Метрический тензор

В математической области дифференциальной геометрии метрический тензор (или просто метрика ) — это дополнительная структура на многообразии $M$ (например, поверхности ), которая позволяет определять расстояния и углы, точно так же, как скалярное произведение на евклидовом пространстве позволяет определять там расстояния и углы. Точнее, метрический тензор в точке $p$ пространства $M$ — это билинейная форма , определенная на касательном пространстве в точке $p$ (то есть билинейная функция , которая отображает пары касательных векторов в действительные числа ), а метрическое поле на $M$ состоит из метрического тензора в каждой точке $p$ пространства $M$ , который плавно меняется с $p$ .

Метрический тензор $g$ является положительно определенным, если $g (v, v) > 0$ для каждого ненулевого вектора $v$ . Многообразие, снабженное положительно определенным метрическим тензором, известно как риманово многообразие . Такой метрический тензор можно рассматривать как задание бесконечно малого расстояния на многообразии. На римановом многообразии $M$ длина гладкой кривой между двумя точками $p$ и $q$ может быть определена путем интегрирования, а расстояние между $p$ и $q$ может быть определено как инфимум длин всех таких кривых; это делает $M$ метрическим пространством . Наоборот, сам метрический тензор является производной функции расстояния (взятой подходящим образом). ^{[ необходима цитата ]}

Хотя понятие метрического тензора было известно в некотором смысле математикам, таким как Гаусс , с начала 19-го века, только в начале 20-го века его свойства как тензора были поняты, в частности, Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита , которые первыми кодифицировали понятие тензора. Метрический тензор является примером тензорного поля .

Компоненты метрического тензора в координатном базисе принимают форму симметричной матрицы , элементы которой ковариантно преобразуются при изменении системы координат. Таким образом, метрический тензор является ковариантным симметричным тензором . С точки зрения , не зависящей от координат , поле метрического тензора определяется как невырожденная симметричная билинейная форма на каждом касательном пространстве, которая плавно изменяется от точки к точке.

Введение

Карл Фридрих Гаусс в своей работе 1827 года Disquisitiones generales circa superficies curvas ( Общие исследования кривых поверхностей ) рассматривал поверхность параметрически , с декартовыми координатами $x$ , $y$ и $z$ точек на поверхности, зависящими от двух вспомогательных переменных $u$ и $v$ . Таким образом, параметрическая поверхность является (в современных терминах) векторнозначной функцией

{\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\ ,v){\bigr )}

зависящая от упорядоченной пары действительных переменных $(u, v)$ и определенная в открытом множестве $D$ в плоскости $uv$ . Одной из главных целей исследований Гаусса было вывести те особенности поверхности, которые можно было бы описать функцией, которая оставалась бы неизменной, если бы поверхность подвергалась трансформации в пространстве (например, изгибу поверхности без ее растяжения) или изменению конкретной параметрической формы той же геометрической поверхности.

Одной из таких естественных инвариантных величин является длина кривой, проведенной по поверхности. Другой — угол между парой кривых, проведенных по поверхности и встречающихся в общей точке. Третьей такой величиной является площадь части поверхности. Изучение этих инвариантов поверхности привело Гаусса к введению предшественника современного понятия метрического тензора.

Метрический тензор описан ниже; E, F и G в матрице могут содержать любые числа, при условии, что матрица положительно определена. ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

Длина дуги

Если переменные $u$ и $v$ считаются зависящими от третьей переменной $t$ , принимающей значения в интервале $[a, b]$ , то $r \to (u (t), v (t))$ будет описывать параметрическую кривую на параметрической поверхности $M.$ Длина дуги этой кривой задается интегралом

{\begin{align}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{align}}

где представляет собой евклидову норму . Здесь применено цепное правило , а нижние индексы обозначают частные производные : $\left\|\cdot \right\|$

{\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.

Интегральное выражение представляет собой ограничение ^[1] на кривую квадратного корня ( квадратичного ) дифференциала

где

Величина $ds$ в ( 1 ) называется линейным элементом , а $ds2 называется первой фундаментальной формой M.$ $Интуитивно$ она представляет собой главную часть квадрата смещения, претерпеваемого $r$ $\to$ $($ $u$ $,$ $v$ $),$ когда $u$ увеличивается на $du$ единиц, а $v$ увеличивается на $dv$ $единиц$ .

Используя матричную запись, первая фундаментальная форма становится

ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end {bmatrix}}

Преобразования координат

Предположим теперь, что выбрана другая параметризация, позволяющая $u$ и $v$ зависеть от другой пары переменных $u'$ и $v'$ . Тогда аналог ( 2 ) для новых переменных будет

Правило цепочки связывает $E'$ , $F'$ и $G'$ с $E$ , $F$ , и $G$ посредством матричного уравнения

где верхний индекс T обозначает транспонирование матрицы . Матрица с коэффициентами $E$ , $F$ и $G,$ расположенными таким образом, преобразуется, следовательно, матрицей Якоби изменения координат

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.

Матрица, преобразующаяся таким образом, является одним из видов того, что называется тензором . Матрица

{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}

с законом преобразования ( 3 ) называется метрическим тензором поверхности.

Инвариантность длины дуги при преобразованиях координат

Риччи-Курбастро и Леви-Чивита (1900) впервые наблюдали значимость системы коэффициентов $E$ , $F$ , и $G$ , которые трансформировались таким образом при переходе от одной системы координат к другой. Результатом является то, что первая фундаментальная форма ( 1 ) инвариантна относительно изменений в системе координат, и что это следует исключительно из свойств трансформации $E$ , $F$ , и $G$ . Действительно, по правилу цепи,

{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}

так что

{\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}

Длина и угол

Другая интерпретация метрического тензора, также рассмотренная Гауссом, заключается в том, что он обеспечивает способ вычисления длины касательных векторов к поверхности, а также угла между двумя касательными векторами. В современных терминах метрический тензор позволяет вычислять скалярное произведение (неевклидова геометрия) касательных векторов способом, независимым от параметрического описания поверхности. Любой касательный вектор в точке параметрической поверхности $M$ можно записать в виде

\mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}

для подходящих действительных чисел $p 1$ и $p 2.$ Если даны два касательных вектора:

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}

затем, используя билинейность скалярного произведения,

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}

Это просто функция четырех переменных $a 1$ , $b 1$ , $a 2$ и $b 2$ . Однако ее более выгодно рассматривать как функцию, которая принимает пару аргументов $a = [a 1 a 2]$ и $b = [b 1 b 2]$ , которые являются векторами в $uv$ -плоскости. То есть, положим

g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.

Это симметричная функция относительно $a$ и $b$ , что означает, что

g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.

Он также является билинейным , что означает, что он линейен по каждой переменной $a$ и $b$ в отдельности. То есть,

{\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}

для любых векторов $a$ , $a'$ , $b$ и $b'$ в плоскости $uv$ и любых действительных чисел $μ$ и $λ$ .

В частности, длина касательного вектора $a$ определяется выражением

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}

а угол $θ$ между двумя векторами $a$ и $b$ вычисляется по формуле

\cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.

Область

Площадь поверхности — это еще одна числовая величина, которая должна зависеть только от самой поверхности, а не от того, как она параметризована. Если поверхность $M$ параметризована функцией $r \to (u, v)$ над областью $D$ в плоскости $uv$ , то площадь поверхности $M$ задается интегралом

\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv

где $\times$ обозначает векторное произведение , а абсолютное значение обозначает длину вектора в евклидовом пространстве. По тождеству Лагранжа для векторного произведения интеграл можно записать

{\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}

где $det$ — определитель .

Определение

Пусть $M$ — гладкое многообразие размерности $n$ ; например, поверхность (в случае $n = 2$ ) или гиперповерхность в декартовом пространстве . В каждой точке $p$ $\in$ $M$ существует векторное пространство $T$ $p$ $M$ , называемое касательным пространством , состоящее из всех касательных векторов к многообразию в точке $p$ . Метрический тензор в точке $p$ — это функция $g$ $p$ $($ $X$ $p$ $,$ $Y$ $p$ $),$ которая принимает в качестве входных данных пару касательных векторов $X$ $p$ и $Y$ $p$ в точке $p$ , и производит в качестве выходного значения действительное число ( скаляр ), так что выполняются следующие условия: $\mathbb {R} ^{n+1}$

