Обозначение Кокстера

В геометрии нотация Кокстера (также символ Кокстера ) — это система классификации групп симметрии , описывающая углы между фундаментальными отражениями группы Кокстера в скобках, выражающих структуру диаграммы Кокстера - Дынкина , с модификаторами для обозначения определенных подгрупп. Обозначение названо в честь HSM Coxeter и было более полно определено Норманом Джонсоном .

Рефлексивные группы

Для групп Кокстера , определяемых чистыми отражениями, существует прямое соответствие между обозначением скобок и диаграммой Кокстера-Дынкина . Числа в скобках обозначают порядки зеркального отражения в ветвях диаграммы Кокстера. Он использует то же упрощение, подавляя 2 с между ортогональными зеркалами.

Обозначение Коксетера упрощено за счет экспонент, чтобы представить количество ветвей подряд для линейной диаграммы. Таким образом, группа An представлена как [3 ⁿ⁻¹ ], что подразумевает n узлов, соединенных n−1 ветвями порядка 3 _. Пример A ₂ = [3,3] = [3 ² ] или [3 ^1,1 ] представляет диаграммы.или.

Первоначально Коксетер представлял раздвоенные диаграммы с вертикальным расположением чисел, но позже был сокращен с помощью обозначения экспоненты, например [...,3 ^p,q ] или [3 ^p,q,r ], начиная с [3 ^1,1,1 ] или [3,3 ^1,1 ] =или как Д ₄ . Коксетер допустил нули как особые случаи, соответствующие _{семейству} An , например A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ], например"=""=".

Группы Кокстера, образованные циклическими диаграммами, обозначаются круглыми скобками внутри скобок, например [(p,q,r)] =для группы треугольников (pqr). Если порядки ветвей равны, их можно сгруппировать как показатель степени длины цикла в скобках, например [(3,3,3,3)] = [3 ^[4] ), представляя диаграмму Коксетера.или.можно представить как [3,(3,3,3)] или [3,3 ^[3] ].

Более сложные циклические диаграммы также можно выражать с осторожностью. Паракомпактная группа Коксетера может быть представлено нотацией Коксетера [(3,3,(3),3,3)] с вложенными/перекрывающимися круглыми скобками, показывающими два соседних цикла [(3,3,3)], а также более компактно представлено как [3 ^{[ ]×[ ]} ], представляющий ромбическую симметрию диаграммы Кокстера. Паракомпактная полная граф-диаграммаили , представлено как [3 ^[3,3] ] с верхним индексом [3,3] как симметрия его диаграммы Кокстера правильного тетраэдра .

Для аффинных и гиперболических групп индекс в каждом случае на единицу меньше числа узлов, поскольку каждая из этих групп получена добавлением узла к диаграмме конечной группы.

Несвязанные группы

Диаграмма Кокстера обычно оставляет ветви порядка 2 нерисованными, но в скобках присутствует явная цифра 2 для соединения подграфов. Итак, диаграмма Кокстера= A ₂ × A ₂ = 2 A ₂ можно представить как [3]×[3] = [3] ² = [3,2,3]. Иногда явные 2-ветви могут быть включены либо с меткой 2, либо со строкой с пробелом:или, как представление, идентичное [3,2,3].

Ранг и размерность

Ранг группы точек Кокстера равен количеству узлов, которое также равно размерности. Единственное зеркало существует в одномерном измерении, [ ],, а в двумерном измерении [1]или [ ]×[ ] ⁺ . 1 — это заполнитель, а не фактический порядок ветвления, а маркер ортогонального неактивного зеркала. Обозначение [ n ,1] представляет группу ранга 3, как [ n ]×[ ] ⁺ или. Аналогично, [1,1] как [ ]×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ илипорядок 2 и [1,1] ⁺ как [ ] ⁺ ×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ или, заказывайте 1!

Подгруппы

Обозначение Коксетера представляет вращательную/трансляционную симметрию путем добавления надстрочного оператора ⁺ вне скобок, [X] ⁺ , который сокращает порядок группы [X] пополам, образуя, таким образом, подгруппу индекса 2. Этот оператор подразумевает, что необходимо применить четное количество операторов, заменяя отражения поворотами (или перемещениями). Применительно к группе Кокстера это называется прямой подгруппой , потому что остаются только прямые изометрии без отражательной симметрии.

Операторы ⁺ также могут применяться внутри скобок, например [X,Y ⁺ ] или [X,(Y,Z) ⁺ ], и создают «полупрямые» подгруппы , которые могут включать как отражающие, так и неотражающие генераторы. Полупрямые подгруппы могут применяться только к подгруппам группы Кокстера, которые имеют смежные с ней ветви четного порядка. Элементам в круглых скобках внутри группы Коксетера может быть присвоен надстрочный оператор ⁺ , который разделяет соседние упорядоченные ветви на половинный порядок, поэтому обычно применяется только с четными числами. Например, [4,3 ⁺ ] и [4,(3,3) ⁺ ] ().

Если применяется со смежной нечетной ветвью, он не создает подгруппу с индексом 2, а вместо этого создает перекрывающиеся фундаментальные домены, например [5,1 ⁺ ] = [5/2], которые могут определять полигоны с двойной оберткой, такие как пентаграмма , { 5/2}, а [5,3 ⁺ ] относится к треугольнику Шварца [5/2,3], плотность 2.

Группы без соседних ⁺ элементов можно увидеть в кольцевых узлах, диаграмма Кокстера-Дынкина для однородных многогранников и соты связаны с дырочными узлами вокруг ⁺ элементов, пустыми кружками с удаленными чередующимися узлами. Итак, курносый кубик ,имеет симметрию [4,3] ⁺ () и курносый тетраэдр ,имеет симметрию [4,3 ⁺ ] () и полукуб , h{4,3} = {3,3} (или"=") имеет симметрию [1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (или"=""=").

Примечание: пиритоэдрическая симметрия. можно записать как, отделив график пробелами для наглядности, с генераторами {0,1,2} из группы Коксетера, производя пиритоэдрические генераторы {0,12}, отражение и 3-кратное вращение. А киральную тетраэдральную симметрию можно записать как или , [1 ⁺ ,4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ , с генераторами {12,0120}.

