Остроугольные и тупоугольные треугольники

Треугольники без прямого угла

Острый треугольник (или остроугольный треугольник ) — это треугольник с тремя острыми углами (меньше 90°). Тупоугольный треугольник (или тупоугольный треугольник ) — это треугольник с одним тупым углом (больше 90°) и двумя острыми углами. Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника должна составлять 180° , ни один евклидов треугольник не может иметь более одного тупого угла.

Остроугольные и тупоугольные треугольники — это два различных типа косоугольных треугольников , которые не являются прямоугольными, поскольку не имеют прямых углов (90°).

Характеристики

Во всех треугольниках центроид — пересечение медиан , каждая из которых соединяет вершину с серединой противоположной стороны, — и инцентр — центр окружности, которая касается изнутри всех трех сторон, — находятся внутри треугольника. Однако, в то время как ортоцентр и центр описанной окружности находятся внутри остроугольного треугольника, они являются внешними для тупоугольного треугольника.

Ортоцентр — это точка пересечения трех высот треугольника , каждая из которых перпендикулярно соединяет сторону с противоположной вершиной . В случае остроугольного треугольника все три этих отрезка полностью лежат внутри треугольника, и поэтому они пересекаются внутри. Но для тупоугольного треугольника высоты из двух острых углов пересекают только продолжения противоположных сторон. Эти высоты полностью лежат вне треугольника, в результате чего их пересечение друг с другом (и, следовательно, с продолженной высотой из тупоугольной вершины) происходит во внешней части треугольника.

Аналогично, центр описанной окружности треугольника — пересечение серединных перпендикуляров трех сторон , являющееся центром окружности, проходящей через все три вершины, — попадает внутрь остроугольного треугольника, но наружу тупоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник представляет собой промежуточный случай: и центр описанной окружности, и ортоцентр лежат на его границе.

В любом треугольнике любые два угла A и B, противолежащие стороны a и b соответственно, связаны согласно ^{[1] : стр. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.}$

Это означает, что самая длинная сторона в тупоугольном треугольнике — это сторона, противоположная тупоугольной вершине.

Остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата , каждый из которых имеет одну сторону, совпадающую с частью стороны треугольника, и с двумя другими вершинами квадрата на оставшихся двух сторонах треугольника. (В прямоугольном треугольнике два из них объединены в один квадрат, поэтому есть только два различных вписанных квадрата.) Однако тупоугольный треугольник имеет только один вписанный квадрат, одна из сторон которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. ^{[2] : стр. 115}

Все треугольники, в которых прямая Эйлера параллельна одной стороне, являются остроугольными. ^[3] Это свойство справедливо для стороны BC тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

Неравенства

Стороны

Если угол C тупой, то для сторон a , b и c имеем ^{[4] : ​​стр.1, №74}

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

причем левое неравенство приближается к равенству в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180°, а правое неравенство приближается к равенству только тогда, когда тупой угол приближается к 90°.

Если треугольник остроугольный, то

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Высота

Если C — наибольший угол, а h _c — высота из вершины C , то для остроугольного треугольника ^{[4] : стр.135, #3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

с противоположным неравенством, если C тупой.

Медианы

С самой длинной стороной c и медианами m _a и m _b с других сторон, ^{[4] : стр.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

для остроугольного треугольника, но с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Медиана m _c от самой длинной стороны больше или меньше радиуса описанной окружности для остроугольного или тупоугольного треугольника соответственно: ^{[4] : стр.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

для остроугольных треугольников и наоборот для тупоугольных треугольников.

Область

Неравенство Оно для площади A ,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

справедливо для всех остроугольных треугольников, но не для всех тупоугольных треугольников.

Тригонометрические функции

Для остроугольного треугольника имеем для углов A , B и C , ^{[4] : стр.26, №954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

причем для тупоугольного треугольника справедливо обратное неравенство.

Для остроугольного треугольника с радиусом описанной окружности R , ^{[4] : стр.141, #3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

и ^{[4] : стр.155, #S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Для остроугольного треугольника, ^{[4] : стр.115, #2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника, ^{[4] : стр. 178, № 241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Для любого треугольника тройное тождество касательных утверждает, что сумма касательных углов равна их произведению. Поскольку острый угол имеет положительное значение касательной, а тупой угол — отрицательное, выражение для произведения касательных показывает, что

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

для остроугольных треугольников, тогда как для тупоугольных треугольников справедливо противоположное направление неравенства.

У нас есть ^{[4] : ​​стр.26, №958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

для остроугольных треугольников и наоборот для тупоугольных треугольников.

Для всех остроугольных треугольников, ^{[4] : стр.40, #1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Для всех остроугольных треугольников с радиусом вписанной окружности r и радиусом описанной окружности R , ^{[4] : стр.53, #1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Для остроугольного треугольника с площадью K , ^{[4] : стр.103, #2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

Окружной радиус, внутренний радиус и эксрадиус

В остроугольном треугольнике сумма радиусов описанной окружности R и вписанной окружности r меньше половины суммы самых коротких сторон a и b : ^{[4] : стр.105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

в то время как для тупоугольного треугольника справедливо обратное неравенство.

Для остроугольного треугольника с медианами m _a , m _b , и m _c и радиусом описанной окружности R имеем ^{[4] : стр.26, № 954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

в то время как для тупоугольного треугольника справедливо противоположное неравенство.

Также остроугольный треугольник удовлетворяет ^{[4] : стр.26, №954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

через радиусы вневписанной окружности r _a , r _b и r _c , причем обратное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с полупериметром s , ^{[4] : стр.115, #2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

и обратное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с площадью K , ^{[4] : стр.185, #291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Расстояния, включающие центры треугольников

Для остроугольного треугольника расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H удовлетворяет ^{[4] : стр.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

причем для тупоугольного треугольника справедливо противоположное неравенство.

Для остроугольного треугольника расстояние между центром вписанной окружности I и ортоцентром H удовлетворяет ^{[4] : стр.26, №954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

где r — радиус вписанной окружности , с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Вписанный квадрат

Если один из вписанных квадратов остроугольного треугольника имеет сторону длиной x _a , а другой имеет сторону длиной x _b , причем x _a < x _b , то ^{[2] : стр. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Два треугольника

Если два тупоугольных треугольника имеют стороны ( a, b, c ) и ( p, q, r ), причем c и r являются соответствующими самыми длинными сторонами, то ^{[4] : стр.29, №1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

Примеры

Треугольники со специальными названиями

Треугольник Калаби , который является единственным неравносторонним треугольником, в котором наибольший квадрат, помещающийся внутри, может быть расположен любым из трех различных способов, является тупоугольным и равнобедренным с углами при основании 39,1320261...° и третьим углом 101,7359477...°.

Равносторонний треугольник с тремя углами по 60° является острым.

Треугольник Морли , образованный из любого треугольника пересечением его смежных угловых трисекторов, является равносторонним и, следовательно, остроугольным.

Золотой треугольник — равнобедренный треугольник , в котором отношение удвоенной стороны к стороне основания равно золотому сечению . Он острый, с углами 36°, 72° и 72°, что делает его единственным треугольником с углами в пропорции 1:2:2. ^[5]

Семиугольный треугольник , стороны которого совпадают со стороной, короткой диагональю и длинной диагональю правильного семиугольника , является тупоугольным, с углами и ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7.}$

Треугольники с целыми сторонами

Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон — остроугольный, имеющий стороны (13,14,15) и высоту из стороны 14, равную 12.

Треугольник с наименьшим периметром и целочисленными сторонами в арифметической прогрессии, а также треугольник с наименьшим периметром и целочисленными сторонами, но с различными сторонами, является тупоугольным, а именно, со сторонами (2, 3, 4).

Единственные треугольники, у которых один угол вдвое больше другого и стороны которых являются целыми числами в арифметической прогрессии, являются остроугольными, а именно, треугольник (4,5,6) и его кратные. ^[6]

Не существует остроугольных треугольников с целыми сторонами и площадью , равной периметру , но есть три тупоугольных треугольника со сторонами ^[7] (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17).

Наименьший целочисленный треугольник с тремя рациональными медианами является остроугольным, со сторонами ^[8] (68, 85, 87).

Треугольники Герона имеют целые стороны и целую площадь. Наклонный треугольник Герона с наименьшим периметром — острый, со сторонами (6, 5, 5). Два наклонных треугольника Герона, которые имеют наименьшую площадь, — это острый со сторонами (6, 5, 5) и тупоугольный со сторонами (8, 5, 5), площадь каждого из которых равна 12.

Смотрите также

• Серебряный треугольник

Ссылки

1. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников , Prometheus Books, 2012.
2. Оксман, Виктор и Ступель, Моше. «Почему длины сторон квадратов, вписанных в треугольник, так близки друг к другу?» Форум Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
3. Владимир Г. Боскофф, Лорентиу Хоменцовски и Богдан Д. Сучава, «Госсардовы Perspector и проективные последствия», Forum Geometricorum , том 13 (2013), 169–184. [1]
4. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2].
5. Элам, Кимберли (2001). Геометрия дизайна . Нью-Йорк: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
6. Митчелл, Дуглас У., «Треугольники 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 и 3:5:7», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г.
7. LE Dickson , История теории чисел , т.2 , 181.
8. Серпинский, Вацлав. Пифагорейские треугольники , Dover Publ., 2003 (оригинал 1962).

• Вайсштейн, Эрик В. «Острый треугольник». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Тупоугольный треугольник". MathWorld .