120-ячеечный

Четырехмерный аналог додекаэдра

Сеть

В геометрии 120 -ячейка — это выпуклый правильный 4-многогранник (четырёхмерный аналог платонова тела ) с символом Шлефли {5,3,3}. Его также называют C ₁₂₀ , додекаплексом (сокращение от «додекаэдрический комплекс»), гипердодекаэдром , полидодекаэдром , гекатоникосахороном , додекаконтахороном ^[1] и гекатоникосаэдроидом . ^[2]

Граница 120-ячейки состоит из 120 додекаэдрических ячеек , по 4 сходящихся в каждой вершине. Вместе они образуют 720 пятиугольных граней, 1200 ребер и 600 вершин. Это четырехмерный аналог правильного додекаэдра , поскольку додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней, по 3 вокруг каждой вершины, а додекаплекс имеет 120 додекаэдра, по 3 вокруг каждого ребра. ^[a] Его двойной многогранник — это 600-ячеечный .

Геометрия

120-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях (кроме многоугольников {7} и выше). ^[b] Как шестой и самый большой правильный выпуклый 4-многогранник, ^[c] он содержит вписанные экземпляры своих четырех предшественников (рекурсивно). Он также содержит 120 вписанных экземпляров первой в последовательности, 5-клеточной [ ^d] , которая не встречается ни в одной из остальных. ^[4] 120-ячеечный четырехмерный швейцарский армейский нож : в нем есть все.

Изучать 120-ячеечный многогранник сложно, но поучительно, поскольку он содержит примеры всех отношений между всеми выпуклыми правильными многогранниками, обнаруженными в первых четырех измерениях. И наоборот, его можно понять, только сначала поняв каждого из его предшественников и последовательность все более сложных симметрий, которые они демонстрируют. ^[5] Вот почему Стилвелл назвал свою статью о 4-многогранниках и истории математики ^[6] более чем 3-х измерений «История 120-клеток» . ^[7]

Декартовы координаты

Естественные декартовы координаты 4-многогранника с центром в начале 4-мерного пространства встречаются в разных системах отсчета, в зависимости от выбранного большого радиуса (от центра к вершине).

√8 координат радиуса

120-ячейка с большим радиусом √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 имеет длину ребра 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0,764.

В этой системе отсчета его 600 координат вершин являются { перестановками } и [ четными перестановками ] следующего: ^[8]

где φ (также называемый 𝝉) ^[f] — золотое сечение ,1 + √ 5/2≈ 1,618.

Координаты радиуса единицы

120-ячейка единичного радиуса имеет длину ребра1/φ ² √ 2≈ 0,270.

В этой системе отсчета 120-ячейка расположена вершиной вверх в стандартной ориентации, а ее координаты ^[9] — это { перестановки } и [ четные перестановки ] в левом столбце ниже:

В таблице приведены координаты по крайней мере одного экземпляра каждого 4-многогранника, но ячейка из 120 содержит кратные пяти вписанные экземпляры каждого из его предшественников 4-многогранника, занимающие разные подмножества его вершин. (600 точек) 120 ячеек представляет собой выпуклую оболочку из 5 непересекающихся (120 точек) 600 ячеек. Каждая (120-точечная) 600-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 5 непересекающихся (24-точечных) 24-клеток, поэтому 120-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 25 непересекающихся 24-клеток. Каждая 24-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 3 непересекающихся (8-точечных) 16-ячеек, поэтому 120-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 75 непересекающихся 16-клеток. Уникально то, что (600-точечная) 120-ячеечная структура представляет собой выпуклую оболочку из 120 непересекающихся (5-точечных) 5-ячеечных ячеек. ^[Дж]

Аккорды

Многоугольники большого круга 120-ячеечной ячейки, лежащие в инвариантных центральных плоскостях ее изоклинических ^[p] вращений. Ребра из 120 ячеек длиной 𝜁 ≈ 0,270 встречаются только в красном неправильном большом шестиугольнике, который также имеет ребра длины √ 2,5 . 1200 ребер 120-клеточной ячейки сами по себе не образуют многоугольников большого круга, но, чередуясь с √ 2,5 ребрами вписанных правильных 5-клеток ^[d] , они образуют 400 неправильных больших шестиугольников. ^[q] 120-ячейка также содержит соединение нескольких таких многоугольников большого круга в одной центральной плоскости, проиллюстрированное отдельно. ^[r] Следствием компаундинга является то, что ребра и характерные повороты ^[s] обычного 5-ячеечного, 8-ячеечного гиперкуба, 24-ячеечного и 120-ячеечного гиперкуба лежат в одних и тех же плоскостях вращения, шестиугольные центральные плоскости 24-клеток. ^[к]

120-ячейка с 600 точками имеет все 8 различных длин хорд 600-ячейки с 120 точками, а также две дополнительные важные хорды: собственные более короткие края и края своих 120 вписанных обычных 5-ячеек. ^[d] Эти две дополнительные хорды придают 120-клеточному характерному изоклиническому вращению , ^[ab] в дополнение ко всем вращениям других правильных 4-многогранников, которые он наследует. ^[14] Они также придают 120-клеточному многоугольнику характерный большой круг: неправильный большой шестиугольник, в котором три ребра по 120 ячеек чередуются с тремя ребрами по 5 ячеек. ^[д]

Края 120-ячеечного объекта не образуют правильные многоугольники большого круга в одной центральной плоскости, как это делают края 600-ячеечного, 24-ячеечного и 16-ячеечного. Подобно краям 5- и 8-клеточного тессеракта , они вместо этого образуют зигзагообразные многоугольники Петри . ^[aa] Многоугольник Петри из 120 ячеек представляет собой триаконтагон {30} зигзагообразный косой многоугольник . ^[ак]

Поскольку 120-ячеечная клетка имеет окружность из 30 ребер, она имеет 15 различных длин хорд, варьирующихся от длины ребра до диаметра. ^[ai] Каждый правильный выпуклый 4-многогранник вписан в 120-ячейку, а все 15 хорд, перечисленные в строках следующей таблицы, представляют собой отдельные хорды, составляющие правильные 4-многогранники и их многоугольники большого круга. ^[ал]

Первое, на что следует обратить внимание в этой таблице, это то, что в ней восемь столбцов, а не шесть: в дополнение к шести правильным выпуклым 4-многогранникам в последовательности вложенных 4-многогранников естественным образом встречаются два неправильных 4-многогранника: курносый 96- точечный 24-ячеечная и 480-точечная уменьшенная до 120-ячеечной. ^[с]

Второе, на что следует обратить внимание: каждая пронумерованная строка отмечена треугольником △, квадратом ☐ или пятиугольником ✩. 15 хорд лежат в центральных плоскостях трех типов: большой квадрат ☐ плоскости , характерные для 16-клеток , большой шестиугольник и большой треугольник △ плоскости, характерные для 24-клеток , или большой десятиугольник и большой пятиугольник ✩ плоскости, характерные для 600-клеток. . ^[к]

Основные хорды ^[al] №1–15 соединяют пары вершин, которые находятся на расстоянии 1–15 ребер друг от друга в многоугольнике Петри.

Аннотированная таблица аккордов представляет собой полную спецификацию материалов для изготовления 120-ячеечной модели. Все 2-многогранники, 3-многогранники и 4-многогранники в 120-ячейке состоят из 15 1-многогранников в таблице.

Черные целые числа в ячейках таблицы — это количество инцидентностей хорды строки в 4-многограннике столбца. Например, в ряду аккордов №3 72 больших десятиугольника из 600 ячеек содержат в общей сложности 720 аккордов №3 .

Красные целые числа — это количество непересекающихся 4-многогранников выше (метка столбца), которые образуют 120-ячейку . Например, 120-ячейка представляет собой соединение 25 непересекающихся 24-клеток (25 * 24 вершины = 600 вершин).

Зеленые целые числа — это количество различных 4-многогранников выше (метка столбца) , которые можно выбрать в 120-ячейке. Например, 120-ячейка содержит 225 различных 24-ячеек, которые имеют общие компоненты.

Синие целые числа в правом столбце — это количество инцидентов хорды строки в каждой вершине из 120 ячеек. Например, в ряду хорд №3 24 хорды №3 сходятся в каждой из 600 вершин 120-ячейки, образуя двойную фигуру вершины икосаэдра 2{3,5}. Всего в каждой вершине 120-ячейки встречаются 300 основных аккордов ^{[al] 15 различных длин.}

Отношения между внутренними многогранниками

120-ячеечный представляет собой соединение всех пяти других правильных выпуклых 4-многогранников. Все связи между правильными 1-, 2-, 3- и 4-многогранниками происходят в 120-ячейке. ^[b] Это четырехмерная головоломка , в которой все эти многогранники являются частями. ^[19] Хотя существует множество последовательностей, в которых можно построить 120-ячеечную структуру путем соединения этих частей, в конечном итоге они соединяются друг с другом только одним способом. 120-ячеечный — уникальное решение для комбинации всех этих многогранников. ^[7]

Правильный 1-многогранник встречается только в 15 различных длинах в любом из многогранников, составляющих 120-ячеечный. ^[ал]

Только 4 из этих 15 хорд встречаются в 16-клеточной, 8-клеточной и 24-клеточной. Четырех гиперкубических хорд √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 достаточно для построения 24-клетки и всех ее составных частей. 24-ячейка — это уникальное решение комбинации этих 4 хорд и всех правильных многогранников, которые можно построить из них.

Для построения 600-ячеечной конструкции необходимы дополнительные 4 из 15 хорд. Четыре золотых хорды представляют собой квадратные корни иррациональных дробей, которые являются функциями √ 5 . 600-ячеечный — это уникальное решение комбинации этих 8 хорд и всех правильных многогранников, которые можно построить из них. Среди новых частей, обнаруженных в 600-ячеечной структуре и не встречающихся в 24-ячеечной, следует отметить пятиугольники и икосаэдры.

Все 15 хорд и 15 других различных хордовых расстояний, перечисленных ниже, встречаются в 120-ячейке. Среди новых деталей, обнаруженных в 120-ячеечной модели и не встречающихся в 600-ячеечной, следует отметить обычные 5-ячеечные. ^[aw] Отношения между правильным 5-клеточным многогранником ( симплексным правильным 4-многогранником) и другими правильными 4-многогранниками проявляются только в 120-клеточном.

Геодезические прямоугольники

30 различных хорд ^[al] , обнаруженных в 120 ячейках, представляют собой 15 пар дополнений на 180 °. Они образуют 15 различных видов многоугольника большого круга, которые лежат в центральных плоскостях нескольких типов: △ плоскости, пересекающие вершины {12} в неправильном двенадцатиугольнике, ^[r] ✩ плоскости, пересекающие вершины {10} в правильном десятиугольнике, и ☐ плоскости которые пересекают {4} вершин в нескольких видах прямоугольников, включая квадрат.

Каждый многоугольник большого круга характеризуется парой дополнительных хорд по 180 °. Пары хорд образуют многоугольники большого круга с параллельными противоположными краями, поэтому каждый большой многоугольник представляет собой либо прямоугольник, либо составную часть прямоугольника, где две хорды являются краями прямоугольника.

Каждая из 15 дополнительных пар хорд соответствует отдельной паре противоположных многогранных секций 120-ячеистой ячейки, начиная с вершины, секции 0 ₀ . Соответствие состоит в том, что каждая вершина из 120 ячеек окружена вершинами каждого сечения многогранника на одинаковом расстоянии (длине хорды), так же, как вершины многогранника окружают его центр на расстоянии его длинного радиуса. ^[ax] Хорда № 1 — это «радиус» сечения 1 ₀ , тетраэдрическая вершинная фигура 120-ячеечной ячейки. ^[ar] Хорда № 14 — это «радиус» ее конгруэнтной противоположной секции 29 ₀ . Хорда №7 — это «радиус» центральной секции 120-ячеечной ячейки, в которой две противоположные секции ₁₅₀ совпадают.

Каждый вид многоугольника большого круга (каждая отдельная пара дополнительных хорд на 180°) играет роль в дискретном изоклиническом вращении ^[o] отдельного класса, ^[s] , которое приводит его края большого прямоугольника к аналогичным ребрам в параллельных больших многоугольниках Клиффорда тот же вид. ^[bg] Существует различное вращение этого класса влево и вправо для каждого расслоения параллельных многоугольников большого круга Клиффорда в инвариантных плоскостях вращения. ^[bh] В каждом классе вращения вершины ^[bf] вращаются по особой круговой геодезической изоклине ^[n] , которая имеет характерную окружность, наклонную полиграмму Клиффорда ^[ah] и номер хорды, указанный в столбце «Вращение» выше. ^[аг]

Концентрические корпуса

Ортогональная проекция 120 ячеек с использованием любых 3 из этих декартовых координатных измерений образует внешнюю оболочку додекаэдра с фаской Norm= √ 8 .
Каждая оболочка 1, 2 и 7 представляет собой перекрывающуюся пару додекаэдров .
Корпус 3 представляет собой пару икосододекаэдров .
Оболочки 4 и 5 представляют собой пары усеченных икосаэдров .
Оболочки 6 и 8 представляют собой пары ромбикосододекаэдров .

Многогранный граф

Учитывая матрицу смежности вершин, представляющую многогранный граф из 120 ячеек с единичным радиусом, диаметр графа равен 15, соединяя каждую вершину с ее координатой-отрицанием на евклидовом расстоянии 2 (ее описанный диаметр), и существует 24 разные пути для их соединения по ребрам многогранника. Из каждой вершины имеется 4 вершины на расстоянии 1, 12 на расстоянии 2, 24 на расстоянии 3, 36 на расстоянии 4, 52 на расстоянии 5, 68 на расстоянии 6, 76 на расстоянии 7, 78 на расстоянии 8, 72 на расстоянии. 9, 64 на расстоянии 10, 56 на расстоянии 11, 40 на расстоянии 12, 12 на расстоянии 13, 4 на расстоянии 14 и 1 на расстоянии 15. Матрица смежности имеет 27 различных собственных значений в диапазоне от1/φ ² √ 2≈ 0,270 при кратности 4 до 2 при кратности 1. Кратность собственного значения 0 равна 18, а ранг матрицы смежности равен 582.

Вершины многогранного графа из 120 ячеек раскрашиваются в 3 цвета .

Граф эйлеров , имеет степень 4 в каждой вершине. Его множество ребер можно разложить на два гамильтоновых цикла . ^[24]

Конструкции

120-ячеечный является шестым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). ^[c] Его можно деконструировать на десять отдельных экземпляров (или пять непересекающихся экземпляров) своего предшественника (и двойного) 600-ячеечного , ^[h] так же, как 600-ячеечный может быть деконструирован на двадцать пять различных экземпляров (или пять непересекающиеся экземпляры) своего предшественника, 24-ячеечного , ^[bi] 24-клеточный может быть деконструирован на три отдельных экземпляра своего предшественника, тессеракта ( 8-ячеечного), а 8-клеточный может быть деконструирован на два непересекающихся экземпляра его предшественник (и двойной) 16-элементный . ^[27] 120-ячейка содержит 675 различных экземпляров (75 непересекающихся экземпляров) 16-ячеечной ячейки. ^[я]

Обратная процедура создания каждого из них на основе экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра. Длина ребра 600-ячеечной ячейки примерно в 0,618 раза превышает ее радиус (обратное золотое сечение ), но длина ребра 120-ячеечной ячейки примерно в 0,270 раз превышает ее радиус.

Двойные 600 ячеек

Пять тетраэдров вписаны в додекаэдр. Также можно вписать пять противоположных тетраэдров (не показаны).

Поскольку 120-ячеечная структура является двойственной 600-ячеистой, ее можно построить из 600-ячеистой, разместив ее 600 вершин в центре объема каждой из 600 тетраэдрических ячеек. Из 600 ячеек единичного радиуса это приводит к 120 ячейкам немного меньшего длинного радиуса (φ ²/√ 8≈ 0,926) и длиной ребра ровно 1/4. Таким образом, единичная ячейка длиной ребра 120 (с большим радиусом φ ² √ 2 ≈ 3,702) может быть построена таким образом внутри 600-ячейки большого радиуса 4. Ячейка единичного радиуса 120 (с длиной ребра1/φ ² √ 2≈ 0,270) можно построить таким образом внутри 600-ячейки большого радиуса.√ 8/φ ²≈ 1,080.

Один из пяти различных кубов, вписанных в додекаэдр (пунктирные линии). В каждый куб вписаны два противоположных тетраэдра (не показаны), поэтому в додекаэдр вписаны десять различных тетраэдров (по одному из каждых 600 ячеек в 120 ячейках). ^[ап]

И наоборот, 120-ячейка с единичным радиусом может быть построена сразу за 600-ячейкой с немного меньшим длинным радиусом.φ ²/√ 8≈ 0,926, если поместить центр каждой додекаэдрической ячейки в одну из 120 вершин по 600 ячеек. 120-ячейка, координаты которой указаны выше, с большим радиусом √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 и длиной ребра2/φ ²= 3− √ 5 ≈ 0,764 можно построить таким образом сразу за 600-ячейкой большого радиуса φ ² , который меньше √ 8 в том же отношении ≈ 0,926; оно находится в золотом пропорции к длине ребра 600-ячейки, так что это должно быть φ. 120-ячейка с длиной ребра 2 и большим радиусом φ ² √ 8 ≈ 7,405, заданная Кокстером ^[3] , может быть построена таким образом сразу за 600-ячейкой с большим радиусом φ ⁴ и длиной ребра φ ³ .

Таким образом, ячейка с единичным радиусом 120 может быть построена на основе своей предшественницы, ячейки с единичным радиусом 600, за три шага возвратно-поступательного движения.

Вращение ячеек вписанных дуалов

Поскольку 120-ячейка содержит вписанные 600-ячейки, она содержит свой собственный двойник того же радиуса. 120-ячейка содержит пять непересекающихся 600-ячеек (десять перекрывающихся вписанных 600-ячеек, из которых мы можем выделить пять непересекающихся 600-ячеек двумя разными способами), поэтому ее можно рассматривать как соединение пяти своих собственных двойственных ячеек (в два пути). Вершины каждой вписанной 600-ячейки являются вершинами 120-ячейки, и (двойственно) каждый додекаэдрический клеточный центр является тетраэдрическим клеточным центром в каждой из вписанных 600-ячеек.

В додекаэдрические ячейки 120-ячейки вписаны тетраэдрические ячейки 600-ячейки. ^[29] Точно так же, как 120-ячеечный представляет собой соединение пяти 600-ячеек (двумя способами), додекаэдр представляет собой соединение пяти правильных тетраэдров (двумя способами). Как в куб можно вписать два противоположных тетраэдра, а в додекаэдр — пять кубов, так и в додекаэдр можно вписать десять тетраэдров, состоящих из пяти кубов: два противоположных набора по пять, каждый из которых охватывает все 20 вершин и каждую вершину в два тетраэдра (по одному из каждого набора, но, очевидно, не из противоположной пары куба). ^[30] Это показывает, что 120-ячеечная структура содержит, среди своих многочисленных внутренних особенностей, 120 соединений десяти тетраэдров , каждое из которых по размеру аналогично всей 120-ячейке как соединению десяти 600-ячеечных элементов. ^[час]

Все десять тетраэдров могут быть созданы двумя киральными поворотами в пять щелчков любого одного тетраэдра. В каждой додекаэдрической ячейке по одной тетраэдрической ячейке происходит от каждой из десяти 600-клеток, вписанных в 120-клетку. ^[bj] Следовательно, вся 120-ячейка со всеми десятью вписанными 600-ячейками может быть создана всего лишь из одной 600-ячейки путем вращения ее ячеек.

Увеличение

Другим следствием того, что 120-ячейка содержит вписанные 600-ячейки, является то, что ее можно построить, разместив какие-либо 4-пирамиды на ячейках 600-ячейки. Эти тетраэдрические пирамиды в данном случае должны быть совершенно неправильными (с вершиной, затупленной на четыре «вершины»), но мы можем различить их форму по тому, как лежит тетраэдр, вписанный в додекаэдр . ^[бк]

Только 120 тетраэдрических ячеек из каждых 600 ячеек могут быть вписаны в додекаэдры из 120 ячеек; остальные 480 тетраэдров охватывают додекаэдрические ячейки. Каждый тетраэдр, вписанный в додекаэдр, является центральной ячейкой кластера из пяти тетраэдров , а четыре других, связанных гранями вокруг него, лежат лишь частично внутри додекаэдра. Центральный тетраэдр связан краями с дополнительными 12 тетраэдрическими ячейками, которые также лишь частично лежат внутри додекаэдра. ^[bl] Центральная ячейка связана вершинами с 40 другими тетраэдрическими ячейками, которые полностью лежат за пределами додекаэдра.

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдральную симметрию орбит группы Вейля порядка 120. ^[32] Следующее описывает 24 -ячейки как веса орбит кватернионов D4 под группой Вейля W(D4): O(0100) : T = { ±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000) : V1 O(0010) : V2 O(0001) : V3 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};}$$

Если кватернионы где являются сопряженными и и , то группа Кокстера является группой симметрии 600-ячейки и 120-ячейки порядка 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Учитывая это и обмен внутри , мы можем построить: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• курносый 24-клеточный ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 600 -ячеечный ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 120-ячеечный ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• альтернативный курносый 24-элементный ${\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}$
• двойной курносый 24-элементный = . ${\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}$

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 120 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всех 120 ячейках. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^{[33] [34]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Вот конфигурация, расширенная k -гранными элементами и k -фигурами. Количество диагональных элементов представляет собой отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, к порядку подгруппы с удалением зеркала.

Визуализация

120-ячеечная состоит из 120 додекаэдрических ячеек. Для целей визуализации удобно, что додекаэдр имеет противоположные параллельные грани (черта, общая для него с ячейками тессеракта и 24 -клетки ). Додекаэдры можно складывать лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 10 ячеек. Начиная с этой исходной конструкции из десяти ячеек, можно использовать две общие визуализации: многослойную стереографическую проекцию и структуру переплетающихся колец. ^[35]

Многослойная стереографическая проекция

Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. ^[36] Выберите произвольный додекаэдр и назовите его «северный полюс». Двенадцать меридианов большого круга (длиной четыре ячейки) расходятся в трех измерениях и сходятся в пятой ячейке «южного полюса». На этот скелет приходится 50 из 120 клеток (2 + 4 × 12).

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 120-ячеечную карту в 9 широтных слоях, с отсылками к земной двухсферной топографии в таблице ниже. За исключением полюсов, центроиды ячеек каждого слоя лежат на отдельной 2-сфере, а экваториальные центроиды лежат на большой 2-сфере. Центроиды 30 экваториальных ячеек образуют вершины икосододекаэдра , при этом меридианы (как описано выше) проходят через центр каждой пятиугольной грани. Ячейки, помеченные как «интерстициальные» в следующей таблице, не попадают в большие круги меридиана.

Ячейки слоев 2, 4, 6 и 8 расположены над гранями полюсной ячейки. Ячейки слоев 3 и 7 расположены непосредственно над вершинами полюсной ячейки. Ячейки слоя 5 расположены по краям полюсной ячейки.

Переплетающиеся кольца

Два переплетающихся кольца из 120 ячеек.

Два ортогональных кольца в клеточноцентрированной проекции

120-ячеечное кольцо можно разделить на 12 непересекающихся 10-ячеечных колец большого круга, образуя дискретное/квантованное расслоение Хопфа . ^{[37] [38] [39] [40] [35]} Начиная с одного кольца из 10 ячеек, рядом с ним можно разместить другое кольцо, которое вращается по спирали вокруг исходного кольца на один полный оборот за десять ячеек. Пять таких колец из 10 ячеек можно разместить рядом с исходным кольцом из 10 ячеек. Хотя внешние кольца «закручиваются» вокруг внутреннего кольца (и друг друга), на самом деле они не имеют спирального кручения . Все они эквивалентны. Спираль является результатом кривизны трех сфер. Внутреннее кольцо и пять внешних колец теперь образуют шестикольцевый полнотелый тор с 60 ячейками. Можно продолжать добавлять 10-клеточные кольца, примыкающие к предыдущим, но более поучительно построить второй тор, не пересекающийся с предыдущим, из оставшихся 60 ячеек, сцепляющихся с первым. 120-ячеечная, как и 3-сфера, представляет собой объединение этих двух ( Клиффордовых ) торов. Если центральное кольцо первого тора представляет собой большой меридианный круг, как определено выше, центральное кольцо второго тора представляет собой большой экваториальный круг с центром на меридиональном круге. ^[41] Также обратите внимание, что спиральная оболочка из 50 ячеек вокруг центрального кольца может быть как левосторонней, так и правосторонней. Это просто вопрос разбиения ячеек в оболочке по-другому, т.е. выбора другого набора непересекающихся ( параллелей Клиффорда ) больших кругов.

Другие замечательные круговые конструкции

Есть еще один интересный круговой путь, который попеременно проходит через противоположные вершины ячеек, а затем вдоль края. Этот путь состоит из 6 ребер, чередующихся с хордами диаметром 6 ячеек, образующими неправильный додекагон в центральной плоскости. ^[r] Оба этих пути большого круга имеют двойные пути большого круга в 600-ячейке . Путь из 10 ячеек лицом к лицу выше отображается в путь из 10 вершин, проходящий исключительно по ребрам в 600-ячейке, образуя десятиугольник . ^[t] Чередующийся путь ячеек/ребер отображается на путь, состоящий из 12 тетраэдров, попеременно встречающихся лицом к лицу, а затем от вершины к вершине (шесть треугольных бипирамид ) в 600-ячейках. Этот последний путь соответствует кольцу из шести икосаэдров , встречающихся лицом к лицу в курносой 24-ячеечной структуре (или икосаэдрических пирамидах в 600-ячеечной).

Существует еще один многоугольный путь большого круга, который уникален для 120-ячеечной модели и не имеет двойного аналога в 600-ячеечной. Этот путь состоит из 3 ребер по 120 ячеек, чередующихся с 3 вписанными ребрами по 5 ячеек (хорды № 8), образующих неправильный большой шестиугольник с чередующимися короткими и длинными ребрами, показанными выше. ^[q] Каждое ребро из 5 ячеек проходит через объем трех додекаэдрических ячеек (в кольце из десяти связанных гранями додекаэдрических ячеек) к противоположной пятиугольной грани третьего додекаэдра. Этот неправильный большой шестиугольник лежит в той же центральной плоскости (на том же большом круге), что и неправильный большой додекагон, описанный выше, но пересекает только {6} из {12} вершин додекагона. В каждый неправильный большой двенадцатиугольник вписаны по два неправильных больших шестиугольника в чередующихся положениях.

Перспективные прогнозы

Как и на всех иллюстрациях в этой статье, на этих визуализациях видны только края 120-ячеечной ячейки. Все остальные аккорды не показаны. Сложные внутренние части 120-ячейки, все вписанные в нее 600-, 24-, 8-, 16- и 5-ячеечную модели совершенно невидимы на всех иллюстрациях. Зритель должен их представить.

В этих проекциях используется перспективная проекция с определенной точки зрения в четырех измерениях, проецирующая модель в виде трехмерной тени. Таким образом, грани и ячейки, которые выглядят крупнее, просто ближе к 4D-точке обзора.

Сравнение перспективных проекций трехмерного додекаэдра с двухмерным (внизу слева) и проекций четырехмерного 120-ячеечного додекаэдра с трехмерным (внизу справа) демонстрирует два родственных метода перспективной проекции по размерной аналогии. Диаграммы Шлегеля используют перспективу , чтобы показать глубину сплющенного измерения, выбирая точку обзора над определенной ячейкой, таким образом делая эту ячейку оболочкой модели, а другие ячейки внутри нее кажутся меньшими. В стереографических проекциях используется тот же подход, но они показаны с изогнутыми краями, представляя сферический многогранник как мозаику трехсферы . Оба эти метода искажают объект, поскольку ячейки на самом деле не вложены друг в друга (они встречаются лицом к лицу) и все они имеют одинаковый размер. Существуют и другие методы перспективной проекции, такие как описанная выше вращающаяся анимация, которая демонстрирует не этот конкретный вид искажения, а скорее какой-то другой вид искажения (как и все проекции).

Ортогональные проекции

Ортогональные проекции 120 ячеек можно выполнить в 2D, задав два ортонормированных базисных вектора для определенного направления обзора. 30-угольная проекция была сделана в 1963 году Б.Л. Чилтоном. ^[43]

Декагональная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Трехмерные ортогональные проекции также можно создавать с использованием трех ортонормированных базисных векторов и отображать в виде трехмерной модели, а затем проецировать определенную перспективу в трехмерном пространстве для двухмерного изображения.

Связанные многогранники и соты

H 4 многогранника

120-ячеечный — один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией H ₄ [3,3,5]: ^[45]

{p,3,3} многогранники

120-ячеечное пространство похоже на три правильных 4-многогранника : 5-ячеечный {3,3,3} и тессеракт {4,3,3} евклидова 4-мерного пространства и шестиугольную мозаику-соту {6,3,3 } гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрическую вершинную фигуру {3,3}:

{5,3,p} многогранники

120-ячейка является частью последовательности 4-многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

Тетраэдрически уменьшенный 120-клеточный

Поскольку 120-ячейка с 600 точками имеет 5 непересекающихся вписанных 600-ячеек, ее можно уменьшить, удалив одну из этих 600-ячеек со 120 точками, создав неправильный 4-многогранник с 480 точками. ^[бо]

В тетраэдрически уменьшенном додекаэдре 4 вершины усечены до равносторонних треугольников. 12 граней пятиугольника теряют вершину и становятся трапециями.

Каждая додекаэдрическая ячейка из 120 ячеек уменьшается путем удаления 4 из 20 ее вершин, создавая неправильный 16-гранный многогранник, называемый тетраэдрически уменьшенным додекаэдром , поскольку 4 удаленные вершины образуют тетраэдр, вписанный в додекаэдр. Поскольку вершинной фигурой додекаэдра является треугольник, каждая усеченная вершина заменяется треугольником. 12 граней пятиугольника заменяются 12 трапециями, поскольку одна вершина каждого пятиугольника удаляется, а два его ребра заменяются диагональной хордой пятиугольника. ^[aq] Тетраэдрически уменьшенный додекаэдр имеет 16 вершин и 16 граней: 12 граней трапеции и четыре грани равностороннего треугольника.

Поскольку вершинной фигурой 120-ячеечного числа является тетраэдр, ^[bk] каждая усеченная вершина заменяется тетраэдром, в результате чего остается 120 тетраэдрически уменьшенных ячеек додекаэдра и 120 ячеек правильного тетраэдра. Правильный додекаэдр и тетраэдрически уменьшенный додекаэдр имеют по 30 ребер, а правильный 120-ячеечный и тетраэдрически уменьшенный 120-ячеечный имеют по 1200 ребер.

Уменьшенную 120-ячейку с 480 точками можно назвать уменьшенной тетраэдрически 120-ячейкой, потому что ее ячейки тетраэдрически уменьшены, или уменьшенной 120-ячейкой с 600 ячейками , потому что удаленные вершины образовали 600-ячейку, вписанную в 120-ячейку, или даже обычные 5-клетки уменьшились до 120-клеток , потому что удаление 120 вершин удаляет одну вершину из каждой из 120 вписанных правильных 5-клеток, оставляя 120 правильных тетраэдров. ^[д]

Дэвис, 120 ячеек

120-ячейка Дэвиса , введенная Дэвисом (1985), представляет собой компактное 4-мерное гиперболическое многообразие , полученное путем идентификации противоположных граней 120-ячейки, универсальное покрытие которого дает правильные соты {5,3,3,5} из 4 -мерное гиперболическое пространство.

Смотрите также

• Равномерное семейство 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• 57-клетка – абстрактный правильный 4-многогранник , построенный из 57 полудодекаэдров.
• 600-ячеечный - двойной 4-многогранник к 120-ячеечному

Примечания

1. В 120-ячеечной системе на каждом ребре встречаются 3 додекаэдра и 3 пятиугольника. В каждой вершине сходятся 4 додекаэдра, 6 пятиугольников и 4 ребра. Двугранный угол (между додекаэдрическими гиперплоскостями) равен 144°. ^[3]
2. Ячейка из 120 содержит экземпляры всех правильных выпуклых 1-многогранников, 2-многогранников, 3-многогранников и 4-многогранников, за исключением правильных многоугольников {7} и выше, большинство из которых не встречаются. {10} — заметное исключение, которое действительно имеет место. В 120-ячейке встречаются различные правильные косые многоугольники {7} и выше, в частности {11}, ^[an] {15} ^[ab] и {30}. ^[т]
3. Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере четырехмерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, и включает в себя больше 4-контента в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 120-ячеечный представляет собой 4-многогранник с 600 точками: шестой и последний в возрастающей последовательности, которая начинается с 5-точечного 4-многогранника.

4. 

   В триаконтаграмме {30/12}=6{5/2}
   шесть из 120 непересекающихся правильных 5-клеток с длиной ребра √ 2,5 , вписанных в 120-клетку, выглядят как шесть пентаграмм, многоугольник Клиффорда 5-клеток . клетка . 30 вершин составляют многоугольник Петри из 120 ячеек ^[t] с 30 зигзагообразными ребрами (не показаны) и тремя вписанными большими десятиугольниками (ребра не показаны), которые лежат в Клиффорде параллельно плоскости проекции. ^[в]

   В 120-клетку единичного радиуса вписано 120 непересекающихся правильных 5-клеток ^[12] с длиной ребра √ 2,5 . Никакие правильные 4-многогранники, за исключением 5-клеточного и 120-клеточного, не содержат √ 2,5 хорд (хорда №8). ^[e] 120-ячейка содержит 10 отдельных вписанных 600-ячеек, которые можно рассматривать как 5 непересекающихся 600-ячеек двумя разными способами. Каждая хорда √ 2,5 соединяет две вершины в непересекающихся 600-ячейках и, следовательно, в непересекающихся 24-, 8- и 16-ячейках. Эти хорды и ребра из 120 ячеек встречаются только в 120-ячейках, соединяя две вершины в непересекающихся 600-ячейках. ^[w] Соответствующие однотипные многогранники в непересекающихся 600-ячейках параллельны по Клиффорду и находятся на расстоянии √ 2,5 друг от друга. Каждая 5-ячейка содержит по одной вершине из каждой из 5 непересекающихся 600-клеток (три разных способа). Каждая 5-ячейка содержит три отдельных пятиугольника Петри из своих 5 вершин, пятиугольные контуры, каждая из которых связывает 5 непересекающихся 600-ячеек вместе в отчетливом изоклиническом вращении, характерном для 5-ячейки .
5. Несколько экземпляров каждого из правильных выпуклых 4-многогранников могут быть вписаны в любой из их более крупных последующих 4-многогранников, за исключением самого маленького, правильного 5-ячеечного, который вписан только в самый большой, 120-ячеечный. Чтобы понять, как 4-многогранники вложены друг в друга, необходимо тщательно отличать непересекающиеся кратные экземпляры от просто различных кратных экземпляров вписанных 4-многогранников. Например, 600-точечная 120-ячейка представляет собой выпуклую оболочку соединения 75 8-точечных 16-клеток, которые совершенно не пересекаются: у них нет общих вершин, и 75 * 8 = 600. Но можно выделить и 675 различных 16-ячеек внутри 120-ячейки, большинство пар из которых имеют общие вершины, поскольку две концентрические 16-ячейки одинакового радиуса могут быть повернуты друг относительно друга так, что они имеют общие 2 вершины (ось) или даже 4 вершины (большая квадратная плоскость), а остальные их вершины не совпадают. ^[i] В 4-мерном пространстве любые два конгруэнтных правильных 4-многогранника могут быть концентрическими, но повернутыми относительно друг друга так, что у них есть только общее подмножество своих вершин. Только в случае 4-симплекса (5-точечной обычной 5-клетки) это общее подмножество вершин должно всегда быть пустым, если только оно не состоит из всех 5 вершин. Невозможно повернуть два концентрических 4-симплекса друг относительно друга так, чтобы некоторые, но не все их вершины совпадали: они могут быть только полностью совпадающими или полностью непересекающимися. Этим свойством обладает только 4-симплекс; 16-ячеечный и, как следствие, любой более крупный правильный 4-многогранник могут располагаться повернутыми относительно самого себя так, что пара разделяет некоторые, но не все свои вершины. Интуитивно мы можем видеть, как это следует из того факта, что только 4-симплекс не имеет никаких противоположных вершин (любых 2-вершинных центральных осей), которые могли бы быть инвариантными после вращения. 120-ячейка содержит 120 полностью непересекающихся правильных 5-клеток, которые являются ее единственными отдельными вписанными правильными 5-клетками, но каждое другое вложение правильных 4-многогранников содержит некоторое количество непересекающихся вписанных 4-многогранников и большее количество различных вписанных 4-многогранников. -многогранники.
6. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
7. Чтобы получить все 600 координат путем перекрестного умножения кватернионов координат этих трех 4-многогранников с меньшей избыточностью, достаточно включить только одну вершину 24-ячейки: ( √ 1/2 , √ 1/2 , 0, 0). ^[9]
8. 600 вершин 120-ячейки можно разделить на 5 непересекающихся вписанных 120-вершинных 600-ячеек двумя разными способами. ^[31] Геометрия этого 4D-разбиения по размерам аналогична 3D-разбиению 20 вершин додекаэдра на 5 непересекающихся вписанных тетраэдров, что также можно сделать двумя разными способами, поскольку каждая додекаэдральная ячейка содержит два противоположных набора из 5 непересекающихся вписанных тетраэдров. тетраэдрические клетки. 120-ячейку можно разделить аналогично додекаэдру, поскольку каждая из его додекаэдрических ячеек содержит по одной тетраэдрической ячейке от каждой из 10 вписанных 600-ячеек.
9. 120-ячейка имеет 600 вершин, симметрично распределенных на поверхности трехмерной сферы в четырехмерном евклидовом пространстве. Вершины расположены в противоположных парах, а линии, проходящие через противоположные пары вершин, определяют 300 лучей [или осей] 120-ячеечной ячейки. Базисом будем называть любой набор из четырех взаимно ортогональных лучей (или направлений) . 300 лучей образуют 675 оснований, причем каждый луч встречается в 9 основаниях и ортогонален своим 27 различным спутникам в этих основаниях и ни одному другому лучу. Лучи и основания составляют геометрическую конфигурацию , которая на языке конфигураций записывается как 300 ₉ 675 ₄ , чтобы указать, что каждый луч принадлежит 9 основаниям, а каждое основание содержит 4 луча. ^[28] Каждый базис соответствует отдельной 16-ячейке , содержащей четыре ортогональные оси и шесть ортогональных больших квадратов. 75 полностью непересекающихся 16-ячеек, содержащих все 600 вершин из 120-ячеек, могут быть выбраны из 675 различных 16-ячеек. ^[э]
10. 120-ячейка может быть построена как соединение 5 непересекающихся 600-ячеек, ^[h] или 25 непересекающихся 24-ячеек, или 75 непересекающихся 16-ячеек, или 120 непересекающихся 5-ячеек. За исключением случая 120 5-клеток, ^[e] это не счетчики всех различных правильных 4-многогранников, которые можно найти вписанными в 120-клетку, а только счетчики полностью непересекающихся вписанных 4-многогранников, которые при составлении образуют выпуклую оболочку из 120 ячеек. 120-ячеечная структура содержит 10 различных 600-ячеечных, 225 различных 24-ячеечных и 675 различных 16-ячеечных. ^[я]
11. Ребра и 8𝝅 характерных поворотов 16-клетки лежат в центральных плоскостях большого квадрата ☐. Повороты этого типа являются выражением группы симметрии ${\displaystyle B_{4}}$ . Ребра и 5𝝅 характерные повороты 600-ячейки лежат в центральных плоскостях большого пятиугольника ✩ (большого десятиугольника). Повороты этого типа являются выражением группы симметрии ${\displaystyle H_{4}}$ . Ребра и 4𝝅 характеристических поворота ^[m] других правильных 4-клеточных многогранников, правильного 5-клеточного гиперкуба , 8-клеточного гиперкуба , 24-клеточного и 120-клеточного ^{[ab] —} все лежат в большом треугольнике △ (большой шестиугольник) центральные плоскости. ^[r] В совокупности эти вращения являются выражениями всех четырех групп симметрии , и . ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{4}}$
12. Конечная длина обычного большого круга, конечно, всегда равна 2 r , но изоклины каждого дискретного непростого вращения имеют свою собственную характерную длину окружности, которая в каждом случае больше 2 r . ^[к]
13. Все трехсферные изоклины ^[n] одной и той же окружности представляют собой прямо конгруэнтные круги. Обыкновенный большой круг — это изоклина окружности 2; простые вращения происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины длиной до 8° окружности. Поскольку характерные вращения нескольких правильных 4-многогранников происходят в одних и тех же инвариантных плоскостях (шестиугольных плоскостях 24-клеток), все эти вращения имеют конгруэнтные изоклины окружности 4𝝅. Правильные 4-многогранники, которые характерно вращаются на 4𝝅 изоклинах (когда они вращаются в изоклинических инвариантных плоскостях, содержащих их ребра), - это 5-ячеечный, 8-ячеечный, 24-ячеечный и 120-ячеечный.
14. Изоклина — это замкнутый, изогнутый, спиральный большой круг, проходящий через все четыре измерения . В отличие от обычного большого круга, он не лежит в одной центральной плоскости, но, как и любой большой круг, если смотреть в искривленном трехмерном пространстве граничной поверхности 4-многогранника, он представляет собой прямую линию , геодезическую . И обычные большие круги, и большие изоклинные круги являются спиральными в том смысле, что параллельные пучки больших кругов связаны и вращаются вокруг друг друга, но ни один из них на самом деле не скручен (у них нет собственного кручения). Их кривизна не является их собственной, а является свойством естественной кривизны 3-сферы, внутри искривленного пространства которой они являются конечными (замкнутыми) отрезками прямых. ^[l] Чтобы избежать путаницы, мы всегда называем изоклину как таковую и оставляем термин « большой круг» для обычного большого круга на плоскости. ^[м]
15. Изоклиническое ^{[p] вращение - это} двойное вращение под углом равного вращения в двух полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостях вращения одновременно. Каждое дискретное изоклиническое вращение имеет два характерных дуговых угла (длины хорд), угол поворота и угол изоклины . ^[s] На каждом шаге постепенного поворота от вершины к соседней вершине каждая плоскость вращения поворачивается на угол поворота, а также наклоняется вбок (как при подбрасывании монеты) на одинаковый угол поворота. Таким образом, каждая вершина большого круга вращается на одно приращение угла поворота, в то время как одновременно весь большой круг вращается вместе с полностью ортогональным большим кругом на равное приращение угла поворота. ^[be] Продукт этих двух одновременных и равных приращений вращения большого круга представляет собой общее смещение каждой вершины на приращение угла изоклины (длину хорды изоклины). Таким образом, угол поворота измеряет смещение вершины в системе отсчета движущегося большого круга, а также боковое смещение движущегося большого круга (расстояние между многоугольником большого круга и соседним многоугольником, параллельным большому кругу Клиффорда, к которому он приводит вращение) в стационарной системе отсчета. Длина хорды изоклины — это общее смещение вершин в стационарной системе отсчета, которая представляет собой косую хорду между двумя соседними многоугольниками большого круга (расстояние между соответствующими им вершинами при вращении).
16. Два угла необходимы для указания разделения между двумя плоскостями в 4-мерном пространстве. ^[11] Если два угла одинаковы, две плоскости называются изоклиническими (также параллелью Клиффорда ) и пересекаются в одной точке. При двойном вращении точки вращаются внутри инвариантных центральных плоскостей вращения на некоторый угол, а вся инвариантная центральная плоскость вращения также наклоняется вбок (в ортогональной инвариантной центральной плоскости вращения) на некоторый угол. Следовательно, каждая вершина пересекает гладкую спиральную кривую, называемую изоклиной ^[n] , между двумя точками в разных центральных плоскостях, пересекая при этом обычный большой круг в каждой из двух ортогональных центральных плоскостей (поскольку плоскости наклоняются относительно своих исходных плоскостей). Если два ортогональных угла идентичны, расстояние, пройденное по каждому большому кругу, одинаково, а двойное вращение называется изоклиническим (также смещение Клиффорда ). Вращение, которое приводит изоклинические центральные плоскости друг к другу, является изоклиническим вращением. ^[о]
17. Инвариантная центральная плоскость характеристического изоклинического вращения 120 ячеек ^[ab] содержит неправильный большой шестиугольник {6} с чередующимися ребрами двух разных длин: 3 ребра по 120 ячеек длиной 𝜁 = √ 0,𝜀 (хорды #1 ) и 3 вписанных правильных 5-клеточных ребра длиной √ 2,5 (хорды №8). Это соответственно самое короткое и самое длинное ребро любого правильного 4-многогранника. ^{[объявление]} Каждый неправильный большой шестиугольник лежит полностью ортогонально другому неправильному большому шестиугольнику. ^[ae] 120-ячеечная клетка содержит 400 различных неправильных больших шестиугольников (200 полностью ортогональных пар), которые можно разделить на 100 непересекающихся неправильных больших шестиугольников (дискретное расслоение 120-ячеечной ячейки) четырьмя различными способами. Каждое расслоение имеет свое различимое левое (и правое) изоклиническое вращение в 50 парах полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей. Два неправильных больших шестиугольника занимают одну и ту же центральную плоскость в чередующихся положениях, точно так же, как два больших пятиугольника занимают большую плоскость десятиугольника. Два неправильных больших шестиугольника образуют неправильный большой додекагон, составной многоугольник большого круга из 120 ячеек, который показан отдельно. ^[р]

18. 

    Состоит из 120 ячеек и имеет 200 центральных плоскостей, каждая из которых пересекает по 12 вершин, образуя неправильный додекагон с чередующимися ребрами двух разных длин. В двенадцатиугольник вписаны два правильных больших шестиугольника (черные), ^[at] два неправильных больших шестиугольника ( красные ), ^[q] и четыре равносторонних больших треугольника (показан только один, зеленым ).

    Со 120 ячейками имеется неправильный додекаэдр {12} многоугольник большого круга с 6 ребрами (хорды №1, отмеченные 𝜁 ), чередующиеся с 6 диаметрами ячеек додекаэдра ( хорды №4 ). ^[ap] Неправильный большой додекагон содержит два неправильных больших шестиугольника ( красный ), вписанных в чередующиеся положения. ^[q] Два правильных больших шестиугольника с ребрами третьего размера ( √ 1 , хорда #5) также вписаны в двенадцатиугольник. ^[at] Двенадцать ребер правильного шестиугольника (хорды № 5), шесть ребер додекагона с диаметром ячеек (хорды № 4) и шесть ребер додекагона по 120 ячеек (хорды № 1) - все это хорды тот же большой круг, но остальные 24 зигзагообразных ребра (хорды №1, не показаны), соединяющие шесть ребер №4 додекагона, не лежат в плоскости этого большого круга. Неправильные плоскости большого додекагона из 120 ячеек, неправильные плоскости большого шестиугольника, правильные плоскости большого шестиугольника и плоскости равностороннего большого треугольника представляют собой один и тот же набор плоскостей додекагона. 120-ячейка содержит 200 таких {12} центральных плоскостей (100 полностью ортогональных пар), те же 200 центральных плоскостей, каждая из которых содержит шестиугольник , которые встречаются в каждой из 10 вписанных 600-ячеек. ^[как]
19. Каждый класс дискретного изоклинического вращения ^[o] характеризуется своим вращением и углами изоклины, а также тем, какой набор параллельных центральных плоскостей Клиффорда является его инвариантными плоскостями вращения. Характеристическое изоклиническое вращение 4-многогранника - это класс дискретного изоклинического вращения, в котором множество инвариантных плоскостей вращения содержит ребра 4-многогранника; для каждого такого набора клиффордовских параллельных центральных плоскостей (каждого расслоения Хопфа краевых плоскостей) существует отдельное вращение влево (и вправо) . Если ребра 4-многогранника образуют правильные большие круги, угол характеристического вращения представляет собой просто угол дуги ребра (хорда ребра — это просто хорда вращения). Но в правильном 4-многограннике с четырехгранной вершинной фигурой ^[аа] ребра не образуют правильные большие окружности, а образуют неправильные большие окружности в сочетании с другой хордой. Например, ребра хорды №1 120-ячейки являются ребрами неправильного большого додекагона, который также имеет ребра хорды №4. ^[r] В таком 4-многограннике угол поворота не является углом дуги ребра; на самом деле это не обязательно дуга какой-либо хорды вершины. ^[аф]

20. 

    В триаконтаграмме {30/9}=3{10/3} мы видим многоугольник Петри из 120 ячеек (на окружности 30-угольника, края из 120 ячеек не показаны) как соединение трех параллельных Клиффорда 600-ячеечных большие декагоны (представленные как три непересекающиеся {10/3} декаграммы), вращающиеся по спирали друг вокруг друга. Ребра из 600 ячеек (хорды № 3) соединяют вершины, которые находятся на расстоянии 3 ребер по 600 ячеек друг от друга (на большом круге) и 9 ребер по 120 ячеек друг от друга (на многоугольнике Петри). Три непересекающихся больших декагона {10/3} с ребрами из 600 ячеек очерчивают одно спиральное кольцо Бурдейка – Коксетера из 30-тетраэдров вписанного 600-ячеечного кольца.

    И 120-ячеечный, и 600-ячеечный полигоны Петри имеют 30-угольников. ^[aj] Это две отдельные косые 30-угольные спирали, состоящие из 30 ребер по 120 ячеек (хорды № 1) и 30 ребер по 600 ячеек (хорды № 3) соответственно, но они встречаются в полностью ортогональных парах, которые спирально вращаются вокруг одной и той же 0-гональная ось большого круга. Спираль Петри из 120 ячеек закручивается ближе к оси, чем спираль Петри из 600 ячеек , потому что ее 30 ребер короче, чем 30 ребер 600-ячеечной (и они зигзагообразны под менее острыми углами). Двойная пара ^[aj] этих спиралей Петри разных радиусов, имеющих общую ось, не имеет общих вершин; они совершенно непересекающиеся. ^[am] Спираль Петри из 120 ячеек (по сравнению со спиралью Петри из 600 ячеек) закручивается вокруг оси нулевого угольника 9 раз (против 11 раз) в ходе одной круговой орбиты, образуя перекос {30/9}=3 Полиграмма {10/3} (по сравнению с косой полиграммой {30/11} ). ^[ан]
21. В 600-клеточных § декагонах и пентадекаграммах см. иллюстрацию триаконтаграммы {30/6}=6{5} .
22. В 3 больших декагона Клиффорда, параллельных каждому спиральному многоугольнику Петри из 120 ячеек ^[d], вписаны 6 больших пятиугольников ^[u] , в которые кажутся вписанными 6 пентаграмм (обычные 5 ячеек), но пентаграммы перекос (непараллельно плоскости проекции); каждая 5-ячейка фактически имеет вершины в 5 различных центральных плоскостях десятиугольника-пятиугольника в 5 полностью непересекающихся 600-ячейках.
23. 120 обычных 5-клеток полностью не пересекаются. Каждая 5-ячейка содержит три отдельных пятиугольника Петри из 5 ее вершин, пятиугольные контуры , каждая из которых связывает 5 непересекающихся 600-ячеек вместе. Но вершины двух непересекающихся 5-клеток не связаны 5-клеточными ребрами, поэтому каждая изоклина пентаграммы {5/2} хорд 5 #8 ограничена одной 5-клеткой, и других контуров 5-клеток нет. края ячеек (хорды №8) в 120-ячейке.
24. Каждая черная или белая изоклина пентадекаграммы действует как правая изоклина в отдельном правом изоклиническом вращении, так и как левая изоклина в отдельном левом изоклиническом вращении, но изоклины не обладают присущей им киральности. ^[n] Ни одна изоклина не является одновременно правой и левой изоклиной одного и того же дискретного вращения влево-вправо (одного и того же расслоения).
25. Характерное изоклиническое вращение 120-ячейки в инвариантных плоскостях, в которых лежат ее края (хорды № 1), переводит эти края в аналогичные края в параллельных центральных плоскостях Клиффорда. Поскольку изоклиническое вращение ^[o] представляет собой двойное вращение (в двух полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостях одновременно), на каждом шаге приращения вращения от вершины к соседней вершине вершины перемещаются между центральными плоскостями по винтовым изоклинам большого круга, а не по обычным большим кругам. , ^[n] по хорде изоклины, которая в данном конкретном вращении представляет собой хорду №4 с длиной дуги 44,5~°. ^[аф]
26. Характерная изоклина ^[n] 120-клеточной ячейки представляет собой косую пентадекаграмму из 15 хорд #4. Последовательные хорды № 4 каждой пентадекаграммы лежат в разных △ центральных плоскостях, изоклинически наклоненных друг к другу под углом 12 °, что составляет 1/30 большого круга (но не дуги ребра из 120 ячеек, хорды № 1). . ^[af] Это означает, что две плоскости разделены двумя равными углами 12 °, ^[p] и заняты соседними параллельными большими многоугольниками Клиффорда (неправильными большими шестиугольниками), соответствующие вершины которых соединены косыми хордами № 4. Последовательные вершины каждой пентадекаграммы являются вершинами полностью непересекающихся 5-клеток. Каждая пентадекаграмма представляет собой путь аккорда № 4 ^[аа] , посещающий 15 вершин, принадлежащих трем различным 5-клеткам. Две пентадекаграммы, показанные в проекции {30/8}=2{15/4} ^[ab], посещают шесть 5-клеток, которые выглядят как шесть непересекающихся пентаграмм в проекции {30/12}=6{5/2}. ^[д]
27. Все 5-ячеечные, 8-ячеечные и 120-ячеечные имеют тетраэдрические вершинные фигуры. В 4-многограннике с тетраэдрической вершинной фигурой путь по ребрам не лежит на обычном большом круге в одной центральной плоскости: каждое последующее ребро лежит в другой центральной плоскости, чем предыдущее ребро. В 120-ячейке окружной путь с 30 ребрами вдоль ребер следует зигзагообразному косому многоугольнику Петри, который не является большим кругом. Однако существует окружной путь с 15 хордами, который представляет собой настоящий большой геодезический круг, проходящий через эти 15 вершин: но это не обычный «плоский» большой круг окружности 2𝝅𝑟, это винтовая изоклина [ ^n] , которая изгибается по окружности. одновременно в двух полностью ортогональных центральных плоскостях, вращаясь в четырех измерениях, а не ограничиваясь двухмерной плоскостью. ^[z] Набор косых хорд изоклины называется многоугольником Клиффорда . ^[ах]

28. 

    В триаконтаграмме {30/8}=2{15/4} видны
    две непересекающиеся изоклины пентадекаграммы : черная и белая изоклины (показаны здесь как оранжевые и бледно-желтые) характерного изоклинического вращения 120 ячеек. ^[x] Ребра пентадекаграммы представляют собой хорды № 4 ^[y] , соединяющие вершины, находящиеся на расстоянии 8 вершин друг от друга на 30-вершинной окружности этой проекции, зигзагообразного многоугольника Петри. ^[з]

    Характерное изоклиническое вращение ^[s] 120-ячейки происходит в инвариантных плоскостях ее 1200 ребер ^[aa] и противоположных 1200 ребер ее вписанных правильных 5-клеток . ^[q] Существует четыре различных характеристических правых (и левых) изоклинических вращения, каждая левая-правая пара соответствует дискретному расслоению Хопфа . ^[13] В каждом вращении все 600 вершин вращаются по винтовым изоклинам из 15 вершин, следуя геодезическому кругу ^[n] с 15 хордами #4, которые образуют пентадекаграмму {15/4}. ^[з]

29. 

    Многоугольник Петри из 120 ячеек представляет собой косой правильный триаконтагон {30}. ^[ai] Ребра хорды 30 #1 не все лежат на одном и том же многоугольнике большого круга {30}, но они лежат группами по 6 (на равном расстоянии друг от друга по окружности) в 5 параллельных Клиффорду многоугольниках большого круга {12}. ^[р]

    120-ячейка содержит 80 различных 30-угольных многоугольников Петри из 1200 ребер и может быть разделена на 20 непересекающихся 30-угольных многоугольников Петри. ^[aj] 30-угольник Петри вращается вокруг своей нулевой оси большого круга 9 раз за одну круговую орбиту, и его можно рассматривать как составную триаконтаграмму {30/9}=3{10/3} из 600- ребра ячеек (хорды №3), соединяющие пары вершин, которые находятся на расстоянии 9 вершин друг от друга в многоугольнике Петри. ^[t] {30/9}-грамм (с ребрами хорды №3) представляет собой альтернативную последовательность из тех же 30 вершин, что и 30-угольник Петри (с ребрами хорды №1).
30. Каждая хорда √ 2,5 натянута на 8 зигзагообразных ребер 30-угольника Петри, ^[ac] ни одно из которых не лежит в большом круге неправильного большого шестиугольника. Альтернативно, хорда √ 2,5 натянута на 9 зигзагообразных ребер, одно из которых (над серединой) действительно лежит в том же большом круге. ^[д]
31. Несмотря на то, что полностью ортогональные большие многоугольники перпендикулярны и связаны (как соседние звенья в обученной цепи), они также параллельны и лежат точно напротив друг друга в 4-многограннике в плоскостях, которые не пересекаются, за исключением одной точки, общего центра. из двух связанных кругов.
32. Хорда изоклины характерного вращения 120 ячеек ^[ab] - это хорда № 4 с углом дуги 44,5 ~ ° (большая грань неправильного большого додекагона), потому что при этом изоклиническом вращении каждая вершина перемещается в другую вершину 4. длины ребер многоугольника Петри, а круговой геодезический путь, по которому он вращается (его изоклина) ^[n] , не пересекает никакие ближайшие вершины.
33. 120-ячейка имеет 7200 различных вращательных смещений, каждое из которых имеет свою инвариантную плоскость вращения. 7200 различных центральных плоскостей могут быть сгруппированы в наборы параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда, состоящих из 25 различных классов (двойных) вращений, и обычно представляются как эти наборы. ^[23]
34. Траекторию хорды изоклины ^[n] можно назвать многоугольником Клиффорда 4-многогранника , поскольку это косая форма полиграммы кругов вращения, через которые проходят вершины 4-многогранника в его характерном смещении Клиффорда . ^[п]
35. Окружность с 30 ребрами 120 ячеек соответствует косому многоугольнику Петри, а не многоугольнику большого круга. Многоугольник Петри любого 4-многогранника представляет собой зигзагообразную спираль, пронизывающую искривленное трехмерное пространство поверхности 4-многогранника. ^[ak] 15 пронумерованных хорд 120-ячеечного кольца представляют собой расстояние между двумя вершинами в этом спиральном кольце из 30 вершин. ^[al] Эти 15 различных пифагорейских расстояний в 4-мерном пространстве варьируются от длины ребра в 120 ячеек, которая соединяет любые две ближайшие вершины в кольце (хорда № 1), до длины оси (диаметра) в 120 ячеек, которая связывает любые две противоположные (наиболее удаленные) вершины кольца (хорда № 15).
36. Правильный косой 30-угольник - это многоугольник Петри с 600 ячейками и его двойной многоугольник со 120 ячейками. Полигоны Петри из 120 ячеек встречаются в ячейке с 600 как двойники спиральных колец Бурдейка – Коксетера из 30 ячеек (многоугольники Петри из 600 ячеек): ^[an] соединение их 30 тетраэдрических центров ячеек вместе дает полигоны двойных 120-ячеечных клеток, как заметил Рольфдитер Франк (около 2001 г.). Таким образом он обнаружил, что набор вершин из 120 ячеек разбивается на 20 непересекающихся многоугольников Петри. Этот набор из 20 непересекающихся параллельных косых многоугольников Клиффорда представляет собой дискретное расслоение Хопфа 120-клеточного (точно так же, как их 20 двойных колец по 30 ячеек являются дискретным расслоением 600-клеточного ). ^[т]
37. Многоугольник Петри 3-многогранника (многогранника) с треугольными гранями (например, икосаэдра) можно рассматривать как линейную полосу соединенных ребрами граней, согнутую в кольцо. Внутри этой круговой полосы треугольников, соединенных ребрами (10 в случае икосаэдра), многоугольник Петри можно выделить как косой многоугольник , ребра которого проходят зигзагообразно (не по кругу) через 2-пространство поверхности многогранника: попеременно изгибаясь. влево и вправо, а также слалом вокруг большой оси круга, которая проходит через треугольники, но не пересекает ни одной вершины. Многоугольник Петри 4-многогранника (полихорона) с тетраэдрическими ячейками (например, 600-ячеечным) можно рассматривать как линейную спираль из граничных ячеек, согнутых в кольцо: спиральное кольцо Бурдейка – Кокстера . Внутри этой круговой спирали тетраэдров, связанных гранями (30 в случае с 600 ячейками), перекошенный многоугольник Петри можно выделить как спираль ребер, идущих зигзагообразно (не по кругу) через трехмерное пространство поверхности полихорона: поочередно изгибаясь влево и вправо и вращаясь по спирали вокруг оси большого круга, которая проходит через тетраэдры, но не пересекает ни одной вершины.
38. Сама 120-ячейка содержит больше хорд, чем 15 хорд, пронумерованных от 1 до 15, но дополнительные хорды встречаются только внутри 120-ячейки, а не как ребра какого-либо из шести правильных выпуклых 4-многогранников или их характерные кольца большого круга. 15 основных хорд пронумерованы так потому, что хорда # n соединяет две вершины многоугольника Петри, расстояние между которыми составляет n длин ребер. Существует 30 различных 4-пространственных хордальных расстояний между вершинами 120-ячеечной ячейки (15 пар дополнений по 180 °), включая № 15 - диаметр 180 ° (и его дополнение - хорда 0 °). В этой статье мы называем 15 ненумерованных минорных хорд по их дуговым углам, например 41,4 ~ °, который с длиной √ 0,5 попадает между хордами № 3 и № 4.
39. «В точке контакта [элементы правильного многогранника и элементы его двойственного многогранника, в который он каким-либо образом вписан] лежат в полностью ортогональных подпространствах касательной гиперплоскости к сфере [возвратного движения], поэтому их единственное общее точка сама является точкой контакта.... Фактически, [различные] радиусы ₀ 𝑹, ₁ 𝑹, ₂ 𝑹, ... определяют многогранники ... вершины которых являются центрами элементов 𝐈𝐈 ₀ , 𝐈𝐈 ₁ , 𝐈𝐈 ₂ , ... исходного многогранника." ^[16]

40. 

    Многоугольник Петри из вписанных 600 ячеек можно увидеть в этой проекции на плоскость триаконтаграммы {30/11}, 30-граммовой аккорды № 11. Петри из 600 ячеек представляет собой спиральное кольцо, которое оборачивается вокруг своей оси 11 раз. Эта проекция вдоль оси кольцевого цилиндра показывает 30 вершин, расположенных на расстоянии 12° друг от друга вокруг круглого поперечного сечения цилиндра, с хордами № 11, соединяющими каждую 11-ю вершину круга. Ребра из 600 ячеек (хорды №3), которые являются ребрами многоугольника Петри, не показаны на этой иллюстрации, но их можно нарисовать по окружности, соединяя каждую третью вершину.

    Многоугольник Петри из 600 ячеек представляет собой спиральное кольцо , которое закручивается вокруг своей нулевой оси большого круга 11 раз за одну круговую орбиту. Проецируемый на плоскость, полностью ортогональную плоскости 0-угольника, многоугольник Петри из 600 ячеек можно рассматривать как триаконтаграмму {30/11} из 30 хорд #11, соединяющих пары вершин, находящихся на расстоянии 11 вершин друг от друга на окружности многоугольника. проекция. ^[17] {30/11}-грамм (с ребрами хорды № 11) представляет собой альтернативную последовательность из тех же 30 вершин, что и 30-угольник Петри (с ребрами хорды № 3).
41. Длины хорд дробного квадратного корня указаны в виде десятичных дробей, где:
           𝚽 ≈ 0,618 - обратное золотое сечение.1/φ
           𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0,382
           𝜀 = √ 𝚫 ² /2 ≈ 0,073
    и длина ребра из 120 ячеек1/φ ² √ 2это:
           𝛇 = √ 𝜀 ≈ 0,270
    Например:
           𝛇 = √ 0,𝜀 = √ 0,073~ ≈ 0,270
42. В додекаэдральной ячейке 120-ячейки с единичным радиусом длина ребра ( хорда №1 120-ячейки) равна1/φ ² √ 2≈ 0,270. Восемь оранжевых вершин лежат в декартовых координатах (±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 ) относительно начала координат в центре ячейки. Они образуют куб (пунктирные линии) с длиной ребра1/φ √ 2≈ 0,437 (диагональ пятиугольника и хорда №2 120-ячеечной ячейки). Диагонали граней куба (не показаны) с длиной ребра1/φ≈ 0,618 — ребра тетраэдрических ячеек, вписанных в куб (600-ячеечные ребра и хорда №3 120-ячеечного). Диаметр додекаэдра равен√ 3/φ √ 2≈ 0,757 (диагональ куба и хорда №4 120-ячеечной ячейки).
43. Диагональ пятиугольника грани (хорда №2) находится в золотом сечении φ ≈ 1,618 к краю пятиугольника грани (краю из 120 ячеек, хорде №1). ^[ап]
44. Хорда № 2 соединяет вершины, которые находятся на расстоянии 2 ребер друг от друга: вершины тетраэдрической вершинной фигуры из 120 ячеек, вторая часть фигуры из 120 ячеек, начинающаяся с вершины, обозначенной 1 ₀ . Хорды ​​№2 — это ребра этого тетраэдра, а хорды №1 — его длинные радиусы. Хорды ​​№2 также являются диагональными хордами граней пятиугольника из 120 ячеек. ^[ак]
45. 120-ячейка содержит десять 600-ячеек, которые можно разделить на пять полностью непересекающихся 600-ячеек двумя разными способами. ^[h] Все десять 600-клеток занимают один и тот же набор из 200 неправильных центральных плоскостей большого додекагона. ^[r] В 120-ячейке ровно 400 правильных шестиугольников (по два в каждой центральной плоскости додекагона), и каждая из десяти 600-ячеек содержит свое собственное отдельное подмножество из 200 из них (по одному из каждой центральной плоскости додекагона). Каждая 600-ячейка содержит только один из двух противоположных правильных шестиугольников, вписанных в любую центральную плоскость додекаэдра, точно так же, как она содержит только один из двух противоположных тетраэдров, вписанных в любую додекаэдрическую ячейку. Каждая 600-ячейка не пересекается с 4 другими 600-ячейками и имеет общий шестиугольник с 5 другими 600-ячейками. ^[bn] Каждая непересекающаяся пара 600-клеток занимает противостоящую пару непересекающихся больших шестиугольников в центральной плоскости каждого додекагона. Каждая непересекающаяся пара из 600 ячеек пересекается в 16 шестиугольниках, составляющих 24 ячейки. 120-ячейка содержит в 9 раз больше отдельных 24-клеток (225), чем непересекающихся 24-клеток (25). ^[i] Каждая 24-ячейка встречается в 9 ячейках по 600, отсутствует только в одной ячейке по 600 и используется двумя ячейками по 600.

46. 

    Триаконтаграмма {30/5}=5{6} , 30-угольник Петри, состоящий из 120 ячеек, как соединение 5 больших шестиугольников.

    Каждое ребро большого шестиугольника представляет собой ось зигзага из 5 ребер по 120 ячеек. Многоугольник Петри из 120 ячеек представляет собой спиральный зигзаг из 30 ребер по 120 ячеек, вращающихся по спирали вокруг нулевой оси большого круга, которая не пересекает ни одной вершины. ^[t] В каждый многоугольник Петри вписано пять больших шестиугольников в пяти разных центральных плоскостях. ^[как]
47. Многоугольник Петри из 5 ячеек представляет собой пятиугольник (5-угольник), а многоугольник Петри из 120 ячеек представляет собой триаконтагон (30-угольник). ^[ac] Каждый 120-клеточный 30-угольник Петри полностью ортогонален шести 5-клеточным 5-угольникам Петри, которые принадлежат шести из 120 непересекающихся правильных 5-угольников, вписанных в 120-клетку. ^[д]
48. Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. ^[18]
49. Додекаэдры появляются как видимые элементы в 120-ячеечной системе, но они также встречаются в 600-ячеечной системе как внутренние многогранники. ^[20]
50. В искривленном трехмерном пространстве поверхности из 120 ячеек каждая из 600 вершин окружена 15 парами многогранных секций, каждая секция находится на «радиальном» расстоянии одной из 30 различных хорд. Вершина на самом деле не находится в центре многогранника, поскольку она смещена в четвертом измерении из гиперплоскости сечения, так что вершина вершины и окружающий ее базовый многогранник образуют многогранную пирамиду . Характерная хорда радиальная вокруг вершины, как и боковые края пирамиды.
51. При изоклиническом вращении 120 ячеек угол дуги вращения составляет 12 ° (1/30 круга), а не 15,5 ~ ° дуги краевой хорды №1. Независимо от того, какие центральные плоскости являются инвариантными плоскостями вращения, любое изоклиническое вращение 120 ячеек на 12° приведет к тому, что большой многоугольник в каждой центральной плоскости превратится в конгруэнтный большой многоугольник в параллельной центральной плоскости Клиффорда, расположенной на расстоянии 12°. Соседние параллельные большие многоугольники Клиффорда (любого типа) полностью не пересекаются, а их ближайшие вершины соединены двумя ребрами по 120 ячеек (хорды № 1 с длиной дуги 15,5 ~ °). Угол поворота 12° не является дугой какой-либо хорды между вершинами в 120-ячейке. Это происходит только как два равных угла между соседними параллельными центральными плоскостями Клиффорда ^[p] и представляет собой разделение между соседними плоскостями вращения во всех различных изоклинических вращениях 120-ячеечной ячейки (не только в ее характерном вращении).
52. Изоклинические вращения приводят параллельные плоскости Клиффорда друг к другу, а плоскости вращения наклоняются вбок, как подбрасывание монет. ^{[o] Мост хорды [y]} #4 важен для изоклинического вращения в правильных больших шестиугольниках ( характеристическое вращение 24-ячеечной ячейки ), в котором инвариантные плоскости вращения являются подмножеством тех же 200 центральных плоскостей додекагона, что и 120-ячейка. характерное вращение клетки (в неправильных больших шестиугольниках). ^[ab] В каждой дуге 12 ° ^[af] характерного вращения 24-ячейки 120-ячейки каждая вершина правильного большого шестиугольника смещается в другую вершину в параллельном Клиффорду правильном большом шестиугольнике, который находится на расстоянии хорды № 4. Соседние параллельные правильные большие шестиугольники Клиффорда имеют шесть пар соответствующих вершин, соединенных хордами № 4. Шесть хорд № 4 представляют собой края шести различных больших прямоугольников в шести непересекающихся центральных плоскостях двенадцатиугольника, которые взаимно параллельны Клиффорду.
53. На этой иллюстрации показан лишь один из трех связанных неправильных больших додекагонов, лежащих в трех различных △ центральных плоскостях. Два из них (не показаны) лежат в параллельных (непересекающихся) двенадцатиугольниках Клиффорда и не имеют общих вершин. Синий центральный прямоугольник с краями № 4 и № 11 лежит в третьей плоскости додекагона, а не по Клиффорду, параллельному какой-либо из двух непересекающихся плоскостей додекагона и пересекающему их обе; с каждой из них у него общие две вершины (ось √ 4 прямоугольника). Каждая плоскость додекагона содержит два неправильных больших шестиугольника в чередующихся положениях (не показаны). ^[r] Таким образом, каждая хорда #4 показанного большого прямоугольника представляет собой мост между двумя параллельными Клиффордом неправильными большими шестиугольниками, которые лежат в двух плоскостях додекагона, которые не показаны. ^[аз]
54. Правильная 5-ячеечная клетка имеет только центральные плоскости двуугольников , пересекающие две вершины. 120-ячейка со 120 вписанными правильными 5-клетками содержит большие прямоугольники, более длинные края которых являются этими двуугольниками, краями вписанных 5-клеток длиной √ 2,5 . Три непересекающихся прямоугольника встречаются в одной центральной плоскости {12}, где шесть хорд #8 √ 2,5 принадлежат шести непересекающимся 5-клеткам. Сечения 12 ₀ и 18 ₀ представляют собой правильные тетраэдры с длиной ребра √ 2,5 , ячейки правильных 5-клеток. В этих секциях лежат десять треугольных граней обычных 5-клеток; каждое из трех √ 2,5 ребер грани лежит в разных центральных плоскостях {12}.
55. Плоскость, в которой вся инвариантная плоскость вращается (наклоняется в сторону), (неполностью) ортогональна обеим полностью ортогональным инвариантным плоскостям, а также Клиффорд параллелен им обеим. ^[аэ]
56. Изоклиническое вращение на 90 градусов двух полностью ортогональных плоскостей приближает их друг к другу. При таком вращении жесткого 4-многогранника все 6 ортогональных плоскостей поворачиваются на 90 градусов, а также наклоняются вбок на 90 градусов к своей полностью ортогональной (параллельной Клиффорду) плоскости. ^[22] Соответствующие вершины двух полностью ортогональных больших многоугольников находятся на расстоянии √ 4 (180°) друг от друга; большие многоугольники (параллельные многогранники Клиффорда) находятся на расстоянии √ 4 (180 °) друг от друга; но две полностью ортогональные плоскости находятся на расстоянии 90 ° друг от друга в двух ортогональных углах, которые их разделяют. ^[p] Если изоклиническое вращение продолжается еще на 90°, каждая вершина совершает поворот на 360°, и каждый большой многоугольник возвращается в свою исходную плоскость, но в другой ориентации (поменяны местами оси): он был перевернут "вверх ногами" на поверхность 4-многогранника (которая теперь находится «наизнанку»). Продолжение второго изоклинического поворота на 360° (через четыре изоклинических шага 90° на 90°, поворот на 720°) возвращает все в исходное место и ориентацию.
57. Легче всего представить это неправильно , потому что полностью ортогональные большие круги параллельны Клиффорду и не пересекаются. Инвариантная плоскость наклоняется вбок в ортогональной центральной плоскости, которая не является ее полностью ортогональной плоскостью, а параллельна ей по Клиффорду. Он вращается в своей полностью ортогональной плоскости, но не в ней. Она по Клиффорду параллельна своей совершенно ортогональной плоскости и не пересекает ее; плоскость, в которой он вращается , ортогональна обеим полностью ортогональным плоскостям и пересекает их обе. ^[bc] В характеристическом вращении 120 ячеек ^[ab] каждая инвариантная плоскость вращения является Клиффордом, параллельной ее полностью ортогональной плоскости, но не примыкающей к ней; сначала он достигает некоторой другой (ближайшей) параллельной плоскости. Но если изоклиническое вращение, проведя его через последовательные параллельные плоскости Клиффорда, продолжится на 90 °, вершины сместятся на 180 °, и плоскость наклонного вращения достигнет своей (исходной) полностью ортогональной плоскости. ^[бд]
58. Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве определяются по крайней мере одной парой полностью ортогональных ^[ae] центральных плоскостей вращения, которые являются инвариантными , что означает, что все точки в плоскости остаются в плоскости при ее движении. Отдельное левое (и правое) изоклиническое ^[p] вращение может иметь несколько пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей, и все эти инвариантные плоскости взаимно параллельны Клиффорду . Особый класс дискретного изоклинического вращения имеет характерный вид большого многоугольника в своих инвариантных плоскостях. ^[s] Он имеет несколько различных экземпляров вращения влево (и вправо), называемых расслоениями , которые имеют непересекающиеся наборы инвариантных плоскостей вращения. Расслоения представляют собой непересекающиеся пучки параллельных круговых слоев Клиффорда , многоугольников большого круга в своих инвариантных плоскостях.
59. В 120-ячейке, полностью ортогональной каждому многоугольнику большого круга, находится еще один многоугольник большого круга того же типа. Набор клиффордовских параллельных инвариантных плоскостей отдельного изоклинического вращения представляет собой набор таких вполне ортогональных пар. ^[бф]
60. Каждый тип плоскости вращения имеет свой характерный делитель расслоения, обозначающий количество расслоений параллельных многоугольников большого круга Клиффорда (каждого отдельного типа), которые встречаются в плоскостях вращения этого типа. Каждый пучок покрывает все вершины 120-клетки ровно один раз, поэтому общее количество вершин в однотипных многоугольниках большого круга, разделенное на количество пучков, всегда равно 600, количеству различных вершин. Например, «400 неправильных больших шестиугольников / 4».
61. В 120-ячейке каждая 24-ячейка принадлежит двум разным 600-ячейкам. ^[25] 120-ячейка содержит 225 различных 24-клеток и может быть разделена на 25 непересекающихся 24-клеток, так что это выпуклая оболочка соединения из 25 24-клеток. ^[26]
62. 10 тетраэдров в каждом додекаэдре перекрываются; но 600 тетраэдров в каждой 600-ячейке этого не делают, поэтому каждый из 10 должен принадлежать разным 600-ячейкам.
63. Каждая вершинная фигура из 120 ячеек на самом деле представляет собой низкую тетраэдрическую пирамиду, неправильную пятиклеточную пирамиду с правильным основанием в виде тетраэдра.
64. Как мы видели в 600-ячейке , эти 12 тетраэдров принадлежат (попарно) к 6 икосаэдрическим кластерам из двадцати тетраэдрических ячеек, которые окружают каждый кластер из пяти тетраэдрических ячеек.
65. 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24-ячейками каждая 24-ячейка не пересекается с 8 24-ячейками и пересекает каждую из остальных 16 24-ячеек в шести вершинах, образующих шестиугольник. ^[42] В 600-ячейке содержится 25・16/2 = 200 таких шестиугольников.
66. Каждый правильный большой шестиугольник используется двумя 24-ячейками в одной и той же 600-ячейке, ^[bm] , а каждая 24-ячейка используется двумя 600-ячейками. ^[bi] Каждый правильный шестиугольник разделяется на четыре ячейки по 600.
67. Уменьшение 600-точечного 120-ячеечного многогранника до 480-точечного 4-многогранника путем удаления одной, если его 600 ячеек, аналогично уменьшению 120-точечного 600-ячейки путем удаления одной из его 5 непересекающихся вписанных ячеек. 24 ячейки, образующие курносую 24 ячейки с 96 точками . Аналогичным образом, тессеракт из 8 ячеек можно рассматривать как уменьшенную на 16 точек 24-клетку , из которой была удалена одна 8-точечная 16-ячейка.

Цитаты

1. Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр.249
2. Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
3. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); «120-клеточный».
4. Дечант 2021, с. 20, замечание 5.7 , объясняет, почему нет. ^[э]
5. Dechant 2021, Аннотация; «[E] Очень трехмерная корневая система позволяет построить соответствующую четырехмерную корневую систему с помощью« теоремы индукции ». В этой статье мы подробно рассматриваем икосаэдрический случай H3 → H4 и выполняем вычисления явно. Используется алгебра Клиффорда. выполнить теоретико-групповые вычисления на основе теоремы Версора и теоремы Картана-Дьёдонне... пролить свет на геометрические аспекты корневой системы H4 (600-ячейка), а также других связанных многогранников и их симметрий... включая построение плоскости Кокстера, которая используется для визуализации дополнительных пар инвариантных многогранников... Таким образом, этот подход представляет собой более систематический и общий способ выполнения вычислений, касающихся групп, в частности групп отражений и корневых систем, в клиффордовской системе координат. алгебраическая основа».
6. Математика и ее история , Джон Стиллвелл, 1989, 3-е издание, 2010 г., ISBN 0-387-95336-1 
7. Стиллвелл 2001.
8. Коксетер 1973, стр. 156–157, §8.7 Декартовы координаты.
9. Мамоне, Pileio & Levitt 2010, стр. 1442 г., Таблица 3.
10. Мамоне, Пилейо и Левитт 2010, с. 1433, §4.1; Декартова 4-координатная точка (w,x,y,z) — это вектор в 4D-пространстве из (0,0,0,0). Четырехмерное реальное пространство — это векторное пространство: любые два вектора можно сложить или умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор. Кватернионы расширяют векторную структуру реального четырехмерного пространства, позволяя умножать два четырехмерных вектора и согласно ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
11. Ким и Роте 2016, с. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве; «В четырех (и более высоких) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)».
12. Коксетер 1973, с. 304, таблица VI (iv): 𝐈𝐈 = {5,3,3}.
13. Мамоне, Pileio & Levitt 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2, Операции симметрии; в группе симметрии 𝛢 ₄ операция [15]𝑹 _q3,q3 представляет собой 15 различных вращательных смещений, составляющих класс изоклинических вращений пентаграммы отдельной 5-ячейки ; в группе симметрии 𝛨 ₄ операция [1200]𝑹 _q3,q13 представляет собой 1200 различных вращательных смещений, которые составляют класс изоклинических вращений пентадекаграммы 120-ячейки, характерного вращения 120-ячейки.
14. Мамоне, Pileio & Levitt 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2, Группа симметрии 𝛨 ₄ ; 120-ячеечная модель имеет 7200 различных вращательных смещений (и 7200 отражений), которые можно сгруппировать как 25 различных изоклинических вращений. ^[аг]
15. Coxeter 1973, стр. 300–301, Таблица V: (v) Упрощенные сечения {5,3,3} (ребро 2φ ^-2 √2 [радиус 4]), начинающиеся с вершины; В таблице Коксетера перечислены 16 неточечных секций, обозначенных 1 ₀ − 16 ₀ , многогранников, последовательно увеличивающиеся «радиусы» которых на 3-сфере (в столбце 2 la ) представляют собой следующие хорды в наших обозначениях: ^[al] #1, #2, №3, 41,4~°, №4, 49,1~°, 56,0~°, №5, 66,1~°, 69,8~°, №6, 75,5~°, 81,1~°, 84,5~°, №7, 95,5~° , ..., №15. Остальные отдельные хорды представляют собой более длинные «радиусы» второго набора из 16 противоположных многогранных секций (в столбце a для (30− i ) ₀ ), в котором указаны № 15, № 14, № 13, № 12, 138,6 ~ °, #11, 130,1~°, 124~°, #10, 113,9~°, 110,2~°, #9, #8, 98,9~°, 95,5~°, #7, 84,5~°, ... или хотя бы они встречаются среди дополнений на 180 ° всех аккордов, перечисленных в списке Кокстера. Полный упорядоченный набор из 30 различных аккордов: 0°, #1, #2, #3, 41,4~°, #4, 49,1~°, 56~°, #5, 66,1~°, 69,8~°, #6, 75,5~°, 81,1~°, 84,5~°, №7, 95,5~°, №8, №9, 110,2°, 113,9°, №10, 124°, 130,1°, №11, 138,6°, №12, # 13, №14, №15. Хорды ​​также встречаются среди длин ребер многогранных сечений (в столбце 2 lb , где указаны только: #2, .., #3, .., 69,8~°, .., .., #3, .. , .., #5, #8, .., .., .., #7, ... поскольку кратные длины ребер неправильных многогранных сечений не указаны).
16. Коксетер 1973, с. 147, §8.1 Простые усечения общего правильного многогранника.
17. Sadoc 2001, стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.
18. Кофер 2019, с. 6, §3.2. Теорема 3.4.
19. Шлеймер и Сегерман 2013.
20. Коксетер 1973, с. 298, Таблица V: (iii) Сечения {3,3,5}, начинающиеся с вершины.
21. Coxeter 1973, стр. 300–301, Таблица V: (v) Упрощенные сечения {5,3,3} (ребро 2φ ^-2 √2 [радиус 4]), начинающиеся с вершины; В таблице Коксетера перечислены 16 неточечных секций, обозначенных 1 ₀ - 16 ₀ , но 14 ₀ и 16 ₀ являются конгруэнтными противоположными секциями, а 15 ₀ противостоят самому себе; имеется 29 неточечных секций, обозначенных 1 ₀ − 29 ₀ , в 15 противоположных парах.
22. Kim & Rote 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
23. Мамоне, Пилейо и Левитт 2010, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2.
24. Карло Х. Секен (июль 2005 г.). Симметричные гамильтоновы многообразия на правильных 3D и 4D многогранниках. Mathartfun.com. стр. 463–472. ISBN 9780966520163. Проверено 13 марта 2023 г.
25. ван Иттерсум 2020, с. 435, §4.3.5 Две ячейки по 600, окружающие 24-клетку.
26. Денни и др. 2020, с. 5, §2 Маркировка H4.
27. Коксетер 1973, с. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
28. Waegell & Aravind 2014, стр. 3–4, §2 Геометрия 120-ячеечной ячейки: лучи и основания.
29. Салливан 1991, стр. 4–5, Додекаэдр.
30. Коксетер и др. 1938, с. 4; «Как тетраэдр можно вписать в куб, так и куб можно вписать в додекаэдр. Взаимно-поступательным движением это приводит к октаэдру, описанному около икосаэдра. Фактически, каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдр согласно « золотому сечению ». Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр можно выбрать пятью способами, давая соединение пяти октаэдров , которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра . (Обратное соединение пяти кубов, вершины которых принадлежат додекаэдру, является звездчатым триаконтаэдром .) Другой звездчатый икосаэдр можно сразу же вывести, превратив каждый октаэдр в звездчатую октангулу , образуя таким образом соединение десяти тетраэдров . Далее, мы можем выбрать по одному тетраэдру из каждой звездчатой ​​октангулы, так как получить соединение пяти тетраэдров , которое по-прежнему обладает всей вращательной симметрией икосаэдра (т.е. икосаэдрической группы), хотя и утратило отражения.Отражая эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получаем дополнительную набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров энантиоморфны, то есть не конгруэнтны напрямую, а связаны, как пара обуви. [Такая] фигура, не имеющая плоскости симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному изображению), называется киральной ».
31. Waegell & Aravind 2014, стр. 5–6.
32. Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011, стр. 986–988, 6. Двойной курносый 24-элементный.
33. Коксетер 1973, §1.8 Конфигурации.
34. Коксетер 1991, с. 117.
35. Салливан 1991, с. 15, Другие свойства 120-элементного.
36. Шлеймер и Сегерман 2013, с. 16, §6.1. Слои додекаэдров.
37. Коксетер 1970, стр. 19–23, §9. 120-ячеечный и 600-ячеечный.
38. Шлеймер и Сегерман, 2013, стр. 16–18, §6.2. Кольца додекаэдров.
39. Банчофф 2013.
40. Zamboj 2021, стр. 6–12, §2 Математическая основа.
41. Zamboj 2021, стр. 23–29, §5 Торы Хопфа, соответствующие окружностям на B ² .
42. Денни и др. 2020, с. 438.
43. Чилтон 1964.
44. Dechant 2021, стр. 18–20, 6. Самолет Коксетера.
45. Денни и др. 2020.

Рекомендации

• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Коксетер, HSM (1995). Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера (2-е изд.). Публикация Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM ; дю Валь, Патрик ; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том. 6. Исследования Университета Торонто (математическая серия).
• Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 4
• Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1]. Архивировано 22 марта 2005 г. в Wayback Machine.
• Дэвис, Майкл В. (1985), «Гиперболическое 4-многообразие», Труды Американского математического общества , 93 (2): 325–328, doi : 10.2307/2044771, ISSN  0002-9939, JSTOR  2044771, MR  0770546
• Денни, Томм; Хукер, Да'Шей; Джонсон, Де'Джанеке; Робинсон, Тианна; Батлер, Маджид; Клэйборн, Сандерниш (2020). «Геометрия многогранников H4». Достижения в геометрии . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156v1 . doi : 10.1515/advgeom-2020-0005. S2CID  220367622.
• Штайнбах, Питер (1997). «Золотые поля: случай семиугольника». Журнал «Математика» . 70 (февраль 1997 г.): 22–31. дои : 10.1080/0025570X.1997.11996494. JSTOR  2691048.
• Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов длин хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [math.MG].
• Миядзаки, Кодзи (1990). «Первичные гипергеодезические многогранники». Международный журнал космических конструкций . 5 (3–4): 309–323. дои : 10.1177/026635119000500312. S2CID  113846838.
• ван Иттерсум, Клара (2020). «Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях». ТУДельфт .
• Мамоне, Сальваторе; Пилейо, Джузеппе; Левитт, Малкольм Х. (2010). «Схемы ориентационной выборки на основе четырехмерных многогранников». Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Бибкод : 2010Symm....2.1423M. дои : 10.3390/sym2031423 .
• Салливан, Джон М. (1991). «Создание и визуализация четырехмерных многогранников». Журнал Математика . 1 (3): 76–85.
• Вегель, Мордехай; Аравинд, ПК (10 сентября 2014 г.). «Доказательства четности теоремы Кохена – Спекера на основе 120 ячеек». Основы физики . 44 (10): 1085–1095. arXiv : 1309.7530v3 . Бибкод : 2014FoPh...44.1085W. дои : 10.1007/s10701-014-9830-0. S2CID  254504443.
• Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного дизайна и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
• Садок, Жан-Франсуа (2001). «Спирали и спиральные упаковки, полученные из многогранника {3,3,5}». Европейский физический журнал E. 5 : 575–582. дои : 10.1007/s101890170040. S2CID  121229939.
• Чилтон, Б.Л. (сентябрь 1964 г.). «О проекции правильного многогранника {5,3,3} в правильный триаконтагон». Канадский математический бюллетень . 7 (3): 385–398. дои : 10.4153/CMB-1964-037-9 .
• Шлеймер, Саул; Сегерман, Генри (2013). «Загадка 120 ячеек». Замечания амер. Математика. Соц . 62 (11): 1309–1316. arXiv : 1310.3549 . дои : 10.1090/noti1297. S2CID  117636740.
• Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Аль-Барвани, Муатаз (2012). «Курносый 24-клеточный, полученный из группы Кокстера-Вейля W (D4)». Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . дои : 10.1142/S0219887812500685. S2CID  119288632.
• Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Оздеш Коджа, Назифе (2011). «Кватернионное представление курносого 24-клеточного и его двойного многогранника, полученного из корневой системы E8». Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . дои : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN  0024-3795. S2CID  18278359.
• Дешант, Пьер-Филипп (2021). «Спиноры Клиффорда и индукция корневой системы: H4 и Большая антипризма». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . Springer Science and Business Media. 31 (3). arXiv : 2103.07817 . дои : 10.1007/s00006-021-01139-2 .
• Ким, Хына; Роте, Гюнтер (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «120 ячеек». Математический мир .
• Ольшевский, Георгий. «Гекатоникосахорон». Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
  • Выпуклая равномерная полихора на основе гекатоникосахорона (120-клеточного) и гексакосихорона (600-клеточного) - Модель 32, Георгия Ольшевского.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) o3o3o5x - привет».
• Der 120-Zeller (120-ячеечный) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• 120-ячеечный проводник – бесплатная интерактивная программа, которая позволяет вам узнать о ряде симметрий 120-клеток. 120 ячеек проецируются в 3 измерения, а затем визуализируются с использованием OpenGL.
• Построение Гипердодекаэдра
• YouTube-анимация строительства 120-клеточного Джан Марко Тодеско.