Циклический порядок

В математике циклический порядок — это способ расположить набор объектов по кругу . ^[nb] В отличие от большинства структур в теории порядка , циклический порядок не моделируется как бинарное отношение , например, « $a < b$ ». Нельзя сказать, что восток «больше по часовой стрелке», чем запад. Вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение $[a, b, c]$ , означающее «после $a ,$ $b$ достигается раньше $c$ ». Например, [июнь, октябрь, февраль], но не [июнь, февраль, октябрь], см. рисунок. Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно циклическое, асимметричное, транзитивное и связное. Отказ от требования «связности» приводит к частичному циклическому порядку .

Множество с циклическим порядком называется циклически упорядоченным множеством или просто циклом . ^[nb] Некоторые знакомые циклы являются дискретными, имеющими только конечное число элементов : есть семь дней недели , четыре стороны света , двенадцать нот в хроматической гамме и три игры в камень -ножницы-бумага . В конечном цикле каждый элемент имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент». Существуют также циклические порядки с бесконечным числом элементов, такие как ориентированная единичная окружность на плоскости.

Циклические порядки тесно связаны с более знакомыми линейными порядками , которые располагают объекты в линию . Любой линейный порядок можно согнуть в окружность, а любой циклический порядок можно разрезать в точке, получив в результате линию. Эти операции, наряду с соответствующими конструкциями интервалов и покрывающих отображений, означают, что вопросы о циклических порядках часто можно преобразовать в вопросы о линейных порядках. Циклы имеют больше симметрий, чем линейные порядки, и они часто естественным образом возникают как остатки линейных структур, как в конечных циклических группах или действительной проективной прямой .

Конечные циклы

Циклический порядок на множестве $X$ с $n$ элементами подобен расположению $X$ на циферблате для $n$ -часовых часов. Каждый элемент $x$ в $X$ имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент», и взятие либо последующих, либо предшествующих элементов циклически проходит ровно один раз по элементам как $x (1), x (2), ..., x (n)$ .

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать это определение. Циклический порядок на $X$ - это то же самое, что перестановка , которая превращает все $X$ в один цикл , что является особым типом перестановки - круговой перестановкой . С другой стороны, цикл с $n$ элементами также является $Z n$ - торсором : множеством со свободным транзитивным действием конечной циклической группы . ^[1] Другая формулировка - превратить $X$ в стандартный направленный циклический граф на $n$ вершинах, путем некоторого сопоставления элементов с вершинами.

Может оказаться инстинктивным использовать циклические порядки для симметричных функций , например, как в

ху + yz + zx

где запись конечного одночлена как $xz$ отвлекала бы от рисунка.

Существенное применение циклических порядков заключается в определении классов сопряженности свободных групп . Два элемента $g$ и $h$ свободной группы $F$ на множестве $Y$ сопряжены тогда и только тогда, когда они записаны как произведения элементов $y$ и $y -1$ с $y$ в $Y$ , а затем эти произведения помещены в циклический порядок, циклические порядки эквивалентны по правилам переписывания , которые позволяют удалять или добавлять смежные $y$ и $y -1$ .

Циклический порядок на множестве $X$ может быть определен линейным порядком на $X$ , но не единственным способом. Выбор линейного порядка эквивалентен выбору первого элемента, поэтому существует ровно $n$ линейных порядков, которые индуцируют заданный циклический порядок. Поскольку существует $n!$ возможных линейных порядков (как в перестановках ), существует $(n - 1)!$ возможных циклических порядков (как в круговых перестановках ).

Определения

Бесконечное множество также может быть упорядочено циклически. Важные примеры бесконечных циклов включают единичную окружность , $S 1$ , и рациональные числа , $Q$ . Основная идея та же: мы располагаем элементы множества по окружности. Однако в бесконечном случае мы не можем полагаться на отношение непосредственного следования, поскольку у точек может не быть последователей. Например, если задана точка на единичной окружности, то нет «следующей точки». Мы также не можем полагаться на бинарное отношение, чтобы определить, какая из двух точек идет «первой». Двигаясь по часовой стрелке по окружности, ни восток, ни запад не приходят первыми, но каждый следует за другим.

Вместо этого мы используем тернарное отношение, обозначающее, что элементы $a$ , $b$ , $c$ следуют друг за другом (не обязательно сразу) по мере обхода круга. Например, по часовой стрелке, [восток, юг, запад]. Каррируя аргументы тернарного отношения $[a, b, c]$ , можно представить себе циклический порядок как однопараметрическое семейство бинарных отношений порядка, называемых разрезами , или как двухпараметрическое семейство подмножеств $K$ , называемых интервалами .

Тройное отношение

Общее определение таково: циклический порядок на множестве $X$ — это отношение $C \subset X 3$ , записанное как $[a, b, c]$ , которое удовлетворяет следующим аксиомам: ^[nb]

Цикличность: Если $[a, b, c]$ , то $[b, c, a]$
Асимметрия: Если $[a, b, c]$ , то не $[c, b, a].$
Транзитивность: Если $[a, b, c]$ и $[a, c, d]$ , то $[a, b, d]$
Связность: Если $a$ , $b$ и $c$ различны, то либо $[a, b, c],$ либо $[c, b, a].$

Аксиомы названы по аналогии с аксиомами асимметрии , транзитивности и связности для бинарного отношения, которые вместе определяют строгий линейный порядок . Эдвард Хантингтон (1916, 1924) рассмотрел другие возможные списки аксиом, включая один список, который должен был подчеркнуть сходство между циклическим порядком и отношением промежуточности . Тройное отношение, которое удовлетворяет первым трём аксиомам, но не обязательно аксиоме тотальности, является частичным циклическим порядком .

Прокатка и резка

При наличии линейного порядка $<$ на множестве $X$ циклический порядок на $X,$ индуцированный $<,$ определяется следующим образом: ^[2]

[a, b, c]

тогда и только тогда, когда

a < b < c

или

b < c < a

или

c < a < b

Два линейных порядка индуцируют один и тот же циклический порядок, если они могут быть преобразованы друг в друга циклической перестановкой, как при разрезании колоды карт . ^[3] Можно определить отношение циклического порядка как тернарное отношение, которое индуцируется строгим линейным порядком, как указано выше. ^[4]

Вырезание одной точки из циклического порядка оставляет линейный порядок позади. Точнее, учитывая циклически упорядоченный набор , каждый элемент определяет естественный линейный порядок на оставшейся части набора, , по следующему правилу: ^[5] $(К,[\cdot ,\cdot ,\cdot ])$ $a\in K$ $<_{a}$ $K\setminus \{a\}$

x<_{a}y

тогда и только тогда, когда .

[а,х,у]

Более того, может быть расширен путем присоединения в качестве наименьшего элемента; полученный линейный порядок на называется главным разрезом с наименьшим элементом . Аналогично, присоединение в качестве наибольшего элемента приводит к разрезу . ^[6] $<_{a}$ $а$ $К$ $а$ $а$ $<^{a}$

Интервалы

При наличии двух элементов открытый интервал от до , записанный как , представляет собой множество всех таких, что . Система открытых интервалов полностью определяет циклический порядок и может использоваться как альтернативное определение отношения циклического порядка. ^[7] $a\neq b\in K$ $а$ $б$ $(а,б)$ $x\in K$ $[а,х,б]$

Интервал имеет естественный линейный порядок, заданный как . Можно определить полузамкнутые и замкнутые интервалы , , и , примыкая как наименьший элемент и/или как наибольший элемент . ^[8] В качестве особого случая открытый интервал определяется как разрез . $(а,б)$ $<_{a}$ $[а,б)$ $(а,б]$ $[а,б]$ $а$ $б$ $(а,а)$ $K\setminus a$

В более общем случае собственное подмножество называется выпуклым , если оно содержит интервал между каждой парой точек: для , либо или также должно быть в . ^[9] Выпуклое множество линейно упорядочено разрезом для любого , не входящего в множество; этот порядок не зависит от выбора . $S$ $К$ $a\neq b\in S$ $(а,б)$ $(б,а)$ $S$ $<_{x}$ $x$ $x$

Автоморфизмы

Так как окружность имеет порядок по часовой стрелке и порядок против часовой стрелки, любое множество с циклическим порядком имеет два смысла . Биекция множества, которая сохраняет порядок, называется упорядоченным соответствием . Если смысл сохраняется, как и прежде, это прямое соответствие , в противном случае оно называется противоположным соответствием . ^[10] Коксетер использует отношение разделения для описания циклического порядка, и это отношение достаточно сильное, чтобы различать два смысла циклического порядка. Автоморфизмы циклически упорядоченного множества можно отождествить с C2 _, двухэлементной группой прямых и противоположных соответствий.

Монотонные функции

Идея «циклического порядка = расположения по кругу» работает, потому что любое подмножество цикла само по себе является циклом. Чтобы использовать эту идею для наложения циклических порядков на множества, которые на самом деле не являются подмножествами единичной окружности на плоскости, необходимо рассмотреть функции между множествами.

Функция между двумя циклически упорядоченными множествами, $f : X \to Y$ , называется монотонной функцией или гомоморфизмом , если она восстанавливает порядок на $Y$ : всякий раз, когда $[f (a), f (b), f (c)]$ , имеем $[a, b, c]$ . Эквивалентно, $f$ является монотонной, если всякий раз, когда $[a, b, c]$ и $f (a), f (b)$ , и $f (c)$ все различны, то $[f (a), f (b), f (c)]$ . Типичным примером монотонной функции является следующая функция на цикле с 6 элементами:

ф (0) = ф (1) = 4,

ф (2) = ф (3) = 0,

ф (4) = ф (5) = 1.

Функция называется вложением, если она является одновременно монотонной и инъективной . ^[nb] Эквивалентно, вложение — это функция, которая продвигает вперед порядок на $X$ : всякий раз, когда $[a, b, c]$ , имеем $[f (a), f (b), f (c)]$ . В качестве важного примера, если $X$ является подмножеством циклически упорядоченного множества $Y$ , и $X$ задан его естественный порядок, то отображение включения $i : X \to Y$ является вложением.

В общем случае инъективная функция $f$ из неупорядоченного множества $X$ в цикл $Y$ индуцирует уникальный циклический порядок на $X$ , который делает $f$ вложением.

Функции на конечных множествах

Циклический порядок на конечном множестве $X$ может быть определен инъекцией в единичный круг, $X \to S 1$ . Существует много возможных функций, которые индуцируют тот же самый циклический порядок — на самом деле, бесконечно много. Чтобы количественно оценить эту избыточность, требуется более сложный комбинаторный объект, чем простое число. Изучение конфигурационного пространства всех таких отображений приводит к определению $(n - 1)$ -мерного многогранника, известного как циклоэдр . Циклоэдры были впервые применены для изучения инвариантов узлов ; ^[11] они совсем недавно были применены для экспериментального обнаружения периодически экспрессируемых генов при изучении биологических часов . ^[12]

Категория гомоморфизмов стандартных конечных циклов называется циклической категорией ; ее можно использовать для построения циклических гомологий Алена Конна .

Можно определить степень функции между циклами, аналогично степени непрерывного отображения . Например, естественное отображение из круга квинт в хроматический круг является отображением степени 7. Можно также определить число вращения .

Завершение

Разрез с наименьшим и наибольшим элементом называется прыжком . Например, каждый разрез конечного цикла $Z n$ является прыжком. Цикл без прыжков называется плотным . ^[13]^[14]
Разрез без наименьшего и наибольшего элемента называется разрывом . Например, рациональные числа $Q$ имеют разрыв на каждом иррациональном числе. Они также имеют разрыв на бесконечности, т.е. обычный порядок. Цикл без разрывов называется полным . ^[15]^[14]
Разрез с ровно одной конечной точкой называется главным или дедекиндовым разрезом. Например, каждый разрез окружности $S 1$ является главным разрезом. Цикл, где каждый разрез является главным, будучи одновременно плотным и полным, называется непрерывным . ^[16]^[14]

Множество всех разрезов циклически упорядочено следующим отношением: $[< 1, < 2, < 3]$ тогда и только тогда, когда существуют $x, y, z$ такие, что: ^[17]

х < 1 у < 1 z

х < 1

у < 2 z < 2 х

, и

х < 1 у < 1

z < 3 х < 3 у

Определенное подмножество этого цикла разрезов представляет собой дедекиндово завершение исходного цикла.

Дальнейшие конструкции

Раскатывание и накрытие

Начиная с циклически упорядоченного множества $K$ , можно сформировать линейный порядок, развернув его вдоль бесконечной линии. Это отражает интуитивное представление о том, как отслеживать, сколько раз человек проходит по кругу. Формально линейный порядок определяется на декартовом произведении $Z \times K$ , где $Z$ — множество целых чисел , фиксируя элемент $a$ и требуя, чтобы для всех $i$ : ^[18]

Если

[a, x, y]

, то

a i < x i < y i < a i +1

Например, месяцы январь 2024 г., май 2024 г., сентябрь 2024 г. и январь 2025 г. следуют именно в таком порядке.

Этот порядок $Z \times K$ называется универсальным покрытием $K$ . [ ^nb] Его тип порядка не зависит от выбора $a$ , но нотация не зависит, поскольку целочисленная координата «переворачивается» в $a$ . Например, хотя циклический порядок классов высоты тона совместим с алфавитным порядком от A до G, нота C выбирается первой нотой в каждой октаве, поэтому в нотно-октавной нотации за нотой B ₃ следует нота C ₄ .

Обратная конструкция начинается с линейно упорядоченного множества и сворачивает его в циклически упорядоченное множество. Если задано линейно упорядоченное множество $L$ и сохраняющая порядок биекция $T : L \to L$ с неограниченными орбитами, то пространство орбит $L / T$ циклически упорядочено требованием: ^[7]^[nb]

Если

a < b < c < T (a)

, то

[[a], [b], [c]]

В частности, можно восстановить $K$ , определив $T (x i) = x i +1$ на $Z \times K$ .

Существуют также $n$ -кратные покрытия для конечного $n$ ; в этом случае одно циклически упорядоченное множество покрывает другое циклически упорядоченное множество. Например, 24-часовые часы являются двойным покрытием 12-часовых часов . В геометрии пучок лучей, исходящих из точки в ориентированной плоскости, является двойным покрытием пучка неориентированных прямых, проходящих через ту же точку. ^[19] Эти покрывающие отображения можно охарактеризовать, подняв их до универсального покрытия. ^[7]

Продукты и отводы

Для заданного циклически упорядоченного множества $(K, [ ])$ и линейно упорядоченного множества $(L, <)$ (полное) лексикографическое произведение является циклическим порядком на множестве произведений $K \times L$ , определяемым как $[(a, x), (b, y), (c, z)],$ если выполняется одно из следующих условий: ^[20]

$[а, б, в]$
$а = b \neq с$ и $х < у$
$b = c \neq a$ и $y < z$
$с = а \neq b$ и $z < x$
$а = b = с$ и $[х, у, z]$

Лексикографическое произведение $K \times L$ глобально выглядит как $K$ , а локально — как $L$ ; его можно рассматривать как $K$ копий $L.$ Эта конструкция иногда используется для характеристики циклически упорядоченных групп. ^[21]

Можно также склеить различные линейно упорядоченные множества, чтобы сформировать круговое упорядоченное множество. Например, если заданы два линейно упорядоченных множества $L 1$ и $L 2$ , можно образовать круг, соединив их вместе в положительной и отрицательной бесконечности. Круговой порядок на несвязном объединении $L 1 \cup L 2 \cup {-\infty, \infty$ } определяется как $\infty < L 1 < -\infty < L 2 < \infty$ , где индуцированный порядок на $L 1$ противоположен его исходному порядку. Например, множество всех долгот кругово упорядочено путем соединения всех точек на западе и всех точек на востоке, вместе с нулевым меридианом и 180-м меридианом . Кульман, Маршалл и Осиак (2011) используют эту конструкцию при характеристике пространств упорядочений и действительных мест двойных формальных рядов Лорана над действительным замкнутым полем . ^[22]

Топология

Открытые интервалы образуют базу для естественной топологии , топологии циклического порядка . Открытые множества в этой топологии — это в точности те множества, которые открыты в каждом совместимом линейном порядке. ^[23] Чтобы проиллюстрировать разницу, в множестве [0, 1) подмножество [0, 1/2) является окрестностью 0 в линейном порядке, но не в циклическом порядке.

Интересные примеры циклически упорядоченных пространств включают конформную границу односвязной поверхности Лоренца ^[24] и пространство листов поднятого существенного ламинирования некоторых 3-многообразий. ^[25] Дискретные динамические системы на циклически упорядоченных пространствах также были изучены. ^[26]

Топология интервала забывает исходную ориентацию циклического порядка. Эту ориентацию можно восстановить, обогатив интервалы их индуцированными линейными порядками; тогда получается множество, покрытое атласом линейных порядков, которые совместимы там, где они пересекаются. Другими словами, циклически упорядоченное множество можно рассматривать как локально линейно упорядоченное пространство: объект, подобный многообразию , но с отношениями порядка вместо координатных карт. Эта точка зрения позволяет легче быть точным в отношении таких понятий, как покрывающие карты. Обобщение на локально частично упорядоченное пространство изучается в Roll (1993); см. также Направленная топология .

Связанные структуры

Группы

Циклически упорядоченная группа — это множество с групповой структурой и циклическим порядком, такое, что левое и правое умножение сохраняют циклический порядок. Циклически упорядоченные группы были впервые подробно изучены Ладиславом Ригером в 1947 году. ^[27] Они являются обобщением циклических групп : бесконечной циклической группы $Z$ и конечных циклических групп $Z / n$ . Поскольку линейный порядок индуцирует циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченных групп : рациональных чисел $Q$ , действительных чисел $R$ и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: группа окружности $T$ и ее подгруппы, такие как подгруппа рациональных точек .

Каждая циклически упорядоченная группа может быть выражена как фактор $L / Z$ , где $L$ — линейно упорядоченная группа, а $Z$ — циклическая конфинальная подгруппа $L$ . Каждая циклически упорядоченная группа может быть также выражена как подгруппа произведения $T \times L$ , где $L$ — линейно упорядоченная группа. Если циклически упорядоченная группа является архимедовой или компактной, она может быть вложена в саму $T$ ^{. [28]}

Модифицированные аксиомы

Частичный циклический порядок — это тернарное отношение, которое обобщает (полный) циклический порядок таким же образом, как частичный порядок обобщает полный порядок . Он циклический, асимметричный и транзитивный, но не обязательно полный. Многообразие порядка — это частичный циклический порядок, который удовлетворяет дополнительной аксиоме распространения . ^[29] Замена аксиомы асимметрии на дополнительную версию приводит к определению коциклического порядка . Соответственно, полные коциклические порядки связаны с циклическими порядками таким же образом, как $\leq$ связано с $<$ .

Циклический порядок подчиняется относительно сильной аксиоме транзитивности 4 точек. Одной из структур, которая ослабляет эту аксиому, является система CC : тернарное отношение, которое является циклическим, асимметричным и полным, но в целом не транзитивным. Вместо этого система CC должна подчиняться аксиоме транзитивности 5 точек и новой аксиоме внутреннего , которая ограничивает конфигурации 4 точек, которые нарушают циклическую транзитивность. ^[30]

Циклический порядок должен быть симметричным относительно циклической перестановки, $[a, b, c] \Rightarrow [b, c, a]$ , и асимметричным относительно обращения: $[a, b, c] \Rightarrow \neg[c, b, a]$ . Тройное отношение, которое асимметрично относительно циклической перестановки и симметрично относительно обращения, вместе с соответствующими версиями аксиом транзитивности и тотальности, называется отношением промежуточности . Отношение разделения является четверичным отношением , которое можно рассматривать как циклический порядок без ориентации. Отношение между циклическим порядком и отношением разделения аналогично отношению между линейным порядком и отношением промежуточности. ^[31]

Симметрии и теория моделей

Эванс, Макферсон и Иванов (1997) дают теоретико-модельное описание накрывающих отображений циклов.

Tararin (2001, 2002) изучает группы автоморфизмов циклов с различными свойствами транзитивности . Giraudet & Holland (2002) характеризуют циклы, полные группы автоморфизмов которых действуют свободно и транзитивно . Campero-Arena & Truss (2009) характеризуют счетные цветные циклы, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно. Truss (2009) изучает группу автоморфизмов единственного (с точностью до изоморфизма) счетного плотного цикла.

Кулпешов и Макферсон (2005) изучают условия минимальности на циклически упорядоченных структурах , т.е. модели языков первого порядка, которые включают циклическое отношение порядка. Эти условия являются аналогами o-минимальности и слабой o-минимальности для случая линейно упорядоченных структур. Кулпешов (2006, 2009) продолжает с некоторыми характеристиками ω-категоричных структур. ^[32]

Познание

Ганс Фройденталь подчеркивал роль циклических порядков в когнитивном развитии, в отличие от Жана Пиаже , который рассматривал только линейные порядки. Были проведены некоторые эксперименты для исследования ментальных репрезентаций циклически упорядоченных множеств, таких как месяцы года.

Примечания по использованию

^циклический порядок Отношение может быть названо циклическим порядком (Huntington 1916, стр. 630), круговым порядком (Huntington 1916, стр. 630), циклическим упорядочением (Kok 1973, стр. 6) или круговым упорядочением (Mosher 1996, стр. 109). Некоторые авторы называют такое упорядочение полным циклическим порядком (Isli & Cohn 1998, стр. 643), полным циклическим порядком (Novák 1982, стр. 462), линейным циклическим порядком (Novák 1984, стр. 323) или l-циклическим порядком или ℓ- циклическим порядком (Černák 2001, стр. 32), чтобы отличать от более широкого класса частичных циклических порядков , которые они называют просто циклическими порядками . Наконец, некоторые авторы могут понимать циклический порядок как неориентированное четверичное разделительное отношение (Bowditch 1998, стр. 155).

^цикл Множество с циклическим порядком можно назвать циклом (Novák 1982, стр. 462) или окружностью (Giraudet & Holland 2002, стр. 1). Вышеуказанные вариации также появляются в форме прилагательных: циклически упорядоченное множество ( cyklicky uspořádané množiny , Čech 1936, стр. 23), циклически упорядоченное множество , полное циклически упорядоченное множество , полное циклически упорядоченное множество , линейно циклически упорядоченное множество , l-циклически упорядоченное множество , ℓ- циклически упорядоченное множество . Все авторы согласны, что цикл полностью упорядочен.

^тернарное отношение Для циклического отношения используется несколько различных символов. Хантингтон (1916, стр. 630) использует конкатенацию: $ABC$ . Чех (1936, стр. 23) и (Новак 1982, стр. 462) используют упорядоченные тройки и символ принадлежности множеству: $(a, b, c) \in C$ . Мегиддо (1976, стр. 274) использует конкатенацию и принадлежность множеству: $abc \in C$ , понимая $abc$ как циклически упорядоченную тройку. В литературе по группам, такой как Сверчковский (1959a, стр. 162) и Чернак и Якубик (1987, стр. 157), как правило, используются квадратные скобки: $[a, b, c]$ . Giraudet & Holland (2002, стр. 1) используют круглые скобки: $(a, b, c)$ , оставляя квадратные скобки для отношения промежуточности. Campero-Arena & Truss (2009, стр. 1) используют нотацию в стиле функции: $R (a, b, c)$ . Rieger (1947), цитируемый по Pecinová 2008, стр. 82), использует символ «меньше чем» в качестве разделителя: $< x, y, z <$ . Некоторые авторы используют инфиксную нотацию: $a < b < c$ , понимая, что это не несет обычного значения $a < b$ и $b < c$ для некоторого бинарного отношения < (Černy 1978, стр. 262). Вайнштейн (1996, стр. 81) подчеркивает цикличность, повторяя элемент: $p ↪ r ↪ q ↪ p$ .

^вложение Новак (1984, стр. 332) называет вложение «изоморфным вложением».

^roll В этом случае Жироде и Холланд (2002, стр. 2) пишут, что $K$ — это $L$ , «свернутое».

^пространство орбит Отображение T названо архимедовым Боудичем (2004, стр. 33), котерминальным Камперо-Арена и Трасс (2009, стр. 582) и переводом МакМаллена (2009, стр. 10).

^универсальное покрытие МакМаллен (2009, стр. 10) называет $Z \times K$ «универсальным покрытием» $K$ . Жироде и Холланд (2002, стр. 3) пишут, что $K$ — это $Z \times K$ «спирализованный». Фрейденталь и Бауэр (1974, стр. 10) называют $Z \times K$ «∞-кратным покрытием» $K$ . Часто эту конструкцию записывают как антилексикографический порядок на $K \times Z$ .

Ссылки

Цитаты

^ Браун 1987, стр. 52.
^ Хантингтон 1935, с. 6; Чех 1936, с. 25.
^ Калегари 2004, стр. 439.
^ Курсель 2003.
^ Хантингтон 1935, с. 7; Чех 1936, с. 24.
^ Новак 1984, стр. 323.
^ abc McMullen 2009, стр. 10.
^ Жироде и Холланд 2002, стр. 2.
^ Кулпешов 2009.
↑ Коксетер 1949, стр. 25.
^ Сташефф 1997, стр. 58.
^ Мортон и др. 2007.
^ Новак 1984, стр. 325.
^ abc Новак и Новотный 1987, с. 409–410.
↑ Новак 1984, стр. 325, 331.
^ Новак 1984, стр. 333.
^ Новак 1984, стр. 330.
^ Ролл 1993, с. 469; Фрейденталь и Бауэр 1974, с. 10
^ Фройденталь 1973, стр. 475; Фройденталь и Бауэр 1974, стр. 10
^ Сверчковский 1959a, с. 161.
^ Сверчковский 1959а.
^ Кульманн, Маршалл и Осиак 2011, стр. 8.
^ Виро и др. 2008, стр. 44.
↑ Вайнштейн 1996, стр. 80–81.
^ Калегари и Данфилд 2003, стр. 12–13.
^ Басс и др. 1996, стр. 19.
^ Пецинова-Козакова 2005, с. 194.
^ Сверчковский 1959a, стр. 161–162.
^ Илле, Пьер; Рюэ, Поль (апрель 2008 г.), «Циклические расширения порядковых многообразий», Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 212 : 119–132, doi :10.1016/j.entcs.2008.04.057
^ Кнут 1992, стр. 4.
↑ Хантингтон 1935.
^ Макферсон 2011.

Библиография

Басс, Хайман ; Отеро-Эспинар, Мария Виктория; Рокмор, Дэниел; Трессер, Чарльз (1996), Циклическая перенормировка и группы автоморфизмов корневых деревьев , Lecture Notes in Mathematics, т. 1621, Springer, doi :10.1007/BFb0096321, ISBN 978-3-540-60595-9
Боудич, Брайан Х. (сентябрь 1998 г.), «Точки разреза и канонические разбиения гиперболических групп», Acta Mathematica , 180 (2): 145–186, doi : 10.1007/BF02392898 , S2CID 121148668
Боудич, Брайан Х. (ноябрь 2004 г.), «Планарные группы и гипотеза Зейферта», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2004 (576): 11–62, doi :10.1515/crll.2004.084 , получено 31 мая 2011 г.
Браун, Кеннет С. (февраль 1987 г.), «Свойства конечности групп» (PDF) , Журнал чистой и прикладной алгебры , 44 (1–3): 45–75, doi : 10.1016/0022-4049(87)90015-6 , дата обращения 21 мая 2011 г.
Calegari, Danny (13 декабря 2004 г.), «Circular groups, planar groups, and the Euler class» (PDF) , Geometry & Topology Monographs , 7 : 431–491, arXiv : math/0403311 , Bibcode :2004math......3311C, CiteSeerX 10.1.1.235.122 , doi :10.2140/gtm.2004.7.431, S2CID 14154261 , получено 30 апреля 2011 г.
Калегари, Дэнни; Данфилд, Натан М. (апрель 2003 г.), «Слоистые распределения и группы гомеоморфизмов окружности», Inventiones Mathematicae , 152 (1): 149–204, arXiv : math/0203192 , Bibcode : 2003InMat.152..149D, doi : 10.1007/s00222-002-0271-6, S2CID 15149654
Камперо-Арена, Г.; Трасс, Джон К. (апрель 2009 г.), «1-транзитивные циклические упорядочения», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 116 (3): 581–594, doi : 10.1016/j.jcta.2008.08.006
Чех, Эдуард (1936), Bodové množiny (на чешском языке), Прага: Jednota Československých matematiků a fysiků, hdl :10338.dmlcz/400435 , получено 9 мая 2011 г.
Чернак, Штефан (2001), «Расширение Кантора половины линейно циклически упорядоченной группы» (PDF) , Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications , 21 (1): 31–46, doi :10.7151/dmgaa.1025 , получено 22 мая 2011 г.
Чернак, Штефан; Якубик, Ян (1987), «Пополнение циклически упорядоченной группы», Чехословацкий математический журнал , 37 (1): 157–174, doi : 10.21136/CMJ.1987.102144 , hdl :10338.dmlcz/102144, MR 0875137, Zbl 0624. 06021
Черный, Илья (1978), «Разрезы в простых связных областях и циклическое упорядочение системы всех граничных элементов» (PDF) , Časopis Pro Pěstování Matematiky , 103 (3): 259–281, doi : 10.21136/CPM.1978.117983 , hdl :10338.dmlcz/117983 , получено 11 мая 2011 г.
Курсель, Бруно (21 августа 2003 г.), "2.3 Круговой порядок" (PDF) , в Бервангер, Дитмар; Грэдель, Эрих (ред.), Проблемы теории конечных моделей , стр. 12, архивировано из оригинала (PDF) 27 мая 2011 г. , извлечено 15 мая 2011 г.
Коксетер, HSM (1949), «Глава 3: Порядок и непрерывность», Реальная проективная плоскость
Эванс, Дэвид М.; Макферсон, Дугалд; Иванов, Александр А. (1997), «Конечные покрытия», в Эванс, Дэвид М. (ред.), Модельная теория групп и групп автоморфизмов: Blaubeuren, август 1995 г. , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 244, Cambridge University Press, стр. 1–72, ISBN 978-0-521-58955-0, получено 5 мая 2011 г.
Фрейденталь, Ганс (1973), Математика как образовательная задача , Д. Райдель, ISBN 978-90-277-0235-7
Фройденталь, Ганс; Бауэр, А. (1974), «Геометрия — феноменологическое обсуждение» , в Бенке, Генрих; Гулд, С. Х. (ред.), Основы математики , т. 2, MIT Press, стр. 3–28, ISBN 978-0-262-02069-5
Фройденталь, Ганс (1983), Дидактическая феноменология математических структур , Д. Рейдель, ISBN 978-90-277-1535-7
Жироде, Мишель; Холланд, В. Чарльз (сентябрь 2002 г.), «Структуры Ohkuma», Приказ , 19 (3): 223–237, doi : 10.1023/A: 1021249901409, S2CID 40537336
Хантингтон, Эдвард В. (1 ноября 1916 г.), «Набор независимых постулатов для циклического порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 2 (11): 630–631, Bibcode : 1916PNAS....2..630H, doi : 10.1073/pnas.2.11.630 , PMC 1091120 , PMID 16576195
Хантингтон, Эдвард В. (15 февраля 1924 г.), «Наборы полностью независимых постулатов для циклического порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 10 (2): 74–78, Bibcode : 1924PNAS...10...74H, doi : 10.1073/pnas.10.2.74 , PMC 1085517 , PMID 16576785
Хантингтон, Эдвард В. (июль 1935 г.), «Взаимоотношения между четырьмя основными типами порядка» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 38 (1): 1–9, doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501800-1 , получено 8 мая 2011 г.
Исли, Амар; Кон, Энтони Г. (1998), «Алгебра для циклического упорядочения двумерных ориентаций» (PDF) , AAAI '98/IAAI '98 Труды пятнадцатой национальной/десятой конференции по искусственному интеллекту/инновационным приложениям искусственного интеллекта , ISBN 978-0-262-51098-1, получено 23 мая 2011 г.
Кнут, Дональд Э. (1992), Аксиомы и оболочки, Конспект лекций по информатике, т. 606, Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. ix+109, doi :10.1007/3-540-55611-7, ISBN 978-3-540-55611-4, S2CID 5452191, заархивировано из оригинала 20 июня 2017 г. , извлечено 5 мая 2011 г.
Кок, Х. (1973), Связные упорядочиваемые пространства , Амстердам: Mathematich Centrum , ISBN 978-90-6196-088-1
Кульман, Сальма; Маршалл, Мюррей; Осиак, Катажина (1 июня 2011 г.), «Циклические 2-структуры и пространства упорядочений полей степенных рядов с двумя переменными», Журнал алгебры , 335 (1): 36–48, doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.026
Кулпешов, Бейбут Ш. (декабрь 2006 г.), «О ℵ ₀ -категоричных слабо циклически минимальных структурах», Mathematical Logic Quarterly , 52 (6): 555–574, doi :10.1002/malq.200610014, S2CID 20279077
Кулпешов, Бейбут Ш. (март 2009), «Определимые функции в ℵ ₀ -категоричных слабо циклически минимальных структурах», Сибирский математический журнал , 50 (2): 282–301, doi :10.1007/s11202-009-0034-3, S2CID 123179896
- Перевод Кулпешова (2009), «Определимые функции в ℵ0-категоричных слабо циклически минимальных структурах», Сибирский математический журнал , 50 (2): 356–379 , получено 24 мая 2011 г.
Кулпешов, Бейбут Ш.; Макферсон, Х. Дугалд (июль 2005 г.), «Условия минимальности на циклически упорядоченных структурах», Mathematical Logic Quarterly , 51 (4): 377–399, doi :10.1002/malq.200410040, MR 2150368, S2CID 37479502
Macpherson, H. Dugald (2011), «Обзор однородных структур» (PDF) , Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , получено 28 апреля 2011 г.
McMullen, Curtis T. (2009), «Ленточные R-деревья и голоморфная динамика на единичном диске» (PDF) , Journal of Topology , 2 (1): 23–76, CiteSeerX 10.1.1.139.8850 , doi :10.1112/jtopol/jtn032, S2CID 427594 , получено 15 мая 2011 г.
Megiddo, Nimrod (март 1976), "Частичные и полные циклические порядки" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 82 (2): 274–276, doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14020-7 , получено 30 апреля 2011 г.
Мортон, Джеймс; Пахтер, Лиор ; Шиу, Энн; Штурмфельс, Бернд (январь 2007 г.), «Тест на циклоэдр для поиска периодических генов в исследованиях экспрессии с течением времени», Статистические приложения в генетике и молекулярной биологии , 6 (1): Статья 21, arXiv : q-bio/0702049 , Bibcode : 2007q .bio.....2049M, doi : 10.2202/1544-6115.1286, PMID 17764440, S2CID 17402424
Mosher, Lee (1996), «Руководство пользователя по группе классов отображения: однажды проколотые поверхности», в Baumslag, Gilbert (ред.), Геометрические и вычислительные перспективы бесконечных групп , DIMACS, т. 25, AMS Bookstore, стр. 101–174, arXiv : math/9409209 , Bibcode : 1994math......9209M, ISBN 978-0-8218-0449-0
Новак, Витезслав (1982), «Циклически упорядоченные множества» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 32 (3): 460–473, doi : 10.21136/CMJ.1982.101821 , hdl :10338.dmlcz/101821 , получено 30 апреля 2011 г.
Новак, Витезслав (1984), «Разрезы в циклически упорядоченных множествах» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 34 (2): 322–333, doi : 10.21136/CMJ.1984.101955 , hdl :10338.dmlcz/101955 , получено 30 апреля 2011 г.
Новак, Витезслав; Новотны, Мирослав (1987), «О пополнении циклически упорядоченных множеств», Чехословацкий математический журнал , 37 (3): 407–414, doi : 10.21136/CMJ.1987.102168 , hdl :10338.dmlcz/102168
Печинова-Козакова, Элишка (2005), «Ладислав Сванте Ригер и его алгебраические работы», в Сафранковой, Яне (редактор), WDS 2005 - Сборник статей, часть I , Прага: Matfyzpress, стр. 190–197, CiteSeerX 10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
Печинова, Элишка (2008), Ладислав Сванте Ригер (1916–1963), Dějiny matematiky (на чешском языке), том. 36, Прага: Матфизпресс, hdl :10338.dmlcz/400757, ISBN 978-80-7378-047-0, получено 9 мая 2011 г.
Ригер, Л.С. (1947), "О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (Об упорядоченных и циклически упорядоченных группах II)", Věstník Králskie české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná (Журнал Королевского чешского общества наук, математики и естествознания) ) (на чешском языке) (1): 1–33
Roll, J. Blair (1993), "Локально частично упорядоченные группы" (PDF) , Czechoslovak Mathematical Journal , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136/CMJ.1993.128411 , hdl :10338.dmlcz/128411 , получено 30 апреля 2011 г.
Сташефф, Джим (1997), «От операд к «физически» вдохновленным теориям», в Лодей, Жан-Луи; Сташефф, Джеймс Д.; Воронов, Александр А. (ред.), Операды: Труды конференций эпохи Возрождения , Contemporary Mathematics, т. 202, AMS Bookstore, стр. 53–82, ISBN 978-0-8218-0513-8, архивировано из оригинала 23 мая 1997 г. , извлечено 1 мая 2011 г.
Świerczkowski, S. (1959a), "О циклически упорядоченных группах" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161–166, doi : 10.4064/fm-47-2-161-166 , получено 2 мая 2011 г.
Тарарин, Валерий Михайлович (2001), «О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств», Сибирский математический журнал , 42 (1): 190–204, doi :10.1023/A:1004866131580, S2CID 117396034
- Перевод Тамарина (2001), «Math-Net.Ru» О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств, Сибирский математический журнал (на русском языке), 42 (1): 212–230 , получено 30 апреля 2011 г.
Тарарин, Валерий Михайлович (2002), «О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств», Математические заметки , 71 (1): 110–117, doi :10.1023/A:1013934509265, S2CID 126544835
- Перевод Тамарина (2002), «О c-3-транзитивных групп автоморфизмов циклически упорядоченных множеств», Математические заметки , 71 (1): 122–129, doi : 10.4213/mzm333
Truss, John K. (2009), «О группе автоморфизмов счетного плотного кругового порядка» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 204 (2): 97–111, doi : 10.4064/fm204-2-1 , получено 25 апреля 2011 г.
Виро, Олег ; Иванов Олег; Нецветаев Никита; Харламов, Вячеслав (2008), «8. Циклические порядки» (PDF) , Элементарная топология: учебник по задачам (1-е изд. на английском языке), Книжный магазин AMS, стр. 42–44, ISBN 978-0-8218-4506-6, получено 25 апреля 2011 г.
Вайнштейн, Тилла (июль 1996 г.), Введение в поверхности Лоренца , Expositions De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 22, Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-014333-1

Дальнейшее чтение

Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёгнвалдур Г.; Нойманн, Питер М. (1998), Заметки о бесконечных группах перестановок , Lecture Notes in Mathematics, т. 1698, Springer, стр. 108–109, doi :10.1007/BFb0092550, ISBN 978-3-540-64965-6
Bodirsky, Manuel; Pinsker, Michael (2011), "Reducts of Ramsey Structures", Model Theoretic Methods in Finite Combinatorics , Contemporary Mathematics, т. 558, AMS, стр. 489ff, arXiv : 1105.6073 , Bibcode : 2011arXiv1105.6073B, ISBN 978-0-8218-4943-9
Кэмерон, Питер Дж. (июнь 1976 г.), «Транзитивность групп перестановок на неупорядоченных множествах», Mathematische Zeitschrift , 148 (2): 127–139, doi :10.1007/BF01214702, S2CID 120757129
Кэмерон, Питер Дж. (июнь 1977 г.), «Когомологические аспекты двумерных графов», Mathematische Zeitschrift , 157 (2): 101–119, doi :10.1007/BF01215145, S2CID 120726731
Кэмерон, Питер Дж. (1997), «Алгебра века», в Эванс, Дэвид М. (ред.), Модельная теория групп и групп автоморфизмов: Blaubeuren, август 1995 г. , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 244, Cambridge University Press, стр. 126–133, CiteSeerX 10.1.1.39.2321 , ISBN 978-0-521-58955-0
Курсель, Бруно; Энгельфрит, Йост (апрель 2011 г.), Графовая структура и монадическая логика второго порядка, подход к теории языка (PDF) , Cambridge University Press , получено 17 мая 2011 г.
Дросте, М.; Жироде, М.; Макферсон, Д. (март 1995 г.), «Периодические упорядоченные группы перестановок и циклические упорядочения», Журнал комбинаторной теории, Серия B , 63 (2): 310–321, doi : 10.1006/jctb.1995.1022
Droste, M.; Giraudet, M.; Macpherson, D. (март 1997 г.), «Однородные по множеству графы и вложения полных порядков», Order , 14 (1): 9–20, CiteSeerX 10.1.1.22.9135 , doi :10.1023/A:1005880810385, S2CID 16990257
Эванс, Дэвид М. (17 ноября 1997 г.), «Конечные покрытия с конечными ядрами», Annals of Pure and Applied Logic , 88 (2–3): 109–147, CiteSeerX 10.1.1.57.5323 , doi :10.1016/S0168-0072(97)00018-3
Иванов, А.А. (январь 1999), «Конечные покрытия, когомологии и однородные структуры», Труды Лондонского математического общества , 78 (1): 1–28, doi :10.1112/S002461159900163X, S2CID 120545318
Jakubík, Ján (2006), "On monotone permutations of ℓ-cyclically orderically sets" (PDF) , Czechoslovak Mathematical Journal , 45 (2): 403–415, doi :10.1007/s10587-006-0026-4, hdl :10338.dmlcz/128075, S2CID 51756248 , получено 30 апреля 2011 г.
Кеннеди, Кристин Коуэн (август 1955 г.), О циклическом тернарном отношении ... (диссертация на степень магистра) , Тулейнский университет, OCLC 16508645
Конья, Эстер Херендин (2006), «Математический и дидактический анализ концепции ориентации», Teaching Mathematics and Computer Science , 4 (1): 111–130, doi : 10.5485/TMCS.2006.0108
Конья, Эстер Херендин (2008), «Геометрические преобразования и концепция циклического упорядочения» (PDF) , в Maj, Божена; Pytlak, Марта; Swoboda, Эва (ред.), Поддержка независимого мышления посредством математического образования , Издательство Жешувского университета, стр. 102–108, ISBN 978-83-7338-420-0, получено 17 мая 2011 г.
Leloup, Gérard (февраль 2011 г.), «Экзистенциально эквивалентные циклические ультраметрические пространства и циклически значимое группы» (PDF) , Logic Journal of the IGPL , 19 (1): 144–173, CiteSeerX 10.1.1.152.7462 , doi :10.1093/jigpal/jzq024 , получено 30 апреля 2011 г.
Маронгиу, Габриэле (1985), «Некоторые замечания о ℵ ₀ -категоричности круговых упорядочений», Unione Matematica Italiana. Боллеттино. B. Серия VI (на итальянском языке), 4 (3): 883–900, MR 0831297.
Макклири, Стивен; Рубин, Мататьяху (6 октября 2005 г.), Локально движущиеся группы и проблема реконструкции для цепей и окружностей , arXiv : math/0510122 , Bibcode : 2005math.....10122M
Мюллер, Г. (1974), «Lineare und zyklische Ordnung», Praxis der Mathematik , 16 : 261–269, MR 0429660
Рубин, М. (1996), «Локально движущиеся группы и проблемы реконструкции», в Холланд, В. Чарльз (ред.), Упорядоченные группы и бесконечные группы перестановок , Математика и ее приложения, т. 354, Клувер, стр. 121–157, ISBN 978-0-7923-3853-6
Сверчковский, С. (1956), «Об отношениях циклического порядка», Бюллетень Полонезской академии наук, Класс III , 4 : 585–586.
Сверчковски, С. (1959b), «О циклически упорядоченных интервалах целых чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 167–172, doi : 10.4064/fm-47-2-167-172 , получено 2 мая 2011 г.
Truss, JK (июль 1992 г.), «Общие автоморфизмы однородных структур», Труды Лондонского математического общества , 3, 65 (1): 121–141, doi :10.1112/plms/s3-65.1.121

Внешние ссылки

циклический порядок в n Lab