В физике и математике фаза (символ φ или φ) волны или другой периодической функции некоторой реальной переменной (например, времени) представляет собой угловую величину , представляющую долю цикла, охватываемую до . Он выражен в таком масштабе , что изменяется на один полный оборот по мере прохождения переменной каждого периода (и прохождения каждого полного цикла). Ее можно измерить в любой угловой единице , например, в градусах или радианах , увеличивая таким образом на 360° или по мере того, как переменная завершает полный период. [1]
Это соглашение особенно подходит для синусоидальной функции, поскольку ее значение при любом аргументе может быть выражено как синус фазы , умноженный на некоторый коэффициент ( амплитуда синусоиды). ( Вместо синуса можно использовать косинус , в зависимости от того, где считается начало каждого периода.)
Обычно при выражении фазы игнорируются целые обороты; так что это также периодическая функция с тем же периодом, что и , которая неоднократно сканирует один и тот же диапазон углов, проходящий через каждый период. Тогда говорят, что он находится «в одной и той же фазе» при двух значениях аргумента и (то есть ), если разница между ними составляет целое число периодов.
Числовое значение фазы зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, которому должен быть сопоставлен каждый период.
Термин «фаза» также используется при сравнении периодической функции со ее сдвинутой версией . Если сдвиг выражается в виде доли периода, а затем масштабируется до угла, охватывающего целый поворот, можно получить сдвиг фазы , сдвиг фазы или разность фаз относительно . Если является «канонической» функцией для класса сигналов, как и для всех синусоидальных сигналов, то называется начальной фазой .
Пусть сигнал является периодической функцией одной действительной переменной, а ее периодом (то есть наименьшим положительным действительным числом , таким, что для всех ). Тогда фаза при любом аргументе равна
Здесь обозначает дробную часть действительного числа, отбрасывая его целую часть; то есть, ; и представляет собой произвольное «исходное» значение аргумента, которое считается началом цикла.
Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью, делая полный оборот каждую секунду и указывая прямо вверх во времени . Фаза — это угол от положения 12:00 до текущего положения стрелки в момент времени , измеренный по часовой стрелке .
Концепция фазы наиболее полезна, когда начало координат выбирается на основе особенностей . Например, для синусоиды удобным выбором является любая, где значение функции меняется от нуля до положительного.
Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и . Чтобы получить фазу как угол между и , вместо этого используется
Фаза, выраженная в градусах (от 0° до 360° или от -180° до +180°), определяется таким же образом, за исключением «360°» вместо «2π».
В любом из приведенных выше определений фаза периодического сигнала также является периодической с тем же периодом :
Фаза равна нулю в начале каждого периода; то есть
Более того, при любом выборе начала координат значение сигнала для любого аргумента зависит только от его фазы при . А именно, можно написать , где – функция угла, определенная только для одного полного оборота и описывающая изменение в пределах за один период.
Фактически, каждый периодический сигнал определенной формы сигнала может быть выражен как где - «каноническая» функция фазового угла от 0 до 2π, которая описывает только один цикл этой формы сигнала; и является масштабным коэффициентом для амплитуды. (Это утверждение предполагает, что время начала, выбранное для вычисления фазы, соответствует аргументу 0 из .)
Поскольку фазы представляют собой углы, любые целые полные обороты обычно следует игнорировать при выполнении арифметических операций над ними. То есть сумму и разность двух фаз (в градусах) следует вычислять по формулам соответственно. Так, например, сумма фазовых углов 190° + 200° равна 30° ( 190 + 200 = 390 , минус один полный оборот), а вычитание 50° из 30° дает фазу 340° ( 30 − 50 = − 20 плюс один полный оборот).
Аналогичные формулы справедливы и для радианов, но вместо 360.
Разность фаз двух периодических сигналов и называется разностью фаз или фазовым сдвигом относительно . [1] При значениях, когда разность равна нулю, два сигнала считаются синфазными; в противном случае они не совпадают по фазе друг с другом.
В аналогии с часами каждый сигнал представлен стрелкой (или указателем) одних и тех же часов, вращающихся с постоянной, но, возможно, с разной скоростью. Разность фаз представляет собой угол между двумя стрелками, измеренный по часовой стрелке.
Разность фаз особенно важна, когда два сигнала складываются вместе в результате физического процесса, например, двух периодических звуковых волн, излучаемых двумя источниками и записываемых вместе микрофоном. Обычно это имеет место в линейных системах, когда справедлив принцип суперпозиции .
Для аргументов , когда разность фаз равна нулю, два сигнала будут иметь одинаковый знак и будут усиливать друг друга. Говорят, что происходит конструктивное вмешательство . При аргументах, когда фазы разные, значение суммы зависит от формы сигнала.
Для синусоидальных сигналов, когда разность фаз составляет 180° ( радиан), говорят, что фазы противоположны и что сигналы находятся в противофазе . Тогда сигналы имеют противоположные знаки и возникает деструктивная интерференция .И наоборот, обращение фазы или инверсия фазы подразумевает сдвиг фазы на 180 градусов. [2]
Когда разность фаз составляет четверть оборота (прямой угол, +90° = π/2 или -90° = 270° = -π/2 = 3π/2 ), синусоидальные сигналы иногда называют квадратурными , например , синфазные и квадратурные составляющие составного сигнала или даже разных сигналов (например, напряжения и тока).
Если частоты разные, разность фаз увеличивается линейно с аргументом . Периодические смены подкрепления и противодействия вызывают явление, называемое избиением .
Разность фаз особенно важна при сравнении периодического сигнала со сдвинутой и, возможно, масштабированной его версией. То есть предположим, что для некоторых констант и все . Предположим также, что начало координат для вычисления фазы также было смещено. В этом случае разность фаз является константой (независимой от ), называемой «сдвигом фазы» или «сдвигом фазы» относительно . В аналогии с часами эта ситуация соответствует тому, что две стрелки вращаются с одинаковой скоростью, так что угол между ними постоянен.
В этом случае фазовый сдвиг — это просто сдвиг аргумента , выраженный как доля общего периода (в терминах операции по модулю ) двух сигналов и затем масштабированный до полного оборота:
Если является «каноническим» представителем класса сигналов, как и для всех синусоидальных сигналов, то фазовый сдвиг называется просто начальной фазой .
Следовательно, когда два периодических сигнала имеют одинаковую частоту, они всегда находятся в фазе или всегда в противофазе. С физической точки зрения такая ситуация обычно возникает по многим причинам. Например, два сигнала могут представлять собой периодическую звуковую волну, записанную двумя микрофонами в разных местах. Или, наоборот, это могут быть периодические звуковые волны, создаваемые двумя отдельными динамиками из одного и того же электрического сигнала и записываемые одним микрофоном. Это может быть радиосигнал , достигающий приемной антенны по прямой линии, и его копия, отраженная от большого здания неподалеку.
Хорошо известным примером разности фаз является длина теней, видимых в разных точках Земли. В первом приближении, если длина, наблюдаемая в данный момент в одном месте, и длина, видимая в одно и то же время на долготе в 30° к западу от этой точки, то разность фаз между двумя сигналами составит 30° (при условии, что , в каждом сигнале каждый период начинается, когда тень самая короткая).
Для синусоидальных сигналов (и некоторых других сигналов, таких как квадратные или симметричные треугольные) сдвиг фазы на 180° эквивалентен сдвигу фазы на 0° с отрицанием амплитуды. Когда два сигнала с этими формами сигналов, одинаковым периодом и противоположными фазами складываются вместе, сумма либо равна нулю, либо представляет собой синусоидальный сигнал с одинаковым периодом и фазой, амплитуда которого представляет собой разность исходных амплитуд.
Фазовый сдвиг косинусоидальной функции относительно синусоидальной функции составляет +90°. Отсюда следует, что для двух синусоидальных сигналов с одинаковой частотой и амплитудой и , и имеет фазовый сдвиг +90° относительно , сумма представляет собой синусоидальный сигнал с той же частотой, с амплитудой и фазовым сдвигом от , такой, что
Реальный пример разности звуковых фаз — трель индейской флейты . Амплитуда различных гармонических составляющих одной и той же продолжительной ноты на флейте преобладает в разные моменты фазового цикла. Разницу фаз между различными гармониками можно наблюдать на спектрограмме звука трельной флейты. [4]
Сравнение фаз — это сравнение фазы двух сигналов, обычно одной и той же номинальной частоты. Целью сравнения фаз по времени и частоте обычно является определение сдвига частоты (разницы между циклами сигнала) относительно опорного значения. [3]
Сравнение фаз можно произвести, подключив два сигнала к двухканальному осциллографу . Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на рисунке справа. На соседнем изображении верхний синусоидальный сигнал представляет собой тестовую частоту , а нижний синусоидальный сигнал представляет собой опорный сигнал.
Если бы две частоты были абсолютно одинаковыми, их фазовое соотношение не изменилось бы, и на дисплее осциллографа обе выглядели бы неподвижными. Поскольку две частоты не совсем одинаковы, опорный сигнал кажется неподвижным, а тестовый сигнал перемещается. Измеряя скорость движения тестового сигнала, можно определить смещение между частотами.
Вертикальные линии проведены через точки, где каждый синусоидальный сигнал проходит через ноль. В нижней части рисунка показаны столбцы, ширина которых представляет разность фаз между сигналами. В этом случае разность фаз увеличивается, что указывает на то, что тестовый сигнал имеет более низкую частоту, чем опорный. [3]
Фаза простого гармонического колебания или синусоидального сигнала представляет собой значение в следующих функциях: где , , и – постоянные параметры, называемые амплитудой , частотой и фазой синусоиды. Эти сигналы являются периодическими с периодом и идентичны, за исключением смещения вдоль оси. Термин « фаза» может относиться к нескольким различным вещам: