тор Клиффорда

Геометрический объект в четырехмерном пространстве

Стереографическая проекция тора Клиффорда, совершающая простое вращение

Топологически прямоугольник — это фундаментальный многоугольник тора, у которого противоположные края сшиты вместе.

В геометрической топологии тор Клиффорда — это простейшее и наиболее симметричное плоское вложение декартова произведения двух окружностей S¹
_аи С¹
_б(в том же смысле, в котором поверхность цилиндра является «плоской»). Названа в честь Уильяма Кингдона Клиффорда . Она находится в R ⁴ , а не в R ³ . Чтобы понять, почему R ⁴ необходим, обратите внимание, что если S¹
_аи С¹
_бкаждый существует в своем собственном независимом пространстве вложения R²
_аи Р²
_б, результирующее пространство произведения будет R ^{4 ,} а не R ³ . Исторически популярная точка зрения, что декартово произведение двух окружностей является тором R ^{3 ,} напротив, требует крайне асимметричного применения оператора вращения ко второй окружности, поскольку эта окружность будет иметь только одну независимую ось z , доступную ей после того, как первая окружность поглотит x и  y .

Другими словами, тор, вложенный в R ^{3 ,} является асимметричной проекцией уменьшенной размерности максимально симметричного тора Клиффорда, вложенного в R ⁴ . Это отношение похоже на проецирование ребер куба на лист бумаги. Такая проекция создает изображение меньшей размерности, которое точно фиксирует связность ребер куба, но также требует произвольного выбора и удаления одной из трех полностью симметричных и взаимозаменяемых осей куба.

Если С¹
_аи С¹
_бкаждый имеет радиус ⁠1/√ 2⁠ , их произведение тора Клиффорда будет идеально помещаться в единичную 3-сферу S ³ , которая является 3-мерным подмногообразием R ⁴ . Когда это удобно с математической точки зрения, тор Клиффорда можно рассматривать как находящийся внутри комплексного координатного пространства C ² , поскольку C ² топологически эквивалентно R ⁴ .

Тор Клиффорда является примером квадратного тора , поскольку он изометричен квадрату с идентифицированными противоположными сторонами. (Некоторые видеоигры , включая Asteroids , играются на квадратном торе; все, что движется за один край экрана, снова появляется на противоположном краю с той же ориентацией.) Он также известен как евклидов 2-тор («2» — его топологическая размерность); фигуры, нарисованные на нем, подчиняются евклидовой геометрии ^{[ требуется разъяснение ],} как если бы он был плоским, тогда как поверхность обычного тора в форме « пончика » положительно искривлена ​​на внешнем крае и отрицательно искривлена ​​на внутреннем. Хотя квадратный тор имеет иную геометрию, чем стандартное вложение тора в трехмерное евклидово пространство, он также может быть вложен в трехмерное пространство по теореме Нэша о вложении ; одно возможное вложение изменяет стандартный тор с помощью фрактального набора ряби, бегущих в двух перпендикулярных направлениях вдоль поверхности. ^[1]

Формальное определение

Единичная окружность S ¹ в R ² может быть параметризована угловой координатой:

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \theta ,\sin \theta )\,{\big |}\,0\leq \theta <2\pi {\bigr \}}.}$

В другой копии R ² возьмите еще одну копию единичной окружности

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,{\big |}\,0\leq \varphi <2\pi {\bigr \}}.}$

Тогда тор Клиффорда равен

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Поскольку каждая копия S ¹ является вложенным подмногообразием R ^{2 , тор} Клиффорда является вложенным тором в R ² × R ² = R ⁴ .

Если R ⁴ задан координатами ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ) , то тор Клиффорда задается как

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

Это показывает, что в R ⁴ тор Клиффорда является подмногообразием единичной 3-сферы S ³ .

Легко проверить, что тор Клиффорда является минимальной поверхностью в S ³ .

Альтернативный вывод с использованием комплексных чисел

Также принято рассматривать тор Клиффорда как вложенный тор в C ² . В двух копиях C мы имеем следующие единичные окружности (все еще параметризованные угловой координатой):

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\theta }\,\right|\,0\leq \theta <2\pi \right\}}$

и

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\varphi }\,\right|\,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Теперь тор Клиффорда выглядит как

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\theta },e^{i\varphi }\right)\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Как и прежде, это вложенное подмногообразие в единичной сфере S ³ в C ² .

Если C ² задан координатами ( z ₁ , z ₂ ) , то тор Клиффорда задается как

${\displaystyle \left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

В торе Клиффорда, определенном выше, расстояние любой точки тора Клиффорда до начала ^{координат} C2 равно

${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\theta }\right|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\varphi }\right|^{2}}}=1.}$

Множество всех точек на расстоянии 1 от начала координат ^C2 является единичной 3-сферой, и поэтому тор Клиффорда находится внутри этой 3-сферы. Фактически, тор Клиффорда делит эту 3-сферу на два конгруэнтных полнотора (см. расщепление Хегора ^[2] ).

Так как O(4) действует на R ⁴ ортогональными преобразованиями , мы можем переместить «стандартный» тор Клиффорда, определенный выше, в другие эквивалентные торы посредством жестких вращений. Все они называются «торами Клиффорда». Шестимерная группа O(4) действует транзитивно на пространстве всех таких торов Клиффорда, находящихся внутри 3-сферы. Однако это действие имеет двумерный стабилизатор (см. действие группы ), поскольку вращение в меридиональном и продольном направлениях тора сохраняет тор (в отличие от перемещения его в другой тор). Следовательно, на самом деле существует четырехмерное пространство торов Клиффорда. ^[2] Фактически, существует взаимно-однозначное соответствие между торами Клиффорда в единичной 3-сфере и парами полярных больших окружностей (т. е. большими окружностями, которые максимально разделены). Для данного тора Клиффорда соответствующие полярные большие окружности являются основными окружностями каждой из двух дополнительных областей. И наоборот, для любой пары больших полярных окружностей соответствующий тор Клиффорда является геометрическим местом точек 3-сферы, которые равноудалены от двух окружностей.

Более общее определение торов Клиффорда

Плоские торы в единичной 3-мерной сфере S ³ , которые являются произведением окружностей радиуса r в одной 2-мерной плоскости R ² и радиуса √ 1 − r ² в другой 2-мерной плоскости R ^{2 ,} иногда также называют «торами Клиффорда».

Те же окружности можно рассматривать как имеющие радиусы, равные cos θ и sin θ для некоторого угла θ в диапазоне 0 ≤ θ ≤ ⁠π/2⁠ (где мы включаем вырожденные случаи θ = 0 и θ = ⁠π/2⁠ ).

Объединение для 0 ≤ θ ≤ ⁠π/2⁠ всех этих торов формы

${\displaystyle T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )}$

(где S ( r ) обозначает окружность в плоскости R ^{2 ,} определяемую центром (0, 0) и радиусом r ) является 3-сферой S ³ . Обратите внимание, что мы должны включить два вырожденных случая θ = 0 и θ = ⁠π/2⁠ , каждый из которых соответствует большому кругу S ³ , и которые вместе составляют пару больших полярных кругов.

Легко видеть, что этот тор T _θ имеет площадь

${\displaystyle \operatorname {area} \left(T_{\theta }\right)=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,}$

так что только тор T _⁠π/4⁠ имеет максимально возможную площадь2 π ² . Этот тор T _⁠π/4⁠ — это тор T _θ , который чаще всего называют «тором Клиффорда», и он также является единственным из T _θ , который является минимальной поверхностью в S ³ .

Еще более общее определение торов Клиффорда в высших размерностях

Любая единичная сфера S ^{2 n −1} в четномерном евклидовом пространстве R ^{2 n} = C ⁿ может быть выражена через комплексные координаты следующим образом:

${\displaystyle S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\right\}.}$

Тогда для любых неотрицательных чисел r ₁ , ..., r _n таких, что r ₁ ² + ... + r _n ² = 1 , мы можем определить обобщенный тор Клиффорда следующим образом:

${\displaystyle T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}={\bigl \{}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n{\bigr \}}.}$

Эти обобщенные торы Клиффорда все не пересекаются друг с другом. Мы можем снова заключить, что объединение каждого из этих торов T _{r 1 , ..., r n} является единичной (2 n − 1) -сферой S ^{2 n −1} (где мы должны снова включить вырожденные случаи, когда по крайней мере один из радиусов r _k = 0 ).

Характеристики

• Тор Клиффорда является «плоским»: каждая точка имеет окрестность, которую можно развернуть на части плоскости без искажения, в отличие от стандартного тора вращения.
• Тор Клиффорда делит 3-сферу на два конгруэнтных полнотелых тора. (В стереографической проекции тор Клиффорда выглядит как стандартный тор вращения. Тот факт, что он делит 3-сферу поровну, означает, что внутренняя часть спроецированного тора эквивалентна внешней.)

Использование в математике

В симплектической геометрии тор Клиффорда дает пример вложенного лагранжева подмногообразия C 2 ^со стандартной симплектической структурой. (Разумеется, любое произведение вложенных окружностей в C дает лагранжев тор C ² , поэтому они не обязательно должны быть торами Клиффорда.)

Гипотеза Лоусона утверждает, что каждый минимально вложенный тор в 3-сфере с круглой метрикой должен быть тором Клиффорда. Доказательство этой гипотезы было опубликовано Саймоном Брендлом в 2013 году. ^[3]

Торы Клиффорда и их образы при конформных преобразованиях являются глобальными минимизаторами функционала Уиллмора .

Смотрите также

• Дуоцилиндр
• волокнистость Хопфа
• Параллель Клиффорда и поверхность Клиффорда
• Уильям Кингдом Клиффорд

Ссылки

1. Боррелли, В.; Джабран, С.; Лазарус, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклое интегрирование», Труды Национальной академии наук , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC  3358891 , PMID  22523238.
2. Norbs, P. (сентябрь 2005 г.), «12-я задача» (PDF) , The Australian Mathematical Society Gazette , 32 (4): 244–246
3. Брендл, Саймон (2013), «Вложенные минимальные торы в S ³ и гипотеза Лоусона», Acta Mathematica , 211 (2): 177–190, arXiv : 1203.6597 , doi : 10.1007/s11511-013-0101-2; см. обзоры Жуана Лукаса Маркеса Барбозы ( MR 3143888) и Йе-Лин Оу ( Zbl  1305.53061)