Уравнение конвекции-диффузии

Комбинация уравнений диффузии и конвекции (адвекции)

Уравнение конвекции-диффузии — это параболическое уравнение в частных производных , которое объединяет уравнения диффузии и конвекции ( адвекции ). Оно описывает физические явления, в которых частицы, энергия или другие физические величины переносятся внутри физической системы за счет двух процессов: диффузии и конвекции . В зависимости от контекста одно и то же уравнение можно назвать уравнением адвекции -диффузии , уравнением дрейфа - диффузии ^[1] или (общим) скалярным уравнением переноса ^[2] .

Уравнение

Загрязняющий шлейф, движущийся в пористой среде посредством уравнения конвекции-диффузии (также называемого уравнением адвекции-диффузии) (временные метки 1 день, 85 дней, 462 дня и 674 дня) с адвекцией в качестве основного механизма переноса.

Общее уравнение в консервативной форме имеет вид ^{[3] [4]} , где $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\mathbf {\nabla } \cdot (D\mathbf {\nabla } c-\mathbf {v} c)+R}$$

• c — интересующая переменная (концентрация веществ для массопереноса , температура для теплопереноса ),
• D — коэффициент диффузии (также называемый коэффициентом диффузии ), например, коэффициент диффузии массы для движения частиц или коэффициент температуропроводности для переноса тепла,
• v — это поле скорости , с которым движется величина. Это функция времени и пространства. Например, в адвекции c может быть концентрацией соли в реке, а затемv будет скоростью потока воды как функцией времени и местоположения. Другой пример, c может быть концентрацией мелких пузырьков в спокойном озере, а затем v будет скоростью пузырьков, поднимающихся к поверхности под действием плавучести (см. ниже) в зависимости от времени и местоположения пузырька. Для многофазных потоков и потоков в пористых средах v — это (гипотетическая) поверхностная скорость .
• R описывает источники или стоки величины c , т.е. создание или уничтожение величины. Например, для химического вида R > 0 означает, что химическая реакция создает больше вида, а R < 0 означает, что химическая реакция уничтожает вид. Для переноса тепла R > 0 может иметь место, если тепловая энергия генерируется трением .
• ∇ представляет градиент , а ∇ ⋅ представляет дивергенцию . В этом уравнении ∇ c представляет градиент концентрации.

В общем случае D , v и R могут меняться в зависимости от пространства и времени. В случаях, когда они зависят также от концентрации, уравнение становится нелинейным, что приводит к появлению многих характерных явлений смешивания, таких как конвекция Рэлея–Бенара , когда v зависит от температуры в формуле переноса тепла, и образование модели реакции–диффузии, когда R зависит от концентрации в формуле переноса массы.

Часто есть несколько величин, каждая со своим собственным уравнением конвекции-диффузии, где разрушение одной величины влечет за собой создание другой. Например, когда горит метан, происходит не только разрушение метана и кислорода, но и создание углекислого газа и водяного пара. Поэтому, хотя каждое из этих химических веществ имеет свое собственное уравнение конвекции-диффузии, они связаны друг с другом и должны решаться как система дифференциальных уравнений.

Вывод

Уравнение конвекции-диффузии можно вывести простым способом ^[4] из уравнения непрерывности , которое гласит, что скорость изменения скалярной величины в дифференциальном контрольном объеме задается потоком и диффузией в эту часть системы и из нее вместе с любым образованием или потреблением внутри контрольного объема: где j — полный поток , а R — чистый объемный источник для c . В этой ситуации есть два источника потока. Во-первых, диффузионный поток возникает из-за диффузии . Обычно это аппроксимируется первым законом Фика : т. е. поток диффундирующего материала (относительно объемного движения) в любой части системы пропорционален локальному градиенту концентрации . Во-вторых, когда есть общая конвекция или поток, есть связанный поток, называемый адвективным потоком : Полный поток (в стационарной системе координат) задается суммой этих двух: Подставляем в уравнение непрерывности: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

Распространенные упрощения

В обычной ситуации коэффициент диффузии постоянен, нет источников или стоков, а поле скорости описывает несжимаемый поток (т.е. имеет нулевую дивергенцию ). Тогда формула упрощается до: ^[5] $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

В этом случае уравнение можно представить в простой конвективной форме : $${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=D\nabla ^{2}c,}$$

где производная левой части — это материальная производная переменной c . В невзаимодействующем материале D=0 (например, когда температура близка к абсолютному нулю , разбавленный газ имеет почти нулевую массовую диффузию ), поэтому уравнение переноса — это просто уравнение непрерывности: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

Используя преобразование Фурье как во временной, так и в пространственной области (то есть с интегральным ядром ), можно получить его характеристическое уравнение : что дает общее решение: где - любая дифференцируемая скалярная функция . Это основа измерения температуры для конденсата Бозе-Эйнштейна [ ^6] с помощью метода времени пролета . ^[7] ${\displaystyle e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$ $${\displaystyle j\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$ ${\displaystyle f}$

Стационарная версия

Стационарное уравнение конвекции-диффузии описывает стационарное поведение системы конвекции-диффузии. ^[8] В стационарном состоянии, ⁠∂ с/∂ т⁠ = 0 , поэтому уравнение для решения становится уравнением второго порядка: В одном пространственном измерении уравнение можно записать как $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

Которое можно проинтегрировать один раз по пространственной переменной x, чтобы получить:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

Если D не равно нулю, то это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами по переменной c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$где коэффициенты равны: и: С другой стороны, в положениях x, где D=0, член диффузии первого порядка исчезает, и решение становится просто соотношением: $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$ $${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

Скорость в ответ на силу

В некоторых случаях поле средней скорости v существует из-за силы; например, уравнение может описывать поток ионов, растворенных в жидкости, с электрическим полем, тянущим ионы в некотором направлении (как в гель-электрофорезе ). В этой ситуации его обычно называют уравнением дрейфа-диффузии или уравнением Смолуховского ^[1] в честь Мариана Смолуховского , который описал его в 1915 году ^[9] (не путать с соотношением Эйнштейна–Смолуховского или уравнением коагуляции Смолуховского ).

Обычно средняя скорость прямо пропорциональна приложенной силе, что дает уравнение: ^{[10] [11]} где F — сила, а ζ характеризует трение или вязкое сопротивление . (Обратная величина ζ ⁻¹ называется подвижностью .) $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\right)+R}$$

Вывод соотношения Эйнштейна

Когда сила связана с потенциальной энергией F = −∇ U (см. консервативную силу ), стационарное решение приведенного выше уравнения (т.е. 0 = R = ⁠∂ с/∂ т⁠ ) ​​равен: (предполагая, что D и ζ постоянны). Другими словами, там, где энергия ниже, больше частиц. Ожидается, что этот профиль концентрации будет соответствовать распределению Больцмана (точнее, мере Гиббса ). Из этого предположенияможно доказать соотношение Эйнштейна : ^[11] $${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$ $${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

Похожие уравнения в других контекстах

Уравнение конвекции-диффузии является относительно простым уравнением, описывающим потоки или, альтернативно, описывающим стохастически изменяющуюся систему. Поэтому то же самое или похожее уравнение возникает во многих контекстах, не связанных с потоками через пространство.

• Формально оно идентично уравнению Фоккера–Планка для скорости частицы.
• Оно тесно связано с уравнением Блэка-Шоулза и другими уравнениями финансовой математики. ^[12]
• Он тесно связан с уравнениями Навье–Стокса , поскольку поток импульса в жидкости математически подобен потоку массы или энергии. Соответствие наиболее очевидно в случае несжимаемой ньютоновской жидкости, в этом случае уравнение Навье–Стокса имеет вид: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)}$$

где M — импульс жидкости (на единицу объема) в каждой точке (равный плотности ρ, умноженной на скорость v ), μ — вязкость, P — давление жидкости, а f — любая другая сила тела , такая как сила тяжести . В этом уравнении член в левой части описывает изменение импульса в заданной точке; первый член в правой части описывает диффузию импульса за счет вязкости ; второй член в правой части описывает адвективный поток импульса; а последние два члена в правой части описывают внешние и внутренние силы, которые могут действовать как источники или стоки импульса.

В теории вероятностей

Уравнение конвекции-диффузии (с R = 0 ) можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение , описывающее случайное движение с диффузностью D и смещением v . Например, уравнение может описывать броуновское движение отдельной частицы, где переменная c описывает распределение вероятностей для частицы находиться в заданном положении в заданное время. Причина, по которой уравнение можно использовать таким образом, заключается в том, что нет математической разницы между распределением вероятностей отдельной частицы и профилем концентрации совокупности бесконечного числа частиц (пока частицы не взаимодействуют друг с другом).

Уравнение Ланжевена описывает адвекцию, диффузию и другие явления явно стохастическим образом. Одна из простейших форм уравнения Ланжевена — когда его «шумовой член» является гауссовым ; в этом случае уравнение Ланжевена в точности эквивалентно уравнению конвекции-диффузии. Однако уравнение Ланжевена является более общим. ^[11]

В физике полупроводников

Поскольку носители генерируются (зеленые: электроны и фиолетовые: дырки) из-за света, падающего на центр собственного полупроводника, они диффундируют к двум концам. Электроны имеют более высокую константу диффузии, чем дырки, что приводит к меньшему количеству избыточных электронов в центре по сравнению с дырками.

В физике полупроводников это уравнение называется уравнением дрейфа-диффузии . Слово «дрейф» связано с дрейфовым током и скоростью дрейфа . Уравнение обычно записывается так: ^[13] где $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\partial n}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\partial p}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$

• n и p — концентрации (плотности) электронов и дырок соответственно,
• q > 0 — элементарный заряд ,
• J _n и J _p — электрические токи, обусловленные электронами и дырками соответственно,
• ⁠Дж _н/− д⁠ и ⁠Дж _п/д⁠ — соответствующие «частичные токи» электронов и дырок,
• R представляет собой генерацию и рекомбинацию носителей ( R > 0 для генерации пар электрон-дырка, R < 0 для рекомбинации.)
• E —вектор электрического поля
• ${\displaystyle \mu _{n}}$и являются подвижностью электронов и дырок . ${\displaystyle \mu _{p}}$

Коэффициент диффузии и подвижность связаны соотношением Эйнштейна , как указано выше: где k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура . Ток дрейфа и ток диффузии относятся отдельно к двум членам в выражениях для J , а именно: $${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

Это уравнение можно решить совместно с уравнением Пуассона численно. ^[14]

Пример результатов решения уравнения дрейфовой диффузии показан справа. Когда свет падает на центр полупроводника, носители генерируются в середине и диффундируют к двум концам. Уравнение дрейфа-диффузии решается в этой структуре, и распределение электронной плотности показано на рисунке. Можно увидеть градиент носителей от центра к двум концам.

Смотрите также

• Расширенная библиотека моделирования
• Уравнение Бакли–Леверетта
• Уравнение Бюргерса
• Уравнения сохранения
• Двойная диффузионная конвекция
• Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости
• Естественная конвекция
• Уравнение Нернста–Планка
• Численное решение уравнения конвекции-диффузии

Примечания

1. Chandrasekhar (1943). "Стохастические проблемы в физике и астрономии". Rev. Mod. Phys . 15 (1): 1. Bibcode :1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1.См. уравнение (312)
2. Баукал; Герштейн; Ли, ред. (2001). Вычислительная гидродинамика в промышленном горении. CRC Press. стр. 67. ISBN 0-8493-2000-3– через Google Книги.
3. Весселинг 2001, стр. 33–34.
4. Socolofsky, Scott A.; Jirka, Gerhard H. "Advective Diffusion Equation" (PDF) . Заметки лекций . Архивировано из оригинала (PDF) 25 июня 2010 г. . Получено 18 апреля 2012 г. .
5. Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика . С. 44–45.
6. Ketterle, W.; Durfee, DS; Stamper-Kurn, DM (1999-04-01). «Создание, исследование и понимание конденсатов Бозе-Эйнштейна». arXiv : cond-mat/9904034 .
7. Brzozowski, Tomasz M; Maczynska, Maria; Zawada, Michal; Zachorowski, Jerzy; Gawlik, Wojciech (2002-01-14). "Измерение температуры холодных атомов во времени для коротких расстояний между ловушкой и зондирующим пучком". Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics . 4 (1): 62–66. Bibcode : 2002JOptB...4...62B. doi : 10.1088/1464-4266/4/1/310. ISSN  1464-4266. S2CID  67796405.
8. Весселинг 2001, Гл. 4.
9. Смолуховский, М. В. (1915). «Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung» (PDF) . Энн. Физ. 4. Фольге. 353 (48): 1103–1112. Бибкод : 1915АнП...353.1103С. дои : 10.1002/andp.19163532408.
10. «Уравнение диффузии Смолуховского» (PDF) .
11. Doi & Edwards (1988). Теория динамики полимеров. стр. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7– через Google Книги .
12. Арабас, С.; Фархат, А. (2020). «Производное ценообразование как транспортная проблема: решения MPDATA для уравнений типа Блэка-Шоулза». J. Comput. Appl. Math . 373 : 112275. arXiv : 1607.01751 . doi : 10.1016/j.cam.2019.05.023. S2CID  128273138.
13. Ху, Юэ (2015). «Моделирование фотодетектора с частично обедненным поглотителем (PDA)». Optics Express . 23 (16): 20402–20417. Bibcode : 2015OExpr..2320402H. doi : 10.1364/OE.23.020402. hdl : 11603/11470 . PMID  26367895.
14. Ху, Юэ (2014). «Моделирование источников нелинейности в простом штыревом фотодетекторе». Журнал Lightwave Technology . 32 (20): 3710–3720. Bibcode : 2014JLwT...32.3710H. CiteSeerX 10.1.1.670.2359 . doi : 10.1109/JLT.2014.2315740. S2CID  9882873. 

Ссылки

• Весселинг, Питер (2001). Принципы вычислительной гидродинамики . Том 29. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-05146-3. ISBN 978-3-642-05145-6.

Дальнейшее чтение

• Сьюэлл, Гранвиль (1988). Численное решение обыкновенных и частных дифференциальных уравнений . Academic Press. ISBN 0-12-637475-9.