Двугранный угол

Угол между двумя плоскостями в пространстве

Угол между двумя полуплоскостями (α, β, бледно-голубая) в третьей плоскости (красная), которая пересекает линию пересечения под прямым углом.

Двугранный угол — это угол между двумя пересекающимися плоскостями или полуплоскостями . В химии это угол по часовой стрелке между полуплоскостями, проходящими через два набора из трех атомов , имеющих два общих атома. В стереометрии он определяется как объединение линии и двух полуплоскостей, имеющих эту линию в качестве общего ребра . В более высоких измерениях двугранный угол представляет собой угол между двумя гиперплоскостями . Говорят, что плоскости летательного аппарата находятся под положительным двугранным углом, когда обе основные плоскости (правая и левая ) ( обычно называемые «крыльями») наклонены вверх к боковой оси; когда они наклонены вниз, говорят, что они находятся под отрицательным двугранным углом.

Математическое образование

Когда две пересекающиеся плоскости описываются в декартовых координатах двумя уравнениями

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

двугранный угол между ними определяется по формуле: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

и удовлетворяет Легко заметить, что угол не зависит от и . ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2.}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

Альтернативно, если n _A и n _B являются нормальными векторами к плоскостям, то имеем

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}}$

где n _A  ·  n _B — скалярное произведение векторов, а | n _A | | n _B | — произведение их длин. ^[1]

В приведенных выше формулах требуется абсолютное значение, поскольку при изменении знаков всех коэффициентов в одном уравнении или замене одного вектора нормали на противоположный плоскости не изменяются.

Однако абсолютных значений можно и нужно избегать при рассмотрении двугранного угла двух полуплоскостей , границами которых является одна и та же линия. В этом случае полуплоскости можно описать точкой P их пересечения и тремя векторами b ₀ , b ₁ и b ₂ такими, что P + b ₀ , P + b ₁ и P + b ₂ принадлежат соответственно линии пересечения, первой полуплоскости и второй полуплоскости. Двугранный угол этих двух полуплоскостей определяется как

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$,

и удовлетворяет В этом случае перестановка двух полуплоскостей дает тот же результат, как и замена на В химии (см. ниже) мы определяем двугранный угол таким образом, что замена на изменяет знак угла, который может находиться в диапазоне от − π до π . ${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$ ${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}.}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$ ${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}}$

В физике полимеров

В некоторых научных областях, таких как физика полимеров , можно рассматривать цепочку точек и связей между последовательными точками. Если точки последовательно пронумерованы и расположены в позициях r ₁ , r ₂ , r ₃ и т. д., то векторы связей определяются как u ₁ = r ₂ − r ₁ , u ₂ = r ₃ − r ₂ , и u _i = r _i+1 − r _i , в более общем виде. ^[2] Это касается кинематических цепей или аминокислот в структуре белка . В этих случаях часто интересуют полуплоскости, определяемые тремя последовательными точками, и двугранный угол между двумя последовательными такими полуплоскостями. Если u ₁ , u ₂ и u ₃ являются тремя последовательными векторами связей, то пересечение полуплоскостей ориентировано, что позволяет определить двугранный угол, принадлежащий интервалу (− π , π ] . Этот двугранный угол определяется как ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

или, используя функцию atan2 ,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

Этот двугранный угол не зависит от ориентации цепи (порядка, в котором рассматриваются точки) — изменение этого порядка заключается в замене каждого вектора на его противоположный вектор и обмене индексов 1 и 3. Обе операции не меняют косинус, но меняют знак синуса. Таким образом, вместе они не меняют угол.

Более простая формула для того же двугранного угла следующая (доказательство приведено ниже):

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

Это можно вывести из предыдущих формул, используя формулу векторного четверного произведения и тот факт, что скалярное тройное произведение равно нулю, если оно содержит дважды один и тот же вектор:

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

Учитывая определение перекрестного произведения , это означает, что это угол по часовой стрелке четвертого атома по сравнению с первым атомом, если смотреть вниз по оси от второго атома к третьему. Особыми случаями (можно сказать, обычными случаями) являются , и , которые называются транс- , гош- ⁺ и гош ^-−- конформациями. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$ ${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$

В стереохимии

Диаграмма свободной энергии н -бутана как функция двугранного угла.

В стереохимии торсионный угол определяется как частный пример двугранного угла, описывающего геометрическое отношение двух частей молекулы, соединенных химической связью . ^{[4] [5]} Каждый набор из трех неколлинеарных атомов молекулы определяет полуплоскость. Как объяснялось выше, когда пересекаются две такие полуплоскости (т. е. набор из четырех последовательно связанных атомов), угол между ними является двугранным углом. Двугранные углы используются для указания молекулярной конформации . ^[6] Стереохимические расположения, соответствующие углам от 0° до ±90°, называются син (s), а соответствующие углам от ±90° до 180° — анти (a). Аналогично, расположения, соответствующие углам от 30° до 150° или от −30° до −150°, называются клинальными (c), а расположения от 0° до ±30° или от ±150° до 180° называются перипланарными (p).

Два типа терминов можно объединить, чтобы определить четыре диапазона углов; от 0° до ±30° синперипланарный (sp); от 30° до 90° и от −30° до −90° синклинальный (sc); от 90° до 150° и от −90° до −150° антиклинальный (ac); от ±150° до 180° антиперипланарный (ap). Синперипланарная конформация также известна как син- или цис -конформация; антиперипланарная как анти или транс ; и синклинальная как гош или скос .

Например, с н - бутаном две плоскости могут быть определены в терминах двух центральных атомов углерода и одного из атомов метильного углерода. Син -конформация, показанная выше, с двугранным углом 60° менее стабильна, чем анти -конформация с двугранным углом 180°.

Для макромолекулярного использования рекомендуются символы T, C, G ⁺ , G ⁻ , A ⁺ и A ^{− (ap, sp, +sc, −sc, +ac и −ac соответственно).}

Белки

Изображение белка , показывающее, куда ссылаются ω, φ и ψ.

График Рамачандрана (также известный как диаграмма Рамачандрана или график [ φ , ψ ]), первоначально разработанный в 1963 году Г. Н. Рамачандраном , К. Рамакришнаном и В. Сасисекхараном, ^[7] является способом визуализации энергетически разрешенных областей для двугранных углов ψ остова относительно φ аминокислотных остатков в структуре белка . В белковой цепи определяются три двугранных угла:

• ω (омега) — угол в цепи C ^α − C' − N − C ^α ,
• φ (фи) — угол в цепи C' − N − C ^α − C'
• ψ (psi) — угол в цепи N − C ^α − C' − N (названный Рамачандраном φ′ )

Рисунок справа иллюстрирует расположение каждого из этих углов (но он не показывает правильно, как они определяются). ^[8]

Планарность пептидной связи обычно ограничивает ω до 180° (типичный транс -случай) или 0° (редкий цис -случай). Расстояние между атомами C ^α в транс- и цис- изомерах составляет приблизительно 3,8 и 2,9 Å соответственно. Подавляющее большинство пептидных связей в белках являются транс- , хотя пептидная связь с азотом пролина имеет повышенное преобладание цис по сравнению с другими парами аминокислот. ^[9]

Двугранные углы боковой цепи обозначаются как χ _n (chi- n ). ^[10] Они имеют тенденцию группироваться вблизи 180°, 60° и −60°, которые называются транс- , гош- и гош- + ^{конформациями} . Стабильность определенных двугранных углов боковой цепи зависит от значений φ и ψ . ^{[11] Например} , существуют прямые стерические взаимодействия между C γ боковой цепи в гош- ⁺ ротамере и азотом основной цепи следующего остатка, когда ψ близок к -60°. ^[12] Это очевидно из статистических распределений в библиотеках ротамеров, зависящих от основной цепи .

Геометрия

Каждый многогранник имеет двугранный угол на каждом ребре, описывающий соотношение двух граней, которые разделяют это ребро. Этот двугранный угол, также называемый углом грани , измеряется как внутренний угол по отношению к многограннику. Угол 0° означает, что векторы нормали грани антипараллельны , и грани перекрывают друг друга, что подразумевает, что он является частью вырожденного многогранника. Угол 180° означает, что грани параллельны, как в мозаике . Угол больше 180° существует на вогнутых частях многогранника.

Каждый двугранный угол в реберно-транзитивном многограннике имеет одно и то же значение. Это включает в себя 5 Платоновых тел , 13 Каталоновых тел , 4 многогранника Кеплера–Пуансо , два квазиправильных тела и два квазиправильных двойных тела.

Теорема косинусов для двугранного угла

Если даны три грани многогранника, которые встречаются в общей вершине P и имеют ребра AP, BP и CP, косинус двугранного угла между гранями, содержащими APC и BPC, равен: ^[13]

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

Это можно вывести из сферического закона косинусов .

Смотрите также

• Атропоизомер

Ссылки

1. "Угол между двумя плоскостями". TutorVista.com . Архивировано из оригинала 2020-10-28 . Получено 2018-07-06 .
2. Крёгер, Мартин (2005). Модели полимерных и анизотропных жидкостей . Springer. ISBN 3540262105.
3. Блондель, Арно; Карплюс, Мартин (7 декабря 1998 г.). «Новая формулировка для производных углов кручения и несобственных углов кручения в молекулярной механике: устранение сингулярностей». Журнал вычислительной химии . 17 (9): 1132–1141. doi :10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T.
4. IUPAC , Compendium of Chemical Terminology , 2nd ed. («Золотая книга») (1997). Онлайн-исправленная версия: (2006–) «Угол кручения». doi :10.1351/goldbook.T06406
5. IUPAC , Compendium of Chemical Terminology , 2nd ed. («Золотая книга») (1997). Онлайн-исправленная версия: (2006–) «Двугранный угол». doi :10.1351/goldbook.D01730
6. Anslyn, Eric; Dennis Dougherty (2006). Современная физическая органическая химия . Университетская наука. стр. 95. ISBN 978-1891389313.
7. Рамачандран, GN; Рамакришнан, C.; Сасисекхаран, V. (1963). «Стереохимия конфигураций полипептидной цепи». Журнал молекулярной биологии . 7 : 95–9. doi :10.1016/S0022-2836(63)80023-6. PMID  13990617.
8. Ричардсон, Дж. С. (1981). «Анатомия и таксономия структуры белка». Анатомия и таксономия структур белка . Достижения в химии белка. Т. 34. С. 167–339. doi :10.1016/S0065-3233(08)60520-3. ISBN 9780120342341. PMID  7020376.
9. Singh J, Hanson J, Heffernan R, Paliwal K, Yang Y, Zhou Y (август 2018 г.). «Обнаружение цис-изомеров пролина и непролина в белковых структурах из последовательностей с использованием глубокого остаточного ансамблевого обучения». Journal of Chemical Information and Modeling . 58 (9): 2033–2042. doi :10.1021/acs.jcim.8b00442. PMID  30118602. S2CID  52031431.
10. «Конформация боковой цепи».
11. Данбрак, Р. Л. младший; Карплус, М. (20 марта 1993 г.). «Библиотека ротамеров, зависящих от остова, для белков. Применение для предсказания боковой цепи». Журнал молекулярной биологии . 230 (2): 543–74. doi :10.1006/jmbi.1993.1170. PMID  8464064.
12. Данбрак, Р. Л. Младший; Карплус, М. (май 1994 г.). «Конформационный анализ зависимых от остова ротамеров предпочтений боковых цепей белков». Nature Structural Biology . 1 (5): 334–40. doi :10.1038/nsb0594-334. PMID  7664040. S2CID  9157373.
13. "многогранник для расчета двугранного угла". www.had2know.com . Архивировано из оригинала 25 ноября 2015 г. Получено 25 октября 2015 г.

Внешние ссылки

• Двугранный угол в деревообработке на Tips.FM
• Анализ 5 правильных многогранников дает пошаговый вывод этих точных значений.