В геометрии 16-ячейка — это правильный выпуклый 4-многогранник (четырёхмерный аналог платонова тела) с символом Шлефли {3,3,4}. Это один из шести правильных выпуклых 4-многогранников, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. [1] Его также называют C 16 , гексадекахорон , [2] или гексдекаэдроид [ sic ? ] . [3]
Это 4-мерный член бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-многогранниками , ортоплексами или гипероктаэдрами , которые аналогичны октаэдру в трех измерениях. Это многогранник Кокстера. [4] Двойственный многогранник — это тессеракт (4- куб ), с которым его можно объединить, образуя составную фигуру . Ячейки 16-ячейки двойственны 16 вершинам тессеракта.
Геометрия
16-клеточный является вторым в последовательности 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). [а]
Каждый из его 4-х последующих выпуклых правильных 4-многогранников может быть построен как выпуклая оболочка многогранника, состоящего из нескольких 16-ячеек: тессеракт с 16 вершинами как соединение двух 16-ячеек, 24-вершинный 24- клеточный соединение трех 16-ячеек, 120-вершинная 600-ячейка как соединение пятнадцати 16-ячеек и 600-вершинная 120-ячейка как соединение семидесяти пяти 16-ячеек. [б]
Координаты
16-ячейка представляет собой 4-мерный перекрестный многогранник , что означает, что его вершины лежат в противоположных парах на 4 осях декартовой системы координат (w, x, y, z).
Восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, кроме противоположных пар. Длина ребра равна √ 2 .
Координаты вершин образуют 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Квадраты в противоположных плоскостях, не имеющих общей оси (например, в плоскостях xy и wz ), полностью не пересекаются (они не пересекаются ни в каких вершинах). [с]
16-ячейка представляет собой ортонормированную основу для выбора 4-мерной системы отсчета, поскольку ее вершины точно определяют четыре ортогональные оси.
Состав
Символ Шлефли 16-ячеечной ячейки — {3,3,4}, что указывает на то, что ее ячейки представляют собой правильные тетраэдры {3,3}, а ее вершинная фигура — правильный октаэдр {3,4}. В каждой вершине сходятся 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 ребер. Его краевая фигура представляет собой квадрат. На каждом ребре сходятся 4 тетраэдра и 4 треугольника.
16-ячейка ограничена 16 ячейками , все из которых представляют собой правильные тетраэдры . [e] У него 32 треугольные грани , 24 ребра и 8 вершин . 24 ребра ограничивают 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих на больших кругах в 6 координатных плоскостях (3 пары полностью ортогональных [f] больших квадратов). В каждой вершине перпендикулярно пересекаются 3 больших квадрата. Шесть ребер встречаются в вершине так же, как шесть ребер встречаются в вершине канонической октаэдрической пирамиды . [d] 6 ортогональных центральных плоскостей 16-ячеистой ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует октаэдр с 3 ортогональными большими квадратами.
Ротации
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. [6] 16-ячеечная система представляет собой простую систему координат, в которой можно наблюдать четырехмерное вращение, поскольку у каждого из 6 больших квадратов 16-ячеечной клетки есть еще один полностью ортогональный большой квадрат (есть 3 пары полностью ортогональных квадратов). [c] Многие вращения 16-ячейки можно охарактеризовать углом поворота в одной из ее плоскостей большого квадрата (например, плоскости xy ) и другим углом поворота в полностью ортогональной плоскости большого квадрата ( плоскости wz ). [j] Полностью ортогональные большие квадраты имеют непересекающиеся вершины: 4 из 8 вершин 16-клеточной ячейки вращаются в одной плоскости, а остальные 4 вращаются независимо в полностью ортогональной плоскости. [г]
В 2-х или 3-х измерениях вращение характеризуется одной плоскостью вращения; такой вид вращения, происходящий в 4-мерном пространстве, называется простым вращением , при котором вращается только одна из двух полностью ортогональных плоскостей (угол поворота в другой плоскости равен 0). В 16-ячейке простое вращение в одной из 6 ортогональных плоскостей перемещает только 4 из 8 вершин; остальные 4 остаются фиксированными. (В приведенной выше простой анимации вращения все 8 вершин перемещаются, поскольку плоскость вращения не является одной из 6 ортогональных базисных плоскостей.)
При двойном повороте оба набора из 4 вершин движутся, но независимо: углы поворота могут быть разными в двух полностью ортогональных плоскостях. Если два угла совпадают, происходит максимально симметричное изоклиническое вращение . [q] В 16-ячейке изоклинический поворот на 90 градусов любой пары полностью ортогональных квадратных плоскостей переводит каждую квадратную плоскость в ее полностью ортогональную квадратную плоскость. [р]
Конструкции
Октаэдрическая дипирамида
Простейшая конструкция 16-ячеечного трехмерного перекрестного многогранника — октаэдра . Октаэдр имеет 3 перпендикулярные оси и 6 вершин в 3 противоположных парах (его многоугольник Петри — шестиугольник ). Добавьте еще одну пару вершин на четвертой оси, перпендикулярной всем трем другим осям. Соедините каждую новую вершину со всеми 6 исходными вершинами, добавив 12 новых ребер. Это поднимает две октаэдрические пирамиды на общем основании октаэдра, которое лежит в центральной гиперплоскости 16 ячеек. [10]
Стереографическая проекция шести ортогональных центральных квадратов 16-ячеечной ячейки на их большие круги. Каждая окружность разделена на 4 дуги-ребра в местах пересечения 3 окружностей, перпендикулярно пересекающихся. Обратите внимание, что в каждом круге есть один параллельный круг Клиффорда, который он не пересекает. Эти два круга проходят друг через друга, как соседние звенья цепи.
Октаэдр, с которого начинается построение, имеет три перпендикулярно пересекающихся квадрата (которые в шестиугольных проекциях выглядят как прямоугольники). Каждый квадрат пересекается с каждым другим квадратом в двух противоположных вершинах, причем в каждой вершине пересекаются два квадрата. Затем добавляются еще две точки в четвертом измерении (выше и ниже трехмерной гиперплоскости). Эти новые вершины соединяются со всеми вершинами октаэдра, создавая 12 новых ребер и еще три квадрата (которые выглядят с ребра как три диаметра шестиугольника в проекции) и еще три октаэдра. [час]
Создано и нечто беспрецедентное. Обратите внимание, что каждый квадрат больше не пересекается со всеми другими квадратами: он пересекается с четырьмя из них ( теперь три квадрата пересекаются в каждой вершине), но у каждого квадрата есть еще один квадрат, с которым у него нет общих вершин: это вообще не связан напрямую с этой площадью. Эти два отдельных перпендикулярных квадрата (их три пары) подобны противоположным ребрам тетраэдра : перпендикулярны, но непересекающиеся. Они лежат друг напротив друга (в некотором смысле параллельно) и не соприкасаются, но и проходят друг через друга, как два перпендикулярных звена цепи (но в отличие от звеньев цепи имеют общий центр). Они являются примером параллельных плоскостей Клиффорда , а 16-клеточный — простейший правильный многогранник, в котором они встречаются. Клиффордовский параллелизм [1] объектов более чем одного измерения (больше, чем просто кривые линии ) возникает здесь и встречается во всех последующих 4-мерных правильных многогранниках, где его можно рассматривать как определяющее соотношение между непересекающимися концентрическими правильными 4-многогранниками и соответствующие им части. Это может произойти между конгруэнтными (похожими) многогранниками двух или более измерений. [11] Например, как отмечалось выше, все последующие выпуклые правильные 4-многогранники представляют собой соединения нескольких 16-клеток; эти 16 ячеек представляют собой параллельные многогранники Клиффорда .
Тетраэдрические конструкции
16-ячеечная структура имеет две конструкции Витхоффа из правильных тетраэдров, правильную форму и чередующуюся форму, показанные здесь в виде сеток , вторая представлена тетраэдрическими ячейками двух чередующихся цветов. Альтернативная форма представляет собой конструкцию с более низкой симметрией из 16 ячеек, называемую демитессерактом .
Характеристика 5-клетки обычной 16-клетки представлена диаграммой Кокстера-Дынкина., который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. Это неправильная тетраэдрическая пирамида , основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Обычная 16-ячеечная структура подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 384 экземпляра характерной 5-ячеечной клетки, которые все встречаются в ее центре.
Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре обычный 16-клеточный). [v] Если правильная 16-ячейка имеет ребро единичного радиуса и длину ребра 𝒍 = , десять ребер ее характерной 5-клетки имеют длины , , вокруг ее внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁) , [u] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характеристический тетраэдр, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами правильного 16- клетка). Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , , , сначала от вершины с 16 ячейками до центра ребра с 16 ячейками, затем поворот на 90° к центру грани с 16 ячейками, затем поворот на 90° к центру грани с 16 ячейками. -клеточный тетраэдрический клеточный центр, затем поворачивающийся на 90° к 16-клеточному центру.
Спиральная конструкция
Четырехмерное кольцо из восьми тетраэдров, соединенных между собой гранями, изображенное в спирали Бурдейка – Кокстера , ограниченное тремя круговыми путями с восемью ребрами разных цветов, вырезанными и расположенными плоско в трехмерном пространстве. Он содержит ось изоклины (не показана), геодезическую окружность окружности 8𝝅, которая проходит через все четыре измерения и посещает все 8 вершин. [o] Два сине-сине-желтых треугольника на обоих концах разрезанного кольца представляют собой один и тот же объект.Чистая и ортогональная проекция
16-ячеечную структуру можно построить (тремя различными способами) из двух спиралей Бурдейка – Кокстера из восьми связанных тетраэдров, каждый из которых согнут в четвертом измерении в кольцо. [16] [17] Две круговые спирали вращаются вокруг друг друга, вкладываются друг в друга и проходят друг через друга, образуя связь Хопфа . 16 треугольных граней можно увидеть в 2D-сети внутри треугольной мозаики с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Фиолетовые края представляют собой многоугольник Петри из 16 ячеек. Восьмиклеточное кольцо тетраэдров содержит три октаграммы разного цвета, восьмиреберные круговые пути, дважды обвивающие 16-клетку в каждой третьей вершине октаграммы. Оранжевый и желтый края представляют собой две четырехгранные половинки одной октаграммы, которые соединяются своими концами, образуя ленту Мёбиуса .
Таким образом, 16-ячеечную структуру можно разложить на две непересекающиеся круговые цепочки по восемь тетраэдров каждая, с четырьмя ребрами в длину, одна из которых закручивается по спирали вправо (по часовой стрелке), а другая закручивается по спирали влево (против часовой стрелки). Левое и правое клеточные кольца подходят друг к другу, вложенные друг в друга и полностью заполняющие 16-клетку, хотя они имеют противоположную хиральность. Это разложение можно увидеть в конструкции дуоантипризмы 4-4 из 16 ячеек:или, символ Шлефли {2}⨂{2} или s{2}s{2}, симметрия [4,2 + ,4], порядок 64.
Три пути из восьми ребер (разных цветов) проходят по спирали вдоль каждого кольца из восьми ячеек, образуя углы 90 ° в каждой вершине. (В спирали Бурдейка – Кокстера до того, как она согнута в кольцо, углы на разных путях различаются, но не составляют 90 °.) Через каждую вершину проходят три пути (с тремя разными цветами и видимыми углами). Когда спираль сгибается в кольцо, отрезки каждого восьмиреберного пути (разной длины) соединяются своими концами, образуя ленту Мёбиуса длиной восемь ребер вдоль ее односторонней окружности 8 и шириной одного ребра. [p] Каждая из шести четырехгранных половин трех восьмигранных путей образует по четыре угла по 90°, но они не являются шестью ортогональными большими квадратами: это открытые квадраты, четырехгранные спирали на 360°, открытые концы которых антиподальные вершины. Четыре ребра исходят из четырех разных больших квадратов и взаимно ортогональны. Объединенные сквозными парами одинаковой киральности , шесть четырехреберных путей образуют три восьмиреберные петли Мёбиуса, спиральные октаграммы. Каждая октаграмма представляет собой одновременно многоугольник Петри из 16 ячеек и спиральную дорожку, вдоль которой все восемь вершин вращаются вместе, в одном из различных изоклинических вращений 16 ячеек. [ш]
Каждая спираль с восемью ребрами представляет собой косую октаграмму {8/3} , которая дважды обвивает 16-ячейку и посещает каждую вершину, прежде чем замкнуться в петлю. Его восемь ребер представляют собой круговой путь, близкий к краям изоклины , геодезической дуги, по которой вершины движутся во время изоклинического вращения. [q] Изоклины соединяют противоположные вершины граничных тетраэдрических ячеек, [o] которые также являются противоположными вершинами (антиподальными вершинами) 16-клетки, поэтому изоклины имеют √ 4 хорды. [aa] Изоклина дважды обвивает 16-ячейку (720°), как дважды обвиваются ребра октаграммы {8/3} , проходя вдоль каждого из √ 2 ребер один раз, [y] и вдоль каждого из √ 4 ортогональные оси 16-ячейки дважды. [z] Изоклина образует окружность длиной 8. [п]
Кольцо из восьми ячеек является хиральным : существует правая форма, которая закручивается по спирали по часовой стрелке, и левая форма, которая закручивается по спирали против часовой стрелки. 16-ячейка содержит по одному каждому из них, поэтому она также содержит левую и правую изоклины; изоклина — это круговая ось, вокруг которой закручивается кольцо из восьми ячеек. Каждая изоклина посещает все восемь вершин 16-ячейки. [объявление] Каждое кольцо из восьми ячеек содержит половину из 16 ячеек, но все 8 вершин; два кольца имеют общие вершины, поскольку они вложены друг в друга и подходят друг к другу. Они также имеют общие 24 ребра, хотя левая и правая спирали октаграмм представляют собой разные пути с восемью ребрами. [аэ]
Поскольку существует три пары полностью ортогональных больших квадратов, [c] существует три конгруэнтных способа составить 16-клеточное кольцо из двух восьмиклеточных колец. 16-ячеечная структура содержит три левые-правые пары восьмиклеточных колец в разных ориентациях, причем каждое клеточное кольцо содержит свою осевую изоклину. [w] Каждая левая-правая пара изоклин является следом пары левых-правых различных изоклинических вращений: вращений в одной паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей вращения. [g] В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть изоклин октаграмм, которые пересекаются в вершине и имеют общую хорду оси из 16 ячеек. [аф]
В качестве конфигурации
Эта матрица конфигурации представляет собой 16 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всей 16-ячейке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.
Мозаика
Четырехмерное евклидово пространство можно замостить обычными 16 ячейками. Это называется сотами из 16 ячеек и имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Следовательно, 16-ячеечная структура имеет двугранный угол 120°. [21] Каждая 16-ячейка имеет 16 соседей, с которыми она делит тетраэдр, 24 соседа, с которыми она разделяет только ребро, и 72 соседа, с которыми она разделяет только одну точку. Двадцать четыре 16-ячейки встречаются в любой вершине этой мозаики.
Проекционные оболочки 16-ячеечных. (Каждая ячейка рисуется гранями разного цвета, перевернутые ячейки не рисуются)
Параллельная проекция 16-ячеечной ячейки в трехмерное пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на вписанные тетраэдры внутри куба, что соответствует двум возможным способам вписания правильного тетраэдра в куб. Каждый из этих тетраэдров окружают 4 других (неправильных) тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 окружающих тетраэдрических ячеек, заполняя пространство между вписанным тетраэдром и кубом. Остальные 6 ячеек проецируются на квадратные грани куба. В этой проекции 16-ячейки все ее ребра лежат на гранях кубической оболочки.
Перспективная проекция 16-клеточной ячейки в 3-мерное пространство имеет триакис-тетраэдрическую оболочку. Расположение ячеек внутри этой оболочки аналогично расположению параллельной проекции «сначала ячейка».
Первичная параллельная проекция 16-ячеечного пространства в 3-мерное пространство имеет октаэдрическую оболочку . Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезав его по координатным плоскостям. Каждый из этих объемов представляет собой изображение пары ячеек в 16-клеточном пространстве. Ближайшая к зрителю вершина 16-ячейки проецируется на центр октаэдра.
Наконец, параллельная проекция, обращенная к ребру, имеет укороченную октаэдрическую оболочку, а параллельная проекция, обращенная к грани, имеет шестиугольную бипирамидальную оболочку.
4-сферная диаграмма Венна
Трехмерная проекция 16 ячеек и 4 пересекающихся сфер ( диаграмма Венна из 4 множеств) топологически эквивалентны.
Существует форма более низкой симметрии 16-ячеечной ячейки , называемая демитессерактом или 4-демикубом , членом семейства демигиперкубов и представленная h{4,3,3} и диаграммами Кокстера.или. Его можно нарисовать двухцветным с чередующимися тетраэдрическими ячейками.
Его также можно рассматривать в форме более низкой симметрии как тетраэдрическую антипризму , построенную из двух параллельных тетраэдров в двойной конфигурации, соединенных 8 (возможно, удлиненными) тетраэдрами. Это представлено s{2,4,3} и диаграммой Кокстера:.
Его также можно рассматривать как курносый 4- ортотоп , представленный s{2 1,1,1 }, и диаграмму Кокстера:или.
Правильный комплексный многоугольник, 2 {4} 4 ,, in имеет реальное представление в виде 16-клетки в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-ребрами, только половиной ребер 16-клетки. Его симметрия равна 4 [4] 2 , порядок 32. [24]
^ Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше контента [5] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 16-ячеечный является 4-многогранником с 8 точками: вторым в возрастающей последовательности, которая проходит от 4-точечного многогранника с 5 точками до 4-многогранника с 600 точками.
^ Есть 2 и только 2 16-клетки, вписанные в 8-клетку (тессеракт), 3 и только 3 16-клетки, вписанные в 24-клетку, 75 отдельных 16-клеток (но только 15 непересекающихся 16-клеток), вписанных в 600-ячеечная и 675 отдельных 16-клеточных (но только 75 непересекающихся 16-клеточных), вписанных в 120-ячеечную.
^ abcdefg В 4-мерном пространстве мы можем построить 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку. Без ограничения общности мы можем считать их осями и ортогональными центральными плоскостями декартовой системы координат (w, x, y, z). В 4-х измерениях у нас есть те же 3 ортогональные плоскости (xy, xz, yz), что и в 3-х измерениях, а также еще 3 (wx, wy, wz). Каждая из шести ортогональных плоскостей имеет общую ось с четырьмя другими и противоположна или полностью ортогональна только одной из остальных: единственной, с которой она не имеет общей оси. Таким образом, имеется 3 пары полностью ортогональных плоскостей: xy и wz пересекаются только в начале координат; xz и wy пересекаются только в начале координат; yz и wx пересекаются только в начале координат.
^ abc Каждая вершина в 16-ячейке является вершиной октаэдрической пирамиды , основанием которой является октаэдр, образованный шестью другими вершинами, с которыми вершина соединена ребрами. 16-ячеистую структуру можно разобрать (четырьмя различными способами) на две октаэдрические пирамиды, разрезав ее пополам через одну из четырех октаэдрических центральных гиперплоскостей. Если смотреть изнутри на изогнутый трехмерный объем его граничной поверхности из 16 связанных гранями тетраэдров, вершинная фигура 16-ячеечной структуры представляет собой октаэдр. В четырех измерениях вершинный октаэдр на самом деле представляет собой октаэдрическую пирамиду. Вершина октаэдрической пирамиды (вершина, где встречаются шесть ребер) на самом деле не находится в центре октаэдра: она смещена радиально наружу в четвертом измерении, за пределы гиперплоскости, определяемой шестью вершинами октаэдра. 6 ребер вокруг вершины образуют ортогональный трехосный крест в трех измерениях (и в трехмерной проекции четырехмерной пирамиды ), но три линии фактически согнуты на 90 градусов в четвертом измерении, где они встречаются в вершине. .
^ Граничная поверхность 16-ячейки представляет собой конечное трехмерное пространство, состоящее из 16 тетраэдров, расположенных лицом к лицу (четыре вокруг одного). Это замкнутое, сильно искривленное (неевклидово) трехмерное пространство, внутри которого мы можем двигаться прямо через четыре тетраэдра в любом направлении и вернуться обратно в тот тетраэдр, с которого мы начали. Мы можем визуализировать перемещение внутри этого тетраэдра в джунглях , взбираясь из одного тетраэдра в другой по его 24 стойкам (его краям) и никогда не имея возможности выбраться (или увидеть) из 16 тетраэдров, независимо от того, в каком направлении мы идем (или смотреть). Мы всегда находимся на поверхности 16-клетки (или внутри нее), но никогда внутри самой 16-клетки (ни вне ее). Мы видим, что 6 ребер вокруг каждой вершины расходятся симметрично в трех измерениях и образуют ортогональный трехосный крест, точно так же, как это делают радиусы октаэдра (поэтому мы говорим, что вершинная фигура 16-ячейки - это октаэдр). [д]
^ abc Две плоские плоскости A и B евклидова четырехмерного пространства называются полностью ортогональными тогда и только тогда, когда каждая прямая в A ортогональна каждой прямой в B. В этом случае плоскости A и B пересекаются в одной точке O, так что если линия в A пересекается с линией в B, они пересекаются в точке O. A и B перпендикулярны и параллельны Клиффорду. [с]
^ abcd Полностью ортогональные большие квадраты не пересекаются и вращаются независимо, потому что большие круги, на которых лежат их вершины, параллельны Клиффорду . [l] Расстояние между ними составляет √ 2 в каждой паре ближайших вершин (а в 16-клетке все пары, кроме антиподальных, являются ближайшими). Два квадрата вообще не могут пересекаться, поскольку лежат в плоскостях, пересекающихся только в одной точке: центре 16-клетки. [c] Поскольку они перпендикулярны и имеют общий центр, два квадрата, очевидно, не параллельны и разделены обычным способом параллельных квадратов в трех измерениях; скорее они соединены как соседние квадратные звенья в цепи, каждое проходит через другое, не пересекаясь ни в каких точках, образуя звено Хопфа .
^ ab Три больших квадрата сходятся в каждой вершине (и в противоположной ей вершине) 16-ячейки. У каждого из них есть отдельный полностью ортогональный квадрат. [f] Таким образом, есть три больших квадрата, полностью ортогональных каждой вершине и противоположной ей вершине (каждой оси). Они образуют октаэдр (центральную гиперплоскость). Каждая осевая линия в 16-ячейке полностью ортогональна гиперплоскости центрального октаэдра, так же как каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата. [c] Ось и октаэдр пересекаются только в одной точке (центр 16-ячейки), так как каждая пара полностью ортогональных больших квадратов пересекается только в одной точке (центр 16-ячейки). Каждый центральный октаэдр также является октаэдрической фигурой двух из восьми вершин: двух на его полностью ортогональной оси.
^ Три не полностью ортогональных больших квадрата, которые пересекаются в каждой вершине 16-ячейки, образуют октаэдрическую вершинную фигуру вершины . [d] Любые два из них вместе с полностью ортогональным квадратом третьего также образуют октаэдр: центральную октаэдрическую гиперплоскость. [h] В 16-ячейке каждая октаэдрическая вершина также является центральной октаэдрической гиперплоскостью.
^ Каждая вершина большого квадрата удалена на √ 2 от двух других вершин квадрата и на √ 4 от противоположной вершины. Остальные четыре вершины 16-клетки (также удаленные на √ 2 ) являются вершинами полностью ортогонального квадрата квадрата. [g] Каждая вершина из 16 ячеек представляет собой вершину трех ортогональных больших квадратов, которые в ней пересекаются. У каждого из них есть отдельный полностью ортогональный квадрат. Таким образом, есть три больших квадрата, полностью ортогональных каждой вершине: квадраты, частью которых вершина не является. [я]
^ abcd Каждая большая квадратная плоскость изоклинична (параллель Клиффорда) пяти другим квадратным плоскостям, но полностью ортогональна [f] только одной из них. Каждая пара полностью ортогональных плоскостей имеет параллельные большие круги Клиффорда, но не все параллельные большие круги Клиффорда ортогональны. Существует еще один способ, по которому полностью ортогональные плоскости входят в выдающуюся категорию параллельных плоскостей Клиффорда: они не являются киральными . Пара изоклинических (параллельных Клиффорда) плоскостей является либо левой парой , либо правой парой , если они не разделены двумя углами 90 ° (полностью ортогональные плоскости) или 0 ° (совпадающие плоскости). [20] Большинство изоклинических плоскостей соединяются только за счет левого изоклинического вращения или правого изоклинического вращения соответственно. Полностью ортогональные плоскости особенные: пара плоскостей представляет собой одновременно левую и правую пару, поэтому либо левое, либо правое изоклиническое вращение объединит их. Поскольку плоскости, разделенные изоклиническим поворотом на 90 °, находятся на расстоянии 180 ° друг от друга, плоскость слева и плоскость справа являются одной и той же плоскостью. [р]
^ abc Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, параллельные в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. [7] Двойная спираль является примером клиффордовского параллелизма в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда представляют собой большие геодезические круги на 3-сфере . [8] В 16-ячейке соответствующие вершины полностью ортогональных квадратов большого круга находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, поэтому эти квадраты представляют собой параллельные многоугольники Клиффорда. [k] Обратите внимание, что только вершины больших квадратов (точки большого круга) находятся на расстоянии √ 2 друг от друга; точки на краях квадратов (на хордах круга) расположены ближе друг к другу.
^ ab Противоположные вершины 4-многогранника единичного радиуса соответствуют противоположным вершинам 8-ячеечного гиперкуба (тессеракта). Длинная диагональ этого радиально равностороннего 4-куба равна √ 4 . При изоклиническом вращении на 90° каждая вершина 16-ячейки смещается к своей антиподальной вершине, путешествуя по винтовой геодезической дуге длиной 𝝅 (180°), к вершине √ 4 по длинному диаметру единичного радиуса 4. -многогранник (16-ячеечный или тессеракт), такое же полное смещение, как если бы он был смещен √ 1 четыре раза, путешествуя по пути из четырех последовательных ортогональных ребер тессеракта.
^ Существует шесть различных путей с двумя ребрами, соединяющих пару противоположных вершин по краям большого квадрата. Левое изоклиническое вращение проходит по диагонали между тремя из них, а правое изоклиническое вращение проходит по диагонали между тремя другими. Эти диагонали представляют собой прямые линии (геодезические), соединяющие противоположные вершины граничных тетраэдрических ячеек в левом восьмиклеточном кольце и правом восьмиклеточном кольце соответственно.
^ abc Последовательные вершины, которые посещает изоклина, находятся на расстоянии двух ребер друг от друга вдоль большого круга в соседних ячейках. В 16-ячейке они являются противоположными вершинами двух граничных тетраэдрических ячеек. Две вершины соединены тремя двуреберными путями большого круга вдоль ребер тетраэдров, но изоклина - это кратчайший путь между ними: геодезический путь. На дуге изоклины (прямой линии, проходящей через трехмерное пространство) две вершины находятся на расстоянии √ 16/3 ≈ 2,309 друг от друга по сравнению с путем вдоль двух ребер √ 2 ≈ 2,828. Вершины находятся на расстоянии всего √ 4 = 2,0 друг от друга в 4-мерном пространстве, потому что они являются антиподальными вершинами. [аа]
^ abc Изоклина — это круг особого вида, соответствующий паре кругов Вильярсо, связанных в петлю Мёбиуса . Он проходит через четыре измерения вместо двух. Все обычные круги имеют длину окружности 2𝝅, но изоклина из 16 ячеек представляет собой круг с длиной окружности 8𝝅 (более восьми хорд 180°). Изоклина — это геодезический круг, который не лежит в центральной плоскости, но во избежание путаницы мы всегда называем ее изоклиной и сохраняем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости.
^ abc При изоклиническом вращении все 6 ортогональных плоскостей смещаются сразу в двух ортогональных направлениях: они поворачиваются на один и тот же угол и одновременно наклоняются вбок на тот же угол. Изоклиническое смещение (также известное как смещение Клиффорда ) представляет собой четырехмерную диагональ. Точки смещаются на одинаковое расстояние одновременно в четырех ортогональных направлениях и смещаются на общее пифагорово расстояние , равное квадратному корню из четырехкратного квадрата этого расстояния. Все вершины правильного 4-многогранника смещаются в вершину, расположенную на расстоянии не менее двух ребер. Например, когда 16-ячейка с единичным радиусом изоклинически поворачивается на 90 ° в инвариантной плоскости большого квадрата, она также поворачивается на 90 ° в полностью ортогональной инвариантной плоскости большого квадрата. [c] Плоскость большого квадрата также наклоняется на 90°, занимая полностью ортогональную плоскость. (В соответствии с изоклинической симметрией каждый большой квадрат вращается на 90 ° и наклоняется на 90 ° в сторону в свою полностью ортогональную плоскость.) Каждая вершина (в каждом большом квадрате) перемещается к своей противоположной вершине на расстояние √ 1 в каждом из четырех ортогональных направлений. , общее расстояние √ 4 . [m] Исходная и смещенная вершины находятся на расстоянии двух ребер друг от друга на три [n] разных пути вдоль двух ребер большого квадрата. Но изоклина (геодезическая дуга, по которой вершина следует во время изоклинического вращения) не проходит вдоль ребер: она проходит между этими разными путями ребер по диагонали, по геодезической (кратчайшей дуге) между исходной и смещенной вершинами. [o] Эта изоклиническая геодезическая дуга не является сегментом обычного большого круга; он не лежит в плоскости какого-либо большого квадрата. Это винтовая дуга 180°, изгибающаяся по окружности сразу в двух совершенно ортогональных плоскостях. Этот круг Мёбиуса не лежит ни в одной плоскости и не пересекает какие-либо вершины между исходной и смещенной вершиной. [п]
^ abc Изоклиническое вращение на 90 градусов двух полностью ортогональных плоскостей приближает их друг к другу. При таком вращении жесткой 16-ячеечной клетки все 6 ортогональных плоскостей поворачиваются на 90 градусов, а также наклоняются вбок на 90 градусов к своей полностью ортогональной (параллели Клиффорда) [l] плоскости. [9] Соответствующие вершины двух полностью ортогональных больших квадратов находятся на расстоянии √ 4 (180 °) друг от друга; большие квадраты (параллельные многогранники Клиффорда) находятся на расстоянии √ 4 (180 °) друг от друга; но две полностью ортогональные плоскости находятся на расстоянии 90 ° друг от друга в двух ортогональных углах, которые их разделяют. Если изоклиническое вращение продолжится еще на 90°, каждая вершина завершит поворот на 360°, и каждый большой квадрат вернется в свою исходную плоскость, но в другой ориентации (поменялись оси): он был перевернут «вверх тормашками» на поверхности 16-ячеечный (который теперь «наизнанку»). Продолжение второго изоклинического поворота на 360° (через четыре изоклинических шага 90° на 90°, поворот на 720°) возвращает все в исходное место и ориентацию.
^ Ортосхема — это киральный неправильный симплекс с прямоугольными гранями, который характерен для некоторого многогранника, если он точно заполняет этот многогранник отражениями себя в своих собственных гранях (его зеркальных стенках ). Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на экземпляры его характерной ортосхемы , окружающей его центр. Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Кокстера-Дынкина, что и правильный многогранник без образующего точечного кольца.
^ Правильный многогранник размерности k имеет характеристическую k -ортосхему, а также характеристическую ( k -1)-ортосхему. Правильный 4-многогранник имеет характерную 5-ячейку (4-ортосхему), на которую он подразделяется своими (3-мерными) гиперплоскостями симметрии, а также характерный тетраэдр (3-ортосхема), на который подразделяется его поверхность (2-мерные) плоскости симметрии ячеек. После разделения его (3-мерной) поверхности на характеристические тетраэдры, окружающие центр каждой ячейки, его (4-мерную) внутреннюю часть можно разделить на характерные 5-ячейки путем добавления радиусов, соединяющих вершины характеристических тетраэдров поверхности с центром 4-мерного многогранника. [12] Образованные таким образом внутренние тетраэдры и треугольники также будут ортосхемами.
^ ab (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
^ Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, грань радиус центра и радиус центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну вершину правильного 4-многогранника, один центр ребра правильного 4-многогранника, один центр грани правильного 4-многогранника, один центр ячейки правильного 4-многогранника и центр правильного 4-многогранника. Эти пять вершин (именно в таком порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (что делает три поворота под прямым углом), что является характерной чертой 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять различных граней 3-ортосхемы.
^ ab 16-ячеечная структура может быть построена из двух непересекающихся восьмиячеечных колец тремя различными способами; он имеет три ориентации своей пары колец. Каждая ориентация «содержит» отдельную пару изоклинических вращений слева направо, а также пару полностью ортогональных больших квадратов (параллельные волокна Клиффорда), поэтому каждая ориентация представляет собой дискретное расслоение 16-клеток. Каждое восьмиклеточное кольцо содержит три осевые октаграммы, которые имеют разную ориентацию (они обмениваются ролями) в трех дискретных расслоениях и шесть различных изоклинических вращений (три левых и три правых) через клеточные кольца. Три октаграммы (разных цветов) можно увидеть на иллюстрации одного клеточного кольца: одна в роли многоугольника Петри, одна в качестве правой изоклины и одна в качестве левой изоклины. Поскольку каждая октаграмма играет три роли, в 16-ячейке имеется ровно шесть различных изоклин, а не 18.
^ Все пять видов представляют собой одну и ту же ортогональную проекцию 16-ячеечного цилиндра на одну и ту же плоскость (круглое сечение кольцевого цилиндра с восемью ячейками), если смотреть вдоль центральной оси разрезанного кольцевого цилиндра, изображенного выше, с одного конца цилиндр. Единственная разница состоит в том, какие √ 2 ребра и √ 4 хорды изоклины опущены для фокуса. Разные цвета √ 2 ребер кажутся разной длины, поскольку они наклонены к зрителю под разными углами. Вершины пронумерованы от 1 (сверху) до 8 в порядке против часовой стрелки.
^ abcd Существует путь между любыми двумя соседними вершинами изоклины вдоль четырех взаимно ортогональных √ 2 ребер, совершающий три поворота на 90 ° влево или три поворота вправо на 90 ° и образующий, таким образом, открытый квадрат (квадратную спираль). Этот обходной путь характерен для изоклины, потому что винтовая дуга над хордой √ 4 изгибается вдоль нее, пропуская три вершины на ней. Эти пути с четырьмя ребрами можно увидеть в правильной октаграмме {8/3} , в которой восемь √ 2 ребер дважды обвивают 16-ячейку под своими невидимыми сегментами дуги изоклины 90°. Обратите внимание, что конечные точки сегментов пути с четырьмя ребрами являются противоположными вершинами (соединенными хордой √ 4 ).
^ ab Каждая изоклина имеет восемь √ 2 ребер своего реберного пути и восемь √ 4 хорд, которые соединяют каждую третью вершину гексаграммы {8/3} , вершины, которые имеют скрученный путь из четырех взаимно ортогональных √ 2 ребер, соединяющих их. . Изоклина плавно изгибается по спирали, по хорде √ 4 и вдоль четырех ортогональных √ 2 ребер реберного пути, но на самом деле она не касается трех вершин этого четырехреберного пути, где она делает резкий поворот вправо. угловые повороты. [y] Каждое ребро √ 2 является ребром большого квадрата, полностью ортогонального другому большому квадрату, в котором хорда √ 4 является диагональю.
^ abc Последовательные вершины, которые посещает изоклина, находятся на расстоянии √ 4 друг от друга в 4-мерном пространстве, поскольку они являются антиподальными вершинами. [м] Хорды изоклины √ 4 можно увидеть в октаграмме 4{2} , проходящей прямо через центр 16-ячейки под их невидимыми дугами изоклины в 180°. Каждая ортогональная ось используется дважды как хорда на каждой 8-хордовой изоклине. Два варианта использования каждой оси имеют разные (но конгруэнтные) дуги изоклины 180 °: каждая дуга 180 ° представляет собой винтовую полукруговую траекторию, которая вьется вдоль уникальной траектории с четырьмя ребрами ребер гексаграммы {8/3} . [y] Два полукруга имеют одинаковую хиральность (они оба закручиваются либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки), поэтому изоклину можно построить, вложив две спирали полукруга вместе, чтобы сформировать круговую двойную спираль , и соединив открытые концы два полукруга вместе образуют ленту Мёбиуса , «единый край» которой проходит через все восемь вершин. Две дуги полукруга полностью ортогональны (все соответствующие точки находятся на расстоянии 180° друг от друга), но их хорды совпадают (одна и та же ось √ 4 ).
^ ab Другой пример левой и правой изоклин вращения, посещающих один и тот же набор вершин, см. в характерном изоклиническом вращении 5-ячейки . Хотя в этих двух особых случаях левая и правая изоклины одного и того же вращения посещают один и тот же набор вершин, они все равно выбирают совершенно разные траектории вращения, поскольку посещают одни и те же вершины в разных последовательностях.
^ ab За исключением 5-ячеечной и 16-ячеечной, [ab] пара левых и правых окружностей изоклин имеют непересекающиеся вершины: левая и правая спирали изоклин представляют собой непересекающиеся параллели, но вращаются в противоположных направлениях, образуя особый вид двойных спираль, которая не может возникнуть в трех измерениях (где должны пересекаться вращающиеся в противоположных направлениях спирали одного и того же радиуса).
^ ab В 16-ячейке каждая отдельная изоклина проходит через все 8 вершин: целое расслоение двух полностью ортогональных больших квадратов. [k] 5-клеточный и 16-клеточный — единственные правильные 4-многогранники, в которых каждое дискретное расслоение имеет только один слой изоклины. [ак]
^ Левая и правая изоклины пересекаются в каждой вершине; но что касается другого набора пар вершин, которые находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, их можно считать клиффордовскими параллельными. В некотором смысле они также полностью ортогональны. [к]
^ В целом это нетипично для изоклинических вращений; обычно левая и правая изоклины не встречаются в одной и той же вершине: существует два непересекающихся набора вершин, достижимых только путем вращения влево или вправо соответственно. [ac] Левая и правая изоклины 16-клеточной ячейки образуют особую двойную спираль: необычную не только потому, что она круглая, но и потому, что ее разные левая и правая спирали закручиваются друг вокруг друга через один и тот же набор противоположных вершин, [объявление ] не через два непересекающихся подмножества антиподальных вершин, как это происходит с парами изоклин в большинстве изоклинических вращений, встречающихся в природе. [ab] Изоклинические вращения в полностью ортогональных инвариантных плоскостях являются особыми. [k] Чтобы понять, как и почему они особенные, визуализируйте две полностью ортогональные инвариантные плоскости вращения, каждая из которых вращается на некоторый угол вращения и наклоняется в сторону на тот же угол вращения в совершенно другую плоскость. [q] Только когда угол поворота равен 90 °, та другая плоскость, в которой приземляется инвариантная плоскость наклона, сама будет полностью ортогональной инвариантной плоскостью. Целевой плоскостью вращения является полностью ортогональная инвариантная плоскость. Изоклиническое вращение на 90° — единственное вращение, при котором инвариантные плоскости полностью ортогональны друг другу. [r] Эта взаимность является причиной того, что и левое, и правое вращения идут в одно и то же место.
Цитаты
^ Коксетер 1973, с. 141, § 7-х. Исторические замечания.
^ Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр.249
^ Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
^ Коксетер 1973, стр. 120=121, § 7.2. См . рисунок Рис. 7.2 B.
^ Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
^ Ким и Роте 2016, с. 6, § 5. Четырехмерные вращения.
^ Kim & Rote 2016, стр. 7–10, § 6. Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве.
^ Kim & Rote 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
^ Коксетер 1973, с. 121, § 7.21. См. иллюстрацию Рис. 7.2 B : « представляет собой четырехмерную дипирамиду, основанную на (две ее вершины расположены в противоположных направлениях вдоль четвертого измерения)».
^ Тиррелл и Семпл 1971.
^ Коксетер 1973, с. 130, § 7.6; «симплициальное подразделение».
Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 4
Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
.
, имеет те же вершины, что и 16-ячеечный. Он имеет 8 вершин и 8 3-ребер. [22] [23]
, in имеет реальное представление в виде 16-клетки в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-ребрами, только половиной ребер 16-клетки. Его симметрия равна 4 [4] 2 , порядок 32. [24]