Уполовинивание подгрупп и расширенных групп

Джонсон расширяет оператор ⁺ для работы с узлами-заполнителями 1 ⁺ , который удаляет зеркала, удваивает размер фундаментальной области и сокращает порядок группы вдвое. ^[1] В целом эта операция применима только к отдельным зеркалам, ограниченным ветвями четного порядка. Цифра 1 представляет собой зеркало, поэтому [2p] можно рассматривать как [2p, 1 ], [ 1,2p ] или [ 1,2p , 1 ], как на диаграмме.или, с двумя зеркалами, связанными двугранным углом порядка 2p. Эффект от удаления зеркала заключается в дублировании соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера:"=", или в скобках: [1 ⁺ ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p].

Каждое из этих зеркал можно удалить, так что h[2p] = [1 ⁺ ,2p,1] = [1,2p,1 ⁺ ] = [p], индекс отражающей подгруппы 2. Это можно показать на диаграмме Кокстера с помощью добавление символа ⁺ над узлом:"=""=".

Если оба зеркала удалены, генерируется четверть подгруппы, при этом порядок ветвления становится точкой вращения половины порядка:

q[2p] = [1 ⁺ ,2p,1 ⁺ ] = [p] ⁺ , вращательная подгруппа индекса 4.

"="

Например, (при p=2): [4,1 ⁺ ] = [1 ⁺ ,4] = [2] = [ ]×[ ], порядок 4. [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺ , порядок 2.

Противоположностью делению пополам является удвоение ^[2] , которое добавляет зеркало, делит фундаментальную область пополам и удваивает порядок группы.

[[п]] = [2п]

Операции разделения пополам применяются для групп более высокого ранга, например, тетраэдрическая симметрия представляет собой полугруппу октаэдрической группы : h[4,3] = [1 ⁺ ,4,3] = [3,3], удаление половины зеркал на 4-ветви. . Эффект от удаления зеркала заключается в дублировании всех соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера:"=", h[2p,3] = [1 ⁺ ,2p,3] = [(p,3,3)].

Если узлы проиндексированы, полуподгруппы можно пометить новыми зеркалами как составные. Нравиться, генераторы {0,1} имеют подгруппу"=", генераторы {1,010}, где зеркало 0 удалено и заменено копией зеркала 1, отраженной от зеркала 0. Также дано, генераторы {0,1,2}, имеет полугруппу"=", генераторы {1,2,010}.

Удвоение путем добавления зеркала также применяется при обращении операции деления пополам: [[3,3]] = [4,3] или, в более общем смысле, [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Радикальные подгруппы

Джонсон также добавил оператор звездочки или звездочки * для «радикальных» подгрупп ^[3] , который действует аналогично оператору ⁺ , но удаляет вращательную симметрию. Индекс радикальной подгруппы — это порядок удаляемого элемента. Например, [4,3*] ≅ [2,2]. Удаленная подгруппа [3] имеет порядок 6, поэтому [2,2] является подгруппой индекса 6 в [4,3].

Радикальные подгруппы представляют собой операцию, обратную расширенной операции симметрии. Например, [4,3*] ≅ [2,2] и наоборот [2,2] можно расширить как [3[2,2]] ≅ [4,3]. Подгруппы можно выразить в виде диаграммы Кокстера:или≅. Удаление узла (зеркала) приводит к тому, что соседние виртуальные зеркала становятся настоящими зеркалами.

Если [4,3] имеет генераторы {0,1,2}, [4,3 ⁺ ], индекс 2, имеет генераторы {0,12}; [1 ⁺ ,4,3] ≅ [3,3], индекс 2 имеет образующие {010,1,2}; а радикальная подгруппа [4,3*] ≅ [2,2], индекс 6, имеет образующие {01210, 2, (012) ³ }; и, наконец, [1 ⁺ ,4,3*], индекс 12 имеет образующие {0(12) ² 0, (012) ² 01}.

Трионические подгруппы

Трионическая подгруппа - это подгруппа индекса 3. Джонсон определяет трионную подгруппу с оператором ⅄, индекс 3. Для групп Кокстера ранга 2, [3], трионная подгруппа, [3 ^⅄ ] представляет собой [ ], одно зеркало. А для [3 p ] трионическая подгруппа — это [3 p ] ^⅄ ≅ [ p ]. Данный, с генераторами {0,1}, имеет 3 трионные подгруппы. Их можно отличить, поставив символ ⅄ рядом с генератором зеркал, который нужно удалить, или на ветке для обоих: [3 p ,1 ^⅄ ] ="=", "=", и [3 п ^⅄ ] ="="с генераторами {0,10101}, {01010,1} или {101,010}.

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии: [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4], связывающие симметрию правильного тетраэдра и тетрагонального дисфеноида .

Для групп Кокстера ранга 3, [ p ,3], существует трионическая подгруппа [ p ,3 ^⅄ ] ≅ [ p /2, p ] или"=". Например, конечная группа [4,3 ^⅄ ] ≅ [2,4], евклидова группа [6,3 ^⅄ ] ≅ [3,6] и гиперболическая группа [8,3 ^⅄ ] ≅ [4,8] .

Смежная ветвь нечетного порядка p не понизит порядок группы, но создаст перекрывающиеся фундаментальные области. Порядок групп остается прежним, а плотность увеличивается. Например, икосаэдрическая симметрия , [5,3], икосаэдра правильных многогранников становится [5/2,5], симметрией двух правильных звездчатых многогранников. Он также связывает гиперболические мозаики {p,3} и звездчатые гиперболические мозаики {p/2,p}.

Для ранга 4 [ q ,2 p ,3 ^⅄ ] = [2 p ,((p,q,q))],"=".

Например, [3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3] или"=", генераторы {0,1,2,3} в [3,4,3] с генераторами трионной подгруппы [4,3,3] {0,1,2,32123}. Для гиперболических групп [3,6,3 ^⅄ ] = [6,3 ^[3] ] и [4,4,3 ^⅄ ] = [4,4,4].

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии

Джонсон идентифицировал две конкретные трионные подгруппы ^[4] из [3,3], сначала подгруппу индекса 3 [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ , 4], с [3,3] ("=""=") генераторы {0,1,2}. Это также можно записать как [(3,3,2 ^⅄ )] () как напоминание о его генераторах {02,1}. Это снижение симметрии представляет собой взаимосвязь между правильным тетраэдром и тетрагональным дисфеноидом , представляющую собой растяжение тетраэдра, перпендикулярное двум противоположным ребрам.

Во-вторых, он идентифицирует родственную подгруппу индекса 6 [3,3] ^Δ или [(3,3,2 ^⅄ )] ⁺ (), индекс 3 из [3,3] ⁺ ≅ [2,2] ⁺ , с генераторами {02,1021}, из [3,3] и его генераторами {0,1,2}.

Эти подгруппы также применяются в более крупных группах Кокстера с подгруппой [3,3] с соседними ветвями четного порядка.

Например, [(3,3) ⁺ ,4], [(3,3) ^⅄ ,4] и [(3,3) ^Δ ,4] являются подгруппами группы [3,3,4], индекс 2, 3 и 6 соответственно. Генераторы [(3,3) ^⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 ⁺ ,8], порядка 128, это {02,1,3} из [3,3, 4] генераторы {0,1,2,3}. И [(3,3) ^Δ ,4] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]], порядка 64, имеет образующие {02,1021,3}. Кроме того, [3 ^⅄ ,4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ ,4].

Также родственный [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] имеет трионные подгруппы: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ ,4,1 ⁺ ], порядок 64, и 1=[3 ^1,1,1 ] ^Δ = [(3,3) ^Δ ,4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]] ⁺ , порядок 32.

Центральная инверсия

Центральная 2D-инверсия — это поворот на 180 градусов, [2] ⁺

Центральная инверсия , порядок 2, работает по-разному в зависимости от размера. Группа [ ] ⁿ = [2 ^{n −1} ] представляет n ортогональных зеркал в n-мерном пространстве или n-плоское подпространство пространства более высокой размерности. Зеркала группы [2 ^{n −1} ] пронумерованы . В случае инверсии порядок зеркал не имеет значения. Матрица центральной инверсии , тождественная матрица с отрицательной матрицей на диагонали. $0\dots n-1$ $-I$

Исходя из этого, центральная инверсия имеет генератор как произведение всех ортогональных зеркал. В нотации Коксетера эта группа инверсий выражается добавлением чередования ⁺ к каждой второй ветви. Альтернационная симметрия отмечена на узлах диаграммы Кокстера как открытые узлы.

Диаграмма Кокстера-Динкина может быть размечена двумя явными ветвями, определяющими линейную последовательность зеркал, открытых узлов и общих двойных открытых узлов, чтобы показать цепочку генераторов отражений.

Например, [2 ⁺ ,2] и [2,2 ⁺ ] являются подгруппами индекса 2 из [2,2],, и представлены как(или) и(или) с генераторами {01,2} и {0,12} соответственно. Их общий индекс подгруппы 4 равен [2 ⁺ ,2 ⁺ ] и представлен формулой(или), с двойным открытиеммаркировка общего узла в двух чередованиях и одного роторно-отражательного генератора {012}.

Вращения и вращательные отражения

Вращения и вращательные отражения создаются одним однообразующим произведением всех отражений призматической группы, [2 p ]×[2 q ]×... где НОД ( p , q ,...)=1, они _{изоморфны} абстрактной циклической группе Zn порядка n =2 pq .

4-мерные двойные вращения, [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] (с НОД ( p , q )=1), которые включают центральную группу и выражаются Конвеем как ±[C _p ×C _q ], ^[5] порядка 2 pq . Из диаграммы Кокстера, генераторы {0,1,2,3}, требуется два генератора для [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ],как {0123,0132}. Полугруппы, [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] ⁺ , или циклический граф, [(2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ )],выраженный Конвеем, равен [C _p ×C _q ], порядок pq , с одним генератором, например {0123}.

Если есть общий множитель f , двойное вращение можно записать как 1 ⁄ f [2 pf ⁺ ,2 ⁺ ,2 qf ⁺ ] (с НОД ( p , q )=1), генераторы {0123,0132}, порядок 2 ПКФ . Например, p = q =1, f =2, 1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] — порядок 4. И 1 ⁄ f [2 pf ⁺ ,2 ⁺ ,2 qf ⁺ ] ⁺ , генератор { 0123}, это порядок pqf . Например, 1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] ^{+ —} это порядок 2, центральная инверсия .

В общем случае группа n -ротации, [2 p ₁⁺ ,2,2 p ₂⁺ ,2,..., p _n⁺ ] может потребовать до n генераторов, если gcd( p ₁ ,.., p _n )> 1, как произведение всех зеркал с последующей заменой последовательных пар. Полугруппа [2 p ₁⁺ ,2,2 p ₂⁺ ,2,..., p _n⁺ ] ⁺ имеет образующие в квадрате. n -вращательные отражения аналогичны.

Подгруппы коммутаторов

Простые группы только с элементами ветвления нечетного порядка имеют только одну вращательную/трансляционную подгруппу порядка 2, которая также является подгруппой- коммутатором , примеры [3,3] ⁺ , [3,5] ⁺ , [3,3,3] ⁺ , [3,3,5] ⁺ . Для других групп Кокстера с ветвями четного порядка подгруппа-коммутант имеет индекс 2 ^c , где c — количество несвязных подграфов, когда все ветви четного порядка удалены. ^[6]

Например, [4,4] имеет три независимых узла на диаграмме Коксетера, когда 4 удалены, поэтому его подгруппа коммутатора имеет индекс 2 ³ и может иметь разные представления, все с тремя операторами ⁺^{: [4 +} ,4 ⁺ ] ⁺ , [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ], [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] ⁺ или [(4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ⁺ )]. Общие обозначения могут использоваться с + c в качестве показателя группы, например [4,4] ⁺³ .

Примеры подгрупп

Примеры подгрупп 2-го ранга

Группы диэдральной симметрии четных порядков имеют ряд подгрупп. В этом примере показаны два зеркала генератора из [4] красным и зеленым цветом, и все подгруппы рассматриваются путем халфинга, понижения ранга и их прямых подгрупп. Группа [4],имеет два генератора зеркал 0 и 1. Каждый генерирует два виртуальных зеркала 101 и 010 путем отражения друг от друга.

Подгруппы евклидовых примеров ранга 3

Группа [4,4] имеет 15 малых индексных подгрупп. В этой таблице показаны все они, с желтым фундаментальным доменом для чисто отражающих групп и чередующимися белыми и синими доменами, которые объединяются в пары, образуя вращательные домены. Голубая, красная и зеленая зеркальные линии соответствуют узлам одного цвета на диаграмме Коксетера. Генераторы подгрупп могут быть выражены как произведения исходных трех зеркал фундаментальной области {0,1,2}, соответствующих трем узлам диаграммы Кокстера:. Произведение двух пересекающихся линий отражения совершает поворот, например {012}, {12} или {02}. Удаление зеркала приводит к созданию двух копий соседних зеркал на удаленном зеркале, например {010} и {212}. Два последовательных вращения сокращают порядок вращения вдвое, например {0101} или {(01) ² }, {1212} или {(02) ² }. Произведение всех трех зеркал создает просветление , например {012} или {120}.

Гиперболические примеры подгрупп

Один и тот же набор из 15 малых подгрупп существует во всех треугольных группах с элементами четного порядка, как [6,4] в гиперболической плоскости:

Параболические подгруппы

Параболическую подгруппу группы Кокстера можно идентифицировать, удалив одно или несколько образующих зеркал, представленных диаграммой Кокстера. Например, октаэдрическая группаимеет параболические подгруппы,,,,,. В скобках [4,3] имеет параболические подгруппы [4],[2],[3] и одно зеркало []. Порядок подгруппы известен, и всегда это порядок группы целочисленных делителей или индекс. Параболические подгруппы также можно записать с помощью узлов x, например=[4,3] подгруппу, удалив второе зеркало:или"="= [4,1 ^× ,3] = [2].

Подгруппа Петри

Подгруппа Петри неприводимой группы Кокстера может быть создана произведением всех образующих. Это можно увидеть на скошенном правильном многоугольнике Петри правильного многогранника . Порядок новой группы называется числом Кокстера исходной группы Кокстера. Число Кокстера группы Кокстера равно 2 m / n , где n — ранг, а m — количество отражений. Подгруппу Петри можно записать с помощью верхнего индекса $π$ . Например, [3,3] ^$π$ — подгруппа Петри тетраэдрической группы, циклическая группа порядка 4, порожденная роторным отражением . Группа Кокстера ранга 4 будет иметь генератор двойного вращения , например, [4,3,3] ^$π$ имеет порядок 8.

Расширенная симметрия

Обозначение Коксетера включает обозначение в двойных квадратных скобках [[X]] для выражения автоморфной симметрии внутри диаграммы Коксетера. Джонсон добавил альтернативное удвоение с помощью угловой скобки <[X]>. Джонсон также добавил префиксный модификатор симметрии [Y[X]], где Y может представлять либо симметрию диаграммы Кокстера [X], либо симметрию фундаментальной области [X].

Например, в 3D эти эквивалентные диаграммы прямоугольной и ромбической геометрии : ${\tilde {A}}_{3}$ и, первый удвоен квадратными скобками, [[3 ^[4] ]] или дважды удвоен как [2[3 ^[4] ]], с [2], более высокой симметрией 4-го порядка. Чтобы отличить второй, угловые скобки используются для удвоения, <[3 ^[4] ]> и дважды удвоенного как <2[3 ^[4] ]>, также с другой симметрией [2], порядка 4. Наконец, полная симметрия, при которой все 4 узла эквивалентны, может быть представлена как [4[3 ^[4] ]] с симметрией квадрата порядка 8, [4 ] . Но, рассматривая фундаментальную область тетрагонального дисфеноида, [4] расширенную симметрию квадратного графа можно обозначить более явно как [(2 ⁺ ,4)[3 ^[4] ]] или [2 ⁺ ,4[3 ^[4] ] ].

Дальнейшая симметрия существует в циклических и ветвящихся диаграммах , и . имеет порядок 2 n симметрии правильного n -угольника { n } и представлен как [ n [3 ^[ⁿ^] ]]. и представлены как [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] и [3[3 ^2,2,2 ]] соответственно, а как [(3,3)[3 ^{1,1, 1,1} ]] = [3,3,4,3], с диаграммой, содержащей 24-й порядок симметрии правильного тетраэдра , {3,3}. Паракомпактная гиперболическая группа = [3 ^1,1,1,1,1 ], ${\tilde {A}}_{n}$ $D_{3}$ ${\tilde {E}}_{6}$ ${\tilde {D}}_{4}$ ${\tilde {A}}_{n}$ $D_{3}$ ${\tilde {E}}_{6}$ ${\tilde {D}}_{4}$ ${\bar {L}}_{5}$ , содержит симметрию 5-клетки , {3,3,3} и, таким образом, представляется как [(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4, 3,3,3].

Надстрочный индекс звездочки * фактически является обратной операцией, создавая радикальные подгруппы , удаляя соединенные зеркала нечетного порядка. ^[7]

Примеры:

Глядя на генераторы, двойная симметрия рассматривается как добавление нового оператора, который отображает симметричные позиции на диаграмме Кокстера, что делает некоторые исходные генераторы ненужными. Для трехмерных пространственных групп и четырехмерных точечных групп Коксетер определяет подгруппу индекса два в [[X]], [[X] ⁺ ], которую он определяет как произведение исходных генераторов [X] на генератор удвоения. Это похоже на [[X]] ⁺ , которая является киральной подгруппой [[X]]. Так, например, трехмерные пространственные группы [[4,3,4]] ⁺ (I432, 211) и [[4,3,4] ⁺ ] (Pm 3 n, 223) являются отдельными подгруппами [[4,3, 4]] (Я 3 м, 229).

Группы первого ранга

В одном измерении двусторонняя группа [ ] представляет одну зеркальную симметрию, абстрактную Dih ₁ или Z ₂ , порядок симметрии 2. Она представлена как диаграмма Кокстера-Дынкина с одним узлом,. Единичная группа — это прямая подгруппа [ ] ⁺ , Z ₁ , порядок симметрии 1. Верхний индекс + просто означает, что альтернативные зеркальные отражения игнорируются, оставляя в этом простейшем случае единичную группу. Коксетер использовал один открытый узел для обозначения чередования..

Разместите две группы

В двух измерениях прямоугольная группа [2], абстрактная D ₂² или D ₄ , также может быть представлена как прямое произведение [ ]×[ ], являющееся произведением двух двусторонних групп, представляет собой два ортогональных зеркала с диаграммой Кокстера,, с порядком 4. 2 в [2] получается в результате линеаризации ортогональных подграфов в диаграмме Кокстера, какс явным порядком ветвления 2. Ромбическая группа , [2] ⁺ (или), половина прямоугольной группы, симметрия точечного отражения , Z ₂ , порядок 2.

Обозначение Кокстера, позволяющее использовать 1 заполнитель для групп более низкого ранга, поэтому [1] совпадает с [ ], а [1 ⁺ ] или [1] ⁺ совпадает с [ ] ⁺ и диаграмма Кокстера.

Полная p-гональная группа [p], абстрактная группа диэдра D _{2 p} ( неабелева для p>2) порядка 2 p , порождается двумя зеркалами под углом π / p , представленными диаграммой Кокстера.. p -угольная подгруппа [p] ⁺ , циклическая группа Z _p порядка p , порожденная углом поворота π / p .

В нотации Коксетера используется двойное разбиение для обозначения автоморфного удвоения симметрии путем добавления биссектрисы к фундаментальной области . Например, [[p]] добавляет к [p] делящееся пополам зеркало и изоморфно [2p].

В пределе, при переходе к одному измерению, полная апейрогональная группа получается, когда угол обращается в ноль, поэтому [∞], абстрактно бесконечная группа диэдра D _∞ , представляет собой два параллельных зеркала и имеет диаграмму Кокстера.. Апейрогональная группа [∞] ⁺ ,, абстрактно бесконечная циклическая группа Z _∞ , изоморфная аддитивной группе целых чисел , порождается одним ненулевым сдвигом.

В гиперболической плоскости существует полная псевдогональная группа [ iπ/λ ] и псевдогональная подгруппа [ iπ/λ ] ⁺ ,. Эти группы существуют в правильных бесконечносторонних многоугольниках с длиной ребра λ. Все зеркала ортогональны одной линии.

Третья группа ранга

Группы точек в трех измерениях могут быть выражены в скобках, связанных с группами Кокстера 3-го ранга:

В трех измерениях полная орторомбическая группа или ортопрямоугольная [2,2], абстрактно Z ₂³ , порядок 8, представляет собой три ортогональных зеркала (также представленных диаграммой Коксетера в виде трех отдельных точек).). Его также можно представить как прямое произведение [ ]×[ ]×[ ], но выражение [2,2] позволяет определять подгруппы:

Во-первых, существует «полупрямая» подгруппа, ромбическая группа , [2,2 ⁺ ](или), абстрактно Z ₂ × Z ₂ , порядка 4. Когда верхний индекс + указан внутри скобок, это означает отражения, генерируемые только от соседних зеркал (как определено диаграммой Кокстера,) чередуются. В общем, порядки ветвления, соседние с узлом + , должны быть четными. В этом случае [2,2 ⁺ ] и [2 ⁺ ,2] представляют две изоморфные подгруппы, геометрически различные. Остальные подгруппы — это параромбическая группа [2,2] ⁺ (или), а также порядок 4 и, наконец, центральная группа [2 ⁺ ,2 ⁺ ] (или) порядка 2.

Далее идет полная орто- p -гональная группа [2,p] (), абстрактно Z ₂ ×D _{2 p} порядка 4p, представляющее два зеркала под двугранным углом π/ p , и оба ортогональны третьему зеркалу. Это также представлено диаграммой Кокстера как.

Прямая подгруппа называется пара- p -гональной группой, [2,p] ⁺ (или), абстрактно D _{2 p} порядка 2p, а другая подгруппа — это [2,p ⁺ ] () абстрактно Z ₂ × Z _p , также порядка 2p.

Полная гиро-p-гональная группа , [2 ⁺ ,2 p ] (или), абстрактно D _{4 p} порядка 4 p . Гиро- p -гональная группа [2 ⁺ ,2p ⁺ ] (или), абстрактно Z _{2 p} порядка 2 p является подгруппой как [2 ⁺ ,2 p ], так и [2,2 p ⁺ ].

Группы многогранников основаны на симметрии платоновых тел : тетраэдра , октаэдра , куба , икосаэдра и додекаэдра с символами Шлефли {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}. и {5,3} соответственно. Группы Кокстера для них: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] (), называемая полной тетраэдрической симметрией , октаэдрической симметрией и икосаэдрической симметрией , с порядками 24, 48 и 120.

Во всех этих симметриях можно удалить альтернативные отражения, создав вращательный тетраэдр [3,3] ⁺ (), октаэдрический [3,4] ⁺ () и икосаэдрические [3,5] ⁺ () группы порядка 12, 24 и 60. Октаэдрическая группа также имеет уникальную подгруппу индекса 2, называемую пиритоэдрической группой симметрии , [3 ⁺ ,4] (или), порядка 12, со смесью вращательной и отражательной симметрии. Пиритоэдрическая симметрия также является подгруппой индекса 5 икосаэдрической симметрии:-->, с виртуальным зеркалом 1 относительно 0 , {010} и 3-кратным вращением {12}.

Тетраэдрическая группа, [3,3] (), имеет удвоение [[3,3]] (которое можно представить цветными узлами), отображая первое и последнее зеркала друг на друга, и это дает [3,4] (или) группа. Подгруппа [3,4,1 ⁺ ](или) то же самое, что [3,3], и [3 ⁺ ,4,1 ⁺ ] (или) то же самое, что [3,3] ⁺ .

Аффинный

В евклидовой плоскости есть три фундаментальные отражающие группы, порожденные тремя зеркалами, представленные диаграммами Кокстера.,, и, и имеют обозначения Кокстера как [4,4], [6,3] и [(3,3,3)]. Скобки последней группы подразумевают цикл диаграммы, а также имеют сокращенное обозначение [3 ^[3] ].

[[4,4]] как удвоение группы [4,4] давало ту же симметрию, повернутую на π/4, от исходного набора зеркал.

Прямыми подгруппами вращательной симметрии являются: [4,4] ⁺ , [6,3] ⁺ и [(3,3,3)] ⁺ . [4 ⁺ ,4] и [6,3 ⁺ ] — полупрямые подгруппы.

