аккорды дробного корня также демонстрируют золотые отношения. Хорда длины √ 1,𝚫 является ребром пятиугольника. Следующая хорда дробного корня представляет собой десятиугольник длиной √ 2,𝚽 , который равен φ , большему золотому сечению √ 5 ; это золотое сечение ^[q] к хорде √ 1 (и радиусу). ^[t] Последняя хорда дробного корня представляет собой диагональ пятиугольника длины √ 3.𝚽 . Диагональ правильного пятиугольника всегда находится в золотом пропорции к его ребру, и действительно φ √ 1,𝚫 равна √ 3,𝚽 .
19. Дробные квадратные корни задаются в виде десятичных дробей, где:
           𝚽 ≈ 0,618 - обратное золотое сечение        𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0,382 Например:        𝚽 = √ 0, 𝚫 = √ 0,382~ ≈ 0,618 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}}$
    
    
    
20. Обратите внимание на диаграмме, как хорда φ ( большое золотое сечение) суммируется с соседним краем 𝚽 ( меньшее золотое сечение) до √ 5 , как если бы вместе они составляли хорду √ 5 , изогнутую так, чтобы поместиться внутри диаметра √ 4 .
21. Рассмотрим одну из 24-вершинных 24-клеток, вписанную в 120-вершинную 600-ячейку. Остальные 96 вершин составляют курносую 24-клетку . Удаление любой 24-элементной ячейки из 600-элементной приводит к образованию курносой 24-элементной ячейки.
22. Каждая тетраэдрическая клетка каким-то образом касается 56 других ячеек. Одна ячейка контактирует с каждой из четырех граней; две ячейки соприкасаются с каждым из шести ребер, но не с гранью; и десять ячеек соприкасаются с каждой из четырех вершин, но не с гранью или ребром.
23. Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее края; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный 24-клеточный тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубооктаэдр — это экваториальное сечение 24-клеточного элемента, а шестиугольник — это экваториальное сечение кубооктаэдра.) Радиально равносторонние многогранники — это те, которые с длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, соприкасающихся в центре. многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро.
24. Ортосхема — это киральный неправильный симплекс с прямоугольными гранями, который характерен для некоторого многогранника , если он точно заполняет этот многогранник отражениями себя в своих собственных гранях (его зеркальных стенках ). Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на экземпляры его характерной ортосхемы, окружающей его центр. Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Кокстера-Дынкина, что и правильный многогранник без образующего точечного кольца.
25. Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого количества измерений. Каждый правильный многогранник можно радиально разделить на одинаковые характеристические ортосхемы , пересекающиеся в его центре. ^[Икс]
26. Все многогранники можно радиально триангулировать в треугольники, пересекающиеся в центре, причем каждый треугольник имеет два радиуса и одно ребро. Существует (по крайней мере) три специальных класса многогранников, которые имеют радиально-треугольную форму треугольника особого типа. Радиально равносторонние многогранники могут быть построены из одинаковых равносторонних треугольников , пересекающихся в центре. ^[w] Радиально-золотые многогранники могут быть составлены из одинаковых золотых треугольников , которые пересекаются в центре. Все правильные многогранники являются радиально правыми многогранниками, которые могут быть построены с их различными центрами элементов и радиусами из одинаковых характеристических ортосхем , которые все встречаются в центре, разделяя правильный многогранник на характеристические прямоугольные треугольники , которые встречаются в центре. ^[й]
27. Длинный радиус (от центра до вершины) 600-ячейки находится в золотом пропорции к длине ее края; таким образом, его радиус равен φ, если длина его ребра равна 1, а длина ребра равна1/φесли его радиус равен 1.
28. Начиная с 16-ячейки, каждый правильный выпуклый 4-многогранник в последовательности единичного радиуса вписывается в его последующий элемент. ^[6] Следовательно, преемник может быть построен путем размещения каких-либо 4-пирамид на клетках его предшественника. Между 16-ячейкой и тессерактом мы имеем 16 прямоугольных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта. Между тессерактом и 24-клеточным у нас есть 8 канонических кубических пирамид . Но если мы поместим 24 канонические октаэдрические пирамиды на 24-ячейку, мы получим только еще один тессеракт (с удвоенным радиусом и длиной ребра), а не преемницу 600-ячейки. Между 24-ячеечной и 600-ячеечной пирамидой должно быть 24 меньших неправильных 4-пирамиды на правильном восьмигранном основании.
29. Шесть больших десятиугольников, проходящих мимо каждой ячейки тетраэдра по ее краям, не все пересекаются друг с другом, потому что не все 6 ребер тетраэдра имеют общую вершину. Каждый декагон пересекает четыре других (под углом 60 градусов), но пропускает лишь один из остальных, поскольку они проходят друг мимо друга (под углом 90 градусов) вдоль противоположных и перпендикулярных косых ребер тетраэдра. Каждый тетраэдр связывает три пары десятиугольников, не пересекающихся в вершинах тетраэдра. Однако ни один из шести десятиугольников не является параллельным Клиффорда; Каждый из ^[af] принадлежит разным пучкам расслоений Хопфа из 12. Только одно из шести ребер тетраэдра может быть частью спирали в любом кольце тройной спирали Бурдейка – Коксетера. ^{[объявление]} Между прочим, эта сноска представляет собой один из тетраэдров из четырех сносок о параллельных декагонах Клиффорда ^[ae] , которые все ссылаются друг на друга.
30. Поскольку у тетраэдров ^[ac] нет противоположных граней, единственный способ их укладки лицом к лицу по прямой линии — это в форме скрученной цепочки, называемой спиралью Бурдейка-Коксетера . Это тройная спираль, параллельная ^[af] Клиффорда , как показано на рисунке. В 600-ячейке мы находим их согнутыми в четвертом измерении в геодезические кольца. Каждое кольцо имеет 30 ячеек и соприкасается с 30 вершинами. Каждая из ячеек соединена гранями с двумя соседними ячейками, но одно из шести ребер каждого тетраэдра принадлежит только этой ячейке, и эти 30 ребер образуют три параллельных Клиффорда больших десятиугольника, которые спирально вращаются вокруг друг друга. ^[ae] 5 колец по 30 ячеек встречаются в каждом декагоне и закручиваются по спирали (как 5 тетраэдров встречаются на каждом ребре). Пучок из 20 таких клеточно-непересекающихся колец заполняет все 600 ячеек, образуя таким образом дискретное расслоение Хопфа . Существует шесть различных таких расслоений Хопфа, покрывающих одно и то же пространство, но идущих в разных «направлениях».
31. Два параллельных Клиффорда ^[af] больших десятиугольника не пересекаются, но их соответствующие вершины соединены одним ребром другого десятиугольника. Два параллельных десятиугольника и десять соединяющихся ребер образуют двойное спиральное кольцо. Три декагона также могут быть параллельными (декагоны состоят из параллельных пучков волокон по 12 штук), и три из них могут образовывать тройное спиральное кольцо. Если кольцо разрезать и разложить в трехмерном пространстве, оно представляет собой спираль Бурдейка – Кокстера ^[ad] длиной 30 тетраэдров ^[ac] . Три параллельных десятиугольника Клиффорда можно рассматривать как голубые края на иллюстрации тройной спирали. Каждое пурпурное ребро — это одно ребро другого десятиугольника, соединяющее два параллельных десятиугольника.

32. 

    Два параллельных больших круга Клиффорда, охватываемых скрученным кольцом .

    Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, параллельные в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. Двойная спираль является примером параллелизма Клиффорда в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда представляют собой большие геодезические круги на 3-сфере . ^[23] В то время как в 3-мерном пространстве любые два геодезических больших круга на 2-сфере всегда будут пересекаться в двух противоположных точках, в 4-мерном пространстве не все большие круги пересекаются; На трехмерной сфере можно найти различные наборы параллельных непересекающихся больших геодезических кругов Клиффорда. Они закручиваются друг вокруг друга в пучки волокон Хопфа , которые в 600-ячейке посещают все 120 вершин только один раз. Например, каждый из 600 тетраэдров участвует в 6 больших декагонах ^[ac], принадлежащих 6 дискретным расслоениям Хопфа , каждое из которых заполняет всю 600-ячейку. Каждое расслоение представляет собой пучок из 12 параллельных декагонов Клиффорда, которые образуют 20 непересекающихся между собой переплетающихся колец из 30 тетраэдрических ячеек, каждая из ^{которых} ограничена тремя из 12 больших декагонов. ^[аэ]
33. 10 шестиугольников, пересекающихся в каждой вершине, лежат вдоль 20 коротких радиусов вершинной фигуры икосаэдра. ^[п]
34. Каждая из 25 вписанных 24-клеток имеет по 3 вписанных тессеракта, каждая из которых имеет 8 √ 1 кубических ячеек. Хорды ​​1200 √ 3 — это 4 длинных диаметра этих 600 кубов. Три тессеракта в каждой 24-ячейке перекрываются, и каждая хорда √ 3 представляет собой длинный диаметр двух разных кубов в двух разных тессерактах в двух разных 24-ячейках. Каждый куб принадлежит только одному тессеракту всего в одной 24-клеточной ячейке.
35. Сумма 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 составляет 14 400.
36. Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. ^[28]
37. Триаконтагон или 30- угольник — это тридцатигранный многоугольник. Триаконтагон — самый большой правильный многоугольник, внутренний угол которого равен сумме внутренних углов меньших многоугольников: 168° — это сумма внутренних углов равностороннего треугольника (60°) и правильного пятиугольника (108°).
38. 600-ячейка имеет 72 больших 30-угольника: 6 наборов по 12 30-угольных центральных плоскостей, параллельных Клиффорду, каждая из которых полностью ортогональна центральной плоскости десятиугольника. В отличие от больших кругов 600-ячейки единичного радиуса, которые проходят через ее вершины, этот 30-угольник на самом деле не является большим кругом 3-сферы единичного радиуса. Поскольку он проходит через центры граней, а не через вершины, он имеет меньший радиус и лежит на меньшей трехмерной сфере. Конечно, в этой центральной плоскости существует также большой круг единичного радиуса, полностью ортогональный центральной плоскости десятиугольника, но как многоугольник большого круга он представляет собой 0-угольник, а не 30-угольник, поскольку он не пересекает ни одну из точек. из 600-кл. В 600-ячейке многоугольник большого круга, полностью ортогональный каждому большому десятиугольнику, представляет собой 0-угольник.
39. 30 вершин и 30 ребер кольца из 30 ячеек лежат на перекошенном звездчатом многоугольнике {30/11} с числом витков 11, называемом триаконтаграммой ₁₁ , непрерывной тугой штопорной спиралью , согнутой в петлю из 30 ребер ( пурпурные края на иллюстрации тройной спирали), которая оборачивается 11 раз вокруг себя в ходе одного оборота вокруг 600-ячеечного кольца, сопровождаемого одним поворотом на 360 градусов кольца из 30 ячеек. ^[34] То же кольцо из 30 ячеек можно также охарактеризовать как многоугольник Петри из 600 ячеек. ^[см.]
40. Каждая центральная плоскость большого десятиугольника полностью ортогональна большой центральной плоскости из 30 угольников ^[ak] , которая не пересекает ни одной вершины 600-ячейки. Каждый из 72 30-угольников представляет собой центральную ось 30-ячеечного тройного спирального кольца Бурдейка-Коксетера, ^[ad], причем каждый сегмент 30-угольника аналогичным образом проходит через тетраэдр. Большой 30-угольный круг полностью находится на изогнутой трехмерной поверхности своей трехмерной сферы; ^[al] его изогнутые сегменты не являются аккордами. Он не касается ребер или вершин, но затрагивает грани. Это центральная ось косой 30-граммовой спирали, многоугольника Петри из 600 ячеек, который соединяет все 30 вершин 30-ячеечной спирали Бурдейка – Коксетера с тремя ее ребрами в каждой ячейке. ^{[являюсь]}
41. Точка при изоклиническом вращении пересекает диагональную ^[cr] прямую линию одной изоклинической геодезической , напрямую достигая пункта назначения, вместо изогнутой линии двух последовательных простых геодезических . Геодезическая – это кратчайший путь через пространство (интуитивно, между двумя точками натянута нить). Простые геодезические — это большие круги, лежащие в центральной плоскости (единственный вид геодезических, встречающийся в трехмерном пространстве на двухсфере). Изоклинические геодезические устроены иначе: они не лежат в одной плоскости; это четырехмерные спирали, а не простые двумерные круги. ^[bf] Но они также не похожи на трехмерную резьбу , потому что образуют замкнутый контур, как любой круг. ^[cs] Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги , и они такие же круглые, как и 2-мерные круги: фактически, в два раза круглее, потому что они изгибаются по окружности одновременно в двух полностью ортогональных направлениях. ^[ch] Это настоящие круги, ^[cn] и они даже образуют расслоения , как обычные двумерные большие круги. Эти изоклины представляют собой одномерные геодезические линии, встроенные в четырехмерное пространство. На 3-сфере ^[ct] они всегда встречаются в киральных парах как круги Вильярсо на торе Клиффорда , ^[cw] геодезические пути, пройденные вершинами при изоклиническом вращении . Они представляют собой спирали , согнутые в петлю Мёбиуса в четвертом измерении, проходящие диагональный маршрут вокруг 3-сферы через несмежные вершины скошенного многоугольника Клиффорда 4-многогранника . ^{[резюме]}
42. В четырехмерном пространстве не более четырех больших кругов могут быть параллельны Клиффорду ^[af] и находиться на одинаковом угловом расстоянии друг от друга. ^[30] Такие центральные плоскости взаимно изоклиничны : каждая пара плоскостей разделена двумя равными углами, и изоклинический поворот на этот угол сведет их вместе. Если три или четыре такие плоскости разделены одним и тем же углом, они называются эквиизоклиническими .
43. Декагональные плоскости в 600-ячейке встречаются в экви-изоклинических ^[ap] группах по 3, везде, где 3 клиффордовских параллельных декагона 36° (𝝅/5) друг от друга образуют 30-ячеечное тройное спиральное кольцо Бурдейка – Кокстера. ^{[объявление]} Также по Клиффорду, параллельно этим 3 декагонам, есть 3 эквиизоклинических декагона 72 ° (2𝝅/5) друг от друга, 3 108° (3𝝅/5) друг от друга и 3 144° (4𝝅/5) отдельно, всего 12 параллельных декагонов Клиффорда (120 вершин), составляющих дискретное расслоение Хопфа. Поскольку большие декагоны лежат в изоклинических плоскостях, разделенных двумя равными углами, их соответствующие вершины разделены комбинированным вектором относительно обоих углов. Векторы в 4-мерном пространстве могут быть объединены с помощью кватернионного умножения , открытого Гамильтоном . ^[31] Соответствующие вершины двух больших многоугольников под углом 36° (𝝅/5) разнесены изоклиническим вращением на 60° (𝝅/3) отдельно в 4-мерном пространстве. Соответствующие вершины двух больших многоугольников, равных 108° (3𝝅/5) разнесены изоклиническим вращением также на 60° (𝝅/3) отдельно в 4-мерном пространстве. Соответствующие вершины двух больших многоугольников со стороной 72° (2𝝅/5) разнесены изоклиническим вращением на 120° (2𝝅/3) друг от друга в 4-мерном пространстве, а соответствующие вершины двух больших многоугольников имеют угол 144° (4𝝅/5) разнесены изоклиническим вращением также на 120° (2𝝅/3) отдельно в 4-мерном пространстве.
44. Шестиугольные плоскости в ячейке с 600 ячейками встречаются в эквиизоклинических ^[ap] группах по 4, везде, где 4 шестиугольника Клиффорда параллельны 60 ° (𝝅/3) друг от друга образуют 24 ячейки. Также по Клиффорду параллельно этим 4 шестиугольникам есть 4 равноизоклинных шестиугольника 36 ° (𝝅/5) друг от друга, 4 72° (2𝝅/5) друг от друга, 4 108° (3𝝅/5) друг от друга и 4 144° (4𝝅/5) отдельно, всего 20 параллельных шестиугольников Клиффорда (120 вершин), составляющих дискретное расслоение Хопфа.
45. Квадратные плоскости в ячейке из 600 ячеек встречаются в экви-изоклинических ^[ap] группах по 2 везде, где 2 параллельных квадрата Клиффорда 90 ° (𝝅/2) друг от друга образуют 16-клеточную. Также параллельно этим 2 квадратам Клиффорда находятся 4 эквиизоклинические группы из 4, где 3 Клиффорда параллельны 16-ячейкам 60° (𝝅/3) друг от друга образуют 24 ячейки. Также параллелью Клиффорда являются 4 эквиизоклинические группы 3: 3 36° (𝝅/5) друг от друга, 3 72° (2𝝅/5) друг от друга, 3 108° (3𝝅/5) друг от друга и 3 144° (4𝝅/5) друг от друга, всего 30 параллельных квадратов Клиффорда (120 вершин), составляющих дискретное расслоение Хопфа.
46. Два угла необходимы для фиксации взаимного положения двух плоскостей в 4-мерном пространстве. ^[29] Поскольку все плоскости в одной и той же гиперплоскости отстоят друг от друга на 0 градусов по одному из двух углов, в трехмерном пространстве требуется только один угол. Большие десятиугольники кратны (от 0 до 4) 36° (𝝅/5) отдельно в каждом угле и может находиться под одним и тем же углом в обоих углах. ^[aq] Большие шестиугольники могут иметь угол 60° (𝝅/3) различаются по одному или обоим углам и могут быть кратны (от 0 до 4) 36° (𝝅/5) отдельно в одном или обоих углах. ^[ar] Большие квадраты могут иметь угол 90° (𝝅/2) друг от друга в одном или обоих углах, может составлять 60° (𝝅/3) различаются по одному или обоим углам и могут быть кратны (от 0 до 4) 36° (𝝅/5) отдельно в одном или обоих углах. ^[as] Плоскости, разделенные двумя равными углами, называются изоклиническими . ^[ap] Изоклинические плоскости имеют параллельные большие круги Клиффорда . ^[af] Большой шестиугольник и большой десятиугольник могут быть изоклиническими, но чаще всего они разделены перемычкой.𝝅/3(60°) и кратное (от 1 до 4)𝝅/5(36°) угол.
47. В 24-ячейке каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата, а каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две противоположные вершины: плоскости большого двуугольника .
48. Каждое расслоение Хопфа 3-сферы на параллельные слои большого круга Клиффорда имеет карту (называемую ее основанием ), которая представляет собой обычную 2-сферу . ^[42] На этой карте каждое волокно большого круга отображается как отдельная точка. Основанием большого декагона из 600 ячеек является икосаэдр , в котором каждая вершина представляет один из 12 больших декагонов. ^[24] Для тополога основание не обязательно является какой-либо частью объекта, который он отображает: не ожидается, что базовый икосаэдр будет ячейкой или внутренней особенностью 600-ячеистой структуры, это просто сфера, аналогичная по размерам, ^[bc] полезная для рассуждений о расслоении. Но на самом деле в 600-ячейке действительно есть икосаэдры: 120 икосаэдральных вершинных фигур , ^[p] любую из которых можно рассматривать как ее основание: трехмерную модель в масштабе 1:10 всей 4-мерной 600-ячеечной модели. Каждый трехмерный вершинный икосаэдр поднимается в четырехмерный 600-ячеечный поворот изоклиническим поворотом на 720 градусов , ^[ao] который превращает каждую из его 4 непересекающихся треугольных граней в круг вокруг одного из 4 непересекающихся 30-вершинных колец из 30 тетраэдров. ячеек (каждая из которых сплетена из трех параллельных больших десятиугольников Клиффорда), и таким образом посещает все 120 вершин 600-ячейки. Поскольку 12 больших десятиугольных кругов (из 4 колец) являются параллельными декагонами Клиффорда одного и того же расслоения, мы можем геометрически увидеть, как икосаэдр работает как карта расслоения Хопфа всей 600-ячейки и как расслоение Хопфа является выражение изоклинической симметрии . ^[43]
49. Правильный косой 30-угольник - это многоугольник Петри с 600 ячейками и его двойной многоугольник со 120 ячейками . Полигоны Петри из 120 ячеек встречаются в 600-ячейках как двойники 30-ячеечных спиральных колец Бурдейка-Коксетера: соединение их 30-клеточных центров вместе дает полигоны Петри двойных 120-ячеек, как заметил Рольфдитер Франк ( около 2001 г.). Таким образом он обнаружил, что набор вершин из 120 ячеек разбивается на 20 непересекающихся многоугольников Петри. Этот набор из 20 непересекающихся параллельных косых многоугольников Клиффорда представляет собой дискретное расслоение Хопфа 120-клеточного (точно так же, как их 20 двойных колец по 30 ячеек являются дискретным расслоением 600-клеточного).
50. Это √ 2 тетраэдрические ячейки из 75 вписанных 16 ячеек, а не √ 0 ,𝚫 тетраэдрические ячейки из 600 ячеек.
51. ‟Многоугольники Петри Платонова тела соответствуют экваториальным многоугольникам усечения и экваторам упрощенно разделенной сферической мозаики . Это « симплициальное подразделение » представляет собой расположение прямоугольных сферических треугольников, на которые сфера разлагается плоскостями симметрии твердого тела. Большие круги, лежащие в этих плоскостях, раньше назывались «линиями симметрии», но, возможно, более яркое название — отражающие круги . Аналогичное симплициальное подразделение сферических сот состоит из тетраэдров 0123 , на которые гиперсфера (в евклидовом 4-мерном пространстве) разлагается гиперплоскостями симметрии многогранника . Большие сферы, лежащие в этих гиперплоскостях, естественно называть отражающими сферами . Поскольку в ортосхеме нет тупых углов, она целиком содержит дугу, измеряющую абсолютно кратчайшее расстояние 𝝅/ h [между] 2 h- тетраэдрами, [которые] нанизаны, как бусины на ожерелье, или как «вращающееся кольцо тетраэдров». .. противоположные края которого являются образующими геликоида. Два противоположных края каждого тетраэдра связаны винтовым смещением. ^[bo] Следовательно, общее количество сфер равно 2 h ». ^[66] ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{{\tfrac {p}{q}}\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q,r}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$
52. Кольца параллельных ячеек Клиффорда расслоения могут быть или не быть киральными объектами, в зависимости от того, имеют ли ячейки 4-многогранника противоположные грани или нет. Характерные клеточные кольца 16-клеточного и 600-клеточного (с тетраэдрическими клетками) хиральны: закручиваются либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Изоклины, действующие либо с левой, либо с правой киральностью (не с обоими), проходят через клеточные кольца этого типа, хотя каждое расслоение содержит как левые, так и правые клеточные кольца. ^[dk] Характерные клеточные кольца тессеракта, 24-клеточные и 120-клеточные (с кубическими, октаэдрическими и додекаэдрическими ячейками соответственно) прямо конгруэнтны, а не хиральны: в каждом из этих 4-х типов имеется только один тип характеристического клеточного кольца. -многогранник, и он не скручен (у него нет кручения ). Через такие клеточные кольца проходят пары левых и правых изоклин. Обратите внимание, что все эти 4-многогранники (кроме 16-ячеечного) содержат расслоения характеристических клеточных колец своих вписанных предшественников в дополнение к своим собственным характеристическим расслоениям, поэтому 600-ячеечный содержит как хиральные, так и прямо конгруэнтные клеточные кольца.
53. Выбор разбиения правильного 4-многогранника на клеточные кольца произволен, поскольку все его ячейки одинаковы. Никакое конкретное расслоение не выделяется, если только 4-многогранник не вращается. При изоклинических вращениях один набор клеточных колец (одно расслоение) выделяется как уникальный контейнер этой отдельной пары лево-правых вращений и ее изоклин.
54. Единственный способ разделить 120 вершин 600-ячейки на 4 полностью непересекающихся 30-вершинных и 30-клеточных колец ^[ad] - это разделить каждую из 15 полностью непересекающихся 16-ячеек аналогичным образом на 4 симметричные части: 4 антиподальные вершины пары, лежащие на 4-х ортогональных осях 16-ячейки. 600-ячейка содержит 75 отдельных 16-ячеек, которые можно разделить на наборы по 15 полностью непересекающихся 16-ячеек. В любом наборе из 4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец имеется набор из 15 полностью непересекающихся 16-клеточных колец, с одной осью каждой 16-клеточной ячейки в каждом 30-клеточном кольце.
55. Кто-то может спросить, «всегда ли работает» размерная аналогия, или, возможно, это «просто догадки», которые иногда могут быть неспособны создать правильную размерную аналогичную фигуру, особенно при рассуждениях от низшего измерения к высшему. Очевидно, размерная аналогия в обоих направлениях имеет прочную математическую основу. Дечант ^[41] вывел 4D-группы симметрии из их аналогов из 3D-групп симметрии методом индукции, продемонстрировав, что в 4D-симметрии нет ничего, что не было бы присуще 3D-симметрии. Он показал, что ни 4D-симметрия, ни 3D-симметрия не являются более фундаментальными, чем другая, поскольку одна из них может быть выведена из другой. Это верно независимо от того, вычисляются ли размерные аналогии с использованием теории групп Кокстера или геометрической алгебры Клиффорда. Эти два довольно разных вида математики дают взаимодополняющие геометрические идеи. Другим глубоким примером математики размерной аналогии является расслоение Хопфа , отображение между точками на 2-сфере и непересекающимися (параллельными Клиффорда) большими кругами на 3-сфере.
56. В отличие от ограничивающих их десятиугольников, сами кольца из 20 ячеек не все являются клиффордовскими параллельными друг другу, потому что только полностью непересекающиеся многогранники являются клиффордовскими параллельными. ^[g] 20 клеточных колец имеют 5 различных подмножеств из 4 параллельных клеточных колец Клиффорда. Каждое клеточное кольцо ограничено 3 параллельными клиффордовскими большими декагонами, поэтому каждое подмножество из 4 параллельных клиффордовских клеточных колец ограничено в общей сложности 12 параллельными клиффордовскими большими декагонами (дискретное расслоение Хопфа). Фактически каждое из 5 различных подмножеств 4 клеточных колец ограничено одними и теми же 12 параллельными большими десятиугольниками Клиффорда (то же самое расслоение Хопфа); Есть 5 разных способов рассматривать одни и те же 12 десятиугольников как набор из 4 клеточных колец (и, что эквивалентно, только один способ рассматривать их как один набор из 20 клеточных колец).
57. Обратите внимание, что спирали ячеек разного цвета представляют собой разные клеточные кольца (или кольцеобразные отверстия) в одном и том же слое, а не разные слои 4-многогранника. Каждое расслоение представляет собой весь 4-многогранник.
58. Можно сказать, что при двойном вращении каждая вершина движется по двум полностью ортогональным большим кругам одновременно, но она не остается в пределах центральной плоскости ни одного из этих исходных больших кругов; скорее, он движется по винтовой геодезической, которая проходит по диагонали между большими кругами. Две полностью ортогональные плоскости вращения называются инвариантными, поскольку точки в каждой из них остаются на своих местах в плоскости при движении плоскости , вращаясь и наклоняясь в сторону на угол, на который поворачивается другая плоскость.
59. Полюса инвариантной оси вращающейся 2-сферы по размерам аналогичны паре инвариантных плоскостей вращающейся 3-сферы. Полюса вращающейся 2-сферы по размерам аналогичны соединенным между собой большим кругам 3-сферы. По аналогии с размерностями, каждая одномерная точка в 3D поднимается до 2D-линии в 4D, в данном случае круга. ^[av] Два противоположных полюса вращения поднимаются к паре круговых волокон Хопфа, которые не просто параллельны и взаимосвязаны по Клиффорду, ^[af] , но также и полностью ортогональны . Инвариантные большие круги четырехмерного вращения являются его полюсами. В случае изоклинического вращения существует не просто одна такая пара двумерных полюсов (полностью ортогональные слои большого круга Хопфа), таких пар много: конечное число пар кругов, если расслоение трехмерных сфер дискретно (например, правильный многогранник с конечным числом вершин), или же бесконечное число пар ортогональных окружностей, полностью заполняющих 3-сферу. Каждая точка в искривленном 3-пространстве 3-сферы лежит на одной такой окружности (никогда на двух, поскольку полностью ортогональные окружности, как и все слои большой окружности Хопфа, параллельные Клиффорду, не пересекаются). Там, где 2D-вращение имеет один полюс, а 3D-вращение 2-сферы имеет 2 полюса, изоклиническое 4D-вращение 3-сферы не имеет ничего, кроме полюсов , их бесконечное количество. В дискретном 4-многограннике все параллельные инвариантные большие многоугольники вращения Клиффорда являются полюсами и заполняют 4-многогранник, проходя через каждую вершину только один раз. За один полный оборот такого вращения каждая точка пространства ровно один раз проходит через свою полюсную окружность. Круги расположены с удивительной симметрией, так что каждый полюсный круг связан с каждым другим полюсным кругом , как максимально плотная ткань четырехмерной кольчуги, в которой все круги связаны друг с другом, но никакие два круга никогда не пересекаются.
60. 4 красных грани курносого тетраэдра соответствуют 4 полностью непересекающимся клеточным кольцам разреженной конструкции расслоения (его подрасслоения ). Красные грани сосредоточены на вершинах вписанного тетраэдра и лежат в центре больших граней вписывающего тетраэдра.
61. Поскольку октаэдр можно усечь, получив икосаэдр, ^[48] другое название икосаэдра — курносый октаэдр . Этот термин относится конкретно к расположению граней икосаэдра с более низкой симметрией (8 граней одного цвета и 12 — другого).
62. 120-точечная 600-ячеечная структура имеет 120 перекрывающихся икосаэдрических пирамид. ^[п]
63. Икосаэдр не является радиально равносторонним в евклидовом трехмерном пространстве, но икосаэдрическая пирамида радиально равносторонняя в искривленном трехмерном пространстве поверхности из 600 ячеек ( 3-сфера ). В четырехмерном пространстве 12 ребер, исходящих из ее вершины, на самом деле не являются ее радиусами: вершина икосаэдрической пирамиды на самом деле не ее центр, а всего лишь одна из ее вершин. Но в искривленном трехмерном пространстве ребра, исходящие симметрично от вершины, являются радиусами, поэтому икосаэдр в этом искривленном трехмерном пространстве радиально равносторонний . В евклидовом 4-мерном пространстве 24 ребра, симметрично исходящие из центральной точки, образуют радиально равносторонний 24-клеточный , а симметричное подмножество из 16 таких ребер образует радиально равносторонний тессеракт .
64. Ребро икосаэдра между двумя синими гранями окружено двумя ячейками икосаэдрической пирамиды с голубыми гранями и 3 ячейками из соседнего кластера из 5 ячеек (одна из которых является центральным тетраэдром из пяти)
65. Все пятиугольные пирамиды вокруг каждой вершины икосаэдра « курносого октаэдра » выглядят одинаково, с двумя желтыми и тремя синими гранями. Каждый пятиугольник имеет пять различных ориентаций вращения. Вращение любой пятиугольной пирамиды вращает их все, поэтому пять положений вращения — это единственные пять различных способов расположения цветов.
66. Обратите внимание, что сокращение является хиральным, поскольку есть два варианта диагонали, с которых можно начать складывать квадратные грани.
67. Пусть Q обозначает вращение, R - отражение, T - сдвиг, и пусть Q ^q R ^r T обозначает произведение нескольких таких преобразований, все коммутативные друг с другом. Тогда RT — скользящее отражение (в двух или трех измерениях), QR — вращательное отражение, QT — винтовое смещение и Q ² — двойное вращение (в четырех измерениях). Каждое ортогональное преобразование выражается как
                Q ^q R ^r,
    где 2 q + r ≤ n — количество измерений. Преобразования, включающие трансляцию, выражаются как
                Q ^q R ^r T
    где 2 q + r + 1 ≤ n . В частности,
    для n = 4 каждое смещение представляет собой либо двойное вращение Q ² , либо винтовое смещение QT (где компонента вращения Q представляет собой простое вращение). Каждое энантиоморфное преобразование в 4-пространстве (обращающее киральность) является QRT. ^[69]
68. Эти преобразования не входят в число ортогональных преобразований групп Кокстера, порожденных отражениями. ^[bo] Они представляют собой преобразования пиритоэдрической группы трехмерной симметрии , уникальной многогранной точечной группы, которая не является ни группой вращения, ни группой отражения. ^[53]
69. Существует вершинный икосаэдр ^[p] внутри каждой центральной секции октаэдра с 24 ячейками (не внутри октаэдрической ячейки √ 1 , а в более крупном октаэдре √ 2 , который лежит в центральной гиперплоскости), а также икосаэдр большего размера внутри каждой 24-ячеечной ячейки. кубооктаэдр. Два икосаэдра разного размера представляют собой вторую и четвертую части 600-ячеистой структуры (начинающиеся с вершины). Октаэдр и кубооктаэдр — центральные сечения 24-клетки (начинающиеся с вершины и начиная с ячейки соответственно). ^[50] Кубооктаэдр, большой икосаэдр, октаэдр и малый икосаэдр гнездятся, как русские куклы , и связаны спиральным сжатием. ^[51] Сокращение начинается с того, что квадратные грани кубооктаэдра складываются внутрь по диагоналям, образуя пары треугольников. ^[bn] 12 вершин кубооктаэдра движутся навстречу друг другу до точек, где они образуют правильный икосаэдр (большой икосаэдр); они немного сближаются, пока не образуют икосаэдр Джессена ; они продолжают двигаться навстречу друг другу, пока не сольются в 8 вершин октаэдра; ^[52] и продолжают двигаться по тем же винтовым траекториям, снова разделяясь на 12 вершин курносого октаэдра (малого икосаэдра). ^[bi] Геометрия этой последовательности преобразований ^[bp] в S 3 аналогична кинематике кубооктаэдра и тенсегрити-икосаэдра в R 3 . Скручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между этими многогранниками были названы Бакминстером Фуллером преобразованиями Джиттербага . ^[54]
70. Эти 12 ячеек соединены краями с центральной ячейкой, лицевой стороной с внешними гранями кластера из 5 и соединены лицевой стороной друг с другом попарно. Это клетки с голубыми лицами в шести различных икосаэдрических пирамидах, окружающих группу из пяти.
71. Тетраэдр √ 1 имеет объем 9 √ 0,𝚫 тетраэдрических ячеек. В изогнутом трехмерном объеме из 600 ячеек он заключает в себе кластер из 5 ячеек, которые не заполняют его полностью. 6 дипирамид (12 ячеек), помещающиеся в вогнутости кластера из 5 ячеек, переполняют его: только треть каждой дипирамиды лежит внутри тетраэдра √ 1 . Дипирамиды вносят в него по трети каждой из 12 ячеек, что соответствует объему, соответствующему 4 ячейкам.
72. 600-ячеечная структура также содержит 600 октаэдров . Первое сечение 600-ячейки, начинающееся с ячейки, тетраэдрическое, а третье сечение — октаэдрическое. Эти внутренние октаэдры не являются ячейками 600-ячеек, поскольку они не разделены по объему, но каждый из них является клеткой одной из 25 внутренних 24-ячеек. 600-ячейка также содержит 600 кубов, каждый из которых является ячейкой одного из 75 внутренних 8-ячеечных тессерактов. ^[ах]
73. Каждое √ 1 ребро октаэдрической ячейки представляет собой длинный диаметр другой тетраэдрической дипирамиды (еще две тетраэдрические ячейки, связанные гранями). В 24-ячеечной пирамиде каждое ребро окружено тремя октаэдрическими ячейками, поэтому одна треть дипирамиды лежит внутри каждого октаэдра, разделенная между двумя соседними вогнутыми гранями. Каждая вогнутая грань заполнена на одну шестую каждой из трех дипирамид, окружающих три ее края, поэтому она имеет такой же объем, как одна тетраэдрическая ячейка.
74. Октаэдрическая ячейка √ 1 (любая 24-ячейка, вписанная в 600-ячейку) имеет шесть вершин, которые все лежат в одной гиперплоскости: они ограничивают октаэдрическое сечение (плоский трехмерный срез) 600-ячейки. Один и тот же октаэдр √ 1 , заполненный 25 ячейками тетраэдра, имеет всего 14 вершин, лежащих в трех параллельных трехмерных сечениях 600-ячейки: 6-точечном √ 1 октаэдре, 4-точечном √ 1 тетраэдре и 4-точечное √ 0,𝚫 тетраэдрическое сечение. В искривленном трехмерном пространстве поверхности из 600 ячеек октаэдр √ 1 окружает тетраэдр √ 1 , который окружает тетраэдр √ 0,𝚫 , как три концентрические оболочки. Этот 14-вершинный 4-многогранник представляет собой 4-пирамиду с правильным основанием октаэдра: не каноническую октаэдрическую пирамиду с одной вершиной (которая имеет всего 7 вершин), а неправильную усеченную октаэдрическую пирамиду. Поскольку ее основанием является правильный октаэдр, который представляет собой октаэдрическую ячейку с 24 ячейками, эта 4-пирамида лежит на поверхности 24-ячеечной пирамиды.
75. Вершина канонической √ 1 октаэдрической пирамиды была усечена до правильной тетраэдрической ячейки с более короткими √ 0,𝚫 ребрами, а вершина заменена четырьмя вершинами. Усечение также создало еще четыре вершины (расположенные в виде тетраэдра √ 1 в гиперплоскости между основанием октаэдра и вершинной тетраэдрической ячейкой) и связало эти восемь новых вершин с ребрами √ 0,𝚫 . Таким образом, усеченная пирамида имеет восемь «вершин» вершин над гиперплоскостью ее октаэдрического основания, а не только одну вершину: всего 14 вершин. Исходная пирамида имела плоские стороны: пять геодезических маршрутов от любой базовой вершины к противоположной базовой вершине проходили вдоль двух √ 1 ребер (и только один из этих маршрутов проходил через единственную вершину). Усеченная пирамида имеет закругленные стороны: пять геодезических маршрутов от любой вершины основания к противоположной вершине основания проходят по трем √ 0,𝚫 ребрам (и проходят через две «вершины»).
76. Однородные 4-многогранники, на которые больше всего похож этот неправильный 4-многогранник с 14 вершинами и 25 ячейками, могут быть выпрямленным 5- клеточным многогранником с 10 вершинами и 10 ячейками и его двойником (он имеет характеристики обоих).
77. Как может неровный квадрат «яичного ящика» из 100 тетраэдров лежать на гладкой поверхности тора Клиффорда? ^[cd] Но как плоский квадрат 10x10 может представлять собой 120-вершинную 600-ячейку (где остальные 20 вершин)? При изоклиническом вращении 600-ячейки в инвариантных плоскостях большого декагона тор Клиффорда представляет собой гладкую евклидову 2-поверхность , которая пересекает средние края ровно 100 тетраэдрических ячеек. Ребра – это то, чего у тетраэдров 6. Средние ребра не являются вершинами 600-ячеечного многогранника, но все они являются 600 вершинами его двойственного многогранника равного радиуса, 120-ячеечного. В 120-ячейку вписаны 5 непересекающихся 600-ячеек, двумя разными способами. Этот отчетливый гладкий тор Клиффорда (это вращение) представляет собой дискретное расслоение 120 ячеек в 60 инвариантных плоскостях декагона и дискретное расслоение 600 ячеек в 12 инвариантных плоскостях декагона.
78. Кольцевые промежутки между икосаэдрами заполнены кольцом из 10 тетраэдров, связанных гранями, которые все встречаются в вершине, где встречаются два икосаэдра. Это кольцо из 10 ячеек имеет форму пятиугольной антипризмы , выдолбленной как чаша с верхней и нижней сторон, так что в центре оно имеет нулевую толщину. Эта центральная вершина, как и все другие вершины 600-ячеистой структуры, сама является вершиной икосаэдрической пирамиды, где встречаются 20 тетраэдров. ^[bj] Следовательно, кольцевое кольцо из 10 тетраэдров само по себе является экваториальным кольцом икосаэдрической пирамиды, содержащим 10 из 20 ячеек ее икосаэдрической пирамиды.
79. Поверхность со 100 гранями столбца из 150 ячеек с треугольной гранью можно разрезать ножницами вдоль по пути 10 ребер, очистить и уложить ровно в виде параллелограмма треугольников 10 × 10.
80. Поскольку поверхность со 100 гранями тора из 150 ячеек попеременно выпукла и вогнута, 100 тетраэдров укладываются на нее парами, связанными гранями, как 50 треугольных бипирамид , которые имеют одну общую приподнятую вершину и закрывают один ранее обнаженный край долины. Треугольные бипирамиды соединены вершинами друг с другом в 5 параллельных линий по 5 бипирамид (10 тетраэдров) в каждой, которые проходят прямо вверх и вниз по внешней поверхности столбца из 150 ячеек.
81. 5 декагонов спирали по часовой стрелке и 5 спиралей против часовой стрелки, пересекающиеся друг с другом в 50 вершинах долины.
82. Тор Клиффорда — это расслоение Хопфа определенного изоклинического вращения жесткой трехмерной сферы , включающее все ее точки. Тор , встроенный в четырехмерное пространство , как и двойное вращение, является декартовым произведением двух полностью ортогональных больших кругов . Это пончик с начинкой , а не кольцевой пончик; в 3-сфере нет дырки, кроме окружающего ее 4-шара . Правильный 4-многогранник имеет различное число характеристических торов Клиффорда, поскольку он имеет различное число характеристических вращательных симметрий. Каждый образует дискретное расслоение, которое достигает всех дискретных точек по одному разу в изоклиническом вращении с отдельным набором пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей.
83. Тот же 10-гранный пояс икосаэдрической пирамиды представляет собой кольцевое кольцо из 10 тетраэдров вокруг вершины. ^[бз]
84. Многоугольник Петри с 600 ячейками представляет собой косой триаконтагон {30} . В ортогональной проекции ее можно рассматривать как окружность триаконтаграммы спирали {30/3}=3{10}, которая делает зигзаги на 60° влево и вправо, соединяя пространство между тремя параллельными Клиффордом большими декагонами кольца из 30 ячеек. . В полностью ортогональной плоскости он проецируется на правильную триаконтаграмму {30/11} . ^[62]
85. 30 вершин кольца тройной спирали Бурдейка – Кокстера лежат в 3 декагональных центральных плоскостях, которые пересекаются только в одной точке (центре 600-ячейки), хотя они не полностью ортогональны или вообще не ортогональны: ониπ/5отдельно. ^[at] Их большие десятиугольные круги параллельны Клиффорду: в каждой точке расстояние между ребрами составляет 600 ячеек. ^[af] Это обычные двумерные большие круги, а не спирали, но они связаны параллельными кругами Клиффорда.
86. Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги в том смысле, что они представляют собой 1-мерные геодезические линии , которые изгибаются в 4-мерном пространстве одновременно в двух полностью ортогональных плоскостях. Их не следует путать с большими 2-сферами , ^[73] которые являются 4-пространственными аналогами ^[bc] 2-мерных больших кругов в 3-мерном пространстве (больших 1-сфер).
87. 20 колец по 30 ячеек являются хиральными объектами; они вращаются либо по часовой стрелке (справа), либо против часовой стрелки (слева). Тор из 150 ячеек (образованный пятью непересекающимися по ячейкам 30-клеточными кольцами одинаковой киральности, окружающими большой десятиугольник) сам по себе не является киральным объектом, поскольку его можно разложить либо на пять параллельных левых колец, либо на пять параллельных правых колец. вручил кольца. В отличие от колец из 20 ячеек, торы из 150 ячеек прямо конгруэнтны без скручивания , как и октаэдрические 6-клеточные кольца 24-клеток . Каждый большой декагон имеет пять левых колец из 30 ячеек, окружающих его, а также пять правых колец из 30 ячеек, окружающих его; но левые и правые 30-клеточные кольца не являются клеточно-непересекающимися и принадлежат разным различным вращениям: левым и правым вращениям одного и того же расслоения. При любом отдельном изоклиническом вращении (влево или вправо) вершины 600-клеточного кольца движутся вдоль осевых 15-граммовых изоклин 20 левых 30-клеточных колец или 20 правых 30-клеточных колец. Таким образом, большие декагоны, кольца из 30 ячеек и торы из 150 ячеек представляют собой наборы параллельных взаимосвязанных кругов Клиффорда, ^[af] хотя точный способ их встраивания заключается в том, что они избегают пересечения друг друга и проходят друг через друга, образуя ссылка Хопфа не идентична для этих трех различных типов параллельных многогранников Клиффорда , отчасти потому, что связанные пары по-разному не имеют собственной киральности (декагоны), имеют одинаковую киральность (кольца из 30 ячеек) или не имеют чистого кручения, и то и другое левая и правая внутренняя организация (150-клеточные торы), но прослеживающая одну и ту же хиральность внутренней организации при любом отдельном вращении влево или вправо.
88. Точка на карте Хопфа ^[av] икосаэдра декагонального расслоения из 600 ячеек поднимается до большого декагона; треугольное лицо переходит в кольцо из 30 ячеек; а пятиугольная пятигранная пирамида поднимается до тора из 150 ячеек. ^[58] При разложении большой антипризмы два полностью непересекающихся тора по 150 ячеек поднимаются из антиподальных пятиугольников, оставляя между ними экваториальное кольцо из 10 граней икосаэдра: декагон Петри из 10 треугольников, которые поднимаются до 10 колец по 30 ячеек. Два полностью непересекающихся 150-клеточных тора содержат 12 непересекающихся (параллельных Клиффорда) декагонов и все 120 вершин, поэтому они составляют полное расслоение Хопфа; для более 150-клеточных торов такого типа нет места. Чтобы получить разложение 600-ячеечного тора на четыре тора по 150 ячеек такого типа, икосаэдрическую карту необходимо разложить на четыре пятиугольника с центрами в вершинах вписанного тетраэдра, а икосаэдр не может быть разложен таким образом.
89. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
90. Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, грань радиус центра и радиус центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают в себя одну вершину правильного 4-многогранника, один центр ребра правильного 4-многогранника, один центр грани правильного 4-многогранника, один центр ячейки правильного 4-многогранника и центр правильного 4-многогранника. Эти пять вершин (именно в таком порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (что делает три поворота под прямым углом), что является характерной особенностью 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять различных граней 3-ортосхемы.
91. Отражающая поверхность (3-мерного) многогранника состоит из 2-мерных граней; отражающая поверхность (4-мерного) полихорона состоит из 3-мерных ячеек.
92. Изоклинический поворот на 36° — это два простых поворота на 36° одновременно. ^[dw] Он перемещает все вершины на 60° одновременно в разных направлениях. Пятнадцать последовательных диагональных приращений вращения, каждый по 36°×36°, перемещают каждую вершину на 900° через 15 вершин на двойной петле Мёбиуса с окружностью 5𝝅, называемой изоклиной , обвивая 600-ячейку и возвращаясь к исходной точке, за один раз. В полтора раза меньше времени (15 шагов вращения), чем потребовалось бы при простом вращении, чтобы один раз обойти вершину вокруг 600-ячейки обычного большого круга {10} (с шагом 10 поворотов). ^[cs] Спиральная двойная петля 5𝝅 изоклины — это особый вид одиночного полного круга с периодом 1,5 (15 хорд вместо 10), как у простого большого круга. Изоклина — это одна истинная окружность, такая же идеально круглая и геодезическая, как и простой большой круг, даже несмотря на то, что ее хорды на φ длиннее, ее длина равна 5𝝅 вместо 2𝝅, она вращается в четырех измерениях вместо двух и действует в двух киральных формах. (левый и правый), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости. ^[ао]
93. 600-ячейка имеет 7200 различных вращательных смещений, каждое из которых имеет свою инвариантную плоскость вращения. 7200 различных центральных плоскостей могут быть сгруппированы в наборы параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда, состоящих из 25 различных изоклинических вращений, и обычно представляются как эти наборы. ^[75]
94. Любое двойное вращение (включая изоклиническое вращение) можно рассматривать как композицию двух простых вращений a и b : левого двойного вращения как a , затем b и правого двойного вращения как b , затем a . Простые вращения не коммутативны; вращение влево и вправо (в целом) достигает разных пунктов назначения. Разница между двойным вращением и двумя составляющими его простыми вращениями заключается в том, что двойное вращение является диагональным в 4-х измерениях: каждая движущаяся вершина достигает своего пункта назначения напрямую , не проходя через промежуточную точку, к которой прикасается a , а затем b , или другую промежуточную точку, к которой прикасается b. затем a , вращаясь по одной винтовой геодезической (так что это кратчайший путь). ^[bf] И наоборот, любое простое вращение можно рассматривать как композицию двух двойных вращений под равными углами (левое изоклиническое вращение и правое изоклиническое вращение), как это обнаружил Кэли ; Возможно, это удивительно, но эта композиция коммутативна и возможна также для любого двойного вращения. ^[72]
95. Изоклинические вращения переводят каждую вершину в несмежную вершину на расстоянии не менее двух длин ребра. В характерных изоклинических вращениях 5-ячеечного, 16-ячеечного, 24-ячеечного и 600-ячеечного несмежная вершина находится на расстоянии ровно двух длин ребра вдоль одного из нескольких геодезических маршрутов большого круга: противоположная вершина соседнего круга. клетка. В 8-клетке она находится на расстоянии трех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина куба. В ячейке со 120 ячейками она находится на расстоянии четырех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина додекаэдра.
96. При изоклиническом вращении каждая точка в любом месте 4-мерного многогранника перемещается на равное расстояние одновременно в четырех ортогональных направлениях по 4-мерной диагонали . ^[ao] Точка смещается на общее пифагорово расстояние, равное квадратному корню из четырехкратного квадрата этого расстояния. Все вершины смещаются к вершине, расположенной на расстоянии не менее двух длин ребра. ^[cq] Например, когда ячейка с единичным радиусом 600 изоклинически вращается на 36 градусов в инвариантной плоскости декагона и на 36 градусов в своей полностью ортогональной инвариантной плоскости, ^[an] каждая вершина смещается к другой вершине, находящейся на расстоянии √ 1 (60°) , перемещаясь на √ 1/4 = 1/2 единичного радиуса в четырех ортогональных направлениях.
97. Поскольку спиральная геодезическая пентадекаграмма2 из 600 ячеек изогнута в скрученное кольцо в четвертом измерении, как лента Мёбиуса , ее винтовая резьба удваивается поперек себя после каждого оборота, даже не меняя направления вращения (влево или вправо). Изоклинический путь с 30 вершинами следует двойной петле Мёбиуса, образуя единственную непрерывную петлю с 15 вершинами, проходимую за два оборота. Спираль Мёбиуса представляет собой геодезическую «прямую линию» или изоклину . Изоклина соединяет вершины косой полиграммы с более низкой частотой (более длинной волной), чем многоугольник Петри. Триаконтагон Петри имеет √ 0,𝚫 ребер; изоклиническая пентадекаграмма ₂ имеет √ 1 ребер, которые соединяют вершины, находящиеся на расстоянии двух √ 0,𝚫 ребер друг от друга. Каждое ребро √ 1 принадлежит отдельному большому шестиугольнику, а последующие ребра √ 1 принадлежат разным 24-клеткам, поскольку изоклиническое вращение переводит шестиугольники в параллельные шестиугольники Клиффорда и проходит через последовательные параллельные 24-клетки Клиффорда.
98. Все изоклины являются геодезическими , а изоклины в 3-сфере представляют собой круги (равномерно изгибающиеся в каждом измерении), но не все изоклины на 3-многообразиях в 4-мерном пространстве являются кругами.
99. Изоклинические вращения ^[ao] разделяют 600 ячеек (и 120 вершин) 600-ячейки на два непересекающихся подмножества по 300 ячеек (и 60 вершин), четных и нечетных (или черных и белых), которые перемещаются местами между собой. на черных или белых изоклинах способом, аналогичным ^[bc] тому, как диагональные ходы слонов ограничивают их белыми или черными клетками шахматной доски . ^[du] Черное и белое подмножества также разделены между черными и белыми инвариантными многоугольниками большого круга изоклинического вращения. При дискретном вращении (как в 4-многограннике с конечным числом вершин) черное и белое подмножества соответствуют наборам вписанных больших многоугольников {p} в инвариантные многоугольники большого круга {2p}. Например, в 600-ячейке черный и белый большой пятиугольник {5} вписаны в инвариант большого декагона {10} характерного декагонального изоклинического вращения. Важно отметить, что черно-белая пара многоугольников {p} одного и того же изоклинического вращения никогда не вписывается в один и тот же многоугольник {2p}; в каждый инвариантный многоугольник {2p} всегда вписан черный и белый многоугольники {p}, но они принадлежат разным изоклиническим вращениям: левому и правому вращению одного и того же фибратона, которые имеют один и тот же набор инвариантных плоскостей. Черные (белые) изоклины пересекают только черные (белые) большие многоугольники {p}, поэтому каждая вершина либо черная, либо белая.
100. Траекторию хорды изоклины можно назвать многоугольником Клиффорда 4-многогранника , поскольку это косая многоугольная форма кругов вращения, через которые проходят вершины 4-многогранника в его характерном смещении Клиффорда . ^[86] Изоклина представляет собой спиральную двойную петлю Мёбиуса, которая дважды меняет свою киральность в ходе полного двойного контура. Обе петли полностью содержатся в одном и том же кольце ячеек, где они обе следуют по хордам, соединяющим четные (нечетные) вершины: обычно противоположные вершины соседних ячеек, расположенные на расстоянии двух ребер друг от друга. ^[cu] Обе «половинки» двойной петли проходят через каждую ячейку клеточного кольца, но пересекают только две четные (нечетные) вершины в каждой четной (нечетной) ячейке. Каждая пара пересекающихся вершин в четной (нечетной) ячейке лежит друг напротив друга на ленте Мёбиуса на расстоянии ровно одного ребра. Таким образом, через каждую ячейку проходят две спирали, которые являются параллелями Клиффорда ^[af] противоположной киральности в каждой паре параллельных точек. В глобальном масштабе эти две спирали представляют собой единый связанный круг обеих киральностей ^[cn] без общего кручения . Изоклина действует как левая (или правая) изоклина при прохождении через левое (или правое) вращение (различных расслоений).
101. Изоклины на 3-сфере встречаются в непересекающихся парах четной/нечетной координатной четности. ^[cu] Одна черная или белая изоклина образует петлю Мёбиуса , называемую торическим узлом {1,1} или кругом Вильярсо ^[74] , в которой каждый из двух «кругов», соединенных в петлю Мёбиуса «восьмерка», проходит через все четыре измерения. . ^[cv] ​​Двойная петля — это настоящий круг в четырех измерениях. ^[cn] Четные и нечетные изоклины также связаны, но не в петле Мёбиуса, а как зацепление Хопфа двух непересекающихся окружностей, ^[af] как и все параллельные изоклины Клиффорда расслоения Хопфа .
102. Вращение в 4-мерном пространстве полностью характеризуется выбором инвариантной плоскости, а также угла и направления (влево или вправо), на которые она вращается, а также другого угла и направления, на которые вращается ее одна полностью ортогональная инвариантная плоскость. Два вращательных перемещения являются идентичными, если они имеют одну и ту же пару инвариантных плоскостей вращения на одни и те же углы в одних и тех же направлениях (и, следовательно, также одно и то же киральное спаривание направлений). Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве — это двойное вращение , характеризующееся двумя углами. Простое вращение — это особый случай, в котором один из углов вращения равен 0. ^[cp] Изоклиническое вращение — это другой частный случай, похожий, но не идентичный двум простым вращениям на один и тот же угол. ^[ао]
103. В каждом простом вращении существует одна инвариантная плоскость и полностью ортогональная фиксированная плоскость. В каждом изоклиническом вращении существует бесконечное количество пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей, вращающихся на один и тот же угол; ^[bg] тем не менее, не все центральные плоскости являются инвариантными плоскостями вращения . Инвариантные плоскости изоклинического вращения составляют расслоение всего 4-многогранника. ^[77] При каждом изоклиническом вращении 600-ячейки, переводящем вершины в вершины, либо 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда, либо 20 параллельных больших шестиугольников Клиффорда , либо 30 параллельных больших квадратов Клиффорда являются инвариантными плоскостями вращения.
104. При изоклиническом вращении каждая инвариантная плоскость является Клиффордом, параллельной плоскости, в которую она движется, и они никогда не пересекаются (кроме центральной точки). При простом вращении инвариантная плоскость пересекает плоскость, в которую она движется, по линии, и перемещается к ней, вращаясь вокруг этой линии.
105. При смещении Клиффорда , также известном как изоклиническое вращение , все клиффордовские параллельные ^[af] инвариантные плоскости ^[cy] смещаются одновременно в четырех ортогональных направлениях (две полностью ортогональные плоскости): они поворачиваются на один и тот же угол, и при в то же время они наклонены в сторону на тот же угол. Смещение Клиффорда является четырехмерным диагональным . ^[cr] Каждая плоскость, которая по Клиффорду параллельна одной из полностью ортогональных плоскостей, инвариантна относительно изоклинического вращения: все точки в плоскости вращаются по кругу, но остаются в плоскости, даже если вся плоскость вращается вбок. ^[cz] Все центральные многоугольники (любого типа) вращаются на один и тот же угол (хотя не все делают это инвариантно), а также смещаются вбок на один и тот же угол к параллельному многоугольнику Клиффорда (того же типа).
106. Три 16-ячейки в 24-ячейке повернуты на 60 ° (𝜋/3) изоклинически относительно друг друга. Поскольку изоклиническое вращение — это вращение в двух полностью ортогональных плоскостях одновременно, это означает, что их соответствующие вершины равны 120 ° (2𝜋/3) отдельно. В 4-многограннике единичного радиуса вершины, расположенные на расстоянии 120° друг от друга, соединены хордой √ 3 .
107. Любое изоклиническое вращение𝜋/5в десятиугольных инвариантных плоскостях ^[di] переводит каждый центральный многоугольник, кольцо геодезических ячеек или вписанный 4-многогранник ^[f] в 600-ячейку в параллельный многогранник Клиффорда 𝜋/5прочь.
108. Пять 24-ячеек встречаются в каждой вершине 600-ячейки, ^[i] поэтому существует четыре разных направления, в которых вершины могут двигаться, чтобы вращать 24-ячейку (или все 24-ячейки одновременно при изоклиническом вращении). ^[dc] ) непосредственно к соседней 24-ячейке.
109. Непересекающаяся 24-ячейка , достигнутая в результате изоклинического вращения, не является ни одной из четырех соседних 24-ячеек; двойной поворот ^[cx] проводит его мимо (не через) соседнюю 24-ячейку, к которой он вращается, ^[dd] и влево или вправо к более удаленной 24-ячейке, с которой он полностью не пересекается. ^[g] Четыре направления достигают 8 различных 24-клеток ^[d], потому что при изоклиническом вращении каждая вершина движется по спирали одновременно вдоль двух полностью ортогональных больших кругов. Четыре пути имеют правую резьбу (как и большинство винтов и болтов) и движутся по окружностям в «одних и тех же» направлениях, а четыре — левую (как болт с обратной резьбой), перемещаясь по окружностям в том направлении, которое мы условно скажем, являются «противоположными» направлениями (согласно правилу правой руки , согласно которому мы условно говорим, какой путь находится «вверх» на каждой из 4 координатных осей). ^[78]
110. Все изоклинические многоугольники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися). ^[g] Многогранники (3-многогранники) и многохоры (4-многогранники) могут быть изоклиническими и не пересекающимися, если все соответствующие им центральные многоугольники либо параллельны по Клиффорду, либо соклеточны (в одной и той же гиперплоскости), либо совпадают (один и тот же объект, общий). Например, ячейки с 24, 600 и 120 ячейками содержат пары вписанных тессерактов (8 ячеек), которые изоклинически повернуты𝜋/3по отношению друг к другу, но не являются непересекающимися: они имеют общую 16-ячеечную структуру (8 вершин, 6 больших квадратов и 4 октаэдрические центральные гиперплоскости), а некоторые соответствующие пары их больших квадратов являются коклеточными (пересекающимися), а не параллельными Клиффорда (непересекающимися). ).
111. В каждой вершине 600-ячейка имеет четыре смежных (непересекающихся) ^[g] 24-ячейки, до каждой из которых можно добраться простым вращением в этом направлении. ^[dd] Каждая 24-ячейка имеет 4 больших шестиугольника, пересекающихся в каждой из ее вершин, один из которых является общим с каждой из соседних 24-клеток; при простом вращении шестиугольная плоскость остается неподвижной (ее вершины не перемещаются), а 600-ячейка вращается вокруг общей шестиугольной плоскости. Всего 24-клетка имеет 16 больших шестиугольников, поэтому она смежна (непересекающаяся) с 16 другими 24-клетками. ^[d] Помимо того, что достижимо простым вращением, каждая из 16 точек также может быть достигнута изоклиническим вращением, при котором общая шестиугольная плоскость не фиксирована: она вращается (неинвариантно) через𝜋/5. Двойное вращение достигает соседней 24-ячейки напрямую , как бы косвенно, посредством двух последовательных простых вращений: ^[cp] сначала к одной из других соседних 24-ячейок, а затем к целевой 24-ячейке (смежной с ними обеими).
112. В ячейке с 600 ячейками существует простое вращение , которое переносит любую вершину непосредственно в любую другую вершину, а также перемещает большинство или все другие вершины, но оставляет не более 6 других вершин фиксированными (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость). ). Вершина движется по большому кругу в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого десятиугольника, большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника , ^[au] , а полностью ортогональная фиксированная плоскость пересекает 0 вершин (30-угольник ), ^[an] 2 вершины (двуугольник), 4 вершины (квадрат) или 6 вершин (шестиугольник) соответственно. Две непересекающиеся 24-клетки связаны простым вращением через𝜋/5центральной плоскости двуугольника, полностью ортогональной их общей шестиугольной центральной плоскости. При этом простом вращении шестиугольник не перемещается. Две непересекающиеся 24-ячейки также связаны изоклиническим вращением, при котором общая шестиугольная плоскость действительно перемещается. ^[дг]
113. Любое изоклиническое вращение в декагональной инвариантной плоскости представляет собой изоклиническое вращение в 24 инвариантных плоскостях: 12 параллельных декагональных плоскостях Клиффорда, ^[cy] и 12 параллельных 30-угольных плоскостях Клиффорда, полностью ортогональных каждой из этих десятиугольных плоскостей. ^[an] Поскольку инвариантные плоскости вращаются одновременно в двух полностью ортогональных направлениях, ^[bf] все точки в плоскостях движутся вместе с ними (остаются в своих плоскостях и вращаются вместе с ними), описывая винтовые изоклины ^[ao] в 4-пространстве. Однако обратите внимание, что в дискретном декагональном слое 600-ячеек (где 120 вершин являются единственными рассматриваемыми точками) 12 30-угольных плоскостей не содержат точек.
114. Обратите внимание на кажущееся несоответствие вращающихся  шестиугольников𝜋/5, поскольку только их противоположные вершины являются целыми кратными𝜋/5отдельно. Однако вспомните, что вершины с 600 ячейками, которые находятся на расстоянии одного ребра шестиугольника, находятся друг от друга ровно на два ребра декагона и две тетраэдрические ячейки (одна треугольная дипирамида). Шестиугольники имеют свои собственные 10 дискретных расслоений и клеточные кольца, не Клиффорда, параллельного десятиугольным расслоениям, но также по пятёркам ^[k] в том смысле, что пять 24-клеток встречаются в каждой вершине, причем каждая пара делит шестиугольник. ^[i] Каждый шестиугольник вращается неинвариантно на𝜋/5в гексагональном изоклиническом вращении между непересекающимися 24-ячейками. ^[dg] И наоборот, во всех изоклинических поворотах 𝜋/5 в декагональных инвариантных плоскостях все вершины перемещаются вдоль изоклин ^[ao] , которые следуют краям шестиугольников .
115. Каждая изоклина не имеет присущей ей киральности, но может действовать как левая или правая изоклина; его разделяют отчетливое левое вращение и отчетливое правое вращение разных расслоений.
116. Аналогичные отношения между тремя видами изоклинических вращений {2p} в параллельных пучках Клиффорда инвариантных плоскостей большого многоугольника {4}, {6} или {10} соответственно лежат в основе сложных вложенных отношений между регулярными выпуклыми 4-многогранники. ^[a] При поворотах √ 1 шестиугольника {6}, характерных для 24-ячейки, хорды изоклины (ребра многограммы) представляют собой просто √ 3 хорды большого шестиугольника, поэтому простое вращение шестиугольника {6} и изоклина {6/ 2} Вращение гексаграммы вращает круги по 6 вершин. Изоклина гексаграммы, особый вид большого круга, имеет длину окружности 4𝝅 по сравнению с большим кругом шестиугольника 2𝝅. ^[dq] Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому шестиугольнику {6}, представляет собой большой двуугольник {2}, ^[au] , поэтому изоклиническое вращение {6} гексаграмм также является вращением {2} осей . ^[dh] При поворотах √ 2 квадрата {4}, характерных для 16-ячейки, полиграмма изоклины представляет собой октаграмму , а хорды изоклины - это ее √ 2 ребра и √ 4 диаметра, поэтому изоклина представляет собой круг окружности 4𝝅 . При изоклиническом вращении восемь вершин октаграммы {8/3} меняются местами, каждая совершая один полный оборот на 720 °, когда изоклина трижды обвивает 3-сферу. Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому квадрату {4}, представляет собой другой большой квадрат {4}, расположенный на расстоянии √ 4 , поэтому поворот квадратов вправо {4} также является поворотом квадратов влево {4}. Двойственный многогранник с 16 ячейками, 8 -клеточный тессеракт, наследует те же простые вращения {4} и изоклинические вращения {8/3}, но его характерное изоклиническое вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат большой прямоугольник {4} или { 2} большой дигон (от его преемника 24-клеточного). В 8-ячейке это вращение √ 1 × √ 3 больших прямоугольников, а также вращение √ 4 осей, но это такое же изоклиническое вращение, как и характерное для 24-ячейки вращение {6} больших шестиугольников (в котором большие прямоугольники вписаны), как следствие того уникального обстоятельства, что 8-ячейка и 24-ячейка имеют одинаковую длину ребра . В поворотах декагона {10} √ 0,𝚫 , характерных для 600-ячейки, хорды изоклины равны√ 1 ребро шестиугольника , полиграмма изоклины представляет собой пентадекаграмму, а длина изоклины равна 5. ^[cn] Изоклиническое вращение пентадекаграммы {15/2} вращает круг из {15} вершин за то же время, что и простое вращение десятиугольника из {10} вершин. Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому десятиугольнику {10}, представляет собой {0} большой 0-угольник, ^[al] , поэтому вращение десятиугольников {10} также является вращением {0} плоскостей, не содержащих вершин. Двойственный многогранник с 600 ячейками, 120-ячеечный, наследует те же простые {10} и изоклинические вращения {15/2}, но его характерное изоклиническое вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат {2} больших двуугольников (от его преемника 5-клеточный). ^[dr] Это вращение неправильных больших шестиугольников {6} с двумя чередующимися длинами ребер (аналогично большим прямоугольникам тессеракта), где два ребра разной длины представляют собой три ребра по 120 ячеек и три ребра по 5 ячеек .
117. Каждое дискретное расслоение регулярного выпуклого 4-многогранника характеризуется уникальной парой изоклинических вращений слева направо и уникальным пучком многоугольников {2p} большого круга (0 ≤ p ≤ 5) в инвариантных плоскостях этой пары вращений. . Каждое отдельное вращение имеет уникальный набор левых (или правых) многоугольников {p}, вписанных в многоугольники {2p}, и уникальный набор косых полиграмм {2p}, которые являются его дискретными левыми (или правыми) изоклинами. Полигоны {p} объединяют полиграммы {2p} в пучок, и наоборот.
118. Существует шесть конгруэнтных десятиугольных расслоений 600-ячеистой ячейки. Выбор одного декагонального расслоения означает выбор пучка из 12 прямо конгруэнтных параллельных больших десятиугольных кругов Клиффорда и набора из 20 прямо конгруэнтных колец из 30 ячеек, которые образуют мозаику из 600 ячеек. Расслоение и его большие круги не являются киральными, но имеют отдельные левые и правые выражения в паре левых и правых изоклинических вращений. При правом (левом) вращении вершины движутся вдоль правого (левого) расслоения Хопфа параллельных изоклин Клиффорда и пересекают правый (левый) расслоение Хопфа параллельных больших пятиугольников Клиффорда. Кольца из 30 ячеек — единственные хиральные объекты, кроме пучков изоклин или пятиугольников. ^[82] Правый (левый) пучок пятиугольников содержит 12 больших пятиугольников, вписанных в 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда. Правый (левый) пучок изоклин содержит 20 параллельных пентадекаграмм Клиффорда, по одной в каждом 30-клеточном кольце.
119. Композиция двух простых поворотов на 60 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 60 ° в четырех парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[cp] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой соединение четырех простых вращений, и все 24 вершины вращаются в инвариантных шестиугольных плоскостях, а в простом вращении всего 6 вершин.
120. 24-ячейка вращает шестиугольники на гексаграммах , а 600-ячейка вращает шестиугольники на декаграммах, но это отдельные случаи одного и того же вида изоклинического вращения в инвариантных шестиугольниках плоскостях. В частности, все их конгруэнтные изоклины представляют собой один и тот же геодезический круг окружности 4𝝅. ^[ДХ]
121. Изоклинический поворот на 60° — это два простых поворота на 60° одновременно. ^[do] Он перемещает все вершины на 120° одновременно в разных направлениях. Шесть последовательных диагональных поворотных приращений, по 60°x60° каждый, перемещают каждую вершину на 720° по двойной петле Мёбиуса, называемой изоклиной , дважды вокруг 24-клеточной ячейки и обратно в исходную точку за одно и то же время (шесть вращательных единиц). ), что потребуется простое вращение, чтобы один раз обойти вершину 24-клетки обычного большого круга. Винтовая двойная изоклина 4𝝅 — это всего лишь еще один вид одиночного полного круга того же временного интервала и периода (6 хорд), что и простой большой круг. Изоклина — это одна истинная окружность, ^[ch] такая же идеально круглая и геодезическая, как простой большой круг, даже несмотря на то, что ее хорды на √ 3 длиннее, ее длина равна 4𝝅 вместо 2𝝅, ^[dp] она проходит через четыре измерения вместо двух, ^[cw] и действует в двух киральных формах (левой и правой), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. ^[cv] ​​Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости.
122. В 120-клетку вписано 120 правильных 5-клеток. 5- ячейка имеет центральные плоскости двуугольников , никакие две из которых не ортогональны. Он имеет 10 центральных плоскостей двуугольников, где каждая пара вершин является ребром, а не осью. 5-ячейка самодуальна, поэтому при возвратно-поступательном движении 120-ячейка может быть вписана в правильную 5-ячейку большего радиуса. Поэтому конечную последовательность из 6 правильных 4-многогранников ^[a] , вложенных как матрешки, также можно рассматривать как бесконечную последовательность.
123. В кольце из 30 ячеек каждая изоклина проходит от вершины к несмежной вершине в третьей оболочке вершин, окружающей ее. Три другие вершины между этими двумя вершинами можно увидеть в кольце из 30 ячеек: две смежные в первой окружающей оболочке и одна во второй окружающей оболочке.
124. Хиральность и четность/нечетность — это разные вкусы. Вещи, которые имеют четность/нечетность координат, являются черными или белыми: квадраты шахматной доски , ячейки , вершины и изоклины , соединяющие их изоклиническим вращением. ^[ao] Все остальное черно-белое: например, соседние пары ячеек, связанных гранями , или края и хорды , которые черные на одном конце и белые на другом. (Поскольку точки и линии трудно раскрасить в белый цвет, мы иногда используем черный и красный вместо черного и белого. В частности, хорды изоклин иногда изображаются в виде черных или красных пунктирных линий.) Вещи, обладающие киральностью, бывают правыми или левыми энантиоморфными . формы: изоклинические вращения и киральные объекты , которые включают характеристические ортосхемы , пары клиффордовских параллельных больших многоугольных плоскостей , ^[85] расслоения параллельных клиффордовых кругов (независимо от того, являются ли сами круги киральными) и киральные клеточные кольца, обнаруженные в 16- сотовый и 600-клеточный. Вещи, которые не имеют ни четности/нечетности, ни киральности, включают все ребра и грани (общие для черных и белых ячеек), многоугольники большого круга и их расслоения , а также нехиральные клеточные кольца, такие как 24-клеточные клеточные кольца октаэдров . Некоторые вещи имеют как четную/нечетную четность, так и хиральность: изоклины черные или белые, потому что они соединяют вершины одного цвета, и они действуют как левые или правые киральные объекты, когда являются путями вершин при вращении влево или вправо. , хотя сами по себе они не обладают присущей киральности. ^[dk] Каждое левое (или правое) вращение пересекает равное количество черных и белых изоклин. ^{[резюме]}
125. Левое и правое изоклиническое вращение одинаково разделяет 600 ячеек (и 120 вершин) на черное и белое. ^[17] Вращения всех расслоений одного и того же вида большого многоугольника используют одну и ту же шахматную доску, что является соглашением о системе координат, основанной на четных и нечетных координатах. ^[84] Левая и правая не являются цветами: при вращении влево (или вправо) половина движущихся вершин — черные, проходящие по черным изоклинам через черные вершины, а другая половина — белые вершины, вращающиеся между собой. ^[дт]
126. Каждая ось 600-ячейки касается левой изоклины каждого расслоения на одном конце и правой изоклины расслоения на другом конце. Осевая изоклина каждого кольца из 30 ячеек проходит только через одну из двух противоположных вершин каждой из 30 (из 60) осей по 600 ячеек, которых касается кольцо из 30 вершин и 30 ячеек изоклины (только на одном конце).
127. Композиция двух простых поворотов на 36 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 36 ° в двенадцати парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[cp] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой смесь двенадцати простых вращений, и все 120 вершин вращаются в инвариантных десятиугольных плоскостях, а не только 10 вершин в простом вращении.
128. Все трехсферные изоклины ^[ao] одной и той же окружности представляют собой прямо конгруэнтные круги. ^[ct] Обычный большой круг представляет собой изоклину окружности 2𝝅; простые вращения происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины, отличные от окружности. Характерным вращением правильного 4-многогранника является изоклиническое вращение, при котором центральные плоскости, содержащие его ребра, являются инвариантными плоскостями вращения. Края из 16 и 24 ячеек вращаются на изоклинах окружности 4𝝅. Край из 600 ячеек вращается на изоклинах окружности 5𝝅. ${\displaystyle 2\pi r}$
129. икосаграмма {20/6}=2{10/3} из 600 ячеек представляет собой соединение спиральной гексаграммы {6/2} из 24 ячеек, которая вписана в нее так же, как 24-ячеечная вписана в 600-кл.
130. 16-ячеечная вращает квадраты на {8/3} октаграммах , 24-ячеечная вращает квадраты на {24/9}=3{8/3} октаграммах , а 600 вращает квадраты на {24/5} 24-граммах. , но это дискретные случаи одного и того же вида изоклинического вращения в инвариантных плоскостях большого квадрата. В частности, все их конгруэнтные изоклины представляют собой один и тот же геодезический круг окружности 4𝝅. Они имеют разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклины пересекает больше вершин в 600-ячейке, чем в 24-ячейке или 16-ячейке. Спиральная 24-грамма {24/5} 600-ячеечной структуры представляет собой соединение спиральной октаграммы {24/9} 24-клеточной, которая вписана в 600-ячеечную октаграмму так же, как спиральная октаграмма {8/3} 16-ячеечной. вписан в 24-клетку.

Цитаты

1. Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр.249
2. Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
3. Коксетер 1973, с. 136, §7.8 Перечисление возможных правильных фигур.
4. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
5. Коксетер 1973, с. 153, §8.51; «Фактически, вершины {3, 3, 5}, взятые каждая по 5 раз, являются вершинами 25 {3, 4, 3}».
6. Коксетер 1973, с. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
7. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii), столбец «600 ячеек» ₀ R/l = 2𝝓/2.
8. Коксетер 1973, стр. 156–157, §8.7 Декартовы координаты.
9. Coxeter 1973, стр. 151–153, §8.4 Пренебрежение {3,4,3}.
10. Waegell & Aravind 2009, стр. 3–4, §3.2 75 оснований 600-ячеечной структуры; В 600-ячеечной конфигурации «точками» и «линиями» являются оси («лучи») и 16 ячеек («основания») соответственно.
11. Денни и др. 2020.
12. Денни и др. 2020, с. 438.
13. Zamboj 2021, стр. 10–11, §Координаты Хопфа.
14. Коксетер 1973, с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹ ), начинающиеся с вершины.
15. Осс 1899; ван Осс не упоминает дуговые расстояния между вершинами 600-ячейки.
16. Букенхаут и Паркер 1998.
17. Dechant 2021, стр. 18–20, §6. Самолет Кокстера.
18. Коксетер 1973, с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹ ), начинающиеся с вершины; см. столбец а .
19. Штайнбах 1997, с. 23, рис. 3; Штейнбах вывел формулу, связывающую диагонали и длины ребер последовательных правильных многоугольников, и проиллюстрировал ее диаграммой «веера хорд», подобной приведенной здесь.
20. Баэз, Джон (7 марта 2017 г.). «Пи и золотое сечение». Азимут . Проверено 10 октября 2022 г.
21. Денни и др. 2020, с. 434.
22. Денни и др. 2020, стр. 437–439, §4 Плоскости 600-клеток.
23. Kim & Rote 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
24. Sadoc 2001, с. 576, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: винтовая ось десятикратного порядка.
25. Waegell & Aravind 2009, стр. 5, §3.4. 24 ячейки: точки, линии и конфигурация Рея; Здесь «точки» и «линии» Рея — это оси и шестиугольники соответственно. Плоскости двойного шестиугольника не ортогональны друг другу, а только пары их двойных осей. Пары двойных шестиугольников не встречаются в отдельных 24-ячейках, а только между 24-ячейками в 600-ячейке.
26. Sadoc 2001, стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: шестикратная винтовая ось.
27. Sadoc 2001, с. 577, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: четырёхкратная винтовая ось.
28. Кофер 2019, с. 6, §3.2. Теорема 3.4.
29. Ким и Роте 2016, с. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве; «В четырех (и более высоких) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)»
30. Лемменс и Зайдель 1973.
31. Мамоне, Пилейо и Левитт 2010, с. 1433, §4.1; Декартова 4-координатная точка (w,x,y,z) — это вектор в 4D-пространстве из (0,0,0,0). Четырехмерное реальное пространство — это векторное пространство: любые два вектора можно сложить или умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор. Кватернионы расширяют векторную структуру реального четырехмерного пространства, позволяя умножать два четырехмерных вектора и согласно ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
32. Sadoc 2001, стр. 575–578, §2 Геометрия {3,3,5}-многогранника в S ₃ ; Садок изучил все расслоения Хопфа 600-клеток на наборы {4}, {6} или {10} волокон большого круга на разных винтовых осях, дал их карты Хопфа и полностью проиллюстрировал характерные десятиугольные клеточные кольца.
33. Тиррелл и Семпл 1971, стр. 6–7, §4. Изоклинические плоскости в евклидовом пространстве E ₄ .
34. Sadoc 2001, стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.
35. Коксетер 1973, с. 211, §11.x Исторические замечания; «Конечная группа [3 ^{2, 2, 1} ] изоморфна группе сохраняющих инцидентность перестановок 27 прямых на общей кубической поверхности. (Самое раннее описание этих линий см. в Шлафли 2.)».
36. Шлефли 1858; эта статья Шлефли, описывающая конфигурацию двойной шестерки, была одним из немногих фрагментов его открытия правильных многогранников в более высоких измерениях, которые были опубликованы при его жизни. ^[35]
37. Коксетер 1973, стр. 141–144, §7. Обыкновенные многогранники в высшем пространстве; §7.x. Исторические замечания; «Практически все идеи в этой главе... принадлежат Шлефли, который открыл их до 1853 года — времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо осознавали возможность геометрии более чем в трех измерениях».
38. Коксетер 1970 изучал клеточные кольца в общем случае их геометрии и теории групп , идентифицируя каждое клеточное кольцо как самостоятельный многогранник , который заполняет трехмерное многообразие (например, 3-сферу ) соответствующими сотами . ^[ay] Он обнаружил, что клеточные кольца повторяют полигоны Петри , а некоторые (но не все) клеточные кольца, а их соты скручены , встречаясь в лево- и право- хиральных формах. В частности, он обнаружил, что правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками (5-клеточные, 16-ячеечные, 600-ячеечные) имеют скрученные клеточные кольца, а остальные (у которых ячейки имеют противоположные грани) — нет. ^[az] Отдельно он классифицировал клеточные кольца в зависимости от того, формируют ли они свои соты в гиперболическом или евклидовом пространстве, причем последними являются те, которые встречаются в 4-многогранниках, которые могут замостить 4-пространство путем трансляции, образуя евклидовы соты (16-ячеечные, 8-клеточные). ячейка, 24-ячейка).
39. Банчофф 2013 изучил разложение правильных 4-многогранников на соты торов, покрывающих тор Клиффорда , показал, как соты соответствуют расслоениям Хопфа , и выполнил разложение, состоящее из колец меридианных и экваториальных ячеек, с иллюстрациями.
40. Sadoc 2001, с. 578, §2.6 Многогранник {3, 3, 5}: набор из четырех спиралей.
41. Дечант 2021, §1. Введение.
42. Замбой 2021.
43. Sadoc & Charvolin 2009, §1.2 Подход искривленного пространства; изучает спиральную ориентацию молекул в кристаллических структурах и их несовершенные упаковки («фрустрации») в трехмерном пространстве. «Разочарование, которое возникает, когда молекулярная ориентация перемещается по двум [круговым] путям AB на рисунке 1 [спирали], вызвано самой топологической природой евклидова пространства R ³ . Этого не произошло бы, если бы молекулы были встроены в неевклидовом пространстве 3-сферы S ³ , или гиперсферы. Это пространство с однородной положительной кривизной действительно может быть описано равноотстоящими и равномерно скрученными волокнами, ^[af] вдоль которых молекулы могут быть выровнены без какого-либо конфликта между компактностью. и кручение .... Слоями этого расслоения Хопфа являются большие окружности S ³ , все семейство которых также называют параллелями Клиффорда . Два из этих слоев являются осями симметрии C _∞ для всего расслоения, совершающего один оборот; вокруг каждой оси и равномерно вращается при переходе от одной оси к другой. ^[bf] Эти волокна образуют конфигурацию двойной скрутки, оставаясь параллельными, т.е. без какого-либо нарушения, во всем объеме S ^{3 [bg]} . Поэтому их можно использовать в качестве . модели для изучения конденсации длинных молекул при наличии ограничения двойного скручивания».
44. Коксетер 1973, с. 303, таблица VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
45. Коксетер 1973, с. 153, §8.5 Конструкция Госсета для {3,3,5}.
46. Боровик 2006; «Окружающая среда, которая направляла эволюцию нашего мозга, никогда не давала нашим предкам четырехмерный опыт... [Тем не менее] мы, люди, наделены замечательным математическим программным обеспечением для обработки изображений, встроенным в наш мозг. Коксетер в полной мере использовал он и ожидал, что читатель воспользуется им... Визуализация — один из самых мощных методов интериоризации. Она закрепляет математические концепции и идеи в одной из самых мощных частей нашего мозга — модуле визуальной обработки [многогранников. порожденные] конечными группами отражений, позволяют использовать подход к их изучению, основанный на систематическом сведении сложных геометрических конфигураций к гораздо более простым двух- и трехмерным частным случаям».
47. Миядзаки 1990; Миядзаки показал, что поверхностная оболочка из 600 ячеек может быть архитектурно реализована в нашем обычном трехмерном пространстве в виде физических зданий (геодезических куполов).
48. Коксетер 1973, стр. 50–52, §3.7.
49. Коксетер 1973, с. 293; 164°29'
50. Коксетер 1973, с. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях.
51. Коксетер 1973, стр. 50–52, §3.7: Координаты вершин правильных и квазиправильных тел.
52. Ито и Нара 2021, §4. Из 24 ячеек на октаэдр; «В этой статье рассматривается 24-ячеечная структура и описывается непрерывное сплющивающее движение ее 2-скелета [кубооктаэдра], который связан с Джиттербагом Бакминстера Фуллера ».
53. Коча и др. 2016, с. 145, 4. Пиритоэдрическая группа и родственные ей многогранники; см. Таблицу 1.
54. Верхейен, HF (1989). «Комплект джиттербаг-трансформаторов и анализ их движения». Компьютеры и математика с приложениями . 17 (1–3): 203–250. дои : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . МР  0994201.
55. Коксетер 1973, с. 299, Таблица V: (iv) Упрощенные разделы {3,3,5}... начиная с ячейки.
56. Sadoc 2001, стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}; «Теперь перейдем к тороидальному разложению многогранника {3, 3, 5}».
57. Коксетер 1970, стр. 19–23, §9. 120-ячеечный и 600-ячеечный.
58. Sadoc 2001, стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}, рис. 2. Столбец пятикратной симметрии; в подписи (так в оригинале) двенадцатиугольники должны быть десятиугольниками.
59. Dechant 2021, стр. 20–22, §7. Большая Антипризма и H ₂ × H ₂ .
60. Банчофф 1988.
61. Zamboj 2021, стр. 6–12, §2 Математическая основа.
62. Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); 600 ячеек h ₁ h ₂ .
63. Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); «600-клеточный».
64. Коксетер 1973, с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.
65. Коксетер 1973, с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».
66. Коксетер 1973, стр. 227–233, §12.7 Ожерелье из четырехгранных бусин.
67. Коксетер 1973, стр. 33–38, §3.1 Конгруэнтные преобразования.
68. Dechant 2017, стр. 410–419, §6. Самолет Коксетера; см. стр. 416, Таблица 1. Сводка факторизаций версоров Кокстера четырехмерных корневых систем; «Группы Кокстера (отражения) в системе Клиффорда... дают уникально простой рецепт для отражений. Согласно теореме Картана-Дьедонне, последовательное выполнение двух отражений порождает вращение, которое в алгебре Клиффорда описывается спинором, который является просто геометрическим произведение двух векторов, порождающих отражения».
69. Коксетер 1973, стр. 217–218, §12.2 Конгруэнтные преобразования.
70. Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011, стр. 986–988, 6. Двойной курносый 24-клеточный.
71. Мамоне, Пилейо и Левитт 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники; 600-ячейка имеет 14 400 операций симметрии (вращения и отражения), как указано в таблице 2, группа симметрии 𝛨 ₄ . ^[со]
72. Перес-Грасиа и Томас 2017.
73. Стиллвелл 2001, с. 24.
74. Дорст 2019, с. 44, §1. Круги Вильярсо; «В математике путь, который прослеживает узел (1, 1) на торе, также известен как круг Вильярсо . Круги Вильярсо обычно представляются как две пересекающиеся окружности, являющиеся поперечным сечением тора удачно выбранной плоскостью. Выбрав один такой круг и вращая его вокруг оси тора, полученное семейство кругов можно использовать для управления тором. Грамотно вложив торы, совокупность всех таких кругов затем образует расслоение Хопфа ... мы предпочитаем. рассматривать круг Вильярсо как торический узел (1, 1), а не как плоский разрез».
75. Мамоне, Пилейо и Левитт 2010, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2.
76. Waegell & Aravind 2009, стр. 2–5, §3. 600-ячеечный.
77. Kim & Rote 2016, стр. 13–14, §8.2 Эквивалентность инвариантного семейства и расслоения Хопфа.
78. Perez-Gracia & Thomas 2017, стр. 12–13, §5. Полезное картографирование.
79. Перес-Грасиа и Томас 2017, стр. 2–3, §2. Изоклинические вращения.
80. Ким и Роте 2016, с. 12—16, §8. Построение расслоений Хопфа; см. §8.3.
81. Перес-Грасиа и Томас 2017, §1. Введение; «В этой статье [будет] получено спектральное разложение изоклинических вращений и явные формулы в матрице и алгебре Клиффорда для вычисления [изоклинической] факторизации Кэли». ^[сп]
82. Kim & Rote 2016, стр. 14, §8.3. Следствие 9. Всякий большой круг принадлежит единственному правому [(и левому)] расслоению Хопфа.
83. Kim & Rote 2016, стр. 14–16, §8.3 Свойства расслоения Хопфа.
84. Коксетер 1973, с. 156: «...шахматная доска имеет n-мерный аналог».
85. Ким и Роте 2016, с. 8. Левая и правая пары изоклинических плоскостей.
86. Тиррелл и Семпл 1971, стр. 34–57, Линейные системы параллелей Клиффорда.
87. Коксетер 1973, с. 12, §1.8. Конфигурации.
88. ван Иттерсум 2020, стр. 80–95, §4.3.
89. Штайнбах 1997, с. 24.
90. Stillwell 2001, стр. 22–23, Сфера гомологий Пуанкаре.
91. Мебиус 2015, с. 1, « Алгебра кватернионов является преимущественно инструментом для рассмотрения трех- и четырехмерных (3D и 4D) вращений. Очевидно, что только 3D и, как следствие, 2D вращения имеют повседневное практическое значение, но теория 4D вращений оказывается предлагают самый простой путь к представлению трехмерных вращений кватернионами».
92. Денни и др. 2020, §2 Маркировка H ₄ .
93. Осс 1899, стр. 1–18.
94. Dechant 2021, Аннотация; «[E] Очень трехмерная корневая система позволяет построить соответствующую четырехмерную корневую систему с помощью« теоремы индукции ». В этой статье мы подробно рассматриваем икосаэдрический случай H3 → H4 и выполняем вычисления явно. Используется алгебра Клиффорда. выполнять теоретико-групповые вычисления на основе теоремы Версора и теоремы Картана-Дьёдонне... пролить свет на геометрические аспекты корневой системы H4 (600-ячейка), а также других связанных многогранников и их симметрий... включая построение плоскости Кокстера, которая используется для визуализации дополнительных пар инвариантных многогранников... Таким образом, этот подход представляет собой более систематический и общий способ выполнения вычислений, касающихся групп, в частности групп отражений и корневых систем, в клиффордовской системе координат. алгебраическая основа».
95. Гроссман, Венди А.; Себлин, Эдуард, ред. (2015), Человеческие уравнения Ман Рэя: путешествие от математики к Шекспиру , Хатье Канц. См., в частности, математический объект mo-6.2 , с. 58; Антоний и Клеопатра , СЭ-6, с. 59; математический объект мо-9 , с. 64; Венецианский купец , ГЭ-9, с. 65 и «Гексакосихорон», Филип Орднинг, с. 96.
96. Dechant 2021, стр. 22–24, §8. Курносый 24-кл.
97. Сикирик, Матье; Мирволд, Венди (2007). «Специальные нарезки из 600 ячеек». Beiträge zur Algebra und Geometry . 49 (1). arXiv : 0708.3443 .
98. Коксетер 1991, стр. 48–49.

Рекомендации

• Шлефли, Людвиг (1858), Кэли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности по видам, исходя из реальности линий на поверхности». поверхность», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 2 : 55–65, 110–120.
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Коксетер, HSM (1995). Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера (2-е изд.). Публикация Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Боровик, Александр (2006). «Теория Кокстера: когнитивные аспекты». В Дэвисе, Чендлер; Эллерс, Эрих (ред.). Наследие Кокстера. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–43. ISBN 978-0821837221.
• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , Материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1]. Архивировано 22 марта 2005 г. в Wayback Machine.
• Осс, Саломон Леви ван (1899). «Das regelmässige Sechshundertzell und seine selbstdeckenden Bewegungen». Verhandelingen der Koninklijke (Nederlandse) Akademie van Wetenschappen, Sectie 1 (Afdeeling Natuurkunde) . 7 (1). Амстердам: 1–18.
• Букенхаут, Ф.; Паркер, М. (15 мая 1998 г.). «Количество сетей правильных выпуклых многогранников размерности <= 4». Дискретная математика . 186 (1–3): 69–94. дои : 10.1016/S0012-365X(97)00225-2 .
• Денни, Томм; Хукер, Да'Шей; Джонсон, Де'Джанеке; Робинсон, Тианна; Батлер, Маджид; Клэйборн, Сандерниш (2020). «Геометрия многогранников H4». Достижения в геометрии . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156 . doi : 10.1515/advgeom-2020-0005. S2CID  220367622.
• Штайнбах, Питер (1997). «Золотые поля: случай семиугольника». Журнал «Математика» . 70 (февраль 1997 г.): 22–31. дои : 10.1080/0025570X.1997.11996494. JSTOR  2691048.
• Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов длин хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [math.MG].
• Миядзаки, Кодзи (1990). «Первичные гипергеодезические многогранники». Международный журнал космических конструкций . 5 (3–4): 309–323. дои : 10.1177/026635119000500312. S2CID  113846838.
• ван Иттерсум, Клара (2020). Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях (Диссертация). Делфтский технологический университет .
• Вегель, Мордехай; Аравинд, ПК (12 ноября 2009 г.). «Критические раскраски 600-клеток, доказывающие теорему Белла-Кохена-Спкера». Журнал физики А. 43 (10): 105304. arXiv : 0911.2289 . дои : 10.1088/1751-8113/43/10/105304. S2CID  118501180.
• Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного проектирования и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
• Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• Садок, Жан-Франсуа (2001). «Спирали и спиральные упаковки, полученные из многогранника {3,3,5}». Европейский физический журнал E. 5 : 575–582. дои : 10.1007/s101890170040 . S2CID  121229939.
• Садок, Дж. Ф.; Чарволин, Дж (2009). «Трёхсферные расслоения: инструмент для анализа скрученных материалов в конденсированном состоянии». Журнал физики А. 42 (46): 465209. Бибкод : 2009JPhA...42T5209S. дои : 10.1088/1751-8113/42/46/465209. S2CID  120065066.
• Лемменс, PWH; Зайдель, Джей-Джей (1973). «Эквиизоклинические подпространства евклидовых пространств». Indagationes Mathematicae (Труды) . 76 (2): 98–107. дои : 10.1016/1385-7258(73)90042-5. ISSN  1385-7258.
• Тиррелл, Дж.А.; Семпл, Дж. Г. (1971). Обобщенный параллелизм Клиффорда. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-08042-8.
• Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.
• Мамоне, Сальваторе; Пилейо, Джузеппе; Левитт, Малкольм Х. (2010). «Схемы ориентационной выборки на основе четырехмерных многогранников». Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Бибкод : 2010Symm....2.1423M. дои : 10.3390/sym2031423 .
• Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
• Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID  253592159.
• Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Банчофф, Томас (1988). «Геометрия отображения Хопфа и торы Пинкала заданного конформного типа». В Тангоре, Мартин (ред.). Компьютеры в алгебре . Нью-Йорк и Базель: Марсель Деккер. стр. 57–62.
• Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Аль-Барвани, Муатаз (2012). «Курносый 24-клеточный, полученный из группы Кокстера-Вейля W (D4)». Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . дои : 10.1142/S0219887812500685. S2CID  119288632.
• Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Оздеш Коджа, Назифе (2011). «Кватернионное представление курносой 24-клетки и ее двойного многогранника, полученного из корневой системы E8». Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . дои : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN  0024-3795. S2CID  18278359.
• Коджа, Назифе; Аль-Мухаини, Аида; Коджа, Мехмет; Аль Каноби, Амаль (1 декабря 2016 г.). «Симметрия пиритоэдра и решеток». Научный журнал Университета Султана Кабуса [SQUJS] . 21 (2): 139. doi : 10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149 .
• Дешант, Пьер-Филипп (2021). «Спиноры Клиффорда и индукция корневой системы: H4 и Большая антипризма». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 31 (3). Springer Science and Business Media. arXiv : 2103.07817 . дои : 10.1007/s00006-021-01139-2 . S2CID  232232920.
• Дешант, Пьер-Филипп (2017). «Геометрия E8 с точки зрения Клиффорда». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 27 : 397–421. arXiv : 1603.04805 . дои : 10.1007/s00006-016-0675-9 . S2CID  253595386.
• Ито, Джин-ичи; Нара, Чи (2021). «Непрерывное уплощение двумерного скелета обычного 24-клеточного». Журнал геометрии . 112 (13). дои : 10.1007/s00022-021-00575-6 .
• Мебиус, Йохан (июль 2015 г.) [11 января 1994 г.]. Применение кватернионов в динамическом моделировании, компьютерной графике и биомеханике (Диссертация). Делфтский технологический университет . дои : 10.13140/RG.2.1.3310.3205.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «600-Cell». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o3o5o - ex».
• Der 600-Zeller (600-ячеечный) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• 600-ячеечное расширение вершинно-центрированного 600-ячеечного