Принцип Бернулли

Принцип, относящийся к гидродинамике

Поток воздуха через расходомер Вентури . Кинетическая энергия увеличивается за счет давления жидкости , о чем свидетельствует разница в высоте двух столбов воды.

Видео измерителя Вентури, использованного в лабораторном эксперименте

Принцип Бернулли — ключевая концепция гидродинамики , связывающая давление, скорость и высоту. Принцип Бернулли гласит , что увеличение скорости жидкости происходит одновременно с уменьшением статического давления или потенциальной энергии жидкости . ^{[1] : Ch.3  [2] : 156–164, § 3.5} Принцип назван в честь швейцарского математика и физика Даниэля Бернулли , опубликовавшего его в своей книге «Гидродинамика» в 1738 году. ^[3] Хотя Бернулли сделал вывод, что давление уменьшается при скорость потока увеличивается, именно Леонард Эйлер в 1752 году вывел уравнение Бернулли в его обычном виде. ^{[4] [5]}

Принцип Бернулли можно вывести из закона сохранения энергии . Это утверждает, что в установившемся потоке сумма всех форм энергии в жидкости одинакова во всех точках, свободных от вязких сил. Для этого необходимо, чтобы сумма кинетической энергии , потенциальной энергии и внутренней энергии оставалась постоянной. ^{[2] : § 3.5} Таким образом, увеличение скорости жидкости, подразумевающее увеличение ее кинетической энергии, происходит с одновременным уменьшением (суммы) ее потенциальной энергии (включая статическое давление) и внутренней энергии. Если жидкость вытекает из резервуара, сумма всех форм энергии одинакова, поскольку в резервуаре энергия единицы объема (сумма давления и гравитационного потенциала ρ  g  h ) везде одинакова. ^{[6] : Пример 3.5 и стр. 116.}

Принцип Бернулли также может быть выведен непосредственно из второго закона движения Исаака Ньютона . Если небольшой объем жидкости течет горизонтально из области высокого давления в область низкого давления, то давление сзади больше, чем спереди. Это создает чистую силу, воздействующую на объем, ускоряя его вдоль линии тока. ^{[а] [б] [в]}

Частицы жидкости подвержены только давлению и собственному весу. Если жидкость течет горизонтально и вдоль участка линии тока, где скорость увеличивается, это может быть только потому, что жидкость на этом участке переместилась из области более высокого давления в область более низкого давления; и если его скорость уменьшится, то это может быть только потому, что он переместился из области более низкого давления в область более высокого давления. Следовательно, в жидкости, текущей горизонтально, наибольшая скорость возникает там, где давление наименьшее, а наименьшая скорость наблюдается там, где давление максимальное. ^[10]

Принцип Бернулли применим только для изэнтропических потоков : когда эффекты необратимых процессов (например, турбулентности ) и неадиабатических процессов (например, теплового излучения ) малы и ими можно пренебречь. Однако этот принцип можно применять к различным типам потоков в этих пределах, что приводит к различным формам уравнения Бернулли. Простая форма уравнения Бернулли справедлива для несжимаемых потоков (например, большинства потоков жидкости и газов , движущихся с низким числом Маха ). Более продвинутые формы могут быть применены к сжимаемым потокам при более высоких числах Маха.

Уравнение течения несжимаемой жидкости

В большинстве потоков жидкостей и газов с низким числом Маха плотность пакета жидкости можно считать постоянной, независимо от изменений давления в потоке. Поэтому жидкость можно считать несжимаемой, и эти течения называются несжимаемыми . Бернулли проводил свои эксперименты над жидкостями, поэтому его уравнение в исходном виде справедливо только для несжимаемого течения.

Общая форма уравнения Бернулли:

где:

• ${\displaystyle v}$- скорость потока жидкости в точке,
• ${\displaystyle g}$- ускорение свободного падения ,
• ${\displaystyle z}$- это высота точки над базовой плоскостью, причем положительное направление направлено вверх, то есть в направлении, противоположном ускорению свободного падения, ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle p}$– давление в выбранной точке, а
• ${\displaystyle \rho }$- плотность жидкости во всех точках жидкости.

Уравнение Бернулли и постоянная Бернулли применимы в любой области потока, где энергия на единицу массы однородна. Поскольку энергия на единицу массы жидкости в хорошо перемешанном резервуаре одинакова повсюду, уравнение Бернулли можно использовать для анализа потока жидкости повсюду в этом резервуаре (включая трубы или поля потока, которые питает резервуар), за исключением случаев, когда доминируют и разрушают силы вязкости. энергия единицы массы. ^{[6] : Пример 3.5 и стр. 116.}

Для применения этого уравнения Бернулли должны быть выполнены следующие предположения: ^{[2] : 265}

• поток должен быть стационарным , то есть параметры потока (скорость, плотность и т. д.) в любой точке не могут меняться со временем,
• поток должен быть несжимаемым — даже если давление меняется, плотность должна оставаться постоянной вдоль линии тока;
• трение вязкими силами должно быть незначительным.

Для консервативных силовых полей (не ограничивающихся гравитационным полем ) уравнение Бернулли можно обобщить как: ^{[2] : 265}

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$$

ΨΨ = gz

Умножив на плотность жидкости ρ , уравнение ( A ) можно переписать как:

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{constant}}}$$

$${\displaystyle q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{constant}}}$$

• q =1/2ρv ² – динамическое давление ,
• ч = z +п/ρг- пьезометрический напор или гидравлический напор (сумма высоты z и напора ) ^{[11] [12]} и
• p ₀ = p + q – давление торможения (сумма статического давления p и динамического давления q ). ^[13]

Константу в уравнении Бернулли можно нормировать. Распространенный подход заключается в использовании общего напора или энергетического напора H :

$${\displaystyle H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},}$$

Приведенные выше уравнения предполагают, что существует скорость потока, при которой давление равно нулю, а при еще более высоких скоростях давление отрицательно. Чаще всего газы и жидкости не способны к отрицательному абсолютному давлению или даже к нулевому давлению, поэтому очевидно, что уравнение Бернулли перестает быть справедливым до того, как будет достигнуто нулевое давление. В жидкостях — когда давление становится слишком низким — возникает кавитация . В приведенных выше уравнениях используется линейная зависимость между квадратом скорости потока и давлением. При более высоких скоростях потока в газах или звуковых волнах в жидкости изменения массовой плотности становятся значительными, поэтому предположение о постоянной плотности становится неверным.

Упрощенная форма

Во многих приложениях уравнения Бернулли изменение члена ρgz настолько мало по сравнению с другими членами, что его можно игнорировать. Например, в случае самолета в полете изменение высоты z настолько мало, что член ρgz можно опустить. Это позволяет представить приведенное выше уравнение в следующем упрощенном виде:

$${\displaystyle p+q=p_{0}}$$

p0полным давлениемq_{динамическим} давлением^[14]pp ₀q«Аэродинамике^{[1] : § 3.5}

Упрощенную форму уравнения Бернулли можно резюмировать в следующем запоминающемся словесном уравнении: ^{[1] : § 3.5.}

статическое давление + динамическое давление = общее давление

Каждая точка постоянно текущей жидкости, независимо от скорости жидкости в этой точке, имеет свое собственное уникальное статическое давление p и динамическое давление q . Их сумма p + q определяется как полное давление p ₀ . Значение принципа Бернулли теперь можно резюмировать так: «Полное давление постоянно в любой области, свободной от вязких сил». Если поток жидкости в какой-то точке останавливается, эта точка называется точкой торможения, и в этой точке статическое давление равно давлению торможения .

Если поток жидкости безвихревой , общее давление однородно, и принцип Бернулли можно резюмировать как «общее давление постоянно в потоке жидкости». ^{[1] : Уравнение 3.12.} Разумно предположить, что безвихревой поток существует в любой ситуации, когда большой объем жидкости протекает мимо твердого тела. Примерами являются самолеты в полете и корабли, движущиеся в открытых водоемах. Однако принцип Бернулли не применим в пограничном слое , например, при течении через длинные трубы .

Нестационарный потенциальный поток

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального течения используется в теории поверхностных волн океана и акустике . Для безвихревого потока скорость потока можно описать как градиент ∇ φ потенциала скорости φ . В этом случае и для постоянной плотности ρ уравнения количества движения уравнений Эйлера можно проинтегрировать до: ^{[2] : 383}

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$$

которое представляет собой уравнение Бернулли, справедливое также для нестационарных или зависящих от времени течений. Здесь∂ φ/∂ тобозначает частную производную потенциала скорости φ по времени t , а v = | ∇ φ | это скорость потока. Функция f ( t ) зависит только от времени, а не от положения в жидкости. В результате уравнение Бернулли в некоторый момент t применимо во всей области жидкости. Это справедливо и для частного случая стационарного безвихревого течения, когда f и∂ φ/∂ тявляются константами, поэтому уравнение ( A ) можно применять в каждой точке области жидкости. ^{[2] : 383} Далее f ( t ) можно сделать равным нулю, включив его в потенциал скорости с помощью преобразования:

$${\displaystyle \Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.}$$

Обратите внимание, что это преобразование не влияет на связь потенциала со скоростью потока: ∇Φ = ∇ φ .

Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока также, по-видимому, играет центральную роль в вариационном принципе Люка , вариационном описании потоков со свободной поверхностью с использованием лагранжевой механики .

Уравнение потока сжимаемой жидкости

Бернулли развил свой принцип на основе наблюдений над жидкостями, и уравнение Бернулли справедливо для идеальных жидкостей: несжимаемых, безвихревых, невязких и подверженных действию консервативных сил. Иногда это справедливо и для течения газов: при условии, что не происходит передачи кинетической или потенциальной энергии от газового потока на сжатие или расширение газа. Если одновременно изменяются давление и объем газа, то работа будет совершена газом или газом. В этом случае уравнение Бернулли — в его форме несжимаемого потока — нельзя считать справедливым. Однако, если газовый процесс полностью изобарный или изохорный , то работа над газом или газом не совершается (поэтому простой энергетический баланс не нарушается). Согласно газовому закону, изобарный или изохорный процесс обычно является единственным способом обеспечить постоянную плотность газа. Также плотность газа будет пропорциональна соотношению давления и абсолютной температуры ; однако это соотношение будет меняться при сжатии или расширении, независимо от того, какое ненулевое количество тепла добавляется или удаляется. Единственным исключением является случай, когда чистая теплопередача равна нулю, как в полном термодинамическом цикле или в отдельном изэнтропическом ( адиабатическом ) процессе без трения, и даже в этом случае этот обратимый процесс необходимо обратить вспять, чтобы восстановить газ до исходного давления и удельного объема. , и, следовательно, плотность. Только в этом случае применимо исходное немодифицированное уравнение Бернулли. В этом случае уравнение можно использовать, если скорость потока газа значительно ниже скорости звука , так что изменение плотности газа (из-за этого эффекта) вдоль каждой линии тока можно игнорировать. Адиабатический поток со скоростью менее 0,3 Маха обычно считается достаточно медленным. ^[15]

Можно использовать фундаментальные принципы физики для разработки аналогичных уравнений, применимых к сжимаемым жидкостям. Существует множество уравнений, каждое из которых предназначено для конкретного применения, но все они аналогичны уравнению Бернулли и основаны не более чем на фундаментальных принципах физики, таких как законы движения Ньютона или первый закон термодинамики .

Сжимаемый поток в гидродинамике

Для сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния и под действием консервативных сил ^[16]

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constant (along a streamline)}}}$$

• р - давление
• ρ — плотность, а ρ ( p ) указывает, что она является функцией давления.
• v - скорость потока
• Ψ - потенциал, связанный с консервативным силовым полем, часто гравитационный потенциал.

В инженерных ситуациях возвышения обычно невелики по сравнению с размером Земли, а временные масштабы потока жидкости достаточно малы, чтобы считать уравнение состояния адиабатическим. В этом случае приведенное выше уравнение для идеального газа принимает вид: ^{[1] : § 3.11.}

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}}$$

• γ - отношение удельных теплоемкостей жидкости
• g - ускорение свободного падения
• z — высота точки над базовой плоскостью.

Во многих приложениях сжимаемого потока изменения высоты незначительны по сравнению с другими членами, поэтому член gz можно опустить. Тогда очень полезная форма уравнения:

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}}$$

где:

• p ₀ — полное давление
• ρ ₀ — полная плотность

Сжимаемое течение в термодинамике

Наиболее общая форма уравнения, пригодная для использования в термодинамике в случае (квази)стационарного течения, следующая: ^{[2] : § 3.5  [17] : § 5  [18] : § 5.9}

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.}$$

Здесь w — энтальпия на единицу массы (также известная как удельная энтальпия), которую также часто записывают как h (не путать с «головой» или «высотой»).

Обратите внимание, что

$${\displaystyle w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)}$$

eтермодинамическаяудельная внутренняя энергия ${\displaystyle e}$

Константу в правой части часто называют постоянной Бернулли и обозначают b . Для устойчивого невязкого адиабатического течения без дополнительных источников или стоков энергии b является постоянным вдоль любой заданной линии тока. В более общем смысле, когда b может меняться вдоль линий тока, он все равно остается полезным параметром, связанным с «напором» жидкости (см. Ниже).

Когда изменением Ψ можно пренебречь, очень полезная форма этого уравнения:

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}}$$

w ₀

При наличии ударных волн в системе отсчета , в которой скачок скачка является стационарным, а поток устойчивым, многие параметры в уравнении Бернулли претерпевают резкие изменения при прохождении через скачок скачка. Параметр Бернулли остается неизменным. Исключением из этого правила являются радиационные удары, которые нарушают предположения, ведущие к уравнению Бернулли, а именно отсутствие дополнительных стоков или источников энергии.

Нестационарный потенциальный поток

Для сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния нестационарное уравнение сохранения импульса

$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}}$$

В предположении безвихревости, а именно, скорость потока можно описать как градиент ∇ φ потенциала скорости φ . Нестационарное уравнение сохранения импульса принимает вид

$${\displaystyle {\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}}$$

В этом случае приведенное выше уравнение для изоэнтропического потока принимает вид:

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$$

Выводы

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости

Уравнение Бернулли для несжимаемых жидкостей можно вывести либо путем интегрирования второго закона движения Ньютона, либо путем применения закона сохранения энергии , игнорируя вязкость , сжимаемость и тепловые эффекты.

Вывод путем интеграции второго закона движения Ньютона.

Самый простой вывод — сначала игнорировать гравитацию и учитывать сужения и расширения в трубах, которые в остальном являются прямыми, как это видно в эффекте Вентури . Пусть ось x направлена ​​вниз по оси трубы.

Определим пакет жидкости, движущийся по трубе с площадью поперечного сечения A , длиной d x и объемом A d x . Если массовая плотность равна ρ , масса посылки равна плотности, умноженной на ее объем m = ρA d x . Изменение давления на расстоянии d x равно d p , а скорость потока v =д х/д т.

Примените второй закон движения Ньютона (сила = масса × ускорение) и осознайте, что действующая сила, действующая на пакет жидкости, равна — A d p . Если давление уменьшается по длине трубы, d p отрицательно, но сила, вызывающая поток, положительна вдоль оси x .

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$$

В установившемся потоке поле скорости постоянно по времени, v = v ( x ) = v ( x ( t )) , поэтому v само по себе не является прямой функцией времени t . Площадь поперечного сечения изменяется только тогда, когда посылка проходит через x : v зависит от t только через положение поперечного сечения x ( t ) .

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).}$$

При постоянной плотности ρ уравнение движения можно записать в виде

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$$

интегрированием по x

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$$

где C — константа, иногда называемая константой Бернулли. Это не универсальная константа , а скорее константа конкретной жидкостной системы. Вывод такой: там, где скорость большая, давление низкое и наоборот.

В приведенном выше выводе не используется никакой внешний принцип работы-энергии. Скорее, принцип Бернулли был получен путем простой манипуляции со вторым законом Ньютона.

Трубка потока жидкости движется вправо. Указываются давление, высота, скорость потока, расстояние ( s ) и площадь поперечного сечения. Обратите внимание, что на этом рисунке высота обозначена как h , в отличие от текста, где она указана как z .

Вывод с использованием сохранения энергии

Другой способ вывести принцип Бернулли для несжимаемого потока — применить закон сохранения энергии. ^[19] В форме теоремы о работе-энергии , утверждающей, что ^[20]

изменение кинетической энергии системы E _{kin равно чистой работе} W, совершаемой над системой ;

$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.}$$

Поэтому,

работа , совершаемая силами жидкости , равна увеличению кинетической энергии .

Система состоит из объема жидкости, первоначально находящегося между сечениями А ₁ и А ₂ . За интервал времени Δt элементы жидкости первоначально в входном сечении А ₁ перемещаются на расстояние s 1 ₌ v 1 _Δ t , а в выходном сечении жидкость удаляется от сечения А ₂ на расстояние s _{2 знак} равно v ₂ Δ т . Объемы вытесняемой жидкости на притоке и выходе составляют соответственно A ₁ s ₁ и A ₂ s ₂ . Соответствующие массы вытесненной жидкости – когда ρ – массовая плотность жидкости – равны плотности, умноженной на объем, поэтому ρA ₁ s ₁ и ρA ₂ s ₂ . В силу сохранения массы эти две массы, смещенные за интервал времени Δ t , должны быть равны, и эта смещенная масса обозначается  Δ m :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}}$$

Работа, совершаемая силами, состоит из двух частей:

• Работа , совершаемая давлением , действующим на площади А ₁ и А ₂
  $${\displaystyle W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$
• Работа , совершаемая силой тяжести : гравитационная потенциальная энергия в объёме А ₁ с ₁ теряется, а при истечении в объёме А ₂ с ₂ приобретается. Итак, изменение гравитационной потенциальной энергии Δ E _pot,gravity за интервал времени Δ t равно

$${\displaystyle \Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.}$$

Теперь работа силы тяжести противоположна изменению потенциальной энергии W _Gravity = − ΔE _pot,Gravity : пока сила тяжести действует в отрицательном направлении z , работа — сила тяжести раз изменяется с высотой — будет отрицательным при положительном изменении высоты Δ z = z ₂ - z ₁ , в то время как соответствующее изменение потенциальной энергии будет положительным. ^{[21] : 14–4, §14–3} Итак:

$${\displaystyle W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.}$$

Поэтому полная работа, совершенная за этот интервал времени Δt , равна

$${\displaystyle W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.}$$

Увеличение кинетической энергии равно

$${\displaystyle \Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.}$$

Объединив все это, теорема о работе кинетической энергии W = Δ E _kin дает: ^[19]

$${\displaystyle \Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}}$$

или

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$

После деления на массу Δ m = ρA ₁ v ₁ Δ t = ρA ₂ v ₂ Δ t результат: ^[19]

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$$

или, как указано в первом абзаце:

Дальнейшее деление на g дает следующее уравнение. Обратите внимание, что каждый термин можно описать в измерении длины (например, в метрах). Это уравнение головы, полученное из принципа Бернулли:

Средний член z представляет собой потенциальную энергию жидкости из-за ее возвышения относительно базовой плоскости. Теперь z называется высотой возвышения и получает обозначение z _{возвышение} .

Свободно падающая масса с высоты z > 0 (в вакууме ) достигнет скорости

$${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{z}}},}$$

при достижении высоты z = 0 . Или при перестановке в head :

$${\displaystyle h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}}$$

Терминв ²/2 гназывается скоростным напором и выражается как измерение длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости, обусловленную ее движением.

Гидростатическое давление p определяется как

$${\displaystyle p=p_{0}-\rho gz,}$$

при p ₀ некоторое эталонное давление или при перестановке в напор :

$${\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rho g}}.}$$

Терминп/ρгтакже называется напором и выражается как мера длины. Он представляет собой внутреннюю энергию жидкости, обусловленную давлением, оказываемым на контейнер. Напор, обусловленный скоростью потока, и напор, обусловленный статическим давлением, в сочетании с высотой над базовой плоскостью, получают простое соотношение, полезное для несжимаемых жидкостей, с использованием скоростного напора, напора возвышения и напора давления.

Если уравнение 1 умножается на плотность жидкости, получается уравнение с тремя членами давления:

Обратите внимание, что в этой форме уравнения Бернулли давление системы постоянно. Если статическое давление системы (третий член) увеличивается и если давление из-за подъема (средний член) постоянно, то динамическое давление (первый член) должно уменьшиться. Другими словами, если скорость жидкости уменьшается, и это происходит не из-за перепада высот, это должно быть связано с увеличением статического давления, сопротивляющегося потоку.

Все три уравнения представляют собой просто упрощенные версии энергетического баланса системы.

Уравнение Бернулли для сжимаемых жидкостей

Вывод для сжимаемых жидкостей аналогичен. Опять же, вывод зависит от (1) сохранения массы и (2) сохранения энергии. Сохранение массы подразумевает, что на приведенном выше рисунке в интервале времени Δ t количество массы, проходящей через границу, определяемую областью A ₁ , равно количеству массы, проходящей наружу через границу, определенную областью A ₂ . :

$${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.}$$

Сохранение энергии применяется аналогичным образом: предполагается, что изменение энергии объема трубы тока, ограниченного А ₁ и А ₂ , полностью обусловлено входом или выходом энергии через одну или другую из этих двух границ. Очевидно, что в более сложной ситуации, такой как поток жидкости в сочетании с излучением, такие условия не выполняются. Тем не менее, если предположить, что это так, и предположить, что поток устойчив, так что чистое изменение энергии равно нулю:

$${\displaystyle \Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0}$$

где Δ E ₁ и Δ E ₂ - энергия, поступающая через A ₁ и выходящая через A ₂ соответственно. Энергия, поступающая через A _{1 ,} представляет собой сумму поступающей кинетической энергии, энергии, поступающей в виде потенциальной гравитационной энергии жидкости, термодинамической внутренней энергии жидкости на единицу массы ( ε ₁ ), поступающей, и энергии, поступающей в форма механической п д V работы:

$${\displaystyle \Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t}$$

где Ψ = gz — потенциал силы, обусловленный гравитацией Земли , g — ускорение силы тяжести, а z — высота над базовой плоскостью. Аналогичное выражение для _ΔE2 легко построить . Итак, теперь положим 0 = Δ E ₁ − Δ E ₂ :

$${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$

который можно переписать как:

$${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$

Теперь, используя ранее полученный результат сохранения массы, это можно упростить и получить

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b}$$

которое представляет собой уравнение Бернулли для сжимаемого потока.

Эквивалентное выражение можно записать через энтальпию жидкости ( h ):

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b}$$

Приложения

Конденсат, видимый на верхней поверхности крыла Airbus A340 , вызванный падением температуры, сопровождающим падение давления.

В современной повседневной жизни есть много наблюдений, которые можно успешно объяснить применением принципа Бернулли, хотя ни одна реальная жидкость не является полностью невязкой ^[22] , а малая вязкость часто оказывает большое влияние на течение.

• Принцип Бернулли можно использовать для расчета подъемной силы на аэродинамическом профиле , если известно поведение потока жидкости вблизи крыла. Например, если воздух, обтекающий верхнюю поверхность крыла самолета, движется быстрее, чем воздух, обтекающий нижнюю поверхность, то принцип Бернулли подразумевает, что давление на поверхности крыла сверху будет ниже, чем снизу. Эта разница давлений приводит к возникновению подъемной силы, направленной вверх . ^{[d] [23]} Всякий раз, когда известно распределение скорости по верхней и нижней поверхностям крыла, подъемную силу можно рассчитать (с хорошим приближением) с использованием уравнений Бернулли, ^[24] которые были установлены Бернулли более столетия. до того, как первые искусственные крылья были использованы для полета.

• Карбюратор , используемый во многих поршневых двигателях, содержит трубку Вентури , создающую область низкого давления для всасывания топлива в карбюратор и тщательного его смешивания с поступающим воздухом . Низкое давление в горловине Вентури можно объяснить принципом Бернулли; в узком горле воздух движется с максимальной скоростью и, следовательно, имеет самое низкое давление.
• Инжектор на паровозе или статическом котле .
• Трубка Пито и статический порт на самолете используются для определения скорости полета самолета. Эти два устройства подключены к указателю воздушной скорости , определяющему динамическое давление воздушного потока, обходящего самолет. Принцип Бернулли используется для калибровки указателя воздушной скорости так, чтобы он отображал указанную воздушную скорость , соответствующую динамическому давлению. ^{[1] : § 3.8}
• Сопло Де Лаваля использует принцип Бернулли для создания силы путем преобразования энергии давления, возникающей при сгорании топлива , в скорость. Затем это создает тягу согласно третьему закону движения Ньютона .
• Скорость потока жидкости можно измерить с помощью такого устройства, как расходомер Вентури или диафрагмы , которые можно поместить в трубопровод для уменьшения диаметра потока. Для горизонтального устройства уравнение неразрывности показывает, что для несжимаемой жидкости уменьшение диаметра приведет к увеличению скорости потока жидкости. Впоследствии принцип Бернулли показывает, что в области уменьшенного диаметра должно происходить уменьшение давления. Это явление известно как эффект Вентури .
• Максимально возможная скорость слива для резервуара с отверстием или краном в основании может быть рассчитана непосредственно из уравнения Бернулли и оказывается пропорциональной квадратному корню из высоты жидкости в резервуаре. Это закон Торричелли , который совместим с принципом Бернулли. Повышенная вязкость снижает скорость слива; это отражается на коэффициенте расхода, который зависит от числа Рейнольдса и формы отверстия. ^[25]

• Захват Бернулли основан на этом принципе, создавая бесконтактную силу сцепления между поверхностью и захватом.
• Во время матча по крикету боулеры постоянно полируют одну сторону мяча. Через некоторое время одна сторона становится довольно шероховатой, а другая остается гладкой. Следовательно, когда мяч подается и проходит через воздух, скорость с одной стороны мяча выше, чем с другой, и это приводит к разнице давлений между сторонами; это приводит к тому, что мяч вращается («раскачивается») во время полета по воздуху, что дает преимущество боулерам.

Заблуждения

Подъемник аэродинамического профиля

Иллюстрация неправильного объяснения подъемной силы профиля, равного времени прохождения.

Одно из наиболее распространенных ошибочных объяснений аэродинамической подъемной силы утверждает, что воздух должен проходить через верхнюю и нижнюю поверхности крыла за одинаковое время, подразумевая, что, поскольку верхняя поверхность представляет собой более длинный путь, воздух должен двигаться над верхней частью крыла. крыло быстрее, чем над днищем. Затем цитируется принцип Бернулли, заключающийся в том, что давление в верхней части крыла должно быть ниже, чем в нижней. ^{[26] [27]}

Однако не существует физического принципа, который требовал бы, чтобы воздух пересекал верхнюю и нижнюю поверхности за одинаковое время. Фактически теория предсказывает, а эксперименты подтверждают, что воздух пересекает верхнюю поверхность за более короткое время, чем нижнюю поверхность, и это объяснение, основанное на равном времени прохождения, неверно. ^{[28] [29] [30]} Хотя это объяснение неверно, ложным является не принцип Бернулли, поскольку этот принцип хорошо известен; Уравнение Бернулли правильно используется в обычных математических трактовках аэродинамической подъемной силы. ^{[31] [32]}

Общие демонстрации в классе

Есть несколько распространенных демонстраций в классе, которые иногда неправильно объясняются с использованием принципа Бернулли. ^[33] Один из них заключается в том, чтобы держать лист бумаги горизонтально так, чтобы он опускался вниз, а затем дуть на него сверху. Когда демонстрант дует на бумагу, бумага поднимается. Затем утверждается, что это происходит потому, что «более быстро движущийся воздух имеет более низкое давление». ^{[34] [35] [36]}

Одну проблему с этим объяснением можно увидеть, продувая нижнюю часть бумаги: если отклонение было вызвано более быстрым движением воздуха, то бумага должна отклоняться вниз; но бумага отклоняется вверх независимо от того, находится ли более быстро движущийся воздух сверху или снизу. ^[37] Другая проблема заключается в том, что когда воздух выходит изо рта демонстранта, он имеет то же давление, что и окружающий воздух; ^[38] давление воздуха ниже не только потому, что он движется; при демонстрации статическое давление воздуха, выходящего изо рта демонстратора, равно давлению окружающего воздуха. ^{[39] [40]} Третья проблема заключается в том, что неверно связывать потоки на двух сторонах листа с помощью уравнения Бернулли, поскольку воздух выше и ниже представляет собой разные поля потока, а принцип Бернулли применим только внутри поля потока. . ^{[41] [42] [43] [44]}

Поскольку формулировка принципа может изменить его смысл, важно правильно сформулировать принцип. ^[45] На самом деле принцип Бернулли гласит, что в потоке постоянной энергии, когда жидкость течет через область более низкого давления, она ускоряется, и наоборот. ^[46] Таким образом, принцип Бернулли касается изменений скорости и изменений давления в поле потока. Его нельзя использовать для сравнения различных полей потока.

Правильное объяснение того, почему бумага поднимается, будет заключаться в том, что шлейф следует за кривой бумаги и что изогнутая линия тока создает градиент давления, перпендикулярный направлению потока, с более низким давлением внутри кривой. ^{[47] [48] [49] [50]} Принцип Бернулли предсказывает, что уменьшение давления связано с увеличением скорости; другими словами, когда воздух проходит над бумагой, он ускоряется и движется быстрее, чем он двигался, когда выходил изо рта демонстратора. Но из демонстрации этого не видно. ^{[51] [52] [53]}

Другие распространенные демонстрации в классе, такие как продувание между двумя подвешенными сферами, надувание большого мешка или подвешивание мяча в воздушном потоке, иногда объясняются столь же вводящим в заблуждение высказыванием: «Более быстро движущийся воздух имеет более низкое давление». ^{[54] [55] [56] [ 57 ] [58] [59] [60] [61]}

Смотрите также

• Закон Торричелли
• Эффект Коанды
• Уравнения Эйлера - для течения невязкой жидкости.
• Гидравлика - прикладная гидромеханика для жидкостей.
• Уравнения Навье – Стокса - для течения вязкой жидкости.
• Эффект чайника
• Терминология в гидродинамике

Примечания

1. Если частица находится в области переменного давления (неисчезающий градиент давления в направлении x ) и если частица имеет конечный размер l , то фронт частицы будет «видеть» давление, отличное от давления задний. Точнее, если давление падает в направлении x (д п/д х< 0 ) давление сзади выше, чем спереди, и частица испытывает (положительную) результирующую силу. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает ускорение, и скорость частицы увеличивается по мере ее движения вдоль линии тока... Уравнение Бернулли описывает это математически (полный вывод см. в приложении). ^[7]
2. Ускорение воздуха вызвано градиентом давления. Воздух ускоряется в направлении скорости, если давление падает. Таким образом, уменьшение давления является причиной более высокой скорости. ^[8]
3. Идея состоит в том, что по мере движения посылки по линии тока, когда она движется в область более высокого давления, впереди будет более высокое давление (выше, чем давление позади), и это будет оказывать на посылку силу, замедляя ее. . И наоборот, если посылка движется в область более низкого давления, позади нее будет более высокое давление (выше, чем давление впереди), что ускоряет ее. Как всегда, любая несбалансированная сила вызовет изменение импульса (и скорости), как того требуют законы движения Ньютона. ^[9]
4. «Когда поток воздуха обтекает профиль крыла, происходят локальные изменения скорости вокруг профиля и, следовательно, изменения статического давления в соответствии с теоремой Бернулли. Распределение давления определяет подъемную силу, момент тангажа и форменное сопротивление профиля. аэродинамический профиль и положение его центра давления». ^{[1] : § 5.5}

Рекомендации

1. Клэнси, LJ (1975). Аэродинамика. Уайли. ISBN 978-0-470-15837-1.
2. Бэтчелор, ГК (2000). Введение в гидродинамику. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-66396-0.
3. "Гидродинамика". Британская онлайн-энциклопедия . Проверено 30 октября 2008 г.
4. Андерсон, JD (2016), «Некоторые размышления об истории гидродинамики», в Johnson, RW (редактор), Справочник по гидродинамике (2-е изд.), CRC Press, ISBN 9781439849576
5. Дарригол, О.; Фриш, У. (2008), «От механики Ньютона к уравнениям Эйлера», Physica D: Nonlinear Phenomena , 237 (14–17): 1855–1869, Бибкод : 2008PhyD..237.1855D, doi : 10.1016/j.physd. 2007.08.003
6. Стритер, Виктор Лайл (1966). Механика жидкости. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
7. Бабинский, Хольгер (ноябрь 2003 г.), «Как работают крылья?», Physics Education , 38 (6): 497–503, Бибкод : 2003PhyEd..38..497B, doi : 10.1088/0031-9120/38/6 /001, S2CID  1657792
8. " Вельтнер, Клаус; Ингельман-Сундберг, Мартин, Неверные интерпретации закона Бернулли, заархивировано из оригинала 29 апреля 2009 г.
9. Денкер, Джон С. (2005). «3 профиля и воздушный поток». Посмотрите, как это летает . Проверено 27 июля 2018 г.
10. Резник, Р.; Холлидей, Д. (1960). Физика . Джон Уайли и сыновья. раздел 18–4.
11. Малли, Раймонд (2004). Поток промышленных жидкостей: теория и уравнения. ЦРК Пресс. стр. 43–44. ISBN 978-0-8493-2767-4.
12. Шансон, Юбер (2004). Гидравлика течения в открытом канале. Эльзевир. п. 22. ISBN 978-0-08-047297-3.
13. Эртель, Герберт; Прандтль, Людвиг; Бёле, М.; Мэйс, Кэтрин (2004). Основы механики жидкости Прандтля. Спрингер. стр. 70–71. ISBN 978-0-387-40437-0.
14. «Уравнение Бернулли». Исследовательский центр Гленна НАСА. Архивировано из оригинала 31 июля 2012 г. Проверено 4 марта 2009 г.
15. Уайт, Фрэнк М. Механика жидкости (6-е изд.). Международное издание McGraw-Hill. п. 602.
16. Кларк, Кэти; Карсуэлл, Боб (2007). Принципы астрофизической гидродинамики. Издательство Кембриджского университета. п. 161. ИСБН 978-1-139-46223-5.
17. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики (2-е изд.). Пергамон Пресс. ISBN 978-0-7506-2767-2.
18. Ван Вайлен, Гордон Дж .; Зоннтаг, Ричард Э. (1965). Основы классической термодинамики. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
19. Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1963). Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. ISBN 978-0-201-02116-5.^{: от 40–6 до 40–9, §40–3}
20. Типлер, Пол (1991). Физика для ученых и инженеров: Механика (3-е расширенное изд.). У. Х. Фриман. ISBN 978-0-87901-432-2., п. 138.
21. Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1963). Фейнмановские лекции по физике . Том. 1. ISBN 978-0-201-02116-5.
22. Томас, Джон Э. (май 2010 г.). «Почти идеальный ферми-газ» (PDF) . Физика сегодня . 63 (5): 34–37. Бибкод : 2010PhT....63e..34T. дои : 10.1063/1.3431329.
23. Резник, Р.; Холлидей, Д. (1960). Физика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. раздел 18–5. Линии тока расположены ближе друг к другу над крылом, чем под ним, поэтому принцип Бернулли предсказывает наблюдаемую динамическую подъемную силу вверх.
24. Истлейк, Чарльз Н. (март 2002 г.). «Взгляд аэродинамики на подъемную силу, Бернулли и Ньютон» (PDF) . Учитель физики . 40 (3): 166–173. Бибкод : 2002PhTea..40..166E. дои : 10.1119/1.1466553.«Результирующая сила определяется путем интегрирования распределения поверхностного давления по площади поверхности профиля».
25. Справочное руководство по машиностроению (9-е изд.).
26. Центр исследований технического образования (2006). Физика, которая работает . Кендалл Хант. ISBN 0787291811. OCLC  61918633. Одно из наиболее широко распространенных, но неправильных объяснений можно назвать теорией «более длинного пути» или теорией «равного времени прохождения».
27. Смит, Норман Ф. (ноябрь 1972 г.). «Бернулли и Ньютон в механике жидкости». Учитель физики . 10 (8): 451. Бибкод : 1972PhTea..10..451S. дои : 10.1119/1.2352317. Профиль крыла самолета, согласно более или менее стандартному в США объяснению из учебника, имеет особую форму с большей кривизной сверху, чем снизу; следовательно, воздух должен проходить по верхней поверхности дальше, чем по нижней поверхности. Поскольку воздух должен пройти по верхней и нижней поверхностям за одинаковое время..., скорость над верхней поверхностью будет больше, чем над нижней. Согласно теореме Бернулли, эта разница скоростей создает разницу давлений, которая и есть подъемная сила.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
28. Бабинский, Хольгер (2003). «Как работают крылья?» (PDF) . Физическое образование . 38 (6): 497–503. Бибкод : 2003PhyEd..38..497B. дои : 10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792. ...часто спрашивают, почему частицы жидкости должны снова встретиться на задней кромке. Или, другими словами, почему двум частицам по обе стороны крыла требуется одинаковое время, чтобы пройти от S до T? Очевидного объяснения нет, и реальные наблюдения доказывают, что это неверно.
29. «Фактическая скорость над верхней частью профиля намного выше, чем предсказывает теория «более длинного пути», и частицы, движущиеся через верхнюю часть, достигают задней кромки раньше, чем частицы, движущиеся под крылом». Исследовательский центр Гленна (16 августа 2000 г.). «Неверная теория подъема №1». НАСА. Архивировано из оригинала 27 апреля 2014 года . Проверено 27 июня 2021 г.
    
30. Андерсон, Джон (2005). Знакомство с полетом . Бостон: Высшее образование Макгроу-Хилла. п. 355. ИСБН 978-0072825695. Затем предполагается, что эти два элемента должны встретиться на задней кромке, и поскольку расстояние пробега по верхней поверхности профиля больше, чем по нижней поверхности, элемент над верхней поверхностью должен двигаться быстрее. Это просто неправда. Экспериментальные результаты и вычислительные гидродинамические расчеты ясно показывают, что элемент жидкости, движущийся по верхней поверхности аэродинамического профиля, покидает заднюю кромку задолго до того, как его сопутствующий элемент, движущийся по нижней поверхности, достигает задней кромки.
31. Андерсон, Дэвид; Эберхардт, Скотт. «Как летают самолеты». Как летают самолеты: физическое описание подъемной силы . Архивировано из оригинала 26 января 2016 года . Проверено 26 января 2016 г. . Нет ничего плохого в принципе Бернулли или в утверждении, что воздух проходит быстрее над верхней частью крыла. Но, как следует из приведенного выше обсуждения, наше понимание этим объяснением не является полным. Проблема в том, что мы упускаем важную часть, когда применяем принцип Бернулли. Мы можем рассчитать давление вокруг крыла, если знаем скорость воздуха над и под крылом, но как нам определить скорость?
32. Андерсон, Джон Д. (2016). «Глава 4. Основы аэродинамики». Введение в полет (8-е изд.). Макгроу-Хилл Образование.
33. «Закон Бернулли и приписываемые ему эксперименты увлекательны. К сожалению, некоторые из этих экспериментов объяснены ошибочно...» Вельтнер, Клаус; Ингельман-Сундберг, Мартин. «Неверные интерпретации закона Бернулли». Кафедра физики Франкфуртского университета. Архивировано из оригинала 21 июня 2012 года . Проверено 25 июня 2012 г.
34. Таймони, Сай. «Летающий диск оригами». Журнал МАКЭ . Архивировано из оригинала 3 января 2013 г. Это происходит из-за принципа Бернулли — быстро движущийся воздух имеет более низкое давление, чем неподвижный.
35. «Эффекты Бернулли». Школа физики и астрономии Университета Миннесоты . Архивировано из оригинала 10 марта 2012 г. Более быстрая жидкость, более низкое давление. ... Когда демонстратор подносит бумагу ко рту и дует сверху, он создает область более быстрого движения воздуха.
36. «Образовательный пакет» (PDF) . Фестиваль высоких кораблей – гавань Нормандских островов. Архивировано из оригинала (PDF) 3 декабря 2013 года . Проверено 25 июня 2012 г. Принцип Бернулли гласит, что более быстро движущийся воздух имеет более низкое давление... Вы можете продемонстрировать принцип Бернулли, дунув на лист бумаги, поднесенный горизонтально к губам.
37. Крейг, Гейл М. «Физические принципы крылатого полета» . Получено 31 марта 2016 г. - через rcgroups.com. Если бы подъем на рисунке А был вызван «принципом Бернулли», то бумага на рисунке Б должна опускаться еще больше, когда под ней продувается воздух. Однако, как показано, оно повышается, когда восходящий градиент давления в изгибающемся вниз потоке добавляется к атмосферному давлению на нижней поверхности бумаги.
38. Бабинский, Хольгер (2003). «Как работают крылья» (PDF) . Физическое образование . Издательство ИОП. 38 (6): 497. Бибкод : 2003PhyEd..38..497B. дои : 10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792 . Получено 7 апреля 2022 г. - через iopscience.iop.org. Фактически давление воздуха, выдыхаемого из легких, равно давлению окружающего воздуха...
39. Иствуэлл, Питер (2007). «Бернулли? Возможно, но как насчет вязкости?» (PDF) . Обзор научного образования . 6 (1). Архивировано из оригинала (PDF) 18 марта 2018 г. Проверено 18 марта 2018 г. ...воздух не имеет пониженного бокового давления (или статического давления...) просто потому, что его заставляют двигаться, статическое давление свободного воздуха не уменьшается с увеличением скорости воздуха, что предполагает неправильное понимание принципа Бернулли. что это именно то, что он нам говорит, и поведение изогнутой бумаги объясняется другими рассуждениями, а не принципом Бернулли.
40. Раскин, Джеф (февраль 2003 г.). «Эффект Коанды: понимание того, почему работают крылья». Кармак.орг . Сделайте полоску писчей бумаги размером примерно 5 см × 25 см. Держите его перед губами так, чтобы он свисал и опускался, образуя выпуклую вверх поверхность. Когда вы дуете на верхнюю часть бумаги, она поднимается. Многие книги объясняют это понижением давления воздуха наверху исключительно эффектом Бернулли. Теперь пальцами сформируйте из бумаги кривую, слегка вогнутую вверх по всей длине, и снова подуйте по верху этой полоски. Теперь статья склоняется вниз... часто цитируемый эксперимент, который обычно рассматривается как демонстрация общего объяснения подъемной силы, этого не делает...
41. Бабинский, Хольгер (2003). «Как работают крылья» (PDF) . Физическое образование . Издательство ИОП. 38 (6): 497. Бибкод : 2003PhyEd..38..497B. дои : 10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792 . Получено 7 апреля 2022 г. - через iopscience.iop.org. Если обдуть лист бумаги, уравнение Бернулли не будет продемонстрировано. Хотя это правда, что изогнутая бумага поднимается, когда поток приложен к одной стороне, это не потому, что воздух движется с разными скоростями с двух сторон... Неверно устанавливать связь между потоком на двух сторонах листа. статью с использованием уравнения Бернулли.
42. Иствуэлл, Питер (2007). «Бернулли? Возможно, но как насчет вязкости?» (PDF) . Обзор научного образования . 6 (1). Архивировано из оригинала (PDF) 18 марта 2018 г. Проверено 18 марта 2018 г. Объяснение, основанное на принципе Бернулли, к данной ситуации неприменимо, поскольку этот принцип ничего не говорит о взаимодействии воздушных масс, имеющих разные скорости... Кроме того, хотя принцип Бернулли позволяет сравнивать скорости и давления жидкости вдоль одной линии тока и ... вдоль двух разных линий тока, возникающих в одинаковых условиях жидкости, использование принципа Бернулли для сравнения воздуха над и под изогнутой бумагой на рисунке 1 бессмысленно; в этом случае под бумагой вообще нет никаких линий тока!
43. Ауэрбах, Дэвид. «Почему самолеты летают» (PDF) . Европейский журнал физики . 21 :295 – через iopscience.iop.org. Хорошо известная демонстрация явления подъема путем поднятия консольно удерживаемой в руке страницы путем горизонтального продувания вдоль нее, вероятно, является скорее демонстрацией сил, присущих эффекту Коанды, чем демонстрацией закона Бернулли; ибо здесь струя воздуха выходит изо рта и прикрепляется к изогнутой (и в данном случае податливой) поверхности. Верхний край представляет собой сложный вихревой слой смешения, а дальний поток неподвижен, поэтому закон Бернулли вряд ли применим.
44. Смит, Норман Ф. (ноябрь 1972 г.). «Бернулли и Ньютон в механике жидкости». Учитель физики . Миллионы детей на уроках естествознания просят дуть над изогнутыми листами бумаги и наблюдать, как бумага «поднимается»… Затем их просят поверить, что за это отвечает теорема Бернулли… К сожалению, здесь задействован «динамический подъем». ... не объясняется должным образом теоремой Бернулли.
45. Денкер, Джон С. «Принцип Бернулли». Посмотрите, как это летает – на av8n.com. Принцип Бернулли очень легко понять, если он правильно сформулирован. Однако надо быть осторожными, ведь малейшие, казалось бы, изменения в формулировках могут привести к совершенно неверным выводам.
46. Смит, Норман Ф. (1973). «Бернулли, Ньютон и динамическая подъемная сила, часть I». Школьная наука и математика . 73 (3): 181–186. doi :10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x – через wiley.com. Полное изложение теоремы Бернулли таково: «В потоке, в котором никакая энергия не прибавляется и не отнимается, сумма различных энергий является постоянной: следовательно, там, где скорость увеличивается, давление уменьшается, и наоборот».
47. Бабинский, Хольгер (2003). «Как работают крылья» (PDF) . Физическое образование . Издательство ИОП. 38 (6): 497. Бибкод : 2003PhyEd..38..497B. дои : 10.1088/0031-9120/38/6/001. S2CID  1657792 . Получено 7 апреля 2022 г. - через iopscience.iop.org. ... если линия тока искривлена, поперек линии тока должен существовать градиент давления, причем давление увеличивается в направлении от центра кривизны.
48. Смит, Норман Ф. (1973). «Бернулли, Ньютон и динамический лифт, часть II». Школьная наука и математика . 73 (4): 3333. doi :10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x – через wiley.com. Изогнутая бумага поворачивает поток воздуха вниз, и это действие вызывает подъемную силу, которая поднимает бумагу.
49. Аэронавтика: Руководство для преподавателя с занятиями в области науки, математики и технологий (PDF) . НАСА. п. 26 – через nasa.gov. Изогнутая поверхность языка создает неравномерное давление воздуха и подъемное действие. ... Подъемная сила возникает за счет движения воздуха по изогнутой поверхности.
50. Андерсон, Дэвид Ф .; Эберхардт, Скотт. «Ньютоновское описание подъемной силы крыла» (PDF) . п. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 11 марта 2016 г. – через integener.com. Вязкость заставляет дыхание следовать по искривленной поверхности, первый закон Ньютона гласит, что в воздухе действует сила, а третий закон Ньютона гласит, что на бумаге действует равная и противоположная сила. Передача импульса поднимает полосу. Уменьшение давления, действующего на верхнюю поверхность листа бумаги, заставляет бумагу подниматься.
51. Андерсон, Дэвид Ф.; Эберхардт, Скотт. Понимание полета . п. 229 – через Google Книги.«Демонстрацию» принципа Бернулли часто проводят как демонстрацию физики подъемной силы. Это действительно демонстрация подъемной силы, но уж точно не принципа Бернулли.
52. Фейл, Макс. Файл по аэронавтике. Архивировано из оригинала 17 мая 2015 года. В качестве примера возьмем вводящий в заблуждение эксперимент, который чаще всего используется для «демонстрации» принципа Бернулли. Держите лист бумаги так, чтобы он обвивал палец, а затем подуйте на верхнюю часть. Бумага поднимется. Однако большинство людей не осознают, что бумага не поднялась бы, если бы она была плоской, даже если вы с бешеной скоростью обдуваете ее сверху воздухом. Принцип Бернулли в данном случае напрямую не применим. Это связано с тем, что воздух на обеих сторонах бумаги исходил из разных источников. Воздух внизу — это окружающий воздух из комнаты, но воздух вверху исходил из вашего рта, где вы фактически увеличили его скорость, не уменьшая его давления, вытесняя его изо рта. В результате воздух с обеих сторон плоской бумаги фактически имеет одинаковое давление, хотя воздух сверху движется быстрее. Причина, по которой изогнутый лист бумаги поднимается, заключается в том, что воздух изо рта ускоряется еще больше, следуя изгибу бумаги, что, в свою очередь, снижает давление, согласно Бернулли.
53. Гертс, Пим. «Некоторые простые эксперименты». Sailtheory.com . Архивировано из оригинала 3 марта 2016 г. Проверено 7 апреля 2022 г. Некоторые люди дуют на лист бумаги, чтобы продемонстрировать, что ускоренный поток воздуха над листом приводит к снижению давления. Они ошибаются в своем объяснении. Лист бумаги поднимается вверх, потому что он отклоняет воздух в результате эффекта Коанда, и это отклонение является причиной силы, поднимающей лист. Чтобы доказать их неправоту, я использую следующий эксперимент: если лист бумаги предварительно согнуть в другую сторону, сначала прокатав его, и если на него подуть, он упадет. Это происходит потому, что воздух отклоняется в другую сторону. Скорость полета над листом все еще выше, так что это не приводит к снижению давления.
54. Бобровский, Мэтт. «Вопрос: Действительно ли это вызвано эффектом Бернулли?». Наука 101 . Национальная ассоциация преподавателей естественных наук. Эффект Бернулли обычно (и ошибочно) используется для объяснения: почему два подвешенных воздушных шара или мяча для настольного тенниса движутся навстречу друг другу, когда вы продуваете между ними воздух; :почему бумага поднимается, когда на нее дуешь воздухом; :почему бейсбольный мяч с подачей изгибается; :почему ложка тянется к струе воды; :почему шарик остается подвешенным в воздушной струе. Вот новость: ни одно из этих явлений не является результатом эффекта Бернулли.
55. Камела, Мартин (сентябрь 2007 г.). «Думая о Бернулли». Учитель физики . Американская ассоциация учителей физики. 45 (6): 379–381. Бибкод : 2007PhTea..45..379K. дои : 10.1119/1.2768700. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 года. Наконец, давайте вернемся к первоначальному примеру шара, парящего в струе воздуха. Наивное объяснение устойчивости шара в воздушном потоке «потому что давление в струе ниже давления в окружающей атмосфере» явно неверно. Статическое давление в струе свободного воздуха такое же, как давление в окружающей атмосфере...
56. Смит, Норман Ф. (ноябрь 1972 г.). «Бернулли и Ньютон в механике жидкости». Учитель физики . 10 (8): 455. Бибкод : 1972PhTea..10..451S. дои : 10.1119/1.2352317. Асимметричный поток (а не теорема Бернулли) также объясняет подъемную силу мяча для пинг-понга или пляжного мяча , который так загадочно плавает в наклоненном выхлопе пылесоса...
57. Бауман, Роберт П. «Загадка Бернулли» (PDF) . introphysical.info . Факультет физики Университета Алабамы в Бирмингеме. Архивировано из оригинала (PDF) 25 февраля 2012 года . Проверено 25 июня 2012 г. Теорема Бернулли часто затеняется демонстрациями, включающими небернуллиевские силы. Например, шар можно поддерживать на восходящей струе воздуха или воды, поскольку любая жидкость (воздух и вода) обладает вязкостью, которая тормозит проскальзывание одной части жидкости, движущейся мимо другой части жидкости.
58. Крейг, Гейл М. «Физические принципы крылатого полета» . Проверено 31 марта 2016 г. В демонстрации, которую иногда ошибочно называют демонстрацией подъемной силы из-за снижения давления в движущемся воздухе или снижения давления из-за ограничения пути потока, шар или воздушный шар подвешивается на струе воздуха.
59. Андерсон, Дэвид Ф.; Эберхардт, Скотт. «Ньютоновское описание подъемной силы крыла» (PDF) . п. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 11 марта 2016 г. – через integener.com. Второй пример — помещение мячика для пинг-понга в вертикальную вытяжку фена . Нам говорят, что это демонстрация принципа Бернулли. Но теперь мы знаем, что выхлоп не имеет меньшего значения ps. Опять же, именно передача импульса удерживает мяч в потоке воздуха. Когда шар приближается к краю выхлопного отверстия, вокруг шара возникает асимметричный поток, который отталкивает его от края потока. То же самое происходит, когда дуют между двумя шариками для пинг-понга, подвешенными на веревках.
60. «Тонкие металлические листы - Эффект Коанда» . физика.umd.edu . Лекционно-демонстрационный зал по физике, Университет Мэриленда. Архивировано из оригинала 23 июня 2012 года . Проверено 23 октября 2012 г. Эту демонстрацию часто неправильно объясняют с помощью принципа Бернулли. Согласно НЕПРАВИЛЬНОМУ объяснению, поток воздуха в области между листами быстрее, создавая тем самым более низкое давление по сравнению с тихим воздухом снаружи листов.
61. "Ответ № 256" . физика.umd.edu . Лекционно-демонстрационный зал по физике, Университет Мэриленда. Архивировано из оригинала 13 декабря 2014 года . Проверено 9 декабря 2014 г. Хотя для объяснения этой демонстрации часто используется эффект Бернулли, и один производитель продает материал для этой демонстрации как «мешки Бернулли», его нельзя объяснить эффектом Бернулли, а скорее процессом уноса.

Внешние ссылки

• Поток сухой воды - Фейнмановские лекции по физике
• Science 101 Вопрос: Действительно ли это вызвано эффектом Бернулли?
• Калькулятор уравнения Бернулли
• Университет Миллерсвилля - Применение уравнения Эйлера
• НАСА - Руководство по аэродинамике для начинающих. Архивировано 15 июля 2012 г. в Wayback Machine.
• Неверные интерпретации уравнения Бернулли - Вельтнер и Ингельман-Сундберг. Архивировано 8 февраля 2012 г. в Wayback Machine.