$g p$ является билинейной . Функция двух векторных аргументов является билинейной, если она линейна отдельно по каждому аргументу. Таким образом, если $U p$ , $V p$ , $Y p$ — три касательных вектора в точке $p$ , а $a$ и $b$ — действительные числа, то ${\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}$
$g p$ симметрична.^[2] Функция двух векторных аргументов симметрична при условии, что для всех векторов $X$ $p$ и $Y$ $p$ , $g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.$
$g p$ невырождена. Билинейная функция невырождена при условии, что для каждого касательного вектора X $p \neq 0$ функция,полученная при сохранении $X$ $p$ постоянным и разрешении $Y$ $p$ изменяться, не является тождественно нулем . То есть для каждого $X$ $p$ $\neq 0$ существует $Y$ $p$ такой, что $g$ $p$ $($ $X$ $p$ $,$ $Y$ $p$ $) \neq 0$ . $Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})$

Метрическое тензорное поле $g$ на $M$ сопоставляет каждой точке $p$ множества $M$ метрический тензор $g p$ в касательном пространстве в точке $p$ таким образом, что он плавно меняется с $p$ . Точнее, для любого открытого подмножества $U$ многообразия $M$ и любых (гладких) векторных полей $X$ и $Y$ на $U$ действительная функция является гладкой функцией $p$ . $g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})$

Компоненты метрики

Компоненты метрики в любом базисе векторных полей , или системе отсчета , $f = (X 1, ..., X n)$ задаются формулой ^[3]

Функции $g$ $ij$ $[$ $f$ $]$ образуют элементы симметричной матрицы $размером$ $n$ $\times$ $n$ $,$ $G$ [ $f$ $]$ $.$ Если

v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}

— два вектора при $p \in U$ , тогда значение метрики, примененной к $v$ и $w,$ определяется коэффициентами ( 4 ) по билинейности:

g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]

Обозначим матрицу $(g ij [f])$ через $G [f]$ и разложим компоненты векторов $v$ и $w$ в векторы-столбцы $v [f]$ и $w [f]$ ,

g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]

где $v [f]$ ^T и $w [f]$ ^T обозначают транспонирование векторов $v [f]$ и $w [f]$ соответственно. При изменении базиса вида

\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A

для некоторой обратимой матрицы $n \times n$ $A = (a ij)$ матрица компонентов метрики также изменяется на $A. То есть,$

G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A

или, в терминах записей этой матрицы,

g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.

По этой причине говорят, что система величин $g ij [f]$ преобразуется ковариантно относительно изменений в системе отсчета $f$ .

Метрика в координатах

Система из $n$ вещественных функций $(x 1, ..., x n)$ , задающая локальную систему координат на открытом множестве $U$ в $M$ , определяет базис векторных полей на $U$

\mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.

Метрика $g$ имеет компоненты относительно этой системы отсчета, заданные формулой

g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.

Относительно новой системы местных координат, скажем,

y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n

метрический тензор определит другую матрицу коэффициентов,

g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).

Эта новая система функций связана с исходной $g ij (f)$ посредством цепного правила

{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}

так что

g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.

Или, в терминах матриц $G [f] = (g ij [f])$ и $G [f'] = (g ij [f'])$ ,

G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}

где $Dy$ обозначает матрицу Якоби изменения координат.

Подпись метрики

С любым метрическим тензором связана квадратичная форма, определяемая в каждом касательном пространстве как

q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.

Если $q m$ положительно для всех ненулевых $X m$ , то метрика положительно определена в точке $m$ . Если метрика положительно определена в точке $m \in M$ , то $g$ называется римановой метрикой . В более общем случае, если квадратичные формы $q m$ имеют постоянную сигнатуру, не зависящую от $m$ , то сигнатура $g$ является этой сигнатурой, и $g$ называется псевдоримановой метрикой . ^[4] Если $M$ связно , то сигнатура $q$ $m$ не зависит от $m$ . ^[5]

По закону инерции Сильвестра базис касательных векторов $X i$ может быть выбран локально так, что квадратичная форма диагонализируется следующим образом:

q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}

для некоторого $p$ между 1 и $n$ . Любые два таких выражения $q$ (в одной и той же точке $m$ из $M$ ) будут иметь одинаковое число $p$ положительных знаков. Сигнатура $g$ — это пара целых чисел $(p, n - p)$ , означающая, что в любом таком выражении есть $p$ положительных знаков и $n - p$ отрицательных знаков. Эквивалентно, метрика имеет сигнатуру $(p, n - p)$ , если матрица $g ij$ метрики имеет $p$ положительных и $n - p$ отрицательных собственных значений .

Некоторые метрические сигнатуры, которые часто встречаются в приложениях:

Если $g$ имеет сигнатуру $(n, 0)$ , то $g$ является римановой метрикой, а $M$ называется римановым многообразием . В противном случае $g$ является псевдоримановой метрикой, а $M$ называется псевдоримановым многообразием (также используется термин полуриманово).
Если $M$ четырехмерно с сигнатурой $(1, 3)$ или $(3, 1)$ , то метрика называется лоренцевой . В более общем смысле, метрический тензор в размерности $n,$ отличной от 4, сигнатуры $(1, n - 1)$ или $(n - 1, 1)$ иногда также называется лоренцевой.
Если $M$ является $2 n$ -мерным и $g$ имеет сигнатуру $(n, n)$ , то метрика называется ультрагиперболической.

Обратная метрика

Пусть $f = (X 1, ..., X n)$ — базис векторных полей, и, как и выше, пусть $G [f]$ — матрица коэффициентов

g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.

Можно рассмотреть обратную матрицу $G [f] -1$ , которая отождествляется с обратной метрикой (или сопряженной или дуальной метрикой ). Обратная метрика удовлетворяет закону преобразования, когда рамка $f$ изменяется матрицей $A$ посредством

Обратная метрика преобразуется контравариантно , или относительно обратной замены базисной матрицы $A.$ В то время как сама метрика предоставляет способ измерения длины (или угла между) векторных полей, обратная метрика предоставляет средство измерения длины (или угла между) ковекторных полей; то есть полей линейных функционалов .

Чтобы увидеть это, предположим, что $α$ — ковекторное поле. А именно, для каждой точки $p$ , $α$ определяет функцию $α p ,$ определенную на касательных векторах в $p ,$ так что следующее условие линейности выполняется для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ , и всех действительных чисел $a$ и $b$ :

\alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.

При изменении $p предполагается, что$ $α$ является гладкой функцией в том смысле, что

p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)

является гладкой функцией $p$ для любого гладкого векторного поля $X.$

Любое ковекторное поле $α$ имеет компоненты в базисе векторных полей $f$ . Они определяются

\alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.

Обозначим вектор-строку этих компонент как

\alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.

$При$ изменении $f$ на матрицу $A$ α $[$ $f$ $]$ изменяется по правилу

\alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.

То есть вектор-строка компонентов $α [f]$ преобразуется как ковариантный вектор.

Для пары ковекторных полей $α$ и $β определим обратную метрику, применяемую к этим двум ковекторам, следующим образом:$

Полученное определение, хотя и подразумевает выбор базиса $f$ , на самом деле не зависит от $f$ существенным образом. Действительно, изменение базиса на $f A$ дает

{\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}

Так что правая часть уравнения ( 6 ) не изменяется при замене базиса $f$ на любой другой базис $f A.$ Следовательно, уравнению может быть присвоено значение независимо от выбора базиса. Элементы матрицы $G [f]$ обозначаются как $g ij$ , где индексы $i$ и $j$ подняты для указания закона преобразования ( 5 ).

Повышение и понижение индексов

В базисе векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ любое гладкое касательное векторное поле $X$ можно записать в виде

для некоторых однозначно определенных гладких функций $v 1, ..., v n$ . При замене базиса $f$ на невырожденную матрицу $A$ коэффициенты $v i$ изменяются таким образом, что уравнение ( 7 ) остается верным. То есть,

X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.

Следовательно, $v [f A] = A -1 v [f]$ . Другими словами, компоненты вектора преобразуются контравариантно (то есть обратно или противоположным образом) при замене базиса невырожденной матрицей $A$ . Контравариантность компонентов $v [f]$ обозначается нотацией, помещая индексы $v i [f]$ в верхнюю позицию.

