В геометрии усеченный октаэдр — это архимедово тело , возникающее из правильного октаэдра путем удаления шести пирамид, по одной в каждой вершине октаэдра. Усеченный октаэдр имеет 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов ), 36 ребер и 24 вершины. Поскольку каждая его грань имеет точечную симметрию , усечённый октаэдр является 6 - зоноэдром . Это также многогранник Гольдберга G IV (1,1), содержащий квадратные и шестиугольные грани. Как и куб, он может замощить (или «упаковать») трехмерное пространство, как пермутоэдр .
Усеченный октаэдр Бакминстер Фуллер назвал «меконом» . [1]
Его двойственный многогранник — тетракис-шестигранник . Если исходный усеченный октаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной тетракис-гексаэдр имеет длину ребра.9/8√ 2 и3/2√ 2 .
Усечённый октаэдр строится из правильного октаэдра с длиной стороны 3а путём удаления шести прямоугольных пирамид , по одной из каждой вершины. Эти пирамиды имеют длину боковой стороны ( a ) и длину боковой стороны ( e ) a , образуя равносторонние треугольники . Тогда базовая площадь равна 2 . Обратите внимание, что эта форма в точности похожа на половину октаэдра или тело Джонсона J 1 .
Из свойств квадратных пирамид теперь мы можем найти наклонную высоту s и высоту h пирамиды:
Объем V пирамиды определяется выражением:
Поскольку шесть пирамид удаляются путем усечения, общий потерянный объем составляет √ 2 a 3 .
Усеченный октаэдр имеет пять особых ортогональных проекций , центрированных на вершине, на двух типах ребер и двух типах граней: шестиугольной и квадратной. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2 .
Усеченный октаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
Все перестановки (0, ±1, ±2) представляют собой декартовы координаты вершин усеченного октаэдра с длиной ребра a = √2 с центром в начале координат . Таким образом, вершины также являются углами 12 прямоугольников, длинные края которых параллельны осям координат.
Векторы ребер имеют декартовы координаты (0, ±1, ±1) и их перестановки. Нормали граней (нормализованные перекрестные произведения ребер, имеющих общую вершину) шести квадратных граней равны (0, 0, ±1) , (0, ±1, 0) и (±1, 0, 0) . Нормали граней 8 шестиугольных граней равны (±1/√ 3, ±1/√ 3, ±1/√ 3) . Скалярное произведение между парами двух нормалей граней представляет собой косинус двугранного угла между соседними гранями:1/3или —1/√ 3. Двугранный угол составляет примерно 1,910633 радиана (109,471° OEIS : A156546 ) на краях, общих для двух шестиугольников, или 2,186276 радиан (125,263° OEIS : A195698 ) на краях, общих для шестиугольника и квадрата.
Усеченный октаэдр можно разрезать на центральный октаэдр , окруженный 8 треугольными куполами на каждой грани и 6 квадратными пирамидами над вершинами. [2]
Удаление центрального октаэдра и 2 или 4 треугольных куполов создает два тороида Стюарта с двугранной и тетраэдрической симметрией:
Усеченный октаэдр также может быть представлен еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки (1, 2, 3, 4) образуют вершины усеченного октаэдра в трехмерном подпространстве x + y + z + w = 10. . Следовательно, усеченный октаэдр — это пермутоэдр четвертого порядка: каждая вершина соответствует перестановке (1, 2, 3, 4), а каждое ребро представляет собой одну попарную замену двух элементов.
Площадь поверхности S и объем V усеченного октаэдра с длиной ребра a равны:
Существуют две однородные раскраски , с тетраэдрической симметрией и октаэдрической симметрией , и две 2-однородные раскраски с двугранной симметрией в виде усечённой треугольной антипризмы . Для каждого даны конструктивные названия. В скобках даны их обозначения многогранников Конвея .
В структуре кристаллов фожазита существует усеченный октаэдр .
Усеченный октаэдр (фактически обобщенный усеченный октаэдр) появляется при анализе ошибок модуляции индекса квантования (QIM) в сочетании с повторным кодированием. [3]
Усечённый октаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.
Он также существует как омниусеченный экземпляр семейства тетраэдров:
Этот многогранник является членом последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2 p ) и диаграммой Коксетера – Дынкина. . Для p < 6 членами последовательности являются всеусеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p > 6 они представляют собой мозаику гиперболической плоскости, начиная с усеченной тригептагональной мозаики .
Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин n .6.6, простирающихся в гиперболическую плоскость:
Усечённый октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с вершинными фигурами 4,2 n .2 n , выходящей в гиперболическую плоскость:
Усеченный октаэдр ( битусеченный куб) стоит первым в последовательности усеченных побитно гиперкубов :
Тессеракт можно разрезать гиперплоскостью так, чтобы его поперечное сечение представляло собой усеченный октаэдр. [4]
Усеченный октаэдр существует в трех различных выпуклых однородных сотах ( заполняющих пространство мозаиках ):
Ячеисто -транзитивные побитовые кубические соты также можно рассматривать как мозаику Вороного объемноцентрированной кубической решетки . Усечённый октаэдр — один из пяти трёхмерных первичных параллелоэдров .
В математической области теории графов усеченный октаэдрический граф — это граф вершин и ребер усеченного октаэдра. Он имеет 24 вершины и 36 ребер и представляет собой кубический архимедовый граф . [5] Имеет толщину книги 3 и номер очереди 2. [6]
Как гамильтонов кубический граф , его можно представить с помощью обозначения LCF несколькими способами: [3, −7, 7, −3] 6 , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11 , 11, −5, −7, 7] 2 и [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3]. [7]