В нотации Коксетера ( орбифолдной нотации ) некоторые аффинные подгруппы с низким индексом:

Четвертая группа ранга

Группы точек

Группы четвертого ранга определяли 4-мерные точечные группы :

Подгруппы

Космические группы

Группы линий

Группы четвертого ранга также определяют трехмерные группы линий :

Дуопризматическая группа

Группы четвертого ранга определяли 4-мерные дуопризматические группы. В пределе, когда p и q стремятся к бесконечности, они вырождаются в 2 измерения и группы обоев.

Группы обоев

Группы четвертого ранга также определили некоторые из двумерных групп обоев как предельные случаи четырехмерных групп дуопризмы:

Подгруппы [∞,2,∞], (*2222) могут быть выражены до подгруппы коммутатора индекса 16:

Сложные размышления

Обозначение Кокстера было расширено до Комплексного пространства , C ⁿ , где узлы являются унитарными отражениями периода 2 или больше. Узлы помечены индексом, который считается равным 2 для обычного реального отражения, если оно подавлено. Комплексные группы отражений называются группами Шепарда, а не группами Кокстера , и могут использоваться для построения комплексных многогранников .

В , группа Шепардов 1 ранга. $\mathbb {C} ^{1}$ , порядок p , представляется как _p [ ], [ ] _p или ] _p [. Он имеет единственный генератор, представляющий вращение на 2 π / p радиан в комплексной плоскости : . $е^{2\pi i/p}$

Коксетер записывает комплексную группу ранга 2, _p [ q ] _r представляет диаграмму Кокстера. . p и r следует подавлять только в том случае , если оба равны 2, что является реальным случаем [ q ]. Порядок группы ранга 2 _p [ q ] _r равен . ^[9] $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$

Решения ранга 2, которые генерируют комплексные многоугольники: _p [4] ₂ ( p равно 2,3,4,...), ₃ [3] ₃ , ₃ [6] ₂ , ₃ [4] ₃ , ₄ [3 ] ₄ , ₃ [8] ₂ , ₄ [6] ₂ , ₄ [4] ₃ , ₃ [5] ₃ , ₅ [3] ₅ , ₃ [10] ₂ , ₅ [6] ₂ и ₅ [4] ₃ с диаграммами Кокстера,,,,,,,,,,,,.

Бесконечные группы — это ₃ [12] ₂ , ₄ [8] ₂ , ₆ [6] ₂ , ₃ [6] ₃ , ₆ [4] ₃ , ₄ [4 ] ₄ и ₆ [3] ₆ или,,,,,,.

Подгруппы индекса 2 существуют за счет удаления вещественного отражения: _p [2 q ] ₂ → _p [ q ] _p . Также подгруппы индекса r существуют для 4 ветвей: _p [4] _r → _p [ r ] _p .

Для бесконечного семейства _p [4] ₂ , для любого p = 2, 3, 4,..., существуют две подгруппы: _p [4] ₂ → [ p ], индекс p , while и _p [4] ₂ → _p [ ]× _p [ ], индекс 2.

Вычисления с использованием матриц отражений как генераторов симметрии

Группа Кокстера, представленная диаграммой Кокстера. , дано обозначение Кокстера [p,q] для порядков ветвления. Каждый узел диаграммы Кокстера представляет собой зеркало, условно называемое ρ _i (и матрицей R _i ). Образующими этой группы [p,q] являются отражения: ρ 0 _, ρ ₁ и ρ ₂ . Вращательная субсимметрия задается как продукт отражений: По соглашению, σ _0,1 (и матрица S _0,1 ) = ρ ₀ ρ ₁ представляет собой вращение на угол π/p, а σ _1,2 = ρ ₁ ρ ₂ представляет собой поворот на угол π/q, а σ _0,2 = ρ ₀ ρ ₂ представляет собой поворот на угол π/2.

[p,q] ⁺ ,, представляет собой подгруппу индекса 2, представленную двумя генераторами вращения, каждый из которых представляет собой произведение двух отражений: σ _0,1 , σ _1,2 и представляет повороты углов π/ p и π/ q соответственно.

С одной четной ветвью [ p ⁺ ,2 q ]или, является другой подгруппой индекса 2, представленной генератором вращения σ _0,1 и отражательным ρ ₂ .

При четных ветвях [2 p ⁺ ,2 q ⁺ ],, является подгруппой индекса 4 с двумя генераторами, построенными как произведение всех трех матриц отражения: По соглашению: ψ _0,1,2 и ψ _1,2,0 , которые являются вращающимися отражениями , представляющими отражение и вращение или отражение.

В случае аффинных групп Кокстера типа, или, одно зеркало, обычно последнее, выводится из начала координат. Генератор трансляции τ _0,1 (и матрица T _0,1 ) строится как произведение двух (или четного числа) отражений, включая аффинное отражение. Трансотражение (отражение плюс перевод) может быть продуктом нечетного числа отражений φ _0,1,2 (и матрицы V _0,1,2 ), как подгруппа индекса 4 .: [4 ⁺ ,4 ⁺ ] =.

Другой составной генератор, по соглашению обозначаемый как ζ (и матрица Z), представляет инверсию , отображая точку в ее обратную сторону. Для [4,3] и [5,3] ζ = (ρ ₀ ρ ₁ ρ ₂ ) ^h/2 , где h равно 6 и 10 соответственно, числу Кокстера для каждого семейства. Для 3D группы Кокстера [p,q] (), эта подгруппа представляет собой вращательное отражение [2 ⁺ ,h ⁺ ].

Группы Кокстера классифицируются по их рангу, который представляет собой количество узлов в диаграмме Кокстера-Дынкина . Структура групп также представлена с указанием их абстрактных типов групп: в этой статье абстрактные диэдральные группы представлены как Dih _n , а циклические группы представлены как Z _n , причем Dih ₁ = Z ₂ .

2-й ранг

Например, в 2D группа Кокстера [ p ] () представлена двумя матрицами отражения R ₀ и R ₁ , Циклическая симметрия [ p ] ⁺ () представлен генератором вращения матрицы S _0,1 .

3-й ранг

Конечные группы Кокстера ранга 3 — это [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] и [3,5].

Чтобы отразить точку через плоскость (проходящую через начало координат), можно использовать , где – единичная матрица 3×3, а – трехмерный единичный вектор для вектора нормали к плоскости. Если норма L2 и равна единице, матрицу преобразования можно выразить как: $топор+by+cz=0$ $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$ $\mathbf {I}$ $\mathbf {N}$ ${\ displaystyle a, b,}$ $с$

\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1- 2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]

[ п ,2]

Приводимая трехмерная конечная отражающая группа имеет диэдральную симметрию [ p ,2], порядка 4 p ,. Генераторы отражений представляют собой матрицы R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀² = р ₁² = р ₂² = (р ₀ × р ₁ ) ³ = ( р ₁ × р ₂ ) ³ = ( р ₀ × р ₂ ) ² = идентичность. [ п ,2] ⁺ () генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Роторное отражение порядка p генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[3,3]

Простейшей неприводимой трехмерной конечной отражающей группой является тетраэдрическая симметрия , [3,3], порядок 24,. Генераторы отражений, согласно конструкции D ₃ =A ₃ , представляют собой матрицы R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀² = р ₁² = р ₂² = (р ₀ × р ₁ ) ³ = ( р ₁ × р ₂ ) ³ = ( р ₀ × р ₂ ) ² = идентичность. [3,3] ⁺ () генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Трионная подгруппа, изоморфная [2 ⁺ ,4] порядка 8, порождается S _0,2 и R ₁ . Роторное отражение четвертого порядка генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[4,3]

Другая неприводимая трехмерная конечная отражающая группа — это октаэдрическая симметрия , [4,3], порядок 48,. Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀² = р ₁² = р ₂² = (р ₀ × р ₁ ) ⁴ = ( р ₁ × р ₂ ) ³ = ( р ₀ × р ₂ ) ² = идентичность. Киральная октаэдрическая симметрия, [4,3] ⁺ , () генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Пиритоэдрическая симметрия [4,3 ⁺ ], () генерируется отражением R ₀ и вращением S _1,2 . Шестикратное роторное отражение генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[5,3]

Окончательная неприводимая трехмерная конечная отражающая группа имеет икосаэдрическую симметрию , [5,3], порядок 120,. Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ . R ₀² =R ₁² =R ₂² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² =Идентичность. [5,3] ⁺ () генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . 10-кратное роторное отражение генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

Ранг 4

Существует 4 неприводимые группы Кокстера в 4 измерениях: [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,4], [5,3,3] , а также бесконечное семейство дуопризматических групп [ p ,2, q ].

[ п ,2, q ]

Дупризматическая группа [ p ,2, q ] имеет порядок 4 pq .

[[ п ,2, п ]]

Дуопризматическая группа может удваиваться по порядку, до 8 p ² , с двукратным поворотом между двумя плоскостями.

[3,3,3]

Гипертетраэдрическую симметрию [3,3,3] порядка 120 проще всего представить четырьмя зеркалами в 5-мерном измерении как подгруппу [4,3,3,3].

[[3,3,3]]

Расширенная группа [[3,3,3]], порядок 240, удваивается матрицей двукратного вращения T, здесь меняя порядок и знак координат: имеется 3 генератора {T, R ₀ , R ₁ }. Поскольку T взаимно обратен, R ₃ =TR ₀ T и R ₂ =TR ₁ T.

[4,3,3]

Неприводимая 4-мерная конечная отражающая группа — это гипероктаэдрическая группа (или гексадекахорная группа (для 16-ячеечной ), B ₄ =[4,3,3], порядок 384,. Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ , R ₃ . р ₀² = р ₁² = р ₂² = р ₃² = (р ₀ × р ₁ ) ⁴ = ( р ₁ × р ₂ ) ³ = ( р ₂ × р ₃ ) ³ = ( р ₀ × р ₂ ) ² =(R1 _× R3 ₎ 2 ⁼ (R0 _× R3 ₎ 2 ⁼ Идентичность.

Киральная гипероктаэдрическая симметрия, [4,3,3] ⁺ , () генерируется 3 из 6 вращений: S _0,1 , S _1,2 , S _2,3 , S _0,2 , S _1,3 и S _0,3 . Гиперпиритоэдрическая симметрия [4,(3,3) ⁺ ], () генерируется отражением R ₀ и вращениями S _1,2 и S _2,3 . 8-кратное двойное вращение генерируется W _0,1,2,3 , продуктом всех 4 отражений.

[3,3 ^1,1 ]

Полугруппа из [4,3,3] — это [3,3 ^1,1 ],, порядок 192. Он разделяет 3 генератора с группой [4,3,3], но имеет две копии соседнего генератора, одна из которых отражается через удаленное зеркало.

[3,4,3]

Неприводимая 4-мерная конечная отражающая группа — это икоситетрахорическая группа (для 24-клеток ), F ₄ =[3,4,3], порядок 1152,. Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ , R ₃ . р ₀² = р ₁² = р ₂² = р ₃² = (р ₀ × р ₁ ) ³ = ( р ₁ × р ₂ ) ⁴ = ( р ₂ × р ₃ ) ³ = ( р ₀ × р ₂ ) ² =(R1 _× R3 ₎ 2 ⁼ (R0 _× R3 ₎ 2 ⁼ Идентичность.

Киральная икоситетрахорная симметрия, [3,4,3] ⁺ , () генерируется 3 из 6 вращений: S _0,1 , S _1,2 , S _2,3 , S _0,2 , S _1,3 и S _0,3 . Ионная уменьшенная группа [3,4,3 ⁺ ], () генерируется отражением R ₀ и вращениями S _1,2 и S _2,3 . 12-кратное двойное вращение генерируется W _0,1,2,3 , продуктом всех 4 отражений.

[[3,4,3]]

Группа [[3,4,3]] расширяет [3,4,3] двукратным поворотом T, увеличивая порядок удвоения до 2304.

[5,3,3]

Гипер-икосаэдрическая симметрия, [5,3,3], порядка 14400,. Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ , R ₃ . р ₀² = р ₁² = р ₂² = р ₃² = (р ₀ × р ₁ ) ⁵ = ( р ₁ × р ₂ ) ³ = ( р ₂ × р ₃ ) ³ = ( р ₀ × р ₂ ) ² =(R0 _× R3 ₎ 2 ⁼ (R1 _× R3 ₎ 2 ⁼ Идентичность. [5,3,3] ⁺ () порождается тремя вращениями: S _0,1 = R ₀ ×R ₁ , S _1,2 = R ₁ ×R ₂ , S _2,3 = R ₂ ×R ₃ и т. д.

8 место

[3 ^4,2,1 ]

Группа Кокстера E8 , [3 ^4,2,1 ],, имеет 8 зеркальных узлов, заказ 696729600 (192х10!). E7 и E6, [3 ^3,2,1 ],и [3 ^2,2,1 ],может быть построено путем игнорирования первого зеркала или первых двух зеркал соответственно.

Аффинный ранг 2

Аффинные матрицы представляются путем добавления дополнительной строки и столбца, причем последняя строка равна нулю, за исключением последней записи 1. Последний столбец представляет вектор перевода.

[∞]

Аффинная группа [∞],, может быть задано двумя матрицами отражения, x=0 и x=1.

Аффинный ранг 3

[4,4]

Аффинная группа [4,4],, (p4m), может быть задан тремя матрицами отражения: отражениями по оси x (y=0), диагональю (x=y) и аффинным отражением поперек линии (x=1). [4,4] ⁺ () (p4) порождается S _0,1 S _1,2 и S _0,2 . [4 ⁺ ,4 ⁺ ] () (pgg) генерируется 2-кратным вращением S _0,2 и скользящим отражением (трансрефлексией) V _0,1,2 . [4 ⁺ ,4] () (p4g) порождается S _0,1 и R ₃ . Группа [(4,4,2 ⁺ )] () (см), генерируется 2-кратным вращением S _1,3 и отражением R ₂ .

[3,6]

Аффинная группа [3,6],, (p6m), может быть задан тремя матрицами отражений: отражениями по оси x (y=0), линией y=(√3/2)x и вертикальной линией x=1.

[3 ^[3] ]

Аффинная группа [3 ^[3] ] может быть построена как полугруппа. R ₂ заменяется на R' ₂ = R ₂ ×R ₁ ×R ₂ , представленный гиперплоскостью: y+(√3/2)x=2. Фундаментальная область представляет собой равносторонний треугольник с длиной ребра 2.

Аффинный ранг 4

[4,3,4]

Аффинная группа — это [4,3,4] (), может быть задано четырьмя матрицами отражений. Зеркало R ₀ можно разместить в плоскости z=0. Зеркало R ₁ можно положить в плоскость y=z. Зеркало R ₂ можно расположить в плоскости x=y. Зеркало R ₃ можно разместить в плоскости x=1. [4,3,4] ⁺ () генерируется S _0,1 , S _1,2 и S _2,3 .

[[4,3,4]]

Расширенная группа [[4,3,4]] удваивает порядок группы, добавляя матрицу двукратного вращения T с фиксированной осью через точки (1,1/2,0) и (1/2,1/ 2,1/2). Генераторы: {R ₀ ,R ₁ ,T}. R ₂ = Т×R ₁ ×Т и R ₃ = Т×R ₀ ×Т.

[4,3 ^1,1 ]

Группа [4,3 ^1,1 ] может быть построена из [4,3,4] путем вычисления [4,3,4,1 ⁺ ],, поскольку R' ₃ =R ₃ ×R ₂ ×R ₃ , с новым R' ₃ как образом R ₂ через R ₃ .

[3 ^[4] ]

Группу [3 ^[4] ] можно составить из [4,3,4], удалив первое и последнее зеркала, [1 ⁺ ,4,3,4,1 ⁺ ],, посредством R' ₁ =R ₀ ×R ₁ ×R ₀ и R' ₃ =R ₃ ×R ₂ ×R ₃ .

Примечания

^ Джонсон (2018), 11.6 Подгруппы и расширения , стр. 255, разделение подгрупп пополам
^ ab Johnson (2018), стр. 231–236 и стр. 245. Таблица 11.4. Конечные группы изометрий в трехмерном пространстве.
^ Джонсон (2018), 11.6 Подгруппы и расширения , стр. 259, радикальная подгруппа
^ Джонсон (2018), 11.6 Подгруппы и расширения , стр. 258, трионные подгруппы
^ Конвей, 2003, стр. 46, Таблица 4.2. Хиральные группы II.
^ Коксетер и Мозер, 1980, раздел 9.5. Подгруппа коммутаторов, с. 124–126
^ Джонсон, Норман В.; Вайс, Асия Ивич (1999). «Кватернионные модульные группы». Линейная алгебра и ее приложения . 295 (1–3): 159–189. дои : 10.1016/S0024-3795(99)00107-X .
^ Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре , Д. Хестенс и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 страницы) PDF [1] Архивировано 20 октября 2020 г. в Wayback Machine.
^ Коксетер, Правильные комплексные многогранники, 9.7 Отражения подгрупп с двумя образующими. стр. 178–179.

Обозначение Кокстера

Рефлексивные группы

Несвязанные группы

Ранг и размерность

Подгруппы

Уполовинивание подгрупп и расширенных групп

Радикальные подгруппы

Трионические подгруппы

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии

Центральная инверсия

Вращения и вращательные отражения

Подгруппы коммутаторов

Примеры подгрупп

Примеры подгрупп 2-го ранга

Подгруппы евклидовых примеров ранга 3

Гиперболические примеры подгрупп

Параболические подгруппы

Подгруппа Петри

Расширенная симметрия

Группы первого ранга

Разместите две группы

Третья группа ранга

Аффинный

Четвертая группа ранга

Группы точек

Подгруппы

Космические группы

Группы линий

Дуопризматическая группа

Группы обоев

Сложные размышления

Вычисления с использованием матриц отражений как генераторов симметрии

2-й ранг

3-й ранг

[ п ,2]

[3,3]

[4,3]

[5,3]

Ранг 4

[ п ,2, q ]

[[ п ,2, п ]]

[3,3,3]

[[3,3,3]]

[4,3,3]

[3,3 1,1 ]

[3,4,3]

[[3,4,3]]

[5,3,3]

8 место

[3 4,2,1 ]

Аффинный ранг 2

[∞]

Аффинный ранг 3

[4,4]

[3,6]

[3 [3] ]

Аффинный ранг 4

[4,3,4]

[[4,3,4]]

[4,3 1,1 ]

[3 [4] ]

Примечания

Рекомендации

[3,3 ^1,1 ]

[3 ^4,2,1 ]

[3 ^[3] ]

[4,3 ^1,1 ]

[3 ^[4] ]