Рамка также позволяет выражать ковекторы через их компоненты. Для базиса векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ определим дуальный базис как линейные функционалы $(θ 1 [f], ..., θ n [f])$ такие, что

\theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}

То есть, $θ i [f](X j) = δ j i$ , дельта Кронекера . Пусть

\theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.

При замене базиса $f \mapsto f A$ для невырожденной матрицы $A$ $θ [f]$ преобразуется посредством

\theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].

Любой линейный функционал $α$ на касательных векторах можно разложить по двойственному базису $θ$

где $a [f]$ обозначает вектор-строку $[a 1 [f] ... a n [f] ]$ . Компоненты $a i$ преобразуются, когда базис $f$ заменяется на $f A$ таким образом, что уравнение ( 8 ) продолжает выполняться. То есть,

\alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]

откуда, поскольку $θ [f A] = A -1 θ [f]$ , следует, что $a [f A] = a [f] A$ . То есть компоненты $a$ преобразуются ковариантно (матрицей $A$ , а не ее обратной). Ковариантность компонентов $a [f]$ обозначается нотацией путем помещения индексов $a i [f]$ в нижнюю позицию.

Теперь метрический тензор дает средство для идентификации векторов и ковекторов следующим образом. При фиксированном $X p$ функция

g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})

касательного вектора $Y p$ определяет линейный функционал на касательном пространстве в точке $p$ . Эта операция берет вектор $X p$ в точке $p$ и создает ковектор $g p (X p, -)$ . В базисе векторных полей $f$ , если векторное поле $X$ имеет компоненты $v [f]$ , то компоненты ковекторного поля $g (X, -)$ в двойственном базисе задаются записями вектора-строки

a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].

При изменении базиса $f \mapsto f A$ правая часть этого уравнения преобразуется посредством

v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A

так что $a [f A] = a [f] A$ : $a$ преобразуется ковариантно. Операция сопоставления (контравариантным) компонентам векторного поля $v [f] = [v 1 [f] v 2 [f] ... v n [f] ]$ ^T (ковариантных) компонентов ковекторного поля $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] \dots a n [f] ]$ , где

a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]

называется понижением индекса .

Чтобы поднять индекс , применяется та же конструкция, но с обратной метрикой вместо метрики. Если $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] ... a n [f] ]$ являются компонентами ковектора в дуальном базисе $θ [f]$ , то вектор-столбец

имеет компоненты, которые преобразуются контравариантно:

v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].

Следовательно, величина $X = f v [f]$ не зависит от выбора базиса $f$ существенным образом и, таким образом, определяет векторное поле на $M$ . Операция ( 9 ), связывающая (ковариантные) компоненты ковектора $a [f]$ с (контравариантными) компонентами заданного вектора $v [f],$ называется повышением индекса . В компонентах ( 9 ) равно

v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].

Индуцированная метрика

Пусть $U$ — открытое множество в $ℝ n$ , и пусть $φ$ — непрерывно дифференцируемая функция из $U$ в евклидово пространство $ℝ m$ , где $m > n$ . Отображение $φ$ называется погружением , если его дифференциал инъективен в каждой точке $U$ . Образ $φ$ называется погруженным подмногообразием . Более конкретно, для $m = 3$ , что означает, что окружающее евклидово пространство есть $ℝ 3$ , индуцированный метрический тензор называется первой фундаментальной формой .

Предположим, что $φ$ — погружение в подмногообразие $M \subset R m$ . Обычное евклидово скалярное произведение в $ℝ m$ — это метрика, которая, будучи ограничена векторами, касательными к $M$ , дает способ взятия скалярного произведения этих касательных векторов. Это называется индуцированной метрикой .

Предположим, что $v$ — касательный вектор в точке $U$ , скажем

v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}

где $e i$ — стандартные координатные векторы в $ℝ n$ . Когда $φ$ применяется к $U$ , вектор $v$ переходит в вектор, касательный к $M ,$ заданный формулой

\varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.

(Это называется продвижением v вдоль $φ$ .) При наличии двух таких векторов, $v$ и $w$ , индуцированная метрика определяется $как$

g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).

Из непосредственного вычисления следует, что матрица индуцированной метрики в базисе координатных векторных полей $e$ имеет вид

G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )

где $Dφ$ — матрица Якоби:

D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.

Внутренние определения метрики

Понятие метрики может быть определено внутренне с использованием языка расслоений волокон и векторных расслоений . В этих терминах метрический тензор является функцией

из послойного произведения касательного расслоения M с самим собой на $R,$ $такое$ , что ограничение $g$ на каждое волокно является невырожденным билинейным отображением

g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .

Отображение ( 10 ) должно быть непрерывным и часто непрерывно дифференцируемым , гладким или действительно аналитическим , в зависимости от рассматриваемого случая и от того, может ли $M$ поддерживать такую структуру.

Метрика как часть пучка

В силу универсального свойства тензорного произведения любое билинейное отображение ( 10 ) естественным образом порождает сечение g $\otimes$ двойственного расслоения $тензорного$ произведения T $M$ с самим $собой$

g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).

Сечение $g \otimes$ определяется на простых элементах $T M \otimes T M$ следующим образом:

g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)

и определяется на произвольных элементах $T M \otimes T M$ путем линейного расширения до линейных комбинаций простых элементов. Исходная билинейная форма $g$ симметрична тогда и только тогда, когда

g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }

где

\tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM

это карта плетения .

Поскольку $M$ конечномерно, существует естественный изоморфизм

(\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,

так что $g \otimes$ рассматривается также как сечение расслоения $T* M \otimes T* M$ кокасательного расслоения $T* M$ с самим собой. Поскольку $g$ симметричен как билинейное отображение, отсюда следует, что $g \otimes$ является симметричным тензором .

Метрика в векторном расслоении

В более общем смысле можно говорить о метрике в векторном расслоении . Если $E$ — векторное расслоение над многообразием $M$ , то метрика — это отображение

g:E\times _{M}E\to \mathbf {R}

из произведения волокон $E$ на $R,$ которое является билинейным в каждом волокне:

g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .

Используя двойственность, как указано выше, метрику часто отождествляют с частью расслоения тензорного произведения $E * \otimes E *$ .

Изоморфизм касательно-котангенса

Метрический тензор дает естественный изоморфизм из касательного расслоения в кокасательное расслоение , иногда называемый музыкальным изоморфизмом . ^[6] Этот изоморфизм получается, если для каждого касательного вектора X $p \in T p M задать$

S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),

линейный функционал на $T p M$ , который посылает касательный вектор $Y p$ в точке $p$ к $g p (X p, Y p)$ . То есть, в терминах спаривания $[-, -]$ между $T p M$ и его дуальным пространством $T * п М$ ,

[S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ . Отображение $S g$ является линейным преобразованием из $T p M$ в $T * п M .$ $Из$ определения невырожденности следует, что ядро S $g$ сводится к нулю, и поэтому потеореме о ранге–нуле $S$ $g$ является линейным изоморфизмом . Более того, $S$ $g$ является симметричным линейным преобразованием в том смысле, что

[S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ .

Наоборот, любой линейный изоморфизм $S : T p M \to T * п M$ определяет невырожденную билинейную форму на $T p M$ с помощью

g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.

Эта билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда $S$ симметрична. Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными формами на $T p M$ и симметричными линейными изоморфизмами $T p M$ в двойственный $T * п М$ .

При изменении $p$ по $M$ , $S g$ определяет сечение расслоения $Hom(T M, T* M)$ изоморфизмов векторных расслоений касательного расслоения к кокасательному расслоению. Это сечение имеет ту же гладкость, что и $g$ : оно непрерывно, дифференцируемо, гладко или вещественно-аналитично в зависимости от $g$ . Отображение $S g$ , которое сопоставляет каждому векторному полю на $M$ ковекторное поле на $M ,$ дает абстрактную формулировку «понижения индекса» на векторном поле. Обратным к $S g$ является отображение $T* M \to T M$ , которое аналогично дает абстрактную формулировку «повышения индекса» на ковекторном поле.

Обратное $S -1 г$ определяет линейное отображение

S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M

который является несингулярным и симметричным в том смысле, что

\left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]

для всех ковекторов $α$ , $β$ . Такое невырожденное симметричное отображение приводит (с помощью тензорно-гомового сопряжения ) к отображению

\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R}

или двойным дуальным изоморфизмом к сечению тензорного произведения

\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.

Длина дуги и элемент линии

Предположим, что $g$ — риманова метрика на $M.$ В локальной системе координат $x i$ , $i = 1, 2, \dots, n$ метрический тензор представляется в виде матрицы , обозначенной здесь как $G$ , элементы которой являются компонентами $g ij$ метрического тензора относительно векторных полей координат.

Пусть $γ (t)$ — кусочно-дифференцируемая параметрическая кривая в $M$ , для $a \leq t \leq b$ . Длина дуги кривой определяется как

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.

В связи с этим геометрическим приложением квадратичная дифференциальная форма

ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}

называется первой фундаментальной формой, связанной с метрикой, в то время как $ds$ является элементом линии . Когда $ds 2$ возвращается к образу кривой в $M$ , он представляет собой квадрат дифференциала относительно длины дуги.

Для псевдоримановой метрики формула длины выше не всегда определена, поскольку член под квадратным корнем может стать отрицательным. Мы обычно определяем длину кривой только тогда, когда величина под квадратным корнем всегда имеет один или другой знак. В этом случае, определите

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.

Хотя эти формулы используют координатные выражения, они фактически не зависят от выбранных координат; они зависят только от метрики и кривой, по которой интегрируется формула.

Энергия, вариационные принципы и геодезические

Для данного сегмента кривой другой часто определяемой величиной является (кинетическая) энергия кривой:

E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.

Это использование происходит из физики , в частности, классической механики , где интеграл $E$ можно рассматривать как непосредственно соответствующий кинетической энергии точечной частицы, движущейся по поверхности многообразия. Так, например, в формулировке Якоби принципа Мопертюи метрический тензор можно рассматривать как соответствующий тензору массы движущейся частицы.

Во многих случаях, когда расчет требует использования длины, можно также выполнить аналогичный расчет с использованием энергии. Это часто приводит к более простым формулам, избегая необходимости в квадратном корне. Так, например, геодезические уравнения могут быть получены путем применения вариационных принципов либо к длине, либо к энергии. В последнем случае геодезические уравнения, как видно, возникают из принципа наименьшего действия : они описывают движение «свободной частицы» (частицы, не испытывающей никаких сил), которая ограничена движением по многообразию, но в остальном свободно движется с постоянным импульсом внутри многообразия. ^[7]

Каноническая мера и форма объема

По аналогии со случаем поверхностей, метрический тензор на $n$ -мерном паракомпактном многообразии $M$ порождает естественный способ измерения $n$ -мерного объема подмножеств многообразия. Полученная естественная положительная мера Бореля позволяет развить теорию интегрирования функций на многообразии с помощью ассоциированного интеграла Лебега .

Мера может быть определена с помощью теоремы Рисса о представлении , задавая положительный линейный функционал $Λ$ на пространстве $C 0 (M)$ непрерывных функций с компактным носителем на $M$ . Точнее, если $M$ — многообразие с (псевдо)римановым метрическим тензором $g$ , то существует единственная положительная борелевская мера $μ$ $g$ такая, что для любой координатной карты $($ $U$ $,$ $φ$ $)$ для всех $f$ с носителем в $U$ . Здесь $det$ $g$ — определитель матрицы, образованной компонентами метрического тензора в координатной карте. То, что $Λ$ хорошо определена на функциях с носителями в координатных окрестностях, обосновывается якобиевой заменой переменных . Она расширяется до единственного положительного линейного функционала на $C$ $0$ $($ $M$ $)$ посредством разбиения единицы . $\Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx$

Если $M$ также ориентировано , то можно определить естественную форму объема из метрического тензора. В положительно ориентированной системе координат $(x 1, ..., x n)$ форма объема представляется как где $dx$ $i$ являются дифференциалами координат, а $\land$ обозначает внешнее произведение в алгебре дифференциальных форм . Форма объема также дает способ интегрировать функции на многообразии, и этот геометрический интеграл согласуется с интегралом, полученным с помощью канонической меры Бореля. $\omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$

Примеры

Евклидова метрика

Самый известный пример — это элементарная евклидова геометрия : двумерный евклидов метрический тензор. В обычных декартовых $(x, y)$ координатах мы можем записать

g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.

Длина кривой сводится к формуле:

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.

Евклидову метрику в некоторых других распространенных системах координат можно записать следующим образом.

Полярные координаты $(r, θ)$ :

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}

Так

g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}

тригонометрическими тождествами .

В общем случае в декартовой системе координат $x i$ на евклидовом пространстве частные производные $\partial / \partial x i$ ортонормальны относительно евклидовой метрики. Таким образом, метрический тензор — это символ Кронекера δ _ij в этой системе координат. Метрический тензор относительно произвольных (возможно, криволинейных) координат q $i$ $задается$ выражением

g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.

Круглая метрика на сфере

Единичная сфера в $ℝ 3$ снабжена естественной метрикой, индуцированной из окружающей евклидовой метрики, посредством процесса, объясненного в разделе индуцированной метрики. В стандартных сферических координатах $(θ, φ)$ , где $θ$ — коширота , угол, измеренный от оси $z$ , и $φ$ — угол от оси $x$ в плоскости $xy$ , метрика принимает вид

g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.

Обычно это записывается в форме

ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.

Лоренцевы метрики из теории относительности

В плоском пространстве Минковского ( специальная теория относительности ) с координатами

r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,

метрика, в зависимости от выбора сигнатуры метрики ,

g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.

Для кривой с, например, постоянной временной координатой формула длины с этой метрикой сводится к обычной формуле длины. Для времениподобной кривой формула длины дает собственное время вдоль кривой.

В этом случае пространственно-временной интервал записывается как

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.

Метрика Шварцшильда описывает пространство-время вокруг сферически симметричного тела, такого как планета или черная дыра . С координатами

\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,

мы можем записать метрику как

g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,

где $G$ (внутри матрицы) — гравитационная постоянная , а $M$ представляет собой общее содержание массы и энергии центрального объекта.

Смотрите также

риманово многообразие
Псевдориманово многообразие
Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
Алгебра Клиффорда
коллектор Финслера
Список координатных карт
исчисление Риччи
Индикатриса Тиссо , метод визуализации метрического тензора

Примечания

^ Точнее, подынтегральное выражение представляет собой обратную связь этого дифференциала с кривой.
^ В нескольких формулировках классических единых теорий поля метрическому тензору разрешалось быть несимметричным; однако антисимметричная часть такого тензора не играет никакой роли в описанных здесь контекстах, поэтому она не будет рассматриваться далее.
^ Обозначение с использованием квадратных скобок для обозначения базиса, в терминах которого вычисляются компоненты, не является универсальным. Обозначение, используемое здесь, смоделировано по образцу Уэллса (1980). Обычно такая явная зависимость от базиса полностью подавляется.
^ Додсон и Постон 1991, Глава VII §3.04
^ Вон 2007, §3.4.3
^ Терминологию «музыкальный изоморфизм» см. в Gallot, Hulin & Lafontaine (2004, стр. 75). См. также Lee (1997, стр. 27–29)
^ Штернберг 1983

Ссылки

Dodson, CTJ; Poston, T. (1991), Тензорная геометрия , Graduate Texts in Mathematics, т. 130 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-10514-2, ISBN 978-3-540-52018-4, МР 1223091
Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0.
Гаусс, Карл Фридрих (1827), Общие исследования кривых поверхностей, Нью-Йорк: Raven Press (опубликовано в 1965 году)перевод А. М. Хилтебейтеля и Дж. К. Морхеда; «Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas», Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), стр. 99–146.
Хокинг, SW ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press.
Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаума , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7.
Клайн, Моррис (1990), Математическая мысль от древности до современности, Том 3 , Oxford University Press.
Ли, Джон (1997), Римановы многообразия , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6.
Michor, Peter W. (2008), Темы дифференциальной геометрии , аспирантура по математике , т. 93, Провиденс: Американское математическое общество( появляться ).
Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
Риччи-Курбастро, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (1900), «Методы дифференциальных абсолютных вычислений и приложений», Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi : 10.1007/BF01454201, ISSN 1432-1807, S2CID 120009332
Стернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
Вон, Майкл Т. (2007), Введение в математическую физику (PDF) , Вайнхайм: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., doi : 10.1002/9783527618859, ISBN 978-3-527-40627-2, МР 2324500
Уэллс, Рэймонд (1980), Дифференциальный анализ комплексных многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag