4-многогранник

Четырехмерный геометрический объект с плоскими сторонами.

В геометрии 4-многогранник ( иногда также называемый полихороном , ^[1] поликлеткой или многогранником ) является четырехмерным многогранником . ^{[2] [3]} Это связная и замкнутая фигура, состоящая из многогранных элементов меньшей размерности: вершин , ребер , граней ( многоугольников ) и ячеек ( многогранников ). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам. 4-многогранники были открыты швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. ^[4]

Двумерным аналогом 4-многогранника является многоугольник , а трёхмерным аналогом — многогранник .

Топологически 4-многогранники тесно связаны с однородными сотами , такими как кубические соты , которые замощают 3-мерное пространство; аналогично трехмерный куб связан с бесконечной двумерной квадратной мозаикой . Выпуклые 4-многогранники можно разрезать и развернуть как сети в 3-мерном пространстве.

Определение

4-многогранник – это замкнутая четырехмерная фигура. Он состоит из вершин (угловых точек), ребер , граней и ячеек . Ячейка — это трехмерный аналог грани и, следовательно, многогранник . Каждая грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как каждое ребро многогранника соединяет только две грани. Как и любой многогранник, элементы 4-многогранника не могут быть разделены на два или более множества, которые также являются 4-многогранниками, т. е. он не является составным.

Геометрия

Выпуклые правильные 4-многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел . Самый известный четырехмерный многогранник — это тессеракт или гиперкуб, четырехмерный аналог куба.

Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для одного и того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше контента ^[5] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку.

Визуализация

4-многогранники нельзя увидеть в трехмерном пространстве из-за их дополнительного измерения. Для их визуализации используется несколько методов.

Ортогональная проекция

Ортогональные проекции можно использовать для отображения различных ориентаций симметрии 4-многогранника. Их можно нарисовать в 2D в виде графов вершин-ребер и показать в 3D с твердыми гранями в виде видимых проективных оболочек .

Перспективная проекция

Точно так же, как трехмерную форму можно спроецировать на плоский лист, четырехмерную форму можно спроецировать в трехмерное пространство или даже на плоский лист. Одной из распространенных проекций является диаграмма Шлегеля , которая использует стереографическую проекцию точек на поверхности трехмерной сферы в три измерения, соединенных прямыми краями, гранями и ячейками, нарисованными в трехмерном пространстве.

Секционирование

Точно так же, как срез многогранника показывает разрезанную поверхность, так и срез 4-мерного многогранника показывает разрезную «гиперповерхность» в трех измерениях. Последовательность таких разделов можно использовать для лучшего понимания общей формы. Дополнительное измерение можно приравнять ко времени, чтобы создать плавную анимацию этих поперечных сечений.

Сети

Сеть 4-многогранника состоит из многогранных ячеек , соединенных своими гранями и занимающих одно и то же трехмерное пространство, так же, как многогранные грани сети многогранника соединены своими ребрами и все занимают одну и ту же плоскость . .

Топологические характеристики

Тессеракт как диаграмма Шлегеля .

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[6]

Значение характеристики Эйлера , используемой для характеристики многогранников, не дает полезного обобщения на более высокие измерения и равно нулю для всех 4-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[6]

Аналогичным образом, понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных 4-многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[6]

Классификация

Критерии

Как и все многогранники, 4-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 4-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает сама себя и отрезок, соединяющий любые две точки 4-многогранника, содержится в 4-многограннике или его внутренней части; в противном случае оно невыпуклое . Самопересекающиеся 4-многогранники также известны как звездчатые 4-многогранники по аналогии со звездчатыми формами невыпуклых звездчатых многоугольников и многогранников Кеплера-Пуансо .
• 4-многогранник является правильным , если он транзитивен по своим флагам . Это означает, что все его ячейки представляют собой конгруэнтные правильные многогранники , а фигуры его вершин конгруэнтны и принадлежат к другому виду правильных многогранников.
• Выпуклый 4-многогранник является полуправильным, если он имеет группу симметрии , при которой все вершины эквивалентны ( вершинно-транзитивны ), а его ячейки являются правильными многогранниками . Клетки могут быть двух или более типов при условии, что они имеют одинаковую поверхность. Есть только 3 случая, выявленные Торольдом Госсетом в 1900 году: выпрямленный 5-клеточный , выпрямленный 600-клеточный и курносый 24-клеточный .
• 4-многогранник является однородным, если он имеет группу симметрии , при которой все вершины эквивалентны, а его ячейки представляют собой однородные многогранники . Грани однородного 4-многогранника должны быть правильными .
• 4-многогранник называется чешуйчатым , если он вершинно-транзитивен и имеет все ребра одинаковой длины. Это позволяет использовать неоднородные ячейки, такие как выпуклые тела Джонсона с правильной гранью .
• Правильный 4-многогранник, который также является выпуклым , называется выпуклым правильным 4-многогранником .
• 4-многогранник называется призматическим, если он является декартовым произведением двух или более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-многогранник является однородным, если его факторы однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение двух квадратов или куба и отрезка прямой ), но рассматривается отдельно, поскольку у него есть симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов .
• Мозаика или соты трехмерного пространства — это разделение трехмерного евклидова пространства на повторяющуюся сетку многогранных ячеек. Такие мозаики или мозаики бесконечны, не ограничивают «4D» объем и являются примерами бесконечных 4-многогранников. Равномерное замощение трехмерного пространства — это замощение, вершины которого конгруэнтны и связаны пространственной группой , а ячейки — однородные многогранники .

Классы

Ниже перечислены различные категории 4-многогранников, классифицированные в соответствии с приведенными выше критериями:

Усеченный 120-клеточный является одним из 47 выпуклых непризматических однородных 4-многогранников.

Равномерный 4-многогранник ( вершинно-транзитивный ):

• Выпуклые однородные 4-многогранники (64 плюс два бесконечных семейства)
  • 47 непризматических выпуклых однородных 4-многогранников , в том числе:
    • 6 Выпуклый правильный 4-многогранник
  • Призматические однородные 4-многогранники :
    • {} × {p,q}: ​​18 многогранных гиперпризм (включая кубическую гиперпризму, правильный гиперкуб )
    • Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
    • {p} × {q}: дуопризмы (бесконечное семейство)
• Невыпуклые однородные 4-многогранники (10 + неизвестно)

  

  Большой звёздчатый 120-ячеечный — самый крупный из 10 правильных звёздных 4-многогранников, имеющий 600 вершин.

  • 10 (правильных) многогранников Шлефли-Гесса
  • 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многогранниках.
  • Неизвестное общее количество невыпуклых однородных 4-многогранников: Норман Джонсон и другие сотрудники выявили 2189 известных случаев (выпуклых и звездчатых, исключая бесконечные семейства), все они построены с помощью вершинных фигур с помощью программного обеспечения Stella4D . ^[7]

Другие выпуклые 4-многогранники :

• Многогранная пирамида
• Многогранная бипирамида
• Многогранная призма

Правильные кубические соты — единственный бесконечный правильный 4-мерный многогранник в евклидовом 3-мерном пространстве.

Бесконечные однородные 4-многогранники евклидова 3-пространства (равномерные мозаики выпуклых однородных ячеек)

• 28 выпуклых однородных сот : однородные выпуклые многогранные мозаики, в том числе:
  • 1 обычная мозаика, кубические соты : {4,3,4}

Бесконечные однородные 4-многогранники гиперболического 3-пространства (равномерные мозаики выпуклых однородных ячеек)

• 76 Витоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве , в том числе:
  • 4 регулярных мозаики компактного гиперболического трехмерного пространства : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойной однородный 4-многогранник ( клеточно-транзитивный ):

• 41 уникальный двояковыпуклый однородный 4-многогранник
• 17 уникальных двояковыпуклых однородных многогранных призм
• бесконечное семейство двояковыпуклых однородных дуопризм (неправильных тетраэдрических ячеек)
• 27 уникальных выпуклых сот двойной формы, в том числе:
  • Ромбические додекаэдрические соты
  • Дисфеноидные тетраэдрические соты

Другие:

• Периодические соты со структурой Вейра – Фелана , заполняющие пространство, с нерегулярными ячейками.

11-ячейка — это абстрактный правильный 4-многогранник, существующий в вещественной проективной плоскости , его можно увидеть, представив его 11 полуикосаэдрических вершин и ячеек по индексу и цвету.

Абстрактные правильные 4-многогранники :

• 11-ячеечный
• 57-ячеечный

В эти категории входят только 4-многогранники, обладающие высокой степенью симметрии. Возможны многие другие 4-многогранники, но они не изучены так подробно, как включенные в эти категории.

Смотрите также

• Правильный 4-многогранник
• 3-сфера – аналог сферы в 4-мерном пространстве. Это не 4-многогранник, поскольку он не ограничен многогранными ячейками.
• Дуоцилиндр — фигура в 4-мерном пространстве, связанная с дуопризмами . Он также не является 4-многогранником, поскольку его ограничивающие объемы не являются многогранниками.

Рекомендации

Примечания

1. Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224
2. Виалар, Т. (2009). Сложная и хаотическая нелинейная динамика: достижения экономики и финансов. Спрингер. п. 674. ИСБН 978-3-540-85977-2.
3. Капечки, В.; Контуччи, П.; Бушема, М.; Д'Амор, Б. (2010). Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве. Спрингер. п. 598. дои : 10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1.
4. Коксетер 1973, с. 141, §7-х. Исторические замечания.
5. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях: [Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.]
6. Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.
7. Униформа Полихора, Норман В. Джонсон (Колледж Уитон), 1845 случаев в 2005 г.

Библиография

• ХСМ Коксетер :
  • Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер : Однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [2]. Архивировано 22 марта 2005 г. в Wayback Machine.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полихорон». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула многогранника». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эйлеровы характеристики регулярного полихорона». Математический мир .
• Униформа Полихора, Джонатан Бауэрс
• Единый просмотрщик полихоронов — Java3D-апплет с исходными кодами
• Р. Клитцинг, полихора