В геометрии звездчатый многоугольник — это разновидность невыпуклого многоугольника . Правильные звездчатые многоугольники глубоко изучены; хотя звездчатые многоугольники, как правило, не были формально определены, некоторые примечательные из них могут возникнуть в результате операций усечения обычных простых и звездчатых многоугольников.
Бранко Грюнбаум определил два основных определения, используемых Иоганном Кеплером : одно — это правильные звездчатые многоугольники с пересекающимися краями , которые не создают новых вершин, а второе — простые изотоксальные вогнутые многоугольники . [1]
Первое использование включено в полиграммы , которые включают в себя многоугольники, такие как пентаграмма , а также составные фигуры, такие как гексаграмма .
Одно из определений звездчатого многоугольника , используемое в черепашьей графике , — это многоугольник, имеющий 2 или более витков ( количество поворотов и плотность ), как в спиролатералах . [2]
Имена звездчатых многоугольников сочетают в себе цифровой префикс , например пента- , с греческим суффиксом -грамма (в данном случае образующим слово пентаграмма ). Префиксом обычно является греческий кардинал , но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известна как нонаграмма , используя порядковый номер нона от латинского языка . [ нужна цитация ] Суффикс -gram происходит от γραμμή ( grammḗ ) , что означает линию. [3]
«Правильный звездчатый многоугольник» — это самопересекающийся равносторонний равноугольный многоугольник .
Правильный звездчатый многоугольник обозначается символом Шлефли { p / q }, где p (количество вершин) и q ( плотность ) относительно простые (у них нет общих множителей) и q ≥ 2. Плотность многоугольника может также называется его числом поворота — суммой углов поворота всех вершин, деленной на 360°.
Группа симметрии { n / k } представляет собой группу диэдра D n порядка 2 n , независимую от k .
Правильные звездные многоугольники впервые систематически изучались Томасом Брэдуордином , а затем Иоганном Кеплером . [4]
Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив одну вершину простого правильного p -стороннего многоугольника с другой несмежной вершиной и продолжая процесс до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова. [5] В качестве альтернативы для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенное путем соединения каждой q- й точки из p точек, регулярно расположенных в круговом расположении. [6] Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от первой вершины к третьей, от третьей вершины к пятой вершине, от пятой вершины ко второй вершине, от от второй вершины к четвертой вершине и от четвертой вершины к первой вершине.
Если q больше половины p , то в результате построения получится тот же многоугольник, что и p - q ; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многомерные многогранники. Например, антипризма , образованная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пентаграммной антипризме ; аналогичная конструкция из ретроградной «перекрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграммной скрещенной антипризме . Другой пример — тетрагемигексаэдр , который можно рассматривать как «скрещенный треугольник» {3/2} куплоида .
Если p и q не являются взаимно простыми, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет выглядеть как треугольник, но его можно будет пометить двумя наборами вершин 1–6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойную обмотку одного уникурсального шестиугольника. [7] [8]
В качестве альтернативы правильный звездчатый многоугольник также может быть получен как последовательность звездочек выпуклого правильного многоугольника с сердцевиной . Конструкции на основе звездчатости также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность и количество вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездчатости, если q больше p /2, линии вместо этого будут бесконечно расходиться, а если q равно p /2, линии будут параллельны, причем оба из них не приводят к дальнейшему пересечению в евклидовом пространстве. космос. Однако возможно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногону и дигону ; такие многоугольники, по-видимому, еще не изучены подробно.
Когда пересекающиеся линии удалены, звездчатые многоугольники больше не являются правильными, а могут рассматриваться как простые вогнутые изотоксальные 2 n -угольники с чередующимися вершинами на двух разных радиусах, которые не обязательно должны совпадать с углами правильных звездчатых многоугольников. Бранко Грюнбаум в книге «Мозаика и узоры» представляет эти звезды как | н / д | которые соответствуют геометрии полиграммы {n/d} с обозначением {n α } в более общем смысле, представляя n-стороннюю звезду с каждым внутренним углом α <180°(1-2/ n ) градусов. [1] Для | n / d | внутренние вершины имеют внешний угол β, равный 360°( d -1)/ n .
Эти многоугольники часто встречаются в узорах мозаики. Параметрический угол α (градусы или радианы) можно выбрать так, чтобы он соответствовал внутренним углам соседних многоугольников в шаблоне мозаики. Иоганн Кеплер в своей работе 1619 года «Harmonices Mundi» , включая среди других периодических мозаик, непериодические мозаики, такие как три правильных пятиугольника и правильный звездный пятиугольник (5.5.5.5/2), могут помещаться вокруг вершины и связаны с современными мозаиками Пенроуза . [9]
Внутреннюю часть звездчатого многоугольника можно рассматривать по-разному. Три таких лечения проиллюстрированы пентаграммой. Бранко Грюнбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них как правильные звездчатые многоугольники и вогнутые изогональные 2 n -угольники. [9]
К ним относятся:
Когда вычисляется площадь многоугольника, каждый из этих подходов дает разный ответ.
Звездные многоугольники занимают видное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть правильными , а могут и не быть , но они всегда очень симметричны . Примеры включают в себя: