Поверхностная гравитация

Стандартная поверхностная гравитация

Поверхностная гравитация , g , астрономического объекта — это гравитационное ускорение, испытываемое на его поверхности на экваторе, включая эффекты вращения. Поверхностную гравитацию можно рассматривать как ускорение , вызванное гравитацией, испытываемое гипотетической пробной частицей, которая находится очень близко к поверхности объекта и которая, чтобы не нарушать систему, имеет пренебрежимо малую массу. Для объектов, поверхность которых находится глубоко в атмосфере, а радиус неизвестен, поверхностная гравитация дается на уровне давления в 1 бар в атмосфере.

Поверхностная гравитация измеряется в единицах ускорения, которые в системе СИ являются метрами в секунду в квадрате . Она также может быть выражена как кратное стандартной поверхностной гравитации Земли , которая равна ^[1]

г =9,806 65  м/с ²

В астрофизике поверхностная гравитация может быть выражена какlog g , который получается путем выражения силы тяжести вединицах СГС, где единицей ускорения и поверхностной силы тяжести являетсясантиметрна секунду в квадрате (см/с²логарифмапо основанию 10от значения поверхностной силы тяжести в системе СГС.^[2]Таким образом, поверхностная сила тяжести Земли может быть выражена в единицах СГС как980,665 см/с ² , а затем беря логарифм по основанию 10 («log  g ») от 980,665, получаем 2,992 как «log  g ».

Поверхностная гравитация белого карлика очень высока, а нейтронной звезды еще выше. Поверхностная гравитация белого карлика составляет около 100 000 g (10 ⁶  м/с ² ), в то время как компактность нейтронной звезды придает ей поверхностную гравитацию до7 × 10 ¹²  м/с ² с типичными значениями порядка10 ¹²  м/с ² (что более чем в 10 ¹¹ раз больше, чем у Земли). Одной из мер такой огромной гравитации является то, что нейтронные звезды имеют скорость убегания около 100 000 км/с , что составляет около трети скорости света . Для черных дыр поверхностная гравитация должна рассчитываться релятивистски.

Связь поверхностной гравитации с массой и радиусом

В ньютоновской теории гравитации гравитационная сила , оказываемая объектом, пропорциональна его массе: объект с удвоенной массой производит вдвое большую силу. Ньютоновская гравитация также следует закону обратных квадратов , так что перемещение объекта на вдвое большее расстояние делит его гравитационную силу на четыре, а перемещение его на десять большее расстояние делит ее на 100. Это похоже на интенсивность света , которая также следует закону обратных квадратов: по отношению к расстоянию свет становится менее видимым. В общем, это можно понимать как геометрическое разбавление, соответствующее точечному источнику излучения в трехмерном пространстве.

Крупный объект, такой как планета или звезда , обычно будет приблизительно круглым, приближаясь к гидростатическому равновесию (где все точки на поверхности имеют одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии ). В малых масштабах более высокие части рельефа подвергаются эрозии, а эродированный материал откладывается в более низких частях рельефа. В больших масштабах сама планета или звезда деформируется до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие. ^[4] Для большинства небесных объектов результатом является то, что рассматриваемую планету или звезду можно рассматривать как почти идеальную сферу, когда скорость вращения низкая. Однако для молодых массивных звезд экваториальная азимутальная скорость может быть довольно высокой — до 200 км/с или более — вызывая значительное количество экваториальной выпуклости . Примерами таких быстро вращающихся звезд являются Ахернар , Альтаир , Регул А и Вега .

Тот факт, что многие крупные небесные объекты являются приблизительно сферами, облегчает расчет их поверхностной гравитации. Согласно теореме о оболочках , гравитационная сила снаружи сферически симметричного тела такая же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре, как это установил сэр Исаак Ньютон . ^[5] Поэтому поверхностная гравитация планеты или звезды с заданной массой будет приблизительно обратно пропорциональна квадрату ее радиуса , а поверхностная гравитация планеты или звезды с заданной средней плотностью будет приблизительно пропорциональна ее радиусу. Например, недавно открытая планета , Gliese 581 c , имеет по крайней мере в 5 раз большую массу, чем Земля, но вряд ли будет иметь в 5 раз большую поверхностную гравитацию. Если ее масса не более чем в 5 раз больше массы Земли, как и ожидается, ^[6] и если это каменистая планета с большим железным ядром, она должна иметь радиус примерно на 50% больше, чем у Земли. ^{[7] [8]} Гравитация на поверхности такой планеты будет примерно в 2,2 раза сильнее, чем на Земле. Если это ледяная или водянистая планета, ее радиус может быть в два раза больше земного, в этом случае ее поверхностная гравитация может быть не более чем в 1,25 раза сильнее земной. ^[8]

Эти пропорциональности можно выразить формулой: где g — поверхностная гравитация объекта, выраженная как кратное массе Земли , m — его масса, выраженная как кратное массе Земли ( $${\displaystyle g\propto {\frac {m}{r^{2}}}}$$5,976 × 10 ²⁴  кг ) и r его радиус, выраженный как кратное (среднему) радиусу Земли (6371 км). ^[9] Например, Марс имеет массу6,4185 × 10 ²³  кг  = 0,107 массы Земли и средний радиус 3390 км = 0,532 радиуса Земли. ^[10] Таким образом, поверхностная гравитация Марса примерно в два раза больше, чем у Земли. Не используя Землю в качестве тела отсчета, поверхностную гравитацию можно также рассчитать непосредственно из закона всемирного тяготения Ньютона , который дает формулу , где M — масса объекта, r — его радиус, а G — гравитационная постоянная . Если ρ = M / V обозначает среднюю плотность объекта, это также можно записать как так, что при фиксированной средней плотности поверхностная гравитация g пропорциональна радиусу  r . Решая для массы, это уравнение можно записать как Но плотность не постоянна, а увеличивается по мере увеличения размера планеты, поскольку они не являются несжимаемыми телами. Вот почему экспериментальное соотношение между поверхностной гравитацией и массой растет не как 1/3, а как 1/2 ^[11] : здесь g в разах поверхностной гравитации Земли и M в разах массы Земли. Фактически, экзопланеты, найденные удовлетворяющие первому соотношению, оказались каменистыми планетами ^[11] . $${\displaystyle {\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38}$$ $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}}$$ $${\displaystyle g={\frac {4\pi }{3}}G\rho r}$$ $${\displaystyle g=G\left({\frac {4\pi \rho }{3}}\right)^{2/3}M^{1/3}}$$ $${\displaystyle g=M^{1/2}}$$

Газовые гиганты

Для газовых гигантов, таких как Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, поверхностная гравитация дана на уровне давления в 1 бар в атмосфере. ^[12]

Несферически симметричные объекты

Большинство реальных астрономических объектов не являются идеально сферически симметричными. Одна из причин этого заключается в том, что они часто вращаются, что означает, что на них воздействуют комбинированные эффекты силы тяжести и центробежной силы . Это приводит к тому, что звезды и планеты сплющиваются , что означает, что их поверхностная гравитация меньше на экваторе, чем на полюсах. Этот эффект был использован Хэлом Клементом в его научно-фантастическом романе « Миссия гравитации » , где речь идет о массивной, быстро вращающейся планете, где гравитация была намного выше на полюсах, чем на экваторе.

В той степени, в которой внутреннее распределение массы объекта отличается от симметричной модели, измеренная поверхностная гравитация может быть использована для вывода о внутренней структуре объекта. Этот факт был введен в практику с 1915–1916 годов, когда крутильные весы Роланда Этвеша использовались для разведки нефти около города Эгбелл (ныне Гбелы , Словакия .) ^{[13] : 1663  [14] : 223} В 1924 году крутильные весы использовались для обнаружения нефтяных месторождений Нэш-Доум в Техасе . ^{[14] : 223}

Иногда бывает полезно вычислить поверхностную гравитацию простых гипотетических объектов, которые не встречаются в природе. Поверхностная гравитация бесконечных плоскостей, трубок, линий, полых оболочек, конусов и даже более нереалистичных структур может быть использована для получения информации о поведении реальных структур.

Черные дыры

В теории относительности ньютоновская концепция ускорения оказывается нечеткой. Для черной дыры, которую следует рассматривать релятивистски, нельзя определить поверхностную гравитацию как ускорение, испытываемое пробным телом на поверхности объекта, поскольку поверхности нет, хотя горизонт событий является естественным альтернативным кандидатом, но это все еще представляет собой проблему, поскольку ускорение пробного тела на горизонте событий черной дыры оказывается бесконечным в теории относительности. Из-за этого используется перенормированное значение, которое соответствует ньютоновскому значению в нерелятивистском пределе. Используемое значение обычно представляет собой локальное собственное ускорение (которое расходится на горизонте событий), умноженное на гравитационный фактор замедления времени (который обращается в ноль на горизонте событий). Для случая Шварцшильда это значение математически хорошо ведет себя для всех ненулевых значений r и  M .

Когда говорят о поверхностной гравитации черной дыры, определяют понятие, которое ведет себя аналогично ньютоновской поверхностной гравитации, но это не одно и то же. На самом деле, поверхностная гравитация обычной черной дыры не определена достаточно хорошо. Однако можно определить поверхностную гравитацию для черной дыры, горизонт событий которой является горизонтом Киллинга.

Поверхностная гравитация статического горизонта Киллинга — это ускорение, приложенное на бесконечности, необходимое для удержания объекта на горизонте. Математически, если — соответствующим образом нормализованный вектор Киллинга , то поверхностная гравитация определяется как , где уравнение оценивается на горизонте. Для статического и асимптотически плоского пространства-времени нормализация должна быть выбрана так, чтобы , и так, чтобы . Для решения Шварцшильда возьмите в качестве вектора Киллинга переноса во времени , а в более общем случае для решения Керра–Ньюмена возьмите , линейную комбинацию векторов переноса во времени и осесимметричного векторов Киллинга , которая равна нулю на горизонте, где — угловая скорость. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle k^{a}}$ $${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b},}$$ ${\displaystyle k^{a}k_{a}\to -1}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \kappa \geq 0}$ ${\displaystyle k^{a}}$ ${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$ ${\displaystyle \Omega }$

решение Шварцшильда

Так как является вектором Киллинга , то . В координатах . Выполнение изменения координат до расширенных координат Эддингтона–Финкельштейна приводит к тому, что метрика принимает вид ${\displaystyle k^{a}}$ ${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ ${\displaystyle -k^{a}\,\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}}$ ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle k^{a}=(1,0,0,0)}$ ${\textstyle v=t+r+2M\ln |r-2M|}$ $${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dv^{2}+\left(dv\,dr+\,dr\,dv\right)+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).}$$

При общем изменении координат вектор Киллинга преобразуется следующим образом: давая векторы и ${\displaystyle k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}}$ ${\displaystyle k^{a'}=\delta _{v}^{a'}=(1,0,0,0)}$ ${\textstyle k_{a'}=g_{a'v}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).}$

Учитывая запись b = ${\displaystyle v}$ для , получаем дифференциальное уравнение ${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .}$

Таким образом, поверхностная гравитация для решения Шварцшильда с массой равна ( в единицах СИ). ^[15] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}}$ ${\displaystyle \kappa ={c^{4}}/{4GM}}$

решение Керра

Поверхностная гравитация для незаряженной вращающейся черной дыры равна, просто, где - поверхностная гравитация Шварцшильда, а - константа пружины вращающейся черной дыры. - угловая скорость на горизонте событий. Это выражение дает простую температуру Хокинга . ^[16] $${\displaystyle \kappa =g-k,}$$ ${\textstyle g={\frac {1}{4M}}}$ ${\displaystyle k:=M\Omega _{+}^{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{+}}$ ${\displaystyle 2\pi T=g-k}$

Решение Керра–Ньюмана

Поверхностная гравитация для решения Керра–Ньюмена равна , где — электрический заряд, — момент импульса, определяемый как положения двух горизонтов и . $${\displaystyle \kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2\left(r_{+}^{2}+a^{2}\right)}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}},}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle J}$ ${\textstyle r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}$ ${\displaystyle a:=J/M}$

Динамические черные дыры

Поверхностная гравитация для стационарных черных дыр хорошо определена. Это связано с тем, что все стационарные черные дыры имеют горизонт, который является Киллингом. ^[17] Недавно произошел сдвиг в сторону определения поверхностной гравитации динамических черных дыр, чье пространство-время не допускает времениподобный вектор (поле) Киллинга . ^[18] За эти годы разными авторами было предложено несколько определений, таких как отслаивающаяся поверхностная гравитация и поверхностная гравитация Кодамы. ^[19] На данный момент нет консенсуса или соглашения о том, какое определение, если таковое имеется, является правильным. ^[20] Полуклассические результаты показывают, что отслаивающаяся поверхностная гравитация плохо определена для транзиентных объектов, сформированных за конечное время удаленного наблюдателя. ^[21]

Ссылки

1. Тейлор, Барри Н., ред. (2001). Международная система единиц (СИ) (PDF) . Министерство торговли США: Национальный институт стандартов и технологий. стр. 29. Получено 08.03.2012 . {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
2. Smalley, B. (13 июля 2006 г.). "Определение Teff и log g для звезд от B до G". Университет Кила . Получено 31 мая 2007 г.
3. Айзек Азимов (1978). Коллапсирующая Вселенная . Корги. стр. 44. ISBN 978-0-552-10884-3.
4. "Почему Земля круглая?". Ask A Scientist . Аргоннская национальная лаборатория, Отдел образовательных программ. Архивировано из оригинала 21 сентября 2008 года.
5. Книга I, §XII, стр. 218–226, Newton's Principia: The Mathematical Principles of Natural Philosophy , сэр Исаак Ньютон, пер. Эндрю Мотта, ред. NW Chittenden. Нью-Йорк: Daniel Adee, 1848. Первое американское издание.
6. Астрономы обнаружили первую планету земного типа в обитаемой зоне. Архивировано 17 июня 2009 г. на Wayback Machine , ESO 22/07, пресс-релиз Европейской южной обсерватории , 25 апреля 2007 г.
7. Удри, Стефан; Бонфилс, Ксавье; Дельфосс, Ксавье; Форвей, Тьерри; Мэр Мишель; Перье, Кристиан; Буши, Франсуа; Ловис, Кристоф; Пепе, Франческо; Кело, Дидье; Берто, Жан-Лу (2007). «HARPS ищет южные внесолнечные планеты XI. Суперземли (5 и 8 ME) в системе из трех планет» (PDF) . Астрономия и астрофизика . 469 (3): L43–L47. arXiv : 0704.3841 . Бибкод : 2007A&A...469L..43U. дои : 10.1051/0004-6361:20077612. S2CID  119144195. Архивировано из оригинала (PDF) 8 октября 2010 г.
8. Valencia, Diana; Sasselov, Dimitar D; O'Connell, Richard J (2007). «Подробные модели суперземель: насколько хорошо мы можем вывести объемные свойства?». The Astrophysical Journal . 665 (2): 1413–1420. arXiv : 0704.3454 . Bibcode : 2007ApJ...665.1413V. doi : 10.1086/519554. S2CID  15605519.
9. 2.7.4 Физические свойства Земли, веб-страница, доступ онлайн 27 мая 2007 г.
10. Mars Fact Sheet, веб-страница NASA NSSDC, доступ 27 мая 2007 г.
11. Баллестерос, Фернандо; Луке, Бартоло (2016). «Прогулки по экзопланетам: правы ли «Звездные войны»?». Астробиология . 16 (5): 1–3. arXiv : 1604.07725 . doi : 10.1089/ast.2016.1475.
12. «Заметки к планетарному информационному бюллетеню».
13. Ли, Сюн; Гётце, Ханс-Юрген (2001). «Эллипсоид, геоид, гравитация, геодезия и геофизика». Geophysics . 66 (6): 1660–1668. Bibcode : 2001Geop...66.1660L. doi : 10.1190/1.1487109.
14. Прогнозирование по данным крутильных весов Этвеша в Венгрии Архивировано 28 ноября 2007 г. в Wayback Machine , Дьюла Тот, Periodica Polytechnica Ser. Civ. Eng. 46 , № 2 (2002), стр. 221–229.
15. Рейн, Дерек Дж.; Томас, Эдвин Джордж (2010). Черные дыры: Введение (иллюстрированное издание). Imperial College Press . стр. 44. ISBN 978-1-84816-382-9.Выдержка из страницы 44
16. Хорошо, Майкл; Йен Чин Онг (февраль 2015 г.). «Являются ли черные дыры пружинными?». Physical Review D. 91 ( 4): 044031. arXiv : 1412.5432 . Bibcode : 2015PhRvD..91d4031G. doi : 10.1103/PhysRevD.91.044031. S2CID  117749566.
17. Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.
18. AB Nielsen; JH Yoon (2008). "Динамическая поверхностная гравитация". Классическая и квантовая гравитация . 25 (8): 085010. arXiv : 0711.1445 . Bibcode : 2008CQGra..25h5010N. doi : 10.1088/0264-9381/25/8/085010. S2CID  15438397.
19. H. Kodama (1980). "Conserved Energy Flux for the Spherically Symmetric System and the Backreaction Problem in the Black Hole Evaporation". Progress of Theoretical Physics . 63 (4): 1217. Bibcode :1980PThPh..63.1217K. doi :10.1143/PTP.63.1217. S2CID  122827579.
20. Пилан, Матиас; Г. Кунстаттер; AB Нильсен (ноябрь 2011 г.). "Динамическая поверхностная гравитация в сферически симметричном образовании черной дыры". Physical Review D. 84 ( 10): 104008(11). arXiv : 1103.0750 . Bibcode : 2011PhRvD..84j4008P. doi : 10.1103/PhysRevD.84.104008. S2CID  119015033.
21. RB Mann; S. Murk; DR Terno (2022). «Поверхностная гравитация и проблема потери информации». Physical Review D. 105 ( 12): 124032. arXiv : 2109.13939 . Bibcode : 2022PhRvD.105l4032M. doi : 10.1103/PhysRevD.105.124032. S2CID  249799593.

Внешние ссылки

• Ньютоновская поверхностная гравитация
• Exploratorium – Ваш вес в других мирах