Угловая скорость

Псевдовектор, представляющий изменение ориентации объекта во времени.

В физике угловая скорость (символ ω или строчная греческая буква омега ), также известная как вектор угловой частоты , ^[1] представляет собой псевдовекторное представление того, как угловое положение или ориентация объекта изменяется со временем, т.е. как быстро объект вращается (вращается или вращается) вокруг оси вращения и как быстро сама ось меняет направление . ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

Величина псевдовектора представляет собой угловую скорость (или угловую частоту ), угловую скорость, с которой объект вращается (вращается или вращается). Направление псевдовектора нормально к мгновенной плоскости вращения или углового смещения . ${\displaystyle \omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega }$

Существует два типа угловой скорости:

• Орбитальная угловая скорость означает, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат , т.е. скорость изменения его углового положения относительно начала координат . ^{[ нужна цитата ]}
• Угловая скорость вращения показывает, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения , и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.

Угловая скорость имеет размерность угла в единицу времени; это аналогично линейной скорости , где угол заменяет расстояние , и общее время. Единицей угловой скорости в системе СИ являются радианы в секунду ^[2] , хотя градусы в секунду (°/с) также распространены. Радиан является безразмерной величиной , поэтому единицы угловой скорости в системе СИ по размерности эквивалентны обратным секундам , с ^-1 , хотя рад/с предпочтительнее, чтобы избежать путаницы со скоростью вращения в единицах герц ( также эквивалентных с ^-1 ). ^[3]

Направление угловой скорости традиционно определяется правилом правой руки , подразумевающим вращение по часовой стрелке (если смотреть на плоскость вращения); отрицание (умножение на -1) оставляет величину неизменной, но меняет ось в противоположном направлении . ^[4]

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в сутки над экватором (360 градусов за 24 часа) и имеет величину угловой скорости (угловую скорость) ω = 360°/24 ч = 15°/ч (или 2π рад/24 ч ≈ 0,26). рад/ч) и направление угловой скорости ( единичный вектор ), параллельное оси вращения Земли ( , в геоцентрической системе координат ). Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость . Таким образом, при радиусе орбиты 42 000 км от центра Земли тангенциальная скорость спутника в космосе составляет v = 42 000 км × 0,26 / ч ≈ 11 000 км/ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется вперед вместе с вращением Земли (в том же направлении, что и вращение Земли). ${\displaystyle {\hat {\omega }}={\hat {Z}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=r{\boldsymbol {\omega }}}$

Орбитальная угловая скорость точечной частицы

Частица в двух измерениях

Угловая скорость частицы в точке P относительно начала координат O определяется перпендикулярной составляющей вектора скорости v .

В простейшем случае кругового движения по радиусу с положением, заданным угловым смещением от оси x, орбитальная угловая скорость представляет собой скорость изменения угла во времени: . Если измеряется в радианах , длина дуги от положительной оси X вокруг окружности до частицы равна , а линейная скорость равна , так что . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \ell =r\phi }$ ${\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость - это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения от начала координат до частицы с ее полярными координатами . (Все переменные являются функциями времени .) Частица имеет линейное разделение скорости как , с радиальной составляющей, параллельной радиусу, и поперечно-радиальной (или тангенциальной) составляющей, перпендикулярной радиусу. Когда радиальная составляющая отсутствует, частица движется вокруг начала координат по кругу; но когда поперечно-радиальной составляющей нет, она движется по прямой линии от начала координат. Поскольку радиальное движение оставляет угол неизменным, в угловую скорость вносит вклад только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения во времени, которую можно вычислить по поперечно-радиальной скорости как:

ω знак равно d φ d т знак равно v ⊥ р . {\displaystyle \omega = {\frac {d\phi }{dt}} = {\frac {v_ {\perp }}{r}}.}

Здесь поперечно-радиальная скорость представляет собой величину со знаком , положительную для движения против часовой стрелки и отрицательную для движения по часовой стрелке. Принятие полярных координат для линейной скорости дает величину (линейную скорость) и угол относительно радиус-вектора; в этих терминах , так что ${\displaystyle v_{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$

ω знак равно v грех ⁡ ( θ ) р . {\displaystyle \omega = {\frac {v\sin(\theta)}{r}}.}

Эти формулы можно вывести , выполнив , будучи функцией расстояния до начала координат по времени и функцией угла между вектором и осью x. Затем: ${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi ))}$.

Что равно:

${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$

(См. Единичный вектор в цилиндрических координатах).

Зная , приходим к выводу, что радиальная составляющая скорости определяется выражением , т. к . – радиальный единичный вектор; и перпендикулярный компонент определяется как потому, что это перпендикулярный единичный вектор. ${\textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$

В двух измерениях угловая скорость представляет собой число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее направление. Знак условно считается положительным, если радиус-вектор поворачивается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Угловую скорость тогда можно назвать псевдоскаляром , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , например, при инвертировании одной оси или переключении двух осей.

Частица в трех измерениях

Вектор орбитальной угловой скорости кодирует временную скорость изменения углового положения, а также мгновенную плоскость углового смещения. В этом случае (круговое движение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

В трехмерном пространстве мы снова имеем вектор положения движущейся частицы r . Здесь орбитальная угловая скорость представляет собой псевдовектор , величина которого равна скорости, с которой r выметает угол, и направление которого перпендикулярно мгновенной плоскости, в которой r выметает угол (т.е. плоскости, охватываемой r и v ). Однако, поскольку существует два направления, перпендикулярных любой плоскости, необходимо дополнительное условие, чтобы однозначно указать направление угловой скорости; традиционно используется правило правой руки .

Пусть псевдовектор будет единичным вектором, перпендикулярным плоскости, охватываемой r и v , так что правило правой руки выполняется (т.е. мгновенное направление углового смещения - против часовой стрелки, если смотреть сверху ). Принимая полярные координаты в этой плоскости, как и в двумерном случае, описанном выше, можно определить вектор орбитальной угловой скорости как: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

где θ — угол между r и v . С точки зрения перекрестного произведения это:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^[5]

Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета

Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.

Вращающаяся система отсчета появляется в контексте твердых тел , и для нее были разработаны специальные инструменты: угловая скорость вращения может быть описана как вектор или, что то же самое, как тензор .

В соответствии с общим определением, угловая скорость вращения системы отсчета определяется как орбитальная угловая скорость любого из трех векторов (одинаковая для всех) относительно собственного центра вращения. Сложение векторов угловой скорости для кадров также определяется обычным сложением векторов (композицией линейных движений) и может быть полезно для разложения вращения, как в карданном подвесе . Все компоненты вектора можно рассчитать как производные от параметров, определяющих движущиеся системы отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения). Как и в общем случае, сложение коммутативно: . ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

По теореме Эйлера о вращении любая вращающаяся система отсчета имеет мгновенную ось вращения , которая является направлением вектора угловой скорости, а величина угловой скорости соответствует двумерному случаю.

Если мы выберем опорную точку, закрепленную в твердом теле, скорость любой точки тела будет равна ${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{0}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})}$

Компоненты базисных векторов неподвижной системы координат

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки O. Построим систему отсчета в теле, состоящую из ортонормированного набора векторов, прикрепленных к телу и имеющих общее начало в точке O. Вектор угловой скорости вращения как системы координат, так и тела вокруг O равен затем ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

где – скорость изменения вектора кадра за счет вращения. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}$

Эта формула несовместима с выражением для орбитальной угловой скорости

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

поскольку эта формула определяет угловую скорость для одной точки вокруг О, а формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае твердого тела необходимо учитывать движение всех частиц в теле. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Компоненты из углов Эйлера

Диаграмма, показывающая рамку Эйлера зеленым цветом

Компоненты псевдовектора угловой скорости вращения были впервые рассчитаны Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:

• Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
• Линия узлов движущейся системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
• Одна ось подвижной системы отсчета (собственная ось вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной связанного с ней угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Поэтому: ^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Этот базис не является ортонормированным и его сложно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на движущуюся систему, просто сменив базис. Например, переход на мобильный фрейм:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

где – орты системы отсчета, закрепленной в движущемся теле. Этот пример был создан с использованием соглашения ZXZ для углов Эйлера. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

Тензор

Тензор угловой скорости представляет собой кососимметричную матрицу, определяемую формулой:

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Скалярные элементы выше соответствуют компонентам вектора угловой скорости . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Это бесконечно малая матрица вращения . Линейное отображение Ω действует как векторное произведение : ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

где – вектор положения . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

При умножении на разницу во времени получается тензор углового смещения .

Смотрите также

• Угловое ускорение
• Угловая частота
• Угловой момент
• Скорость по площади
• Изометрия
• Ортогональная группа
• Динамика жесткого тела
• завихренность

Рекомендации

1. Каммингс, Карен; Холлидей, Дэвид (2007). Понимание физики. Нью-Дели: John Wiley & Sons Inc., авторизованная перепечатка для Wiley – Индия. стр. 449, 484, 485, 487. ISBN. 978-81-265-0882-2.(УП1)
2. Тейлор, Барри Н. (2009). Международная система единиц (СИ) (пересмотренная редакция 2008 г.). Издательство ДИАНА. п. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7.Выдержка со страницы 27
3. «Единицы со специальными названиями и символами; отряды со специальными названиями и символами» .
4. Хиббелер, Рассел К. (2009). Инженерная механика. Река Аппер-Сэддл , Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 314, 153. ISBN. 978-0-13-607791-6.(ЕМ1)
5. Сингх, Сунил К. Угловая скорость. Университет Райса . Проверено 21 мая 2021 г. - через OpenStax.
6. КСЕДРИХ: Леонард Эйлер (1707–1783) и динамика твердого тела.

• Саймон, Кейт (1971). Механика . Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2896-9.

Внешние ссылки

• Учебник физики для колледжа Артура Лаланна Кимбалла ( Угловая скорость частицы )
• Пикеринг, Стив (2009). «ω Скорость вращения [Угловая скорость]». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .