Уравнение Дарси–Вейсбаха

Equation in fluid dynamics

В гидродинамике уравнение Дарси -Вейсбаха — это эмпирическое уравнение, связывающее потерю напора или потерю давления из-за трения вдоль заданной длины трубы со средней скоростью потока жидкости для несжимаемой жидкости. Уравнение названо в честь Генри Дарси и Юлиуса Вейсбаха . В настоящее время не существует формулы более точной или универсально применимой, чем формула Дарси-Вейсбаха, дополненная диаграммой Муди или уравнением Коулбрука . ^[1]

Уравнение Дарси–Вейсбаха содержит безразмерный коэффициент трения, известный как коэффициент трения Дарси . Его также называют по-разному: коэффициент трения Дарси–Вейсбаха, коэффициент трения, коэффициент сопротивления или коэффициент потока. ^[a]

Историческая справка

Уравнение Дарси-Вейсбаха в сочетании с диаграммой Муди для расчета потерь напора в трубах традиционно приписывается Генри Дарси , Юлиусу Вейсбаху и Льюису Ферри Муди . Однако в разработке этих формул и диаграмм также принимали участие другие ученые и инженеры на протяжении всей истории их разработки. Как правило, уравнение Бернулли давало бы потери напора, но в терминах величин, неизвестных априори, таких как давление. Поэтому были найдены эмпирические соотношения для корреляции потери напора с такими величинами, как диаметр трубы и скорость жидкости. ^[3]

Юлиус Вейсбах, конечно, не был первым, кто ввел формулу, связывающую длину и диаметр трубы с квадратом скорости жидкости. Антуан Шези (1718-1798), на самом деле, опубликовал формулу в 1770 году, которая, хотя и относилась к открытым каналам (т. е. не находящимся под давлением), была формально идентична той, которую позже введет Вейсбах, при условии, что она была переформулирована в терминах гидравлического радиуса . Однако формула Шези была утеряна до 1800 года, когда Гаспар де Прони (его бывший ученик) опубликовал отчет, описывающий его результаты. Вполне вероятно, что Вейсбах был знаком с формулой Шези из публикаций Прони. ^[4]

Формула Вейсбаха была предложена в 1845 году в том виде, в котором мы используем ее и сегодня:

${\displaystyle \Delta H=f\cdot {LV^{2} \over {2gD}}}$

где:

• ${\displaystyle \Delta H}$: потеря головы.
• ${\displaystyle L}$: длина трубы.
• ${\displaystyle D}$: диаметр трубы.
• ${\displaystyle V}$: скорость жидкости.
• ${\displaystyle g}$: ускорение свободного падения .

Однако коэффициент трения f был выражен Вейсбахом с помощью следующей эмпирической формулы:

${\displaystyle f=\alpha +{\beta \over {\sqrt {V}}}}$

с и в зависимости от диаметра и типа стенки трубы. ^[5] Работа Вейсбаха была опубликована в Соединенных Штатах Америки в 1848 году и вскоре стала там хорошо известна. Напротив, она изначально не получила большого распространения во Франции , где продолжало использоваться уравнение Прони , которое имело полиномиальную форму в терминах скорости (часто аппроксимируемое квадратом скорости). Помимо исторических разработок, формула Вейсбаха имела объективное достоинство соответствия размерному анализу , что приводило к безразмерному коэффициенту трения f. Сложность f, зависящая от механики пограничного слоя и режима течения (ламинарный, переходный или турбулентный), имела тенденцию скрывать ее зависимость от величин в формуле Вейсбаха, что привело многих исследователей к выводу иррациональных и размерно непоследовательных эмпирических формул. ^[6] Вскоре после работы Вейсбаха стало понятно, что коэффициент трения f зависит от режима течения и не зависит от числа Рейнольдса (и, следовательно, скорости) только в случае шероховатых труб в турбулентном режиме течения (уравнение Прандтля-фон Кармана). ^[7] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Уравнение потери давления

В цилиндрической трубе постоянного диаметра D , заполненной жидкостью, потеря давления из-за вязкостных эффектов Δ p пропорциональна длине L и может быть охарактеризована уравнением Дарси–Вейсбаха: ^[8]

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},}$

где потеря давления на единицу длины ⁠Δ п/Л⁠ (единицы СИ: Па / м ) является функцией:

${\displaystyle \rho }$, плотность жидкости (кг/м ³ );

${\displaystyle D_{H}}$, гидравлический диаметр трубы (для трубы круглого сечения он равен D ; в противном случае D _H = 4A/P для трубы с площадью поперечного сечения A и периметром P ) (м);

${\displaystyle \langle v\rangle }$, средняя скорость потока , экспериментально измеряемая как объемный расход Q на единицу площади поперечного сечения смоченной поверхности (м/с);

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }}$, коэффициент трения Дарси (также называемый коэффициентом потока λ ^{[9] [10]} ).

Для ламинарного течения в круглой трубе диаметром коэффициент трения обратно пропорционален только числу Рейнольдса ( f _D  =  ⁠ ${\displaystyle D_{c}}$64/Повторно⁠ ), который сам по себе может быть выражен в терминах легко измеряемых или публикуемых физических величин (см. раздел ниже). Сделав эту замену, уравнение Дарси–Вейсбаха переписывается как

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

где

μ — динамическая вязкость жидкости(Па·с = Н·с/м ^{2 = кг/(м·с} ) );

Q — объемный расход , используемый здесь для измерения расхода вместо средней скорости согласно Q = ⁠π/4⁠ D _c ² < v > (м ³ /с).

Обратите внимание, что эта ламинарная форма уравнения Дарси–Вейсбаха эквивалентна уравнению Хагена–Пуазейля , которое аналитически выводится из уравнений Навье–Стокса .

Формула потери напора

Потеря напора Δ h (или h _f ) выражает потерю давления из-за трения в терминах эквивалентной высоты столба рабочей жидкости, поэтому падение давления равно

${\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,}$

где:

Δ h = потеря напора из-за трения в трубе на заданной длине трубы (единицы СИ: м); ^[б]

g = Локальное ускорение свободного падения (м/с ² ).

Полезно представить потерю напора на единицу длины трубы (безразмерную):

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

где L — длина трубы ( м ).

Поэтому уравнение Дарси–Вейсбаха можно также записать в терминах потери напора: ^[11]

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

По объемному расходу

Соотношение между средней скоростью потока < v > и объемным расходом Q равно

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

где:

Q = Объемный расход (м ³ /с),

A = Площадь поперечного сечения, смоченная водой (м2 ⁾ .

В полноводной круглой трубе диаметром , ${\displaystyle D_{c}}$

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

Тогда уравнение Дарси–Вейсбаха в терминах Q имеет вид

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

Форма напряжения сдвига

Среднее напряжение сдвига стенки τ в трубе или открытом канале выражается через коэффициент трения Дарси–Вейсбаха как ^[12]

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{8}}f_{\text{D}}\rho {\langle v\rangle }^{2}.}$

Единицей измерения напряжения сдвига на стенке в системе СИ является паскаль (Па).

Коэффициент трения Дарси

Рисунок 1. Коэффициент трения Дарси в зависимости от числа Рейнольдса для 10 < Re < 10 ⁸ для гладкой трубы и диапазона значений относительной шероховатости ⁠ε/Д⁠ . Данные взяты из работ Никурадзе (1932, 1933), Коулбрука (1939) и Маккеона (2004).

Коэффициент трения f _D не является константой: он зависит от таких вещей, как характеристики трубы (диаметр D и высота шероховатости ε ), характеристики жидкости (ее кинематическая вязкость ν [nu]) и скорость потока жидкости ⟨ v ⟩ . Он был измерен с высокой точностью в определенных режимах потока и может быть оценен с использованием различных эмпирических соотношений или может быть считан из опубликованных диаграмм. Эти диаграммы часто называют диаграммами Муди , в честь Л. Ф. Муди , и поэтому сам фактор иногда ошибочно называют коэффициентом трения Муди . Его также иногда называют коэффициентом трения Блазиуса , в честь предложенной им приблизительной формулы.

Рисунок 1 показывает значение f _D , измеренное экспериментаторами для многих различных жидкостей, в широком диапазоне чисел Рейнольдса и для труб с различной высотой шероховатости. В этих данных встречаются три основных режима течения жидкости: ламинарный, критический и турбулентный.

Ламинарный режим

Для ламинарных (гладких) потоков следствием закона Пуазейля (который вытекает из точного классического решения для потока жидкости) является то, что

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}$

где Re — число Рейнольдса

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},}$

и где μ — вязкость жидкости и

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

известна как кинематическая вязкость . В этом выражении для числа Рейнольдса характерная длина D принимается за гидравлический диаметр трубы, который для цилиндрической трубы, заполненной жидкостью, равен внутреннему диаметру. На рисунках 1 и 2 коэффициента трения в зависимости от числа Рейнольдса режим Re < 2000 демонстрирует ламинарный поток; коэффициент трения хорошо представлен приведенным выше уравнением. ^[c]

По сути, потери на трение в ламинарном режиме точнее характеризовать как пропорциональные скорости потока, а не как пропорциональные квадрату этой скорости: можно было бы считать, что уравнение Дарси–Вейсбаха не совсем применимо в ламинарном режиме потока.

В ламинарном потоке потери на трение возникают из-за передачи импульса от жидкости в центре потока к стенке трубы через вязкость жидкости; вихри в потоке отсутствуют. Обратите внимание, что потери на трение нечувствительны к высоте шероховатости трубы ε : скорость потока вблизи стенки трубы равна нулю.

Критический режим

Для чисел Рейнольдса в диапазоне 2000 < Re < 4000 поток неустойчив (сильно меняется со временем) и меняется от одного участка трубы к другому (не является «полностью развитым»). Поток включает в себя начальное образование вихрей; он недостаточно изучен.

Турбулентный режим

Рисунок 2. Коэффициент трения Дарси в зависимости от числа Рейнольдса для 1000 < Re < 10 ⁸ для гладкой трубы и диапазона значений относительной шероховатости ⁠ε/Д⁠ . Данные взяты из работ Никурадзе (1932, 1933), Коулбрука (1939) и Маккеона (2004).

При числе Рейнольдса больше 4000 поток турбулентный; сопротивление потоку следует уравнению Дарси-Вейсбаха: оно пропорционально квадрату средней скорости потока. В области многих порядков величины Re ( 4000 < Re < 10 ⁸ ) коэффициент трения изменяется менее чем на один порядок величины ( 0,006 < f _D < 0,06 ). В режиме турбулентного потока характер потока можно далее разделить на режим, в котором стенка трубы фактически гладкая, и режим, в котором высота ее шероховатости является заметной.

Режим гладкой трубы

Когда поверхность трубы гладкая (кривая «гладкая труба» на рисунке 2), изменение коэффициента трения в зависимости от Re можно смоделировать с помощью уравнения сопротивления Кармана–Прандтля для турбулентного потока в гладких трубах ^[9] с параметрами, подобранными соответствующим образом.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.537.}$

Числа 1,930 и 0,537 являются феноменологическими; эти конкретные значения обеспечивают довольно хорошее соответствие данным. ^[13] Произведение Re √ f _D (называемое «числом Рейнольдса трения») можно рассматривать, как и число Рейнольдса, как (безразмерный) параметр потока: при фиксированных значениях Re √ f _D коэффициент трения также фиксирован.

В уравнении сопротивления Кармана–Прандтля f _D можно выразить в замкнутой форме как аналитическую функцию Re с помощью функции Ламберта W :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )}$

В этом режиме течения множество мелких вихрей отвечают за передачу импульса между основной массой жидкости и стенкой трубы. По мере увеличения числа Рейнольдса трения Re √ f _D профиль скорости жидкости приближается к стенке асимптотически, тем самым передавая больше импульса стенке трубы, как это моделируется в теории пограничного слоя Блазиуса .

Режим грубой работы

Когда высота шероховатости поверхности трубы ε значительна (обычно при высоком числе Рейнольдса), коэффициент трения отклоняется от гладкой кривой трубы, в конечном итоге приближаясь к асимптотическому значению (режим «шероховатой трубы»). В этом режиме сопротивление потоку изменяется в соответствии с квадратом средней скорости потока и нечувствительно к числу Рейнольдса. Здесь полезно использовать еще один безразмерный параметр потока — число Рейнольдса шероховатости ^[14]

${\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}}$

где высота шероховатости ε масштабируется относительно диаметра трубы D.

Рисунок 3. Функция шероховатости B в зависимости от числа Рейнольдса трения R _∗ . При построении графика таким образом данные попадают на одну траекторию. Режим R _∗ < 1 фактически соответствует режиму гладкого течения в трубе. При больших значениях R _∗ функция шероховатости B приближается к постоянному значению. Показаны феноменологические функции, пытающиеся подогнать эти данные, включая Afzal ^[15] и Colebrook–White ^{[16] .}

Наглядно можно построить график функции шероховатости B : ^[17]

${\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

На рисунке 3 показана зависимость B от R _∗ для грубых данных по трубам Никурадсе ^[14] , Шоклинга ^{[18] и Лангеландсвика [19]} .

С этой точки зрения данные при разных коэффициентах шероховатости ⁠ε/Д⁠ сходятся вместе при построении графика относительно R _∗ , демонстрируя масштабирование в переменной R _∗ . Присутствуют следующие особенности:

• При ε = 0 R ∗ _{тождественно} равен нулю: поток всегда находится в режиме гладкой трубы. Данные для этих точек лежат в левом экстремуме оси абсцисс и не попадают в рамки графика.
• При R _∗ < 5 данные лежат на линии B ( R _∗ ) = R _∗ ; поток находится в режиме гладкой трубы.
• При R _∗ > 100 данные асимптотически приближаются к горизонтальной линии; они не зависят от Re , f _D и ⁠ε/Д⁠ .
• Промежуточный диапазон 5 < R _∗ < 100 представляет собой переход от одного поведения к другому. Данные очень медленно отходят от линии B ( R _∗ ) = R _∗ , достигают максимума вблизи R _∗ = 10 , затем падают до постоянного значения.

Подгонка Афзала к этим данным при переходе от гладкого течения трубы к шероховатому течению трубы использует экспоненциальное выражение в R _∗ , которое обеспечивает правильное поведение для 1 < R _∗ < 50 (переход от режима гладкой трубы к режиму шероховатой трубы): ^{[15] [20] [21]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.305R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

Эта функция имеет те же значения для своего члена, что и уравнение сопротивления Кармана–Прандтля, плюс один параметр 0,305 или 0,34 для соответствия асимптотическому поведению для R _∗ → ∞ вместе с одним дополнительным параметром, 11, для управления переходом от плавного к грубому потоку. Он представлен на рисунке 3.

Коэффициент трения для другой аналогичной шероховатости становится

 : ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.0\,\log _{10}\left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.305R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

и

: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.93\,\log _{10}\left({\frac {1.91}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.34R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

Эта функция имеет те же значения для своего члена, что и уравнение сопротивления Кармана–Прандтля, плюс один параметр 0,305 или 0,34 для соответствия асимптотическому поведению при R _∗ → ∞, а также еще один параметр, 26, для управления переходом от плавного к грубому потоку.

Соотношение Коулбрука–Уайта ^[16] соответствует коэффициенту трения с функцией вида

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}$^[г]

Это соотношение имеет правильное поведение при экстремальных значениях R _∗ , как показано помеченной кривой на рисунке 3: когда R _∗ мало, оно соответствует гладкому потоку в трубе, когда велико, оно соответствует шероховатому потоку в трубе. Однако его работа в переходной области существенно переоценивает коэффициент трения. ^[18] Коулбрук признает расхождение с данными Никурадзе, но утверждает, что его соотношение согласуется с измерениями на коммерческих трубах. Действительно, такие трубы сильно отличаются от тех, которые были тщательно подготовлены Никурадзе: их поверхности характеризуются множеством различных высот шероховатости и случайным пространственным распределением точек шероховатости, в то время как поверхности Никурадзе имеют поверхность с равномерной высотой шероховатости, причем точки расположены чрезвычайно плотно.

Расчет коэффициента трения по его параметризации

Для турбулентного потока методы нахождения коэффициента трения f _D включают использование диаграммы, такой как диаграмма Муди , или решение уравнений, таких как уравнение Коулбрука–Уайта (на котором основана диаграмма Муди), или уравнение Свами–Джейна . В то время как соотношение Коулбрука–Уайта в общем случае является итеративным методом, уравнение Свами–Джейна позволяет найти f _D ^{напрямую для полного потока в круглой трубе. [11]}

Прямой расчет при потерях на трениеСизвестно

В типичных инженерных приложениях будет набор заданных или известных величин. Ускорение свободного падения g и кинематическая вязкость жидкости ν известны, как и диаметр трубы D и высота ее шероховатости ε . Если также известна потеря напора на единицу длины S , то коэффициент трения f _D можно рассчитать непосредственно из выбранной подгоночной функции. Решая уравнение Дарси–Вейсбаха относительно √ f _D ,

${\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}}$

Теперь мы можем выразить Re √ f _D :

${\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}$

Выражая шероховатость числом Рейнольдса R _∗ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}}$

у нас есть два параметра, необходимые для подстановки в соотношение Коулбрука–Уайта или любую другую функцию для коэффициента трения f _D , скорости потока ⟨ v ⟩ и объемного расхода Q .

Путаница с коэффициентом трения Фэннинга

Коэффициент трения Дарси–Вейсбаха f _D в 4 раза больше коэффициента трения Фэннинга f , поэтому следует обратить внимание на то, какой из них подразумевается в любой используемой таблице или уравнении «коэффициента трения». Из этих двух коэффициент Дарси–Вейсбаха f _D чаще используется инженерами-строителями и инженерами-механиками, а коэффициент Фэннинга f — инженерами-химиками, но следует проявлять осторожность, чтобы определить правильный коэффициент независимо от источника таблицы или формулы.

Обратите внимание, что

${\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}$

Большинство диаграмм или таблиц указывают тип коэффициента трения или, по крайней мере, дают формулу для коэффициента трения при ламинарном потоке. Если формула для ламинарного потока f = ⁠16/Повторно⁠ , это фактор Фаннинга f , и если формула для ламинарного потока имеет вид f _D = ⁠64/Повторно⁠ , это фактор Дарси–Вейсбаха f _D .

Какой коэффициент трения отображен на диаграмме Муди, можно определить путем проверки, если издатель не включил формулу, описанную выше:

1. Наблюдайте значение коэффициента трения для ламинарного течения при числе Рейнольдса 1000.
2. Если значение коэффициента трения равно 0,064, то коэффициент трения Дарси отображается на диаграмме Муди. Обратите внимание, что ненулевые цифры в 0,064 являются числителем в формуле для ламинарного коэффициента трения Дарси: f _D = ⁠64/Повторно⁠ .
3. Если значение коэффициента трения равно 0,016, то коэффициент трения Фэннинга нанесен на диаграмму Муди. Обратите внимание, что ненулевые цифры в 0,016 являются числителем в формуле для ламинарного коэффициента трения Фэннинга: f = ⁠16/Повторно⁠ .

Процедура выше подобна для любого доступного числа Рейнольдса, которое является целой степенью десяти. Для этой процедуры не обязательно помнить значение 1000 — для этой цели интерес представляет только то, что целая степень десяти.

История

Исторически это уравнение возникло как вариант уравнения Прони ; этот вариант был разработан Генри Дарси из Франции и далее усовершенствован до формы, используемой сегодня Юлиусом Вайсбахом из Саксонии в 1845 году. Первоначально данные об изменении f _D со скоростью отсутствовали, поэтому уравнение Дарси–Вайсбаха сначала уступало эмпирическому уравнению Прони во многих случаях. В последующие годы его избегали во многих особых случаях в пользу различных эмпирических уравнений, действительных только для определенных режимов течения, в частности, уравнения Хазена–Вильямса или уравнения Мэннинга , большинство из которых было значительно проще использовать в расчетах. Однако с появлением калькулятора простота расчетов больше не является основной проблемой, и поэтому общность уравнения Дарси–Вайсбаха сделала его предпочтительным. ^[22]

Вывод с помощью размерного анализа

Вдали от концов трубы характеристики потока не зависят от положения вдоль трубы. Ключевыми величинами являются падение давления вдоль трубы на единицу длины, ⁠Δ п/Л⁠ , и объемный расход. Расход можно преобразовать в среднюю скорость потока V , разделив на смоченную площадь потока (которая равна площади поперечного сечения трубы, если труба заполнена жидкостью).

Давление имеет размерность энергии на единицу объема, поэтому падение давления между двумя точками должно быть пропорционально динамическому давлению q. Мы также знаем, что давление должно быть пропорционально длине трубы между двумя точками L , поскольку падение давления на единицу длины является константой. Чтобы превратить соотношение в коэффициент пропорциональности безразмерной величины, мы можем разделить на гидравлический диаметр трубы, D , который также постоянен вдоль трубы. Следовательно,

${\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}q={\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\langle v\rangle }^{2}}$

Коэффициент пропорциональности — это безразмерный « коэффициент трения Дарси » или «коэффициент расхода». Этот безразмерный коэффициент будет представлять собой комбинацию геометрических факторов, таких как π , число Рейнольдса и (вне ламинарного режима) относительная шероховатость трубы (отношение высоты шероховатости к гидравлическому диаметру ).

Обратите внимание, что динамическое давление не является кинетической энергией жидкости на единицу объема ^{[ необходима ссылка ]} по следующим причинам. Даже в случае ламинарного течения , когда все линии потока параллельны длине трубы, скорость жидкости на внутренней поверхности трубы равна нулю из-за вязкости, и скорость в центре трубы должна быть больше средней скорости, полученной путем деления объемного расхода на мокрую площадь. Тогда средняя кинетическая энергия включает в себя среднеквадратичную скорость , которая всегда превышает среднюю скорость. В случае турбулентного течения жидкость приобретает случайные компоненты скорости во всех направлениях, включая перпендикулярные длине трубы, и, таким образом, турбулентность вносит вклад в кинетическую энергию на единицу объема, но не в среднюю продольную скорость жидкости.

Практическое применение

В гидротехническом применении типично, что объемный расход Q в трубе (то есть ее производительность) и потеря напора на единицу длины S (сопутствующее энергопотребление) являются критически важными факторами. Практическим следствием является то, что при фиксированном объемном расходе Q потеря напора S уменьшается пропорционально обратной пятой степени диаметра трубы D. Удвоение диаметра трубы заданного графика (например, графика ANSI 40) примерно удваивает количество материала, требуемого на единицу длины, и, следовательно, его стоимость установки. Между тем, потеря напора уменьшается в 32 раза (примерно на 97%). Таким образом, энергия, потребляемая при перемещении заданного объемного расхода жидкости, резко сокращается при скромном увеличении капитальных затрат.

Преимущества

Точность и универсальность формулы Дарси-Вайсбаха делает ее идеальной формулой для потока в трубах. Преимущества уравнения следующие: ^[1]

• Он основан на фундаментальных принципах.
• Он размерно согласован.
• Он пригоден для любых жидкостей, включая нефть, газ, рассол и шламы.
• Его можно вывести аналитически в области ламинарного течения.
• Он полезен в переходной области между ламинарным течением и полностью развитым турбулентным течением.
• Изменение коэффициента трения хорошо документировано.

Смотрите также

• принцип Бернулли
• Формулы коэффициента трения Дарси
• Число Эйлера
• Потери на трение
• Уравнение Хазена–Вильямса
• Уравнение Хагена–Пуазейля
• Водопроводная труба

Примечания

1. Значение коэффициента трения Дарси в четыре раза больше, чем значение коэффициента трения Фэннинга , с которым его не следует путать. ^[2]
2. Это связано с пьезометрическим напором вдоль трубы.
3. Однако данные демонстрируют систематическое отклонение до 50% от теоретического уравнения Хагена–Пуазейля в области Re > 500 вплоть до начала критического течения.
4. В своей первоначально опубликованной форме,

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left(2.51{\frac {1}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+{\frac {1}{3.7}}{\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

Ссылки

1. Jones, Garr M., ред. (2006). Проектирование насосной станции (3-е изд.). Burlington, MA: Butterworth-Heinemann. стр. 3.5. ISBN 978-0-08-094106-6. OCLC  144609617.
2. Мэннинг, Фрэнсис С.; Томпсон, Ричард Э. (1991). Переработка нефти на нефтяных месторождениях. Том 1: Природный газ . PennWell Books. стр. 293. ISBN 0-87814-343-2.
3. Браун 2002, стр. 35-36
4. Браун 2002, стр. 36-37
5. Браун 2002, стр. 35-36
6. Браун 2002, стр. 37
7. Браун 2002, стр. 39
8. Хауэлл, Глен (1970-02-01). "3.9.2". Aerospace Fluid Component Designers' Handbook. Том I. Редондо-Бич, Калифорния: TRW Systems Group. стр. 87, уравнение 3.9.2.1e. Архивировано из оригинала 20 октября 2020 г. – через Defense Technical Information Center.
9. Рауз, Х. (1946). Элементарная механика жидкостей. John Wiley & Sons.
10. Инкопера, Фрэнк П.; Девитт, Дэвид П. (2002). Основы тепло- и массообмена (5-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 470, параграф 3.
11. Crowe, Clayton T.; Elger, Donald F.; Robertson, John A. (2005). Engineering Fluid Mechanics (8-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 379; Eq. 10:23, 10:24, абзац 4.

    ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=2\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.8\quad {\text{for }}\mathrm {Re} >3000.}$

12. Чаудхри, МХ (2013). Прикладные гидравлические переходные процессы (3-е изд.). Springer. стр. 45. ISBN 978-1-4614-8538-4.
13. McKeon, BJ ; Zagarola, M. V; Smits, AJ (2005). "Новое соотношение коэффициента трения для полностью развитого потока в трубе" (PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 538 . Cambridge University Press: 429–443. Bibcode :2005JFM...538..429M. doi :10.1017/S0022112005005501. S2CID  15642454 . Получено 25 июня 2016 г. .
14. Никурадсе, Дж. (1933). «Strömungsgesetze в Рауэне Рорене» (PDF) . ВДИ Форшунгшефт . 361 . Берлин: 1–22.В переводе NACA TM 1292. Данные доступны в цифровом виде ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} .
15. Afzal, Noor (2007). «Коэффициент трения непосредственно из переходной шероховатости в турбулентном потоке в трубе». Журнал по гидродинамике . 129 (10). ASME: 1255–1267. doi : 10.1115/1.2776961.
16. Colebrook, CF (февраль 1939). «Турбулентный поток в трубах, с особым акцентом на переходную область между законами гладких и шероховатых труб». Журнал Института инженеров-строителей . Лондон. doi :10.1680/ijoti.1939.14509.
17. Шлихтинг, Х. (1955). Теория пограничного слоя . McGraw-Hill.
18. Shockling, MA; Allen, JJ; Smits, AJ (2006). «Эффекты шероховатости в турбулентном потоке в трубе». Журнал механики жидкости . 564 : 267–285. Bibcode : 2006JFM...564..267S. doi : 10.1017/S0022112006001467. S2CID  120958504.
19. Langelandsvik, LI; Kunkel, GJ; Smits, AJ (2008). "Flow in a commercial steel pipe" (PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 595 . Cambridge University Press: 323–339. Bibcode :2008JFM...595..323L. doi :10.1017/S0022112007009305. S2CID  59433444. Архивировано из оригинала (PDF) 16 августа 2016 года . Получено 25 июня 2016 года .
20. Афзал, Нур (2011). «Опечатка: Коэффициент трения непосредственно из переходной шероховатости в турбулентном потоке трубы». Журнал по гидродинамике . 133 (10). ASME: 107001. doi : 10.1115/1.4004961.
21. Афзал, Нур; Сина, Абу; Бушра, А. (2013). «Турбулентный поток в шероховатой трубе с машинной обработкой для больших чисел Рейнольдса: общие законы масштабирования шероховатости». Журнал исследований гидроокружающей среды . 7 (1). Elsevier: 81–90. doi :10.1016/j.jher.2011.08.002.
22. Браун, GO (2003). "История уравнения Дарси-Вейсбаха для сопротивления потока в трубе". В Rogers, JR; Fredrich, AJ (ред.). История охраны окружающей среды и водных ресурсов. Американское общество инженеров-строителей. стр. 34–43. doi :10.1061/40650(2003)4. ISBN 978-0-7844-0650-2.

18. Афзал, Нур (2013) «Эффекты шероховатости стальных труб коммерческого назначения в турбулентном потоке: универсальное масштабирование». Канадский журнал гражданского строительства 40, 188-193.

Дальнейшее чтение

• Де Невер (1970). Механика жидкости . Эддисон–Уэсли. ISBN 0-201-01497-1.
• Шах, Р. К.; Лондон, А. Л. (1978). «Вынужденная конвекция ламинарного потока в воздуховодах». Приложение 1 к Advances in Heat Transfer . Нью-Йорк: Academic.
• Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ganić, EN (1985). Справочник по основам теплопередачи (2-е изд.). McGraw–Hill Book Company. ISBN 0-07-053554-X.
• Гленн О. Браун (2002). «История уравнения Дарси-Вейсбаха для сопротивления потоку в трубе». researchgate.net .

Внешние ссылки

• История уравнения Дарси-Вейсбаха Архивировано 20 июля 2011 г. на Wayback Machine
• Калькулятор уравнения Дарси–Вейсбаха
• Калькулятор падения давления в трубах. Архивировано 13 июля 2019 г. на Wayback Machine для однофазных потоков.
• Калькулятор падения давления в трубе для двухфазных потоков. Архивировано 2019-07-13 на Wayback Machine
• Калькулятор падения давления в трубах с открытым исходным кодом.
• Веб-приложение с расчетами падения давления в трубах и воздуховодах
• ThermoTurb – веб-приложение для анализа термических и турбулентных